阿蒂亞:美妙的數學之夢_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴(ID:fanpu2019),阅读更多!09-14 09:57
本文為2016年Quantum Magazine對邁克爾·阿蒂亞(Michael Atiyah)的採訪。儘管當時已逾八十高齡,被譽為“數學媒人”的英國卓越數學家邁克爾·阿蒂亞仍然致力於解決“大”問題,夢想將量子理論和引力統一。
撰文 | Siobhan Roberts
翻譯 | 趙亮
邁克爾·阿蒂亞(Michael Francis Atiyah,1929-2019) 圖片來源:Philipp Ammon
邁克爾·阿蒂亞(Michael Atiyah)有很多榮譽:菲爾茲獎和阿貝爾獎的雙料得主;英國皇家學會(世界上最古老的科學團體)前會長;愛丁堡皇家學會前會長;劍橋大學三一學院前院長;邁克爾·阿蒂亞被授予爵士封號並且獲得皇家功績勳章,同時也被譽為英國真正的數學教皇。儘管如此,在眾多的稱號之中,對他最恰當的描述莫過於“媒人”(matchmaker)。邁克爾·阿蒂亞對於不同知識之間的聯繫有着敏鋭的直覺,憑藉這種超凡的洞察力,他在半個多世紀的學術生涯中,不僅建立了數學領域裏許多看似並不相干的想法間的橋樑,還很好地將數學和物理融合在一起。
2013年春的某一天,當邁克爾·阿蒂亞坐在白金漢宮的女王美術館,等待和伊麗莎白二世(Elizabeth Ⅱ)共享年度功績勳章的午宴時,他就為他一生的朋友和同事、偉大的數學物理學家羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)爵士指引了方向。
2017年愛丁堡大學授予彭羅斯(左)科學榮譽博士學位,阿蒂亞為其授予者(Laureator)丨圖片來源:maths.ed.ac.uk
彭羅斯一直致力於發展他的“扭量理論”(twistor theory)——這條通往量子量子引力的路徑,已經被研究了近50年。“我有一個解決它的方法,這個方法要考慮無窮的情況,”彭羅斯説道,“試着在無窮的情況下解決這個問題然後再回來。”他認為一定會有一個更簡單的方法。聽了彭羅斯描述的問題後,阿蒂亞當即想了想,然後建議彭羅斯試着用一種“非交換代數”。
“我當時就想,‘哦,我的天啊!’”彭羅斯説道,“我一直知道扭量理論中有非交換代數的存在,但從未想過使用非交換代數的方法。很多人都認為這樣並不會奏效,然而邁克爾可以很快地察覺到如何利用非交換代數,而且事實證明他的想法確實有效地解決了這一難題。”考慮到阿蒂亞給出建議的地點,彭羅斯改進並提出了著名的“華麗扭量理論”(palatial twistor theory)。
邁克爾·阿蒂亞(中)在莫斯科接受1966年的菲爾茲獎。丨圖片來源:Michael Atiyah
這就是阿蒂亞的力量。粗略地來説,他用前半生建立了數學不同方向之間的紐帶,又用後半生建立了數學和物理之間的橋樑。
阿蒂亞最著名的成就是他和麻省理工學院的艾沙道爾·辛格(Isadore Singer)於1963年合作提出的“指標定理”(index theorem)。這一理論又被稱為阿蒂亞-辛格指標定理(Atiyah-Singer index theorem),它建立了分析和拓撲之間的聯繫,這一聯繫在數學和物理領域中都有非常重要的應用。基於這一成就,阿蒂亞不僅獲得了1966年的菲爾茲獎,而且與辛格一同獲得了2004年的阿貝爾獎。
在上世紀80年代,由指標定理得到的方法在弦論(string theory)的發展中起到了意想不到的作用。科學家們嘗試將宏觀的廣義相對論和微觀的量子力學結合在一起,尤其是普林斯頓高等研究院的弦論專家愛德華·威滕(Edward Witten)的工作。威滕和阿蒂亞就此展開了深入的合作,由此威滕在1990年成為首位獲得菲爾茲獎的物理學家,並且由阿蒂亞作為他的工作報告人。
現在,已經86歲的阿蒂亞幾乎沒有降低要求,他仍然致力於解決大問題(編者注:原文發表於2016年,阿蒂亞於2019年去世),嘗試着編織量子力學和萬有引力之間的聯繫。在這個領域的前沿,新興思想不斷地更新和湧現。但正如阿蒂亞自己所説,這些僅僅是直覺性的、僅憑想象的、模糊不清的、令人難以理解的一些想法。
不過,他仍享受這種自由肆意的創造力,並填滿了自己的行程。為了將已有的觀察和思考為世人所熟識,阿蒂亞於2015年12月在愛丁堡大學一天接連做了兩場演講。自1997年開始,阿蒂亞就是愛丁堡大學的榮譽教授。他非常熱衷於分享他的新想法,並且希望可以吸引一些支持者。為此,他於11月在愛丁堡皇家學會主持了名為“科學之美”的會議。利用會議的間隙,Quanta Magazine對阿蒂亞做了一個簡單的採訪,以下是一些編輯整理過的訪談內容。
Q:您何時開始對美和科學產生興趣的呢?
阿蒂亞: 我出生於86年前,那便是我興趣開始的時候。我出生在佛羅倫薩,最初我的父母想要給我取名叫米開朗基羅。但是有人説,“對於一個小男孩,這個名字過於意義重大了。”如果真的叫米開朗基羅,於我而言那將是一個災難——因為我不會畫畫,也沒有任何繪畫的天賦。
Q:您曾經提到,在羅傑·彭羅斯名為“藝術在數學中的角色”(The Role of Art in Mathematics)的演講中,一些東西讓您“靈光一閃”(clicked),促使您擁有了與他合作論文的想法。能否描述一下具體是什麼讓您“靈光一閃”呢?是演講的過程還是他的陳述?
阿蒂亞:那是一種你曾經看到過的東西,即真理或者真實存在,它就在那裏凝視着你。真理每時每刻都在看着你,你並不需要去尋找它。它就在紙上閃閃發亮。
Q:這通常是您獲得靈感的方式嗎?
阿蒂亞:這有一個精彩的説法。數學最讓人着迷的部分就是當一個想法在你的腦海中浮現的時刻。這個時刻通常發生在你睡覺的時候,因為那時你受到的拘束最少。想法就從天而降。它浮現在天空中,你看到它,讚歎它的色彩。它就在那兒。然後在某個階段,當你試圖去捕捉它,將它放在一個穩固的框架中,或者想將它由虛幻變為現實的時候,它就消失不見了。然而,它會被一個結構所代替,這個結構只捕捉到了某些特定的部分,這是一個讓人難以理解的解釋。
Q:您是否總有數學夢?
阿蒂亞:我想是的。這樣的夢有時發生在白天,有時發生在晚上。或者,你可以將它們稱作幻影或者直覺。但本質上,它是一種想法——沒有文字、沒有圖像、也沒有公式或説明。它是所有這些具體形式的先兆,是柏拉圖主義的先兆,是最原始的靈感。再一次地,當你試圖抓住它時,它卻消失不見。因此,當你每天早上醒來,一些模糊的殘餘物徘徊在腦中,像是某種思想的幻影。你努力想要記起那是什麼,卻只能想起其中的一部分,那就是你所能做的全部了。
Q:想象是其中的一部分嗎?
阿蒂亞:當然!在想象中進行時間穿梭是輕而易舉的——你甚至不需要買票。人們回過頭去看,想象自己是宇宙大爆炸的一部分,然後詢問在那之前發生過什麼。
Q:是什麼引導着想象?是美嗎?
