曾從技校輟學卻被直聘教授！他開闢了一個全新的數學分支_風聞
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“純數學是由布爾在一部他稱之為思維規律的著作中發現的。”
──伯特蘭·羅素
撰文 | 陳關榮
一、從0和1開始
大家都認同：我們生活在一個信息時代。
但你可能會問，怎樣表達信息呢？
用0和1唄，十七世紀的德國人萊布尼茨早已回答了這個問題。
就用0和1？這麼簡單，你怎麼去計算信息呀？
這容易，十九世紀的英國人布爾笑了：0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1。
好吧，但你怎麼做邏輯運算去處理信息呢？
噢，二十世紀的美國人香農説他有辦法：這邏輯運算嘛，可以用“與”（and）、“或”（or）、“非”（not）三個基本“門電路”，把它們如下對應起來加以執行就可以了：
哇，這些都有了，你馬上明白：只要有“開”（代表1）和“關”（代表0）這兩種基本操作的器件，電腦便能夠表示、存儲、傳輸和計算信息了！
二、布爾的生平故事
科學和技術的發展通常都經過許多人的承傳接力，上面説的信息技術也不例外。不過，我們這裏只講布爾的故事。
喬治·布爾（George Boole，1815年11月2日—1864年12月8日）出生於英格蘭的林肯（Lincoln）鎮，父親約翰是個頗為窮困的鞋匠，但對科學和算術有業餘愛好，母親瑪麗安·喬伊斯是個傭人。布爾有一個妹妹瑪麗安妮和兩個弟弟威廉及查爾斯。
布爾自幼表現出對古典語言的特別興趣，父親便請一位賣書的朋友教了他一點拉丁文。布爾接着自學了一些希臘語，後來還自學了法語、德語和意大利語。布爾14歲時就讀於林肯鎮的一間技校（Bainbridge Commercial Academy），但16歲就因家境困窘而綴學，此後餘生再也沒有機會進入任何學校讀書。他幻想過當一名牧師，但後來父親生意衰落，他作為長子便擔負起了支撐全家生活的責任。他到離家很遠的 Doncaster 鎮找到一份工作，當一名小學助理教師。好處是，他有課餘時間可以自行學習和研究數學。據他自己解釋，當年沒有多少錢買書，而數學書可以慢慢看。據説他星期天做禮拜時還在看數學書，被認為是對神不敬，兩年後就被解僱了。19歲的布爾回到老家林肯鎮，開辦了一間小小寄宿學校，從事初等教育。
在林肯鎮，布爾經常走訪一家機械學院。該學院的院長是愛德華·布羅姆黑德爵士（Sir Edward Bromhead，1789－1855），他曾在劍橋大學學習數學並促成了劍橋本科生的分析學會成立。自從認識了布爾之後，這位熱心的數學爵士就介紹並借給了布爾一些法國著名數學家的著作。林肯鎮 Staint Swithin 教堂的喬治·迪克森（George S. Dickson） 牧師也送給了布爾一本由法國學院數學主席西爾維斯特·拉克魯瓦（Sylvestre F. Lacroix，1765－1843）寫的微積分教科書（Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, 1797）。這個時候，他自學的法語派上了用場。幾年間，布爾廣泛涉獵了牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、泊松等數學家的論文和著作，做了大量的讀書筆記，並寫下了一篇題為“關於變分法的某些定理”（On certain theorems in the calculus of variations）的數學研究草稿。
1839年，24歲的布爾在《劍橋數學雜誌》發表了生平第一篇數學論文“解析變換理論研究”（Researches in the theory of analytical transformations）。該論文頗得雜誌首任主編鄧肯·格雷戈裏（Duncan F. Gregory，1813－1844）賞識，兩人從此結為摯友。之後，布爾先後在該雜誌及其系列《劍橋－都柏林數學雜誌》上發表了22篇論文。其中，布爾1841年發表的論文“Exposition of a general theory of linear transformations”被愛爾蘭數學家喬治·薩爾蒙（George Salmon，1819－1904）認為是關於多項式代數與幾何變換之不變理論的奠基之作，其理論在後來的半個世紀裏由喬治·薩爾蒙、亞瑟·凱萊（Arthur Cayley，1821－1895）和詹姆斯·西爾維斯特（James J. Sylvester，1814－1897）等一批數學家加以完備和發展。
1844年，布爾憑發表在《倫敦皇家學會學刊》的優秀論文“關於分析的一般方法”（On a general method in analysis）榮獲英國皇家學會授予數學金質獎章。該論文提出了符號邏輯概念，發展了滿足微分算子的形式代數規則，並將之應用於微分方程求解以及級數求和的解析表達。皇家學會的獎詞中説：“他的方法可以在科學領域中找到永久立足之地”（“His method would find a permanent place in the science”）。查實這篇得獎文章送審時有一位審稿人明確主張退稿，而另一位審稿人是愛丁堡大學的數學教授菲利普·凱蘭（Philip Kelland，1808－1879）。他慧眼識珠，提交了如下的評語：“我很榮幸皇家學會把這篇論文推薦給我審閲，我也很幸運地立即意識到它的重要性。我建議學會給予它一個認可的記錄。”
1847年，布爾出版了他第一本86頁的小書《邏輯的數學分析》（The Mathematical Analysis of Logic），建立了邏輯和代數的聯繫，並由此引進了符號邏輯代數。在引言中他寫道：“我的目的是建立一種邏輯微積分，並且我可以宣稱，它在公認的數學分析形式中佔有一席之地，儘管它目前作為對象和工具都仍然是孤獨的。”
一年前，即1846年，英國物理學家開爾文（Lord Kelvin William Thomson，1824－1907）已經出面，提名把布爾推薦給愛爾蘭皇后大學科克分校（Ireland Queen’s University Cork）。該提名獲得了德·摩根（Augustus De Morgan，1806－1871）、查爾斯·格雷夫斯（Charles Graves，1812－1899）以及前面提到的亞瑟·凱萊和菲利普·凱蘭等幾位大數學家的鼎力支持。經過歷時三年的遴選過程之後，終於在1849年，34歲沒有學歷的布爾被皇后學院直接聘為教授，成為該校第一位數學教授。當年，數理邏輯學家德·摩根的評語寫道：“我可以自信地説，他不僅精通最高水平的數學，而且具有擴展它們的內在力量，這使得非常受人尊敬的他在今天英國創新者中名列前茅。”數學教授菲利普·凱蘭在推薦信中寫道：“從他觀念的獨創性和知識的廣度及準確性來説，我認為在歐洲很少有人能超越他……”
布爾到皇后學院任教後，進一步整理了他關於邏輯和代數的分析工作。為了確保自己的數學理論能反映人的心理活動規律，他花了大量時間去閲讀心理學文獻，去熟悉哲學家們對邏輯思維的認知和評論。布爾希望他的新代數能夠包含亞里士多德（Aristotle，384－322 BC）對人類推理的見解以及斯多葛哲學派（Stoicism）的命題演算，並試圖遵循德國哲學和數學家萊布尼茨（Gottfried W. Leibniz，1646－1716）的思想，將邏輯化為方程式去求解。布爾強調數學的本質不在於探究數學對象的內容，而在於研究其形式，他並且堅信數學可以用符號來表示。
1851年，布爾被皇后學院任命為科學院長（Dean of Science）。
