0.999…=1？別懷疑，這裏給出一種簡單的證明_風聞

網絡上流傳很多關於0.999…=1的證明，但有些其實並不是真正的“證明”，比如利用基本的代數法則將有限小數的加法和乘法擴展到無限小數。本文給出一個非常簡單、較為嚴格的證明——僅使用數列和極限中最基本的概念。文章的前半部分都是基礎知識的介紹，這樣即使是從未接觸過數列和極限的朋友，也能輕鬆看懂證明。

撰文 | StephenwithaPhD

編譯 | 小白

校對 | 公理

在這篇文章中，我分享一種關於循環小數0.999...=1的證明。在證明過程中會避免使用一些過於複雜的符號表達，儘量提煉出核心思想，並使用這些想法推導出最終結論。

為實現這一目的，我們使用的技巧和想法只來自實分析的基礎數學知識。特別地，我們第一步需要討論數列和極限的概念。

何為數列

上面所講述的這些足以讓我們瞭解到數列的基本概念並知道了如何表示。做完這些，讓我們一起來討論一下什麼是極限，更確切地説，應該是討論什麼是數列的極限。

什麼是數列極限

通俗點講，數列極限就是指數列越靠後所越接近的那個數。換句話説，它很像是數列末尾最終抵達的值。

筆者：收斂是數列很重要的一條性質。如果一個數列收斂，它收斂到的東西便是它的極限值。一個數列收斂，那它便是收斂數列(convergent)，否則為發散數列(divergent)。

這對於有窮數列是很容易看出的，但對於無窮數列的極限往往沒有那麼容易得出。不過不必擔心，在這篇文章中只會關注一些證明時比較簡單易懂的數列。讓我們來看看下面這個通項公式生成的數列：

現在我們的工具箱裏已經有兩種工具了，在開始證明之前還有最後一個問題要解決：如何判斷兩個數是不同的呢？

這個問題看上去似乎很簡單，但給出一個確切的證明過程而不是用顯然正確來解釋並不容易。不過也確實有不少方法證明它們不同。舉個例子，肉眼觀察就可以得到2 是偶數而1 是奇數這個結論；4 和-4 都是偶數，但一個是正數另一個是負數。還有許多諸如此類的“小技巧”來證明兩個數是不同的。但是上面所列舉的兩種辦法並非在每種條件下都能生效。

有一種方法肯定永遠成立，那就是下面這個幾乎顯而易見的事實。如果兩個數a 和b 相等，那麼a-b=0 。我們現在將利用這一點，以及數列極限的概念來證明0.999…=1。

證明0.999…=1

讓我們從定義如下數列開始吧：

參考來源

[1] https://stephenwithaphd.medium.com/1-0-999-a-formal-proof-kind-of-f8a0f11fd9dc

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence

本文經授權轉載自微信公眾號“科學演繹法”。

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