阿蒂亞:那不是一種你所能確切辨認出的美,而是一種更為抽象的美。
Q:不久前,您和倫敦大學學院的神經生物學家賽米爾·澤奇(Semir Zeki)以其他合作者共同發表了一個研究,名為《探索數學之美及其神經聯繫》(The Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates)。
阿蒂亞:這是我所寫過的讀者最多的文章!眾所周知,當你欣賞悠揚的音樂、典雅的詩詞或美麗的圖片時,大腦中的同一個部位會產生興奮,這一部位即“情緒大腦”,專業術語為眶額皮層(orbitofrontal cortex)。那麼問題來了:當你感受數學之美時,大腦中興奮的部位是一樣的嗎?答案是:是一樣的。大腦中用來欣賞音樂、藝術及詩詞之美的部位,也同樣用來領悟數學之美。這是一個重要的發現。
Q:您的這個結論是利用功能性磁共振成像(functional MRI)記錄數學家大腦對於不同數學公式的反應得到的。哪個公式贏得了最美數學公式的稱號呢?
阿蒂亞:最著名的歐拉恆等式!
這個公式包含了π,自然常數e(也叫歐拉常數),虛數單位i,還有數字1和0。它不僅在一個公式中結合了數學中所有最重要的符號,而且這個公式真的非常深刻。因此,大家公認其為最美的公式。我曾經説過,它在數學中的地位等同於《哈姆雷特》中的名句“to be, or not to be”——非常短、非常簡潔,但同時非常深刻。歐拉恆等式只有5個符號,但是包含了最美最深刻的思想。簡潔是美很重要的一部分。
Q:您憑藉兩個極其優美的工作為人所熟知,一個是著名的指標定理,另一個是和德國拓撲學家弗里德里希·希策布魯赫(Friedrich Hirzebruch)共同提出的K-理論。請簡單介紹一下K-理論。
阿蒂亞:指標定理和K-理論就像是同一枚硬幣的兩面。它們殊途同歸,你無法將它們分開。它們以不同的方式和物理學聯繫在一起。
K-理論研究平直空間和平直空間的移動。比如説,我們考慮一個球,就像地球,我們將一本大書放在地球表面並來回移動這本書。這就是一個平面幾何圖形在一個彎曲表面上移動的實際模型。K-理論研究拓撲與幾何中的這些情況。它起源於我們在地球上的導航。
我們曾用來探索地球的地圖,也可以用來探索宏觀宇宙,向太空發射火箭,或用來探索微觀宇宙,研究分子和原子。我現在所做的就是試圖將所有的這些統一在一起,而K-理論就是研究這些問題很自然的方法。人們已經研究類似的“繪圖”好幾百年了,今後我們或許還要再研究幾千年。
在愛丁堡大學阿蒂亞辦公桌上放着的一張他和艾沙道爾·辛格的合影。丨圖片來源:Philipp Ammon
Q:K-理論和指標定理在物理學中有如此重要的應用是否讓您出乎意料?
阿蒂亞:是的。我做這些幾何方面的工作時,完全沒有意識到會和物理領域聯繫在一起。當人們提醒我説“你做的工作可以和物理聯繫在一起”時,我感到非常震驚。因此我儘快地學習物理,和優秀的物理學家交流,來理解發生了什麼。
Q:您和威滕的合作是源於怎樣的契機?
阿蒂亞:1977年在波士頓遇到他時,我正在探尋物理和數學之間的聯繫。我參加了一個會議,會議上既有年輕人,也有一些老傢伙。我們聊了起來,幾分鐘後我意識到一個年輕的小夥子比那些老傢伙們聰明得多。他明白我所説的所有的數學知識,我因此開始關注他。這個人就是威騰。從那以後我一直和他保持聯繫。
Q:和他(威滕)一起工作是什麼樣的?
