數學中的一個神話：黃金比例_風聞
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「譯者 | 實驗室的貓」語：黃金比例，這個神秘的詞彙常常被賦予深奧而完美的意義，似乎在藝術、建築和自然界中無處不在。然而，這篇Chris Budd 教授的文章中，他用理性的觀點揭示了這種看似神奇的比例，其實可能並非我們想象中的那樣。
首先，黃金比例在本質上並無特別神奇之處，與我們生活中遇到的其他比例一樣。是的，它在歷史長河中曾被讚譽為藝術和建築的黃金法則，然而，實際證據卻並不完全支持這種説法。帕特農神廟，被人們譽為“黃金比例”的典範，仔細測量卻發現其並無完全符合。音樂大師莫扎特和貝多芬的作品，也並未嚴格遵循黃金比例。
自然界中的黃金比例神蹟也並未得到科學的證實。許多植物的生長模式，並未完全契合黃金比例。牛頓認為太陽系的運轉遵循黃金比例，但現今的模型計算已經否定了這一觀點。
儘管黃金比例並無我們想象中的那般神秘，但也不能否認，它在藝術創作中的應用，確實能帶來一種平衡和美感，觸動人們的審美神經。不過將其神化為一種完美比例，無疑是過度的誇大和神秘化。
撰文 | Chris Budd
翻譯 | 實驗室的貓
我相信，大多數人都聽過數學中一個被讚譽為神奇的數——黃金比例 (或黃金分割比)。
許多文章、書籍、電影和學校課程中都出現了它的身影，這些作品旨在展示數學在現實世界中的重要性。
許多作者（包括《達·芬奇密碼》的作者丹·布朗）將黃金分比例描述為自然界美麗圖案的基石，有時甚至被稱為神聖比例。
有人甚至宣稱在藝術和建築中，諸如帕特農神廟和金字塔等，也都遵循着黃金分割的比例；人體的比例，例如成年人的身高與肚臍高度之比，或者前臂長度與手掌長度之比，也被認為與黃金分割有關。
然而，在我數十載用數學解決現實問題的職業生涯中，僅有兩次遇到過黃金分割比。是的，只有兩次！那麼，關於黃金比例的那些美好傳説，究竟可信度有多高呢？
黃金分割是什麼？
首先讓我們快速回顧一下黃金分割究竟是什麼。它是由古希臘數學家歐幾里得定義的。設想有一條線段，整個線段與較長的那一段之比等於較長的那一段與較短的那一段之比。那麼這個比值應該是多少？
經過一些數學推導，我們算出這個比值應該是：
黃金分割被認為是人體中存在的許多比例的核心。這些比例包括完美面部的形狀，以及肚臍高度與身高的比例。事實上，有人聲稱幾乎所有完美人臉的比例都與黃金分割有關。
然而，這些説法並非正確，甚至可以説是毫無根據。
人體有許多可能的比例，其中很多都在1到2之間。如果您仔細觀察足夠多的比例，最終必然會找到接近黃金分割值（約為1.618）的數字。
這種現象尤其明顯，當所測量的事物沒有特別明確的定義（如上圖所示），而且可以通過改變定義來獲得想要找到的比例。
所有這些都是人類大腦發現偽相關性的例子。事實上，只要有足夠的數據，就有可能找到與幾乎任何假設相符的模式。
一個很好的例子是在晴朗的日子裏走出户外，仔細觀察雲彩，早晚你能發現一朵符合某種新奇模式的雲。
這種現象實際上可能相當危險，當在數據中發現偽相關性來證明某一觀點時。例如，它們可能導致錯誤的指控，甚至錯誤的定罪。
螺旋，黃金矩形與其他
如果你將一條線段分成兩段A和B，使得A/B是黃金分割，然後用A+B和A構成一個矩形，那麼這個矩形被稱為黃金矩形。
我們剛剛構成的黃金矩形包括一個正方形和一個較小的矩形，而這個較小的矩形本身也是一個黃金矩形。這個黃金矩形又包括一個正方形和一個較小的矩形，這個較小的矩形也是一個黃金矩形。如此循環往復。
通過這一系列越來越小的黃金矩形，我們可以構成一個類似螺旋的圖形。只需在黃金矩形中出現的每個正方形內畫一個四分之一圓。
這種類似螺旋的形狀常被認為在自然和藝術領域的許多地方都有出現。例如，鸚鵡螺殼的形狀、星系的形狀、颶風的形狀，甚至是波浪的形狀。
這裏有兩個問題。首先，這個形狀並不是真正的螺旋曲線，而是一系列的圓弧拼接而成。當從一個弧線過渡到另一個弧線時，實際上曲率會突然改變。在自然現象中，不太可能看到這樣的跳躍。
實際上，這個形狀只近似螺旋曲線。它近似的螺旋形式是對數螺旋的一個例子。這種螺旋在自然界中非常常見。它們具有極座標方程：
在探討黃金比例與藝術建築的關係時，就需要謹慎對待了。因為確實有一些藝術家和設計師，如勒·柯布西耶，在他們的藝術作品中刻意運用了黃金比例。
這是因為有人聲稱，黃金矩形在審美上特別悦目，相較於其他矩形，人們會更為欣賞。因此，在藝術作品中使用它們是有道理的。於是，又有人聲稱，幾乎所有的藝術品與建築作品都能找到黃金比例的痕跡。
