受張益唐啓發，17歲少年攻克世界數論難題_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！12-07 18:08
撰文 | 吳朝陽（科普作家，南京大學數學系副教授）
因證明了關於卡邁克爾數分佈的重要結果，時年17歲的丹尼爾•拉森（Daniel Larsen）曾在去年引起一定程度的轟動，並被媒體譽為“天才少年”。2023年10月18日，隨着該論文修改稿在論文預印本網站在線發佈，丹尼爾•拉森再次吸引無數數學愛好者及一些學生家長的目光。
與丹尼爾•拉森一道受到數學愛好者們關注的，還有卡邁克爾數。引人注意的是，丹尼爾•拉森的證明與張益唐關於孿生素數問題的研究存在着相當程度的關聯。本文着重介紹有趣的卡邁克爾數，並簡要講述丹尼爾•拉森這位“天才少年”的成長故事。
“互素”“同餘”與“同餘算術”
要較為完整地瞭解這個故事，我們需要先大致瞭解與此相關的一些基礎數學知識。
首先需要了解的是素數。對於素數，相信大家都已經耳熟能詳，它們就是大於1，但不能分解為兩個大於1的因數之乘積的自然數（為便於閲讀，本文中所有“數”都指自然數）。例如，2，3，5，7，11都是素數。不是素數而又大於1的數被稱為“合數”，例如，6和9都是合數，因為它們分別可以寫成2⤫3和3⤫3。
兩個數如果沒有公因數，或者説它們的“最大公因數”是1，那麼我們就説這兩個數是“互素”的。例如，8和11是互素的，但6和9不是互素的，它們有公因數3。
我們還需要了解的兩個數學術語是“同餘”與同餘算術。簡而言之，“同餘”的意思就是“餘數相同”，具體解釋，就是兩個被除數，對同一個除數的餘數相同——這裏，商是多少我們不關心，我們只關心餘數。例如，以6為除數，被除數14和8的餘數是相同的，所以我們説“14與8對模6是同餘的”。對此，我們記成
14 ≡ 8 mod (6)。
上面這種表達式叫做“同餘式”，其中，mod (6) 意思是式子兩邊的數之公共除數為6，它稱為同餘式的“模”。對同一個模m，如果 a ≡ b mod (m) 與c ≡ d mod (m) 都成立，那麼同餘式
a + c ≡ b + d mod (m)，
a - c ≡ b - d mod (m)，
ac ≡ bd mod (m)
a^k ≡ b^k mod (m)
也都成立。我們來證明其中第三個：
由於c ≡ d mod (m) 的意思是c與d 除以 m 的餘數相同，因此，c - d等於 m 的某個倍數，也就是説，存在整數 k，使得 c – d = mk。於是，
ac – bd = a (km + d) – bd
= akm + ad – bd
= akm + d (a - b)
由已知條件a ≡ b mod (m)，知a - b可以被m整除，因此，ac – bd也可以被m整除，也就是説，ac ≡ bd mod (m)。
以上三個式子表明，同餘式關於加法、減法和乘法都可以像等式那樣“正常運算”。那麼，我們知道“等式可以除以等式”，同餘式是不是可以呢？答案是：不行！具體情況需要具體分析，分析的方法是把同餘式寫成除法關係式，用這些除法關係式來考慮問題。儘管如此，我們還是可以得到兩個簡單的結論：
其一，如果 k與 m是互素的，那麼我們可以由同餘式
ka ≡ kb mod (m)，
得到同餘式
a ≡ b mod (m)。
換句話説，當k與m沒有公因數的時候，我們的確可以將因數k從同餘式兩邊“約去”。
其次，如果k是m的因數，或者等價地説，如果m = kn，那麼，從同餘式ka ≡ kb mod (m) 得到的就是：
a ≡ b mod (n)，
這種情況下的“約分”，就連模m裏面的因數也一起“約去”了。
費馬小定理與卡邁克爾數
談論本文的主題之前，我們還必須介紹著名的“費馬小定理”。這個定理的一種表述方式是：
費馬小定理：如果p是素數，而a是自然數，則 a^p - a可以被p整除，即
a^p – a ≡ 0 mod（p）
成立。
很自然地，好奇的人們會考慮與這個定理相關的命題，其中，重要的命題有如下兩個：
命題1：若n使得同餘式
2^n – 2 ≡ 0 mod（n）
則n必為素數。
命題2 (費馬小定理的逆命題)：若n使得同餘式
a^n – a ≡ 0 mod（n）
在此有一段小插曲。清朝同治、光緒年間，英國曾派駐中國一位外交官叫威妥瑪（Thomas Wade，1818-1895）。在漢語拼音正式出台之前，他發明的“威妥瑪拼音”是影響最大的漢語拼音方案。有意思的是，威妥瑪誤聽人言，向歐洲傳回了一條錯誤的信息。他説，早在孔子的年代，中國人就已經有如下關於素數的“定理”：
中國假設：若n為素數，則同餘式
2^n – 2 ≡ 0 mod（n）
成立。反之，若n使上述同餘式成立，則n必為素數。
顯而易見，中國假設的前半是費馬小定理的推論，後半則是前述命題1。1898年，詹斯（James Jeans，1877-1946）指出：前述命題1是錯誤的，最小的反例是341。他指出，341 = 11⤫31，是一個合數，但是，
2^5 = 32 ≡ 1 mod（31），
2^5 = 32 ≡ -1 mod（11），
所以，
2^340 = (2^5)^68≡ 1^68 ≡ 1 mod（31），
2^340=(2^5)^68≡ (-1)^68 ≡ 1 mod（11），
因此，
2^340 ≡ 1 mod（31⤫11），
2^341 ≡ 2 mod（31⤫11），
這就是説，
2^341- 2 ≡ 0 mod（341），
1899年，在引述詹斯的結果之後，科塞爾特（Alwin Korselt，1864-1947）進一步考慮了前述命題2，給出瞭如下“科塞爾特准則”。
科塞爾特准則：自然數n使得同餘式
a^n – a ≡ 0 mod（n）
對所有自然數a都成立，當且僅當n沒有平方因子，且對n的所有素因子p，都有
n–1 ≡ 0 mod（p-1）。
在費馬小定理的視角之下，滿足科塞爾特准則的合數與素數非常相似，因此它們被稱為“費馬偽素數”。1910年，卡邁克爾（Robert Carmichael,1879-1967）開創性地應用歐拉φ-函數研究這種偽素數，證明它們至少擁有三個素因數，並給出了3⤫11⤫17，5⤫13⤫17，7⤫13⤫31，7⤫31⤫73等具體的三個素因數的費馬偽素數。出於對其開拓性研究的尊重，數學界從此將費馬偽素數稱為“卡邁克爾數”。
1939年，切爾尼克（Jack Chernick，1911-1971）深入研究具有三個、四個或更多素因數的卡邁克爾數的乘積表達式，得到了多個重要的結果。對於三個素因數的卡邁克爾數，切爾尼克證明它們具有如下形式：
可用於搜索卡邁克爾數的三因數乘積式有很多，常見的還有：
難題：證明卡邁克爾數的伯納德-切比雪夫定理
從切爾尼克的研究可以看到，對於同一個d，很多卡邁克爾數都是一組形如kd+1的素數的乘積。
數論界把小於x的素數的個數記為π(x)，稱之為素數計數函數，並且很早就得到如下重要結果：
π(x) ～ x / ln(x)
當d與a互素時，所有形如kd+a的自然數構成等差數列，將其中小於x的素數的個數表示為π(x; d, a)，則π(x,d, a)有與π(x)相關的公式：
π(x; d, a) ～ π(x) / φ(d)
其中，φ(d)是歐拉φ-函數，即不超過d且與d互素的自然數的個數。
很顯然，小於x而形如kd+1的素數越多，等於其中若干素數乘積的卡邁克爾數存在的可能性就越大。上述素數計數公式給出一個強烈的暗示：存在很多這種形式的卡邁克爾數。
研究卡邁克爾數的人都知道，科塞爾特准則有一個重要但容易證明的推論：
假設S是一個由若干奇素數組成的集合，L 等於集合{ p-1 | p∈S } 中所有數的最小公倍數。如果Q是S的子集，c等於Q中所有素數的乘積，並且c ≡ 1 (mod L)，則c是一個卡邁克爾數。
如果一個數的所有素因數都很小，那麼它就是拉馬努金所説的“高度合數”。當L是一個高度合數時，檢驗同餘式c ≡ 1 (mod L)是否成立的工作就相對容易。1992年，四川大學的張明志將L取為高度合數，從上述推論出發，給出了一個搜索巨大卡邁克爾數的新方法。
受張明志的啓發，應用前述關於形如kd+1的素數的計數公式，阿爾福德（William R. Alford，1926 - 2022）、格蘭維爾（Andrew Granville）和波默蘭斯（Carl Pomerance）在1994年證明，對於充分大的高度合數L，存在自然數d，使得許多組形如kd+1的素數的乘積關於模L的餘數都等於1，進而證明存在無窮多個卡邁克爾數。
應用前人關於從x^（1-E）到x之間素數個數的計數結果，阿爾福德等人證明，對於充分大的x，不超過x的卡邁克爾數至少有x^（1/3）個。
關於素數的分佈規律，敍述最為簡潔的是著名的伯納德-切比雪夫定理：對任何大於2的自然數n，在n和2n之間存在至少一個素數。
阿爾福德等人的方法給出了（當x充分大時）區間[1，x]內卡邁克爾數個數的一個下限，卻無法證明這個區間的後半——即[x/2，x]——卡邁克爾數的存在性。這個後一半區間卡邁克爾數的存在性就是卡邁克爾數的伯納德-切比雪夫定理。阿爾福德等人斷定，證明卡邁克爾數的伯納德-切比雪夫定理將是一項極其艱難的任務。沿着阿爾福德等人的思路，僅考慮形如kd+1的素數時無法證明卡邁克爾數的伯納德-切比雪夫定理。
丹尼爾•拉森的研究
直到此時，才輪到我們的主人公出場。
丹尼爾•拉森提出一個大膽的設想：同時考慮形如kd+1和kd’+1的素數組合，或許可以證明[x/2，x]內卡邁克爾數的存在性。幸運的是，梅納德（James Maynard）在改善張益唐關於孿生素數的結論時提出了創新性的辦法，證明了對於不小於246的h，間隔為h的“素數對”x與x+h的分佈規律。丹尼爾•拉森讀懂了梅納德的論文，將梅納德的方法創造性地用於形如kd+1和kd’+1的素數組合，證明了對於差距不大的d和d’，kd+1和kd’+1同為素數的頻率的一個下限。
因為形如kd+1和kd’+1的“素數對”的大量存在，丹尼爾•拉森得以使用修正的阿爾福德等人的方法，證明如下突破性結果：
任何正小數δ，以及依賴於δ的充分大的自然數n，在n與
如果覺得上述結果過於複雜，我們可以歸納出一個弱化但簡單易記的結果：
當n > 3300時，n與2n之間總是存在卡邁克爾數。而且n趨於無窮大時，n與2n之間卡邁克爾數的個數也趨於無窮大。
讀者自行對比即可看出，這一描述也就是在限定條件（n > 3300）下的卡邁克爾數的伯納德-切比雪夫定理。
我們看到，對所謂“中國假設”的否定性研究催生了科塞爾特准則；張明志對高度合數的使用啓發了阿爾福德等人，成為他們證明卡邁克爾數個數的無窮性的起點；而張益唐的研究點燃了拉森研習數學的熱情，梅納德對張益唐證明方法的改進則成為拉森突破性研究的關鍵。在卡邁克爾數研究的幾個主要節點上都有中國人的蹤跡，這不能不説是一個頗有趣味的巧合。
丹尼爾•拉森的父親邁克爾•拉森（Michael Larsen）和母親阿耶萊特•林登斯特勞斯（Ayelet Lindenstrauss）都是印第安納大學的數學教授，家裏濃厚的數學氛圍對他產生了極為深刻的影響。
2013年開始，張益唐關於孿生素數問題的突破性進展成為其父母談論的話題，這引起童年丹尼爾•拉森的強烈興趣，他決心瞭解這個讓父母佩服不已的數學成就，並擇機開始自己的數學研究。從高一年級起，丹尼爾•拉森就開始嘗試研讀張益唐、梅納德和陶喆軒等前沿數學家有關孿生素數問題的論文。儘管這些論文對於中學生來説過於艱深，但丹尼爾•拉森性格堅韌，從不輕言放棄。在幾個月的摸索之後，他實事求是地將研究方向確定為看似相對容易而又與上述幾位數學家的工作頗有關聯的問題——卡邁克爾數的分佈問題，並在17歲時證明了前述關於卡邁克爾數分佈的突破性結果，成為轟動一時的“天才少年”。
如果説丹尼爾•拉森的故事有什麼啓發意義，我們大概可以説：優越的家庭教育環境、良好的天分和不懈的努力，都是造就“天才少年”的關鍵因素。
參考文獻
[1] Korselt, A. “Problème chinois”, L’Intermédiaire des Mathématiciens, 6 (1899): 142–143.
[2] R. D. Carmichael, “Note on a new number theory function”, Bull. Amer. Math. Soc., Vol.16 No. 5, February, (1910): 232 - 238
[3] Chernick, J. “On Fermat’s simple theorem”, Bull. Amer. Math. Soc. 45,no. 4 (1939): 269–274.
[4] 張明志, “探求大Carmichael 數的一種方法”, 四川大學學報(自然科學版), Vol 29 No. 4, (1992): 472 - 479.
[5] Alford, W. R., Granville, A., and Pomerance, C., “There are infinitely many Carmichael numbers” Ann. of Math. 140 (1994): 703–722.
[6] Zhang, Y. “Bounded gaps between primes”, Ann. of Math. 179 (2014): 1121–1174.
[7] Maynard, J. “Small gaps between primes”, Ann. of Math. 181 (2015): 383–413.
[8] Daniel Larsen, “Bertrand’s Postulