百年“伊辛模型”新探索：一種新的研究相變及臨界現象的方法_風聞

水在寒冷的冬天會結冰、被加熱後會發生汽化，這是人們日常生活中常見的現象。物質的狀態在物理學中被稱為“相”，比如水有固相、液相和氣相等，而物質從一種相轉變為另一種相的過程就是“相變”（Phase transition）。

與水的“相變”相比，有一些“相變”令人着迷：比如鐵在加熱到770度時會失去鐵磁性，超導材料在極低温下會出現的超導性質。這個過程中究竟發生了什麼？

物理學家嘗試通過建立數學模型來尋找答案。100年前誕生的著名的“伊辛模型”，就是解開相變問題的一把“數學鑰匙”，但至今有許多問題懸而未決。

最近，西湖大學理學院朱偉團隊在這一經典問題上取得重大進展。他們提出了一種新的理論方法用以研究三維伊辛模型，通過巧妙地設計量子化方案，在二維球面幾何上實現了量子相變，併成功揭示了相變點的共形場特徵。

這一研究成果引起各國物理學家的廣泛關注。以該成果為專題的第一個學術研討會“Fuzzy sphere meets bootstrap”將於今年11月在美國召開。

該研究由西湖大學強關聯與拓撲物性課題組完成，在Physical Review X 以及Physical Review Letters 連續發表兩篇研究論文。西湖大學理學院朱偉為第一篇論文的第一作者，博士後韓超為第二作者；博士後胡樑棟為第二篇論文第一作者；西湖大學理學院朱偉與加拿大圓周研究所研究員何寅琛同為兩篇論文的通訊作者。

01

“最 難 ”求 和

1895年，居里夫人的先生——皮埃爾·居里（Pierre Curie）在實驗中發現，磁鐵加熱到一定温度，會突然失去磁性。相變發生前後，物質的化學構成並沒有變化，但物理性質卻大相徑庭。並且這些相變都會有一個明確的“臨界點”，我們稱之為相變點。

對相變的數學模型的理論研究，正是從鐵磁性開始的。

25年後，德國物理學家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）接過這一棒，當時世界正從一場大流感中復甦。他把鐵磁性材料抽象成由一個個“原子”構成的晶格，每一個“原子”都有或向上或向下的指向，稱為“自旋”。自旋之間的相互作用使得自旋傾向於同向排列，從而使得整個材料呈現出鐵磁性；另一方面，由於熱運動的影響，自旋的指向會傾向於變得無序。因此，自旋之間的相互作用和温度便產生了競爭關係，這種競爭關係導致了鐵磁體的相變，那麼應該如何來描述這種競爭呢？

楞次（左）和伊辛 （右）

楞次把接下來的工作交給了他的學生伊辛（Ernst Ising）。理論上，每一個自旋的狀態，可以用1或者-1來描述——代表向上或者向下，並且相鄰的自旋會相互影響，趨向於保持一致。1924年，伊辛把原子模擬成格點，寫下了這個著名的公式，在數學上構建了一個微觀變化如何影響到宏觀性質的模型：

H代表哈密頓量，描述系統的總能量。左邊包含-J的項描述了系統中自旋相互作用的能量，包含-h的項描述外部磁場對自旋的影響。J是描述自旋之間相互作用的參數，h是一個和外部磁場相關的參數。

而温度的影響就需要通過熱漲落來刻畫，因此需要將上面的公式對所有可能的自旋構型進行求和。而這一求和過程卻極其困難，被戲稱為“最難的求和”。其原因來源於系統總的自旋構型數目是一個天文數字。雖然模型中一個格點只有兩種構型（朝上或者下），但隨着格點的數目的增加，總的系統構型數目會指數增長：例如對於一個只有256個格點的系統，總的狀態數就達到了2的256次方，大概是宇宙中能觀察到恆星數的3.5倍。