1854年，布爾自行集資出版了另一本名著《思維規律的研究──邏輯與概率的數學理論基礎》（An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities）。他在序言中寫道：“本書要論述的，是探索心智推理的基本規律，用微積分的符號語言來進行表達，並在此基礎上建立邏輯及其構建方法的科學……”該書進一步完善了第一本書的邏輯代數理論和方法，構建了一個完整的關於0和1的代數系統，並通過用基本邏輯的符號系統來描述多種數學和物理概念。書中，布爾試圖解釋他企圖建立一個新的符號代數和邏輯系統的動機：“儘管不可能建立解決概率論問題的一種普適方法，讓它不僅明確接納科學的特殊數學基礎而且接納作為所有推理基礎的普遍思維規律，但不管它們的本質是什麼，至少能夠讓它們的形式是數學的。”事實上，在這本書裏，布爾首次引入了邏輯推斷的符號表達方法，儘管其原理後來引起過一些爭議。
在這兩部開山之作中，布爾實質上開闢了一個全新的數學分支，即包括“布爾代數”和“布爾邏輯”的現代數理邏輯學。
布爾和英國著名數學家查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage，1791－1871）有過交往。巴貝奇曾在劍橋大學擔任盧卡斯數學講座教授（Lucasian Chair of Mathematics），也就是牛頓、狄拉克和霍金等人擔任過的教席。巴貝奇還是個發明家、機械工程師和經濟學家，他提出了差分機與分析機的設計概念，被視為是計算機科學先驅之一。可是，布爾和巴貝奇的交互時間太短，兩人的思想碰撞沒有擦出火花，錯失了將二進制布爾代數和布爾邏輯的運算結合起來並加以機械化的機會。布爾代數和布爾邏輯後來得到了美國通才科學家、邏輯學家查爾斯·皮爾士（Charles S. Peirce，1839－1914）的賞識，併為之設計了開關邏輯電路。技術發展的歷史不斷延續，這項具有巨大潛力的數字技術的最終成就歸功於美國數學家克勞德·香農（Claude Shannon，1916－2001），他關於數字通訊方法的成功設計使布爾的全部思想得以實現，成為了後來數字電路設計的實踐基礎，也是今天數字信息理論的技術基礎。
今天的數理邏輯和計算機語言（例如 Wolfram 語言）中用到很多布爾代數計算，其中的邏輯運算稱為“布爾運算”，使用的函數稱為“布爾函數”，執行的電路稱為“布爾電路”，其結果稱為“布爾值”，等等。事實上，布爾的名字用作系統功能跟其他名字相比是出現次數最多的。讓“布爾”這個名字流傳最廣的還有“布爾變量”，因為幾乎所有的編程語言都有布爾類型（Boolean）運算。
1850年代後期，布爾的數學研究逐步轉向了比較傳統的微分和積分方程理論。布爾撰寫了兩本數學教科書：《微分方程講義》（Treatiseon Differential Equations，1859）和《有限差分計算講義》（Treatise on the Calculus of Finite Differences，1860），其中他引進了自己的算符演算方法。這兩本書在英國一直被用作大學教材，直到19世紀末為止。
布爾一生髮表了50多篇科學論文，他榮獲愛爾蘭都柏林大學和英國牛津大學榮譽學位，1857年被選為英國皇家學會院士，1858年被選為劍橋哲學學會榮譽會士。他被認為是19世紀最重要的數學家之一。
布爾在愛爾蘭皇后學院任教直至1864年。一天，他從家裏步行去學校上課，路上不期淋了一場暴雨，結果着涼病倒了。他因之犯了急性肺炎，接着又因妻子治療處理不當，於12月8日不幸病逝，時年49歲。他的遺體下葬在科克市的愛爾蘭教堂聖邁克墳場。
愛爾蘭皇后學院於1908年改名為 University College Cork （UCC）。為紀念布爾，UCC 建立了一個“布爾信息研究中心”（The Boole Centre for Research in Informatics）。
三、布爾家庭和家族
認識布爾的人都説他為人嚴謹認真、辦事很有條理。他是個優秀教師、出色演説家和高效管理人，但板書卻以潦草出名。他社交廣泛，寬厚待人，平時不屑爭辯，但又極具正義感，在捍衞個人尊嚴時絕不含糊退讓。
