20世紀數學巨人André Weil的生平和工作_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！08-28 10:01
撰文 | Jean-Pierre Serre
翻譯 | 馮克勤
校對 | 戴新生
André Weil於1998年8月在普林斯頓去世，終年92 歲，因為他夫人 Eveline先離開人世，自己因為年紀大身體衰弱，他的最後幾年是在憂傷中度過的，死亡對他來説或許是一種解脱。
法國科學院要我向諸位介紹他的生平和工作，以表悼念之意。
他於 1906 年生於巴黎一個猶太人的家庭，父親是醫生，原籍阿爾薩斯。母親生在俄國，原籍奧地利。他有一個比他小三歲的妹妹Simone，兄妹一直非常親近，一直到 Simone於1943 年去世。後來Weil曾為出版他妹妹遺留下來的一些文稿而盡力。
人們發現他的《學徒回憶》([1991][1])中精彩地敍述了他所受到的嚴格和比較傳統的教育，總而言之：對古典語言（拉丁文、希臘文和梵文）強烈地愛好，並且很有數學天賦。這使他在 1922 年十六歲那一年進入了高等師範學校。1925 年畢業時通過了法國教師的學銜考試，儘管理論力學考試交了白卷，因為他覺得這不是數學的一部分。他去了意大利，以後又到德國，遇到了那個時代一些真正優秀的數學家：Hilbert，Artin，von Neumann，Siegel。他在 1928 年二十二歲時完成了學位論文，後來去印度 Aligarh大學當了兩年教授，印度學學者 Sylvain Levi 幫他獲得這個職位；他在 College de France曾跟Levi學習過梵文。後來在1933年到1939年在馬賽和斯特拉斯堡任教。在斯特拉斯堡時與昔日在師範學校的朋友（Henri Cartan，Jean Dieudonn，Jean Delsarte等）創建了Bourbaki 小組。1939 年二戰爆發時他去了芬蘭；他被當作蘇聯間諜差一點被槍斃，後來他被轉到法國監禁在Rouen。在對他的不服兵役加以譴責之後，他不久獲得自由，在經歷了各種驚險後（都寫在《學徒回憶》中），他於 1940 年去了美國，居留幾年後又去巴西呆了兩年，一直到 1947 年才得到跟他水平相稱的職位：芝加哥大學教授。從1958 年起他到普林斯頓高等研究院，在那裏度過了他一生的最後四十年，這個研究院對他非常合適，給他充分的從事研究與講課的自由（如果他願意，也可以不講課），也有高水平的教授同事和訪問人員。（他的位置就象我們的College de Erance 一樣是終身的，我一直希望他能在此佔據一個數學講座！但這不是想做就能做到的。)
要想介紹 Weil 的學術業績，我只需列舉他得到的某些頭銜（或者説是他接受的一些頭銜）他是美國科學院院士和倫敦皇家學會成員，他是 1979 年 Wolf獎獲得者（同時得此獎的是 Jean Leray，比 Henri Cartan早一年得）他於1994 年獲得京都大獎[2]，最後這個獎令他特別感到高興，因為他一直和日本數學家保持良好的關係。
我現在轉到正題上來，即介紹他的工作。他在 1926 年於Comptes rendus上發表了第一篇摘要性文章。在此後的五十年裏出版了十二本書，發表了許多論文，用法文和英文寫成，有的還用德文。這些文章收集在他的三卷數學論文集中，Springer出版社於 1979年出版。Weil對每篇著作都寫了精確的評論，或解釋這些論文的產生背景。