阿蒂亞:2001年,他在加州理工學院做訪問教授,並邀請我去那裏。在那裏我感覺自己又回到了研究生時代。每天早上,我會去學院找威滕,大概討論一個小時左右。他會給我佈置家庭作業。然後我用接下來的23個小時努力完成作業。與此同時,他也會去做很多其他的事情。我們之間的合作十分緊密。對於我來説,這是一段非常不可思議的經歷,就像是和一位非常優秀的導師一起工作一樣。我的意思是,他總是能比我先知道問題的答案。如果我們觀點不一致,那麼結果總是他是對的而我是錯的。這讓人非常尷尬!
Q:您曾經説過,數學和物理之間令人出乎意料的內在關聯是最吸引您的地方——您樂於將自己置於一個未知的領域。
阿蒂亞:是的。你知道,很多數學工作都是有跡可尋的。一些人告訴你怎樣解決一個問題,然後你再做類似的工作。你每向前走一步,都是遵循着前人的腳步。偶爾,有人提出一個完全不同的想法,震驚所有人。剛開始的時候,人們不相信這個想法,當人們認可它時,它引導向一個嶄新的領域。數學的進展是時斷時續的。它有連續性的發展,而一旦有人提出一個新的想法,便出現不連續的間斷。這些才是真正重要的想法。當有人提出它們的時候,它們就有了深刻的影響。可能我們就處在另一個新想法的邊緣。100年前愛因斯坦有一個好想法,現在我們需要另一個想法來帶領我們前進。
但是這個(得到新想法的)方式應是更具調查性的而不是指導性的。如果你試圖引導科學,那麼你只要人們按照你所告訴他們的方向前進。所有的科學都來自於那些能夠發現有趣小路的人們。你需要用靈活的方式去探索,讓不同的人去嘗試不同的事情。這是件很困難的事情,因為如果你不隨研究的潮流,你就找不到職位。
如果你擔憂未來,那麼你就只能循規蹈矩。這就是現代科學最大的弊病。幸運的是,當你到了我這個年紀,你就不再需要為這些事情而困擾。我可以暢所欲言。
阿蒂亞(中)和辛格(左)分享2004年的阿貝爾獎。丨圖片來源:Michael Atiyah
Q:近來,您在嘗試用一些新的想法來打破物理學中的僵局嗎?
阿蒂亞:你知道,原子物理研究電子、質子、中子所構成的原子結構。在這個極其微觀的領域,大多數物理定律是適用的,但同時也存在着一個被忽略的力——引力。引力無處不在,因為它源於整個宇宙的質量,由於引力沒有正值和負值,因此它無法相互抵消,只能疊加在一起。無論黑洞和銀河相隔多遠,它們都會對宇宙中的任何一處施加一個微小的力,即便是對電子或者質子。但是一些物理學家認為,“這個引力很小以至於你可以忽略它;我們無法測量這麼小的東西,即便忽略它我們也能解釋很多的物理現象。”而我的出發點就是這種觀點是錯誤的。如果你糾正了這個錯誤,你會得到一個更好的理論。
我最近在重新研究一些大概100年前的想法,當時人們不能理解這些想法能夠帶來怎樣的結果,所以放棄了它們。物體和引力之間是如何相互影響的?愛因斯坦的理論是,如果你將一個小東西放置在空間中,那麼它將改變空間的曲率。當空間曲率變化之後,它又反作用於這個物質。這是一套非常複雜的反饋機制。
我正在重新揣摩愛因斯坦和狄拉克的想法,並用新的視角來看待它們,我覺得我正在發現人們曾忽略的東西。我在填補歷史的漏洞,獲得新的發現。這就如同考古學家將舊的東西挖出來,或歷史學家找到一個新的手稿一樣,它們都會帶來新的曙光——這就是我正在做的事情。我並不去圖書館翻閲文獻,而只是靜靜地坐在家中,思考。如果你思考得足夠深入,那麼最終會得到一個好的想法。
Q:您的意思是,引力不可以被忽略?