布爾把他所有的時間和精力都放在事業上，工作非常努力，經常熬夜，以至人們不時會看到他若有所思、精神恍惚的樣子。他到1855年40歲時才結婚，妻子 瑪麗·埃佛勒斯（Mary Everest，1832－1916）是同校一位希臘文教授的侄女，也是個自學成才的數學愛好者，特別喜歡代數。她曾經説過：“除了祂創造的代數，我對上帝一無所知，但這已經是讓我全心全意地愛祂的充足理由。”她是個業餘數學科普作家，出版過《代數之哲學與樂趣》（Philosophy and Fun of Algebra）和《把孩子帶進科學》（The Preparation of the Child for Science）等書籍。布爾夫婦育有五個女兒，瑪麗·愛倫（Mary Ellen，1856－1908）、瑪格麗特（Margaret，1858－1935）、艾麗西亞（Alicia，1860－1940）、露西（Lucy，1862－1904）和艾捷爾（Ethel，1864－1960）。這五朵金花，流光溢彩、豐澤葳蕤。
大女兒瑪麗·愛倫嫁給了數學家和作家查理斯·辛頓（Charles Howard Hinton，1853－1907），他的數學研究導致了對四維超正方體（tesseract，他起的名字）的研究，並留下了暢銷科普作品《第四維》（The Fourth Dimension）。辛頓是因為重婚罪被遣離英國的，到了美國先在普林斯頓當講師，但沒被續約，便轉到明尼蘇達州立大學當助理教授，後來在華盛頓海軍天文台擔任國家專利局的化學專利審查員。1907年4月30日，他意外死於腦溢血，時年54歲。次年5月，妻子瑪麗·愛倫在華盛頓自殺（原因不詳），享年52歲。
查理斯·辛頓和瑪麗·愛倫有四個兒子。小兒子塞巴斯蒂安（Sebastian Hinton，1887－1923）有三個子女，其中一個名叫威廉（William H. Hinton，1919－2004），就是大眾熟識的“中國人民的好朋友”韓丁，他1948年創作的關於中國土地改革的長篇紀實文學作品《翻身──中國一個村莊的革命紀實》廣為人知。韓丁的妹妹叫寒春（Joan Hinton，1921－2010），是參加過曼哈頓計劃屈指可數的女物理學家之一，晚年定居中國。她的丈夫是另一位“中國人民的好朋友”、美國養牛專家陽早（Erwin Engst，1918－2003）。寒春2010年在北京去世，温家寶總理為之特別發了唁電。
查理斯·辛頓和瑪麗·愛倫的長子喬治（George Hinton）是個採礦工程師。喬治的兒子霍華德（Howard E. Hinton，1912－1977）是個著名昆蟲學家，1961年當選為英國皇家學會院士。霍華德的兒子傑佛瑞·辛頓（Geoffrey E. Hinton，1947－）是今天人工智能科技領域的翹楚。他在英國出生，1978年在愛丁堡大學獲得人工智能博士學位，後來在加拿大多倫多大學任職計算機科學教授。他1998年當選為皇家學會院士，以其在神經網絡反向傳播算法和對比散度算法的發明聞名於世，被譽為“深度學習之父”，2018年榮獲圖靈獎。
再回來説説布爾的其他四個女兒。
布爾的二女兒瑪格麗特嫁給了藝術家愛德華·泰勒（Edward I. Taylor，1855－1923）。他們的兒子傑弗裏（Geoffrey I. Taylor，1886－1975）是著名物理學家和數學家，在流體力學和固體材料研究方面有重要貢獻，先後獲得重磅的皇家獎章（Royal Medal）、科普利（Copley）獎章、功績勳章（Orderof Merit）、德·摩根（De Morgen）獎章、鐵木辛柯（Timoshenko）獎、富蘭克林（Franklin）獎章和馮·卡門（von Karman）土木獎，是英國皇家學會院士。他二戰時作為十位“VIP List”之一的核心成員參加曼哈頓計劃。