一維伊辛模型的示意圖

圖源作者 Yaël L. Birenbaum Haligua

伊辛只能先嚐試把這個模型在一維來研究，將其簡化成一個環形的箭頭鏈，每一個箭頭都可以“感知並影響”周圍兩個相鄰的“鄰居”，並由此求得了一維伊辛模型的解析解。可惜，在一維情況下，相變温度是熱力學絕對零度，這與實際三維材料中所觀察到的現象不一致。伊辛和導師楞次試圖把模型推廣至二維和三維，都以失敗告終。

但是，伊辛模型所折射出的數學魅影，不斷吸引了後續的研究者。凝聚態物理學家約翰·貝林斯基如此妙語點評一維伊辛模型：“一維只是沒有它所需要的東西。”

02

萬 物 皆 數

時間來到了二十世紀四十年代，物理學家、諾貝爾獎得主拉斯·昂薩格（Lars Onsager）對伊辛模型產生了興趣。他把磁鐵簡化成一個類似於圍棋棋盤的二維模型。此時，每一個格點需要考慮前後左右四個相鄰格點的影響，計算量也扶搖直上。

二維伊辛模型示意圖：實際上，在模型的構建中，格點的數目可以趨於無窮大。圖源：research gate

1944年，拉斯·昂薩格宣佈求得二維伊辛模型的解析解，這裏先略去複雜的數學求解過程，昂薩格的工作證明了二維伊辛模型存在非零温的相變點，這説明了相變過程可以用二維伊辛模型解釋，而不需要像當時很多物理學家認為的那樣，需要考慮到真實粒子的相互作用。

但這個理論似乎過於簡化，它能模擬現實嗎？很快，來自實驗物理的數據點亮了這個模型。科學家們通過對氬和氦的測定，發現這些物質的“臨界指數”和拉斯·昂薩格計算的解完美吻合，這些指數是1/8或者7/4這樣的數字，它描述了相變前，例如像熱容等各種物理量在臨界點附近的變化速度。

一系列不相關的物質，不管是由鐵原子、水分子還是理論模型中虛擬的格點構成，在相變發生時，都有着相同的臨界指數，這就説明伊辛模型具有普適性。

後續科學家繼續持續接力，不斷髮掘着伊辛模型背後的驚人規律。1970年，物理學家亞歷山大·波利亞科夫（Alexander Polyakov）證明了，二維伊辛模型在其臨界點會表現出共形不變性。什麼是共形不變形？你可以這樣理解，不管你如何平移、縮放、旋轉這個系統，整個系統都是不變的。這就意味着在相變發生的時候，不論微觀細節如何變化，系統的全局行為也不會改變。

而這些神奇的特性，在相變點前或者後都是不存在的。

二維伊辛模型相變點附近的典型構型，在相變臨界點，可以觀察到標度不變形(共形對稱性的一個特徵)，Via Douglas Ashton【視頻請前往“返樸”觀看】

在波利亞科夫的開創性工作之後，人們紛紛猜測解決三維伊辛模型的關鍵就是共形不變性，但是，三維伊辛模型的共形不變性至今缺乏嚴格證明。雖然在這條漫長的探索之路上不乏新的進展，例如，2018年，當時年僅33歲的的法國數學家雨果·迪米尼-科潘（Hugo Duminil-Copin）證明了三維伊辛模型存在連續相變，這一進展被授予2022年菲爾茨獎。

“伊辛模型”因其展示了系統中個體狀態與宏觀狀態之間的關係而獲得了巨大的吸引力。實際上，這一模型已經進入到多個自然科學領域的研究中，不再侷限於物理領域，包括了DNA的摺疊、病毒的傳播以及大腦神經細胞的激活與不激活狀態等。這些研究中都存在着有序與無序的相變和臨界現象。

此外，伊辛模型還推動了社會物理學和經濟物理學的發展，因為社會和經濟行為同樣由眾多個體組成，這些個體之間相互影響，並受到宏觀因素的影響。

03

世界是圓的，嗎？

2018年，朱偉加入西湖大學理學院，建立了“強關聯和拓撲理論實驗室”。他本科和博士均畢業於中科大，之後分別在美國加州州立大學北嶺分校、普林斯頓大學、洛斯阿拉莫斯國家實驗室從事博士後研究，主要聚焦強關聯體系中的拓撲有序相、量子糾纏在多體物理中的應用等方向。