阿蒂亞:我認為,物理學家們遇到的所有難題都是因為忽略了引力。你不應該忽略它。關鍵在於,如果你考慮了引力,我相信數學上將會得到簡化;如果你忽略引力,那麼你就把事情弄得更復雜了。
很多人認為,在原子物理中,無需考慮引力。這個尺度非常小,以至於我們在進行計算的時候完全可以忽略它。在某種意義上,如果你僅僅想要得到答案,那麼這樣做是可行的。但是如果你想要全面地理解這個問題,那麼忽略它就是一個錯誤的選擇。
或許我是錯的,儘管我並不這麼認為。因為一旦你採用了這個想法,就會得到各種漂亮的結果,這時候數學上、物理上和哲學上都是統一的。
Q:威滕怎樣看待您的新想法?
阿蒂亞:哦,這是一個極具挑戰的事情。之前我曾跟他提到過我的一些想法,他認為這些想法是毫無希望的,並且給出了10種不同的理由來解釋為什麼這些想法不會奏效。現在,我認為我可以捍衞我的立場。我花了大量的時間思考,從不同的角度去思考這個問題,並再回過頭來反覆咀嚼。我希望我可以説服他承認我的新方法是有價值的。
Q:您正冒着喪失名譽的風險,但是您仍然認為這是值得的。
阿蒂亞:我的聲望是通過作為一名數學家得到的。如果我現在把它弄得一團糟,人們將會説:“是的,他曾是一名優秀的數學家,但在他生命將要結束的時候他喪失了理智。”
就在我進入物理領域的時候,我的一個朋友,約翰·鮑金霍恩(John Polkinghorne)離開了物理學,他去了教會並且成為了一名神學家。在我80歲的生日上我們曾經討論過,他對我説,“你沒有什麼可以失去的了,儘管勇往直前,去思考你想思考的事情。”這就是我現在所做的事情。我已經得到了我需要的所有獎項,我還能失去什麼?這就是為什麼我在冒着一個年輕學者不敢冒的風險。
Q:在學術生涯的這個階段,您對於新想法還有如此的熱情,是否連自己也感到吃驚?
阿蒂亞:我的一個兒子跟我説,“(這是)不可能的,爸爸。數學家通常在他們40歲的時候做出最出色的工作。而你現在已經超過80歲了。你不可能有一個好的想法了。”
如果你在80多歲的時候仍然清醒且保持理智,你就擁有活到這個年齡的優勢:你已看透很多事情。我現在86歲了,這是我還能思考新想法的最後幾年。新的想法無處不在,你從各處得到一些,現在時機成熟了,儘管五年前或十年前它可能還不成熟。
Q:有沒有一個一直指引着您的大問題?
阿蒂亞:我一直試着理解事物是如何工作的。如果得到一個公式卻不知道它的確切意義,我認為這是沒有意義的。我一直試圖深究事物背後的東西,所以如果我得到一個公式,我要知道為什麼會有這樣的公式存在。理解是一個非常困難的過程。
人們認為數學是從當你寫下一個定理然後給出證明開始的。但其實這並不是開始,而只是結果。對於我來説,數學中的創造力來自於你把東西寫在紙上之前,在你試圖寫下一個具體的公式之前。你看到許多不同的事物並且在腦海中反覆揣摩,你試着去創造,就像音樂家努力創作音樂或者詩人寫詩。並不存在一個具體的創造法則,你必須用你自己的方式去做。不過在最後,就像一個作曲家需要把樂譜寫在紙上一樣,你也需要把你所思考的東西寫下來。在這整個過程中最重要的一步是理解。證明本身不能幫你理解,你可以有一個很長的證明卻不知道為什麼會是這樣的。為了理解它是如何起作用的,你需要對事物有一個本能的反應。你要嘗試着去感受它。
本文轉自算法與數學之美,《返樸》刊發時略有改動,原文鏈接:https://www.quantamagazine.org/michael-atiyahs-mathematical-dreams-20160303/
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