我不可能按專題對這些著作加以分類，因為涉及的專題太多。當然，也可按美國方式列出關鍵詞：zeta 函數，Siegel，有理點，阿貝爾簇，……這可能有趣，但不嚴肅。我覺得唯一的可能是按時間次序，何況他的選集就是採取的這種方式。
1. 從 1928 年他的學位論文開始。它屬數論，更具體説是不定方程，即代數簇上的有理點。那個時代所知道的唯一方法是費馬發明的無窮下降法，使用這種方法總是要進行具體的計算，雖有些奇妙，但缺點是每個特殊情形都要算。Weil 首先看出在這些計算的後面有一個一般的原則，他稱之為“分解定理”。這個定理在代數性質（原則上比較容易）和算術性質（比較困難）之間實行某種轉換。由此得到了一個結果，現在叫作 Mordell-Weil定理：阿貝爾簇在一個給定數域上的有理點羣是有限生成的，證明很不容易，那時的代數幾何還沒能提供必要的工具。幸運的是，Weil在師範學校時就深入地瞭解黎曼的著作，用分析工具（theta 函數）來代替他所缺乏的代數方法，他最終達到了目的。
“目的”一詞不夠準確。事實上，正如Weil的幾乎所有工作，它涉及一個“起點”，由此出發可以解決其它問題，這篇論文引發的是以下一些問題：
——證明虧格大於0的仿射曲線只有有限個整點，這是以後由 Siegel 做出的，組合了Weil 的思想和超越數論中的結果。
——證明 Mordel 猜想，即虧格大於 1的曲線上只有有限多有理點，這是五十五年後由 Faltings 做出的。
——Mordell-Weil定理，Siegel定理和 Faltings 定理的有效（即明顯）定量結果。1966-68年期間，Baker只對 Siegel 定理的特殊情形給出有效的定量結果；對Mordell-Weil定理和 Faltings定理整個問題仍未解決（數論學者們對此有極大的興趣）。
2. 在這篇論文之後的幾年裏，他為 Mordell 猜想所引導研究了各種線索，其中之一是他在 1938 年所寫的鉅著《阿貝爾函數的推廣》。這篇文章的表達形式是分析學，其意義本質上是代數學，而動機卻是算術！（人們可以這樣的問：除了Weil 和Siegel之外，有誰在1938年能看懂這篇文章？）這篇文章成功地用於阿貝爾簇，特別是用於曲線的雅柯比簇（Jacobian）。Weil指出應當從阿貝爾的框架出發，雅柯比簇將秩為1（和0次）的向量從參數化（換句話説，要從GL1到GLn，這是他喜歡的一個主題）。他和其他人只知道解析向量叢，還缺乏代數向量叢，十二年之後才誕生代數向量叢（也是由Weil給出的）。這並沒有阻礙Weil，他引進了與向量叢等價的概念，即“矩陣除子類，（追隨黎曼和龐加萊）用分析方法證明了黎曼—洛赫公式和我們現在稱為“對偶定理”的結果（也叫作非齊性的黎曼—洛赫定理）多麼漂亮的大手筆！但是定義這些叢還不夠，他又研究它們的“參量簇”，用來代替雅柯比簇。從代數幾何觀點，這是一個涉及構造商簇的重要問題，在二十餘年之後由Grothendieck 和Mumford 解決。Weil 只得到部分結果，大部分沒有證明（但他所揭示的本質上是正確的），從而他不能給出任何算術應用。這是失敗嗎？不，因為在十五年後它可將黎曼—洛赫用於其他模型上，並由此構作出的參量簇，在其他問題上的影響也被揭示出來：Donaldson在微分幾何中和 Drinfeld 對特徵p>0的情形所作的工作。
3. 在我所講的1928年-1940年這段時間，Weil不僅限於研究數論，下面是他的另一些研究活動。
——多變量複分析，引入一種積分作為柯西積分的推廣，現在稱為Weil積分（1932和1935年）；由此給出Runge定理的推廣：若D是由多項式不等式定義的有界區域，則D是每個全純函數對於緊收斂拓撲都是多項式的極限。.