布爾的三女兒艾麗西亞繼承了父親的數學天賦，儘管從未有過學術職位，由於受大姐夫的影響，她對四維幾何深感興趣並獨立鑽研，在該領域有不少成果。她發現了高維空間特別是四維空間中多種凸面實體的數量和形式，還給它們起了一個名字“多面體”（Polytope）。1914年，荷蘭 Groningen 大學授予她榮譽博士學位，以表彰她對四維幾何的突出貢獻。
布爾的四女兒露西是愛爾蘭化學家和藥劑師，曾在倫敦皇家自由醫院任職化學教授，是英國史上第一位研究藥學的女性和第一位女化學教授，也是英國化學學會的第一位女會士。
布爾的小女兒艾捷爾25歲時到俄國一箇舊貴族家庭當音樂教師，期間接觸到俄國革命思潮。返回倫敦後，她曾與恩格斯和俄國革命家普列漢諾夫結識，後來與從西伯利亞逃亡到英國的波蘭革命家伏尼契（Wilfrid M. Voynich，1865－1930）結婚。她酷愛寫作，以實名“艾捷爾·伏尼契”在倫敦出版了文學名著《牛虻》（Gadfly，1897），該書後來在蘇聯和中國產生過巨大的影響。1920年代，夫婦倆移居到了紐約，丈夫成為古董書商，她自己則靠改編音樂、輔導音樂和翻譯作品維生。艾捷爾在紐約安靜地度過了後半生，96歲辭世。後人按遺囑將她的骨灰撒佈在曼哈頓的中央公園裏。
四、布爾與詩歌
歷史上不少數學家都喜歡寫詩，有些甚至被譽為詩人。和布爾同時代的就有知名數學家威廉·哈密頓（William R. Hamilton，1805－1865），他一生寫了124首詩歌，雖然沒有正式出版，卻在學界四處流傳。
布爾也不例外。除了閲讀並學習亞里士多德的形而上學、西塞羅（Marcus Tullius Cicero，106－43BC）的哲學、斯賓諾莎（Baruch Spinoza，1632－1677）的倫理學，布爾還經常品讀古典詩歌、原創十四行詩和其他體裁的作品。據布爾自己説，他最欣賞的詩人是但丁（Dante Alighieri，1265－1321），而且他特別喜歡但丁《神曲》三篇中的《地獄篇》和《天堂篇》。
布爾14歲時在林肯鎮發表了第一首從希臘語翻譯為英語的詩“To The Evening Star”。但這首譯作引來了當地一位古典詩人的公開質疑，説他不相信一個14歲的少年沒有人輔助可以翻譯出這麼高水平的詩歌。該指責最後被證明無效，卻讓當地居民知道了他們當中有一位天才少年。
小布爾翻譯了幾首希臘詩歌之後，又開始翻譯拉丁文詩歌，其中被認為最好的一首是羅馬詩人賀拉斯·弗拉庫斯（Quintus H. Flaccus，65－8BC）的“Non Omnis Moriar”（英文“I Shall Not Wholly Die”）。
接下來，布爾開始自己寫詩了。在1832－1855年間，他寫了許多十四行詩，其中23首保存了下來。特別有趣的是他在1845年5月寫的那首“獻給數字三的十四行詩”（“Sonnet to the Number Three”），詩中他暗喻宇宙是“三合一”的，即是三維的。這也讓我們想起了《道德經》裏的“三生萬物”。後來威廉·哈密頓説，應該還有“時間”這一維。為此，布爾在1848年專門寫了一篇關於“四元數”（quaternion）的論文。
布爾很多詩歌是寫給自己家人和親友的，也有寫給一些科學家和數學家朋友。他寫得更多的是宗教讚美詩和歷史題材詩。他有時候也寫自己的情感和孤獨。1855年結婚後，妻子勸他把時間和精力留給科學研究會更好，他從此就再也沒有寫過詩歌了。
人們注意到，或許是由他的謙虛內向性格所決定，布爾留下的詩歌裏沒有一首是描述自己的科學發現和學術名聲的。這和威廉·哈密頓寫詩自詡的風格迥然不同。
布爾的詩收集在愛爾蘭 UCC 榮休數學教授 Desmond MacHale （1946－）於2020年出版的《喬治·布爾的詩歌》（The Poetry of George Boole）一書中。
本文經授權轉載自微信公眾號“華院計算”，原標題為《布爾和他的邏輯代數，還有詩》。
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