為什麼要進行傅立葉變換？_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！10-10 10:32
撰文 | Bill Xia
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傅立葉變換的由來
關於傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到相關描述，但大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解。最近，我偶爾從網上看到一個關於數字信號處理的電子書籍，是一個叫Steven W. Smith的外國人寫的，寫得非常淺顯，裏面有七章由淺入深地專門講述關於離散信號的傅立葉變換。
雖然是英文文檔，我還是硬着頭皮看完了有關傅立葉變換的有關內容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享。希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點啓發。這電子書籍是免費的，有興趣的朋友也可以從網上下載下來看一下，URL地址是：
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想着傅立葉變換是怎麼變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。
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傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什麼會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)，Fourier對熱傳遞很感興趣，於1807年在法國科學院展示了一篇論文，運用正弦曲線來描述温度分佈，論文裏有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續週期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這篇論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813） 和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749-1827），當拉普拉斯和其他審查者投票通過並要發表這篇論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間裏，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有稜角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學院屈服於拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作。幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因會被推上斷頭台而一直在逃避。直到拉格朗日死後15年，這篇論文才被發表出來。
誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅立葉是對的。
為什麼我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。
傅立葉變換分類
根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：
• 非週期性連續信號：傅立葉變換 (Fourier Transform)
• 週期性連續信號：傅立葉級數 (Fourier Series)
• 非週期性離散信號：離散時域傅立葉變換 (Discrete Time Fourier Transform)
• 週期性離散信號：離散傅立葉變換 (Discrete Fourier Transform)
下圖是四種原信號圖例：
因為正餘弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非週期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。
還有，也可以把信號用複製的方法進行延伸，這樣信號就變成了週期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這裏我們要學的是離散信號，對於連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。
但是對於非週期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對於計算機來説是不可能實現的。所以對於離散信號的變換隻有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對於計算機來説只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對於其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，後面我們要理解的也正是DFT方法。這裏要理解的是我們使用週期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至於考慮週期性信號是從哪裏得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數和複數兩種方法，對於實數方法是最好理解的，但是複數方法就相對複雜許多了，需要懂得有關複數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解複數傅立葉就更容易了，所以我們先把複數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在後面我們會先講講關於複數的基本理論，然後在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解複數傅立葉變換。
還有，這裏我們所要説的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對於離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散餘弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地説變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
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傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上説也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以説，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅立葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。
在數學領域，儘管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。“任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：
• 傅立葉變換是線性算子，若賦予適當的範數，它還是酉算子；
• 傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；
• 正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解。在線性時不變的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
• 離散形式的傅立葉的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；
• 著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以簡化復變換，利用數字計算機快速算出結果（其算法稱為快速傅立葉變換算法 (FFT)）。
正是由於上述的良好性質，傅立葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。
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圖像傅立葉變換的物理意義
圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。
從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列週期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話説，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分佈函數變換為圖像的頻率分佈函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分佈函數變換為灰度分佈函數。
傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的採樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關係。
為什麼要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分佈圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。
一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分佈，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際圖像一定是尖鋭的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。
對頻譜移頻到原點以後，可以看出圖像的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有週期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。
另外我還想説明以下幾點：
• 圖像經過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分佈在變換系數短陣的中心附近。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn 的原點設在左上角，那麼圖像信號能量將集中在係數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。
• 變換之後的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大説明低頻的能量大（幅角比較大）。
本文節選轉自：
http://ibillxia.github.io/blog/2013/04/04/why-do-Fourier-transformation/，發表時有一定文字修正。
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