——緊微 Lie羣理論，用拓撲方法（Lefschetz公式）證明極大環面彼此共軛（1935年)。
——p-adic分析（這項研究還處於幼年時期），定義了p-adic 圓函數（1936年）。
——拓撲學，定義了一致空間（1937年）。
——在Hermann公司出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書（1940年）。書中以簡潔的Bourbaki方式闡述了該理論被那個時期所接受的兩個方面：緊羣情形（特徵的正交關係）和交換羣情形（Pontrjagin對偶和傅里葉變換）。
4. 現在回到數論和代數幾何，講他在1940年的一篇重要的短文。
在1925-1940年期間，德國學者在Artin和Hasse的推動下，在代數數域和有限域上的單變量函域（用幾何的語言則是有限域上的曲線）之間發現值得注意的類似。彼此都有zeta函數，都可提出“黎曼猜想”。對於函數域情形，Hasse 對虧格為1的情形證明了黎曼猜想。如何解決虧格大於1的情形？Weil於1940年在Rouen時就看出問題的解決方法：這個關於一維代數簇（即曲線）的問題應當利用更高維的代數簇（曲面和阿貝爾簇）以及採用（在複數域）拓撲或解析方法證明結果的方案：他於1940年投到 Comptes rendus的短文一開頭便寫道：
“我在這篇短文中打算概括地敍述有限域上代數函數論中一些主要問題的解法……”
這篇短文只敍述了證明輪廓，所有事情都建立在一個“重要引理”之上，這個引理是從意大利幾何學派那裏得到啓發的，但是怎樣證明它？Weil 認識到需要重新構造整個代數幾何的定義和基本結果，特別是相交理論的結果（所缺少的同調理論用cycles的計算來代替）。於是他寫了三百頁（有些枯燥的）的鉅著《代數幾何基礎》（1946 年）。而在二十年後這本書被 Grothendieck更巨大並且更枯燥的《代數幾何原理》所代替。《基礎》一書出版之後，Weil 便可證明曲線上的黎曼猜想，結果發表在1948年同時出版的兩本著作《代數曲線和相關代數簇》和《阿貝爾簇與代數曲線》，經過八年和五百多頁的著作，他在 1940 年所寫的短文所提出的目標終於得到實現！
有哪些推論呢？首先，黎曼猜想有許多具體應用，,對於單變量的三角和能給出上界（1948 年）。例如下面的三角和估計（可用於模型式理論）
此外，Weil不僅建立了代數幾何的牢固基礎，而且他發展了平行於利用 theta 函數的解析理論的阿貝爾簇的代數幾何理論。阿貝爾簇是他多年來喜歡研究的課題（見他1952，1954，1976和1977年的論文），他還與谷山和志村幾乎同時獨立地得到復乘理論（1955年）。
5. 在曲線工作的指引下，及對單項式超曲面情形進行的具體計算，他於 1949 年提出了被後人稱為Weil猜想[3]的猜想。這是有限域上非奇異射影代數簇的一組猜想。它們假設黎曼，Lefschetz和Hodge等人的拓撲方法可用到特徵p>0的情形；在這種看法之下，方程模的解數相當於不動點數，從而可用 Lefschetz的公式來計算。這種思想確實是革命的，喚起一代數學家們的熱情（我可作為直接見證人），這也是隨後多年代數幾何學重大進步的一個源頭。這項研究經過大約二十五年才完成，貢獻者不是Weil，而主要是Grothendieck 和 Deligne。他們發展的方法是當今代數幾何中最強有力的。應用於其他領域如模型式理論（正如Weil先前所預測）和決定有限“代數”羣的特徵（Deligne-Lusztig）。
7. 不久，Weil於 1952 年發表了數論中的“顯公式”，1972 年又加以完備。這個公式（本質上別的專家們似乎也知道）把對素數的一些求和公式和對 zeta 函數零點的另一些求和式聯繫起來。Weil的寫法很有建設性，比如説，從中明顯看出阿基米德位和非阿基米德位之間的類比，這又是另一個Weil感興趣的課題。更有趣的結果是把黎曼猜想歸結為某個分佈的正性。這種轉化是否可用來證明黎曼猜想？現在預測還為時太早。
8. Weil於1940年到1965年還在微分幾何領域做了許多工作，這些工作是：
——與Allendoerfer一起給出並證明了黎曼多面體的Gauss-Bonnet公式（1943年）。
——證明de Rham定理，（1947年給H. Cartan的一封信），全文於1952年發表。這對Cartan 的層論觀點有很大影響（層論是Leray開創的）。
——調和形式和Kähler流形理論（1947年和1958年）。這是解析方法用於代數幾何的基本工具。
——連絡理論和引進“Weil代數”（1949年）。
——齊性局部空間和離散羣的形變（1960年，1962年和1964年）。對於秩>1的單李羣的商緊離散子羣證明了剛性定理。.
9. 在五十和六十年代，Weil在由 Siegel 的工作所啓發而提出的課題發表了一系列文章。Weil 在他的選集第二卷第 544 頁所加的評註中説：“評論Siegel，對我來説，是當代數學家可以承攬的最有益的“任務”。注意動詞“評論”：這是一個沒有充分表達實情的説法[4]。Weil的工作有:
——在1961年和1962年他系統地發展了由 Kuga 和玉河引進的 adele 方法。不僅重新證明了二次型的 Siegel定理，而且建議了許多新的問題。例如證明單連通羣的玉河數為1（現在我們知道，由於Langlands，黎景輝和Kottwitz的工作，這問題的答案是肯定的）。
——他於1964年和1965年發表在Acta Mathematica的兩篇重要文章中，對二次型和Siegel公式採取了新的觀點。他引進並研究了一種新的羣：metaplectique 羣，及這個羣的表示（現在稱為Weil表示）Siegel公式表示成兩個分佈之間的等式，其中一個是Eisenstein類型的級數，而另一個則是 theta 函數的平均。這個結果不僅限於二次型，Weil 證明它可用於所有典型羣。他在這個領域引進局部整體類型的定理（Hasse原則），並且決定出玉河數。
10. Hecke 的工作也啓發着 Weil。他在 1947年《數學的未來》的一篇文章中已談到歐拉積並説：“把 Hecke 的工作加以透徹的研究，對於我們進行數論和函數論的研究是極為重要的。”二十年後（1967年）他對 Hecke 理論作了決定性的貢獻，證明了：狄裏赫利級數和它的“扭曲”（tordues）的某些函數方程可用來刻畫這些級數來源於模形式。以數學上的精確形式得出對應關係：
這項工作引起一系列發展，其中的一些是 Weil 本人作出的（1971年）。正是在這個地方產生了所謂“Langlands哲學”。其中一個結果是對於 1955 年由谷山提出的有些含混的猜想給出一個精確的形式。
根據這一猜想，Q上的所有圓曲線都應當是“模”曲線。而 Weil 則認為模形式的“水平”應當是對應橢圓曲線的“導子”，後者由壞約化性質所決定。這個論斷可以通過計算加以定量地驗證。1995 年 Wiles 在某種技術限制之下證明了這個結果，但沒有最終解決。（譯者注：谷山-Weil 猜想最終被完全證明）[5]。
11. Weil 最後的一些著作與文章是關於數學史的。Weil長期以來對數學史感興趣，Bourbaki的《歷史註記》的某些篇章（特別是第1至3章單變量實函數中的微積分部分）可以作證。他的小冊子《按Eisenstein和Kronecker 的方式論圓函數》（1976年）即是數學著作又是數學史著作。他説他是以十分愉快的心情寫成這本書，而這種愉快也傳遞給讀者！後來的著作則是實實在在的歷史。特別要提出他的書《數論：從Hammurapi到Legendre 的歷史》（1984年）。這本書描寫了1800年以前的數論史，也就是説，高斯的《數論探究》以前的歷史。但是他的講演則涉及更廣，向我們介紹了高斯、雅柯比、愛森斯坦、黎曼……人們從他那裏聽到的是數學，是數學家們生活的主要方面，而不是他們的私人生活和社會關係，只有思想史是重要的，這是多麼清新的看法！寫這樣的書顯然是很不容易的，需要有語言和文學修養（而 Weil在這方面很在行），還要能區分開哪些是真正的新思想，而那些只是標準的技巧（他在1978年一篇文章中表達了這種看法）。一個不懂數學的歷史學家很難做到這一點（可參見他 1973年，1975年和1978年的文章）。
在我做完上述介紹的時候，我相信與 Weil 所做的相比，這些介紹是很浮淺的，他的著作在二十世紀數學中是獨一無二的，即預見性的方面（Weil“看”得見未來）與古典的精緻相結合。閲讀和學習他的著作，和他一起共同討論，是我數學生涯中最大的愉快。
校注
[1]英譯本《TheApprenticeship.ofa Mathematician》（一個數學家的學徒歷程 ) Birkhauser. 1992.
[2]這是一個文化獎，獎勵在人類文化上有傑出貢獻的人。
[3]猜想的原文 Conjectures 是多數。
[4]言外之意：不僅是評論，還更應當學習。
[5]谷山-Weil猜想現在被一些人稱為谷山-志村猜想，但 Weil 晚年把這件事看的很淡。他喜歡引用 Siegel的説法：阿貝爾作為形容詞，第一個字母已被小寫了，如abelian。
原題: La vie et Ioeuvre d’André Weil，譯自: L’enseignement Mathematique, 45 (1999). 5-16. 本文原載於《數學譯林》2000年（第19卷）第1期，原標題《Andre Weil的生平和工作》。
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