在以往的研究中，不論是二維還是三維的伊辛模型，都是在平直空間內建立的。平直空間指的是我們熟悉的歐式幾何中的二維平面和三維空間。有趣的是，儘管已經在平直空間下構建了三維伊辛模型，但目前尚未觀察到該模型具備共形不變性的明確特徵。

也許，平直空間不是構建伊辛模型“最優方法”？那會是什麼？從2019年開始，朱偉就一直在思考這個問題。一個可能的思路是，通過構建一個量子化的伊辛模型，在一個不同於平直時空的數學流形上去研究相變的物理性質。

相變從分類上，大致可以分為經典相變和量子相變。通俗的解釋，經典相變是熱漲落引起的，而量子相變發生在熱力學絕對零度時。雖然絕對零度是無法達到，但隨着温度降低，組成物質的原子或者分子的熱運動被逐漸凍結，量子漲落效應開始佔主導作用，從而誘導一些全新的量子態或者量子臨界現象，這就是量子相變。

在數學上，用於描述量子相變系統內個體的方式不僅僅侷限於粒子自旋只有1和-1兩種狀態，還包括了這些狀態的疊加態。朱偉團隊及其合作者構建了一個三維伊辛模型，旨在模擬量子相變現象，他們在這一工作中融合了傳統伊辛模型的概念，考慮了粒子之間的相互作用以及橫向磁場對系統的影響，同時也採用了獨創性的方法來構建這個模型。

為了避免深入複雜的數學描述和推導，我們僅簡要概述這一理論模型的構建方式：研究團隊將經典的伊辛模型映射到一個二維球面上，並創建了一個（2+1）維時空的量子伊辛模型。

朱偉和合作者在球面幾何上構造的2+1維度的量子伊辛模型

在以往的研究中，伊辛模型的定義一直面臨着需要引入短程截斷的問題，通常需要使用晶格結構來解決。然而，這項研究採用了一種全新的量子化方法，以避免這一問題。具體來説，他們在球心處放置了磁單極，並考慮了帶電粒子在球面上的運動，這個方法被稱為“Fuzzy Sphere”正規化。該方法以一種完全不同但卻更具對稱性的方式定義了一個有限的模型。

最令人驚訝的是，這種正規化的方法在有限系統尺寸下給出了近乎準確的結果。通過與共形場論的理論預言進行比較，發現兩者達成了驚人的一致性。更為重要的是，該工作還獲得了一些共形場論相關的其他數值計算方法暫時未能給出的新結果。這説明了這一理論方法不是簡單地重複或重現一些已知的結果、或對以前方法的簡單補充，而是一種功能強大的、嶄新的方法，可以發現一些尚未知曉的物理信息，並拓展到更多相變普適類的研究中去。

複雜體系中大量自由度的相互作用為我們帶來了豐富多彩的世界。而在紛繁的複雜體系中提煉簡潔、優雅卻又不平凡的規律是人類探索自然的永恆課題。臨界現象及其背後的普適規律正是一個值得深入探索的領域。統計物理模型則是物理學家研究這一領域的關鍵工具。因此，研究統計模型對於推動這一領域的發展具有重要意義。“Fuzzy Sphere”方案正是從一個全新的視角來研究一類重要的統計物理模型，不僅解決了模型中的諸多困難，還為我們深入理解臨界現象打開了一個新的維度。

本文其他參考資料

《100年來的伊辛模型：它的昨天、今天和明天》 量子認知 2020.6.26《伊辛模型百年小史：最經典的複雜系統模型，卻險些被科學界遺忘》返樸 2020.7.25

朱偉

本文轉載自微信公眾號“西湖大學WestlakeUniversity”，原題目為《百年“伊辛模型”新探索丨西湖大學提出研究相變及臨界現象的新方法》，編輯：沈是，校對：徐珊。

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