事實上，黃金矩形極具吸引力的觀點並無充分證據支撐。心理學研究顯示，人們對矩形的喜好範圍相當廣泛，開方比例為二比一的矩形往往更受青睞。試試看，你更偏愛下面哪個矩形？
其中一人就是盧卡·帕西奧利，他在 1509 年寫了《神聖比例》一書。這本書似乎是以黃金比例命名的，但裏面並沒有提出基於黃金比例的美學理論，也沒有主張將其應用於藝術和建築。但在 1799 年，有人將此書與黃金比例聯繫起來，然後把這種無中生有的觀點歸於帕西奧利頭上。
帕西奧利與萊昂納多·達·芬奇關係密切，人們常常聲稱，達·芬奇在其繪畫作品中運用了黃金比例。然而，並無確鑿證據支持這一觀點。最著名的例子莫過於《維特魯威人》，但該作品中的比例並非黃金比例。實際上，達·芬奇在作品中僅提及整數比例。他的畫作中所謂的黃金比例出現的例子，與在自然界中發現黃金比例的道理類似。
而另一個人是 19 世紀的德國心理學家阿道夫·澤辛（Adolf Zeising），他認為黃金分割是一種普遍規律，描述了“自然和藝術領域中的美與完整性，作為一種卓越的精神理想，滲透在宇宙或個體、有機或無機、聲學或光學的所有結構、形式和比例中。” 然而，這不過是一個看似有規律的虛假模式。儘管如此，澤辛的觀點仍影響了許多人，為神話黃金比例奠定了基礎。
其中一則關於黃金分割的神話是，它出現在希臘雅典衞城的帕特農神廟的比例之中。
在希臘學術研究中沒有任何證據支持這一觀點，認為帕特農神廟的比例是由黃金分割給出的觀念僅可以追溯到 19 世紀 50 年代。此外，對帕特農神廟的實際測量並未顯示出特別接近黃金分割的比例，除非你刻意地選擇矩形。
實際上，帕特農神廟的和諧外觀源於巧妙地運用看似平行，實則相交或彎曲的線條，因此幾乎不可能進行足夠精確的測量以得出確切的比例。由於帕特農神廟的比例隨着其高度而變化，因此不可能找到一個與黃金分割相符的總體比例。
同樣的道理也適用於其他希臘建築：沒有任何證據表明希臘人將黃金分割視為美的象徵，以至於要在他們的藝術和建築中特意應用它。
同樣的道理也適用於音樂。有人宣稱黃金分割在音樂創作中至關重要。然而，關於這一點的證據少之又少。
實際上，在音樂創作中，音階才是關鍵，而音階與2的12次方根息息相關。正是這個後者位於音樂的核心，而非黃金分割。
偉大的現實
在正視了這些曾被神話的事實之後，我想強調一下黃金分割本身是多麼驚人——它真的不需要那些虛假的主張來裝扮它的獨特魅力。
首先，讓我們來看看確實與黃金分割有關的自然現象。黃金分割與著名的斐波那契數列有着密切的聯繫。
斐波那契數列確實出現在自然界中，因為它既與人口增長的方式有關，也與形狀的拼接方式有關。
1,1,2,3,5,8,13,21,…
例如，我們可以在向日葵的螺旋中觀察到這個數列，它們必須有序地排列在一起；我們也可以在某些植物的葉子上觀察到，它們排列在一起需要獲得最大的陽光。因此，在某些自然現象中，我們可以觀察到接近黃金分割的比例。
這些現象包括蜂巢中雄蜂與雌蜂的分佈，這與蜜蜂多代繁殖的方式有關。因此，確實可以在花園中觀察到黃金分割，這有非常好的數學原因。
但也許更有趣的是黃金分割具有的許多迷人的數學性質。這裏，我想指出一個特別吸引人且確實使黃金分割區別於其他數字的性質：極端的無理性。
無理數不能用分數表示，就是説它是無限不循環小數。
黃金分割具有驚人的特徵，它是所有無理數中最無理的數。這意味着它不僅無法用分數精確表示，甚至很難用分數來近似表達它。
用分數近似黃金分割的難度之高，使它對研究同步（synchronisation）過程的數學家和科學家們非常有用。同步是指具有固有頻率的系統受到不同頻率的強迫驅動而採用強迫頻率的現象。一個例子是人體與陽光的日常頻率同步。第二個例子是地球的氣候，它根據繞太陽運行的自然週期進行同步。
然而，同步本身可能會產生一個大問題，導致系統出現不必要的共振（例如，如果一個
因此，黃金分割的確在當代很多場合裏扮演了主角，但這並非是你常在黃金比例神話中讀到的那種。這真是太可惜了！黃金分割最有趣的地方在於它不是一個比例，這是一個可愛的悖論。
本文經授權轉載自微信公眾號“科學演繹法”，譯自plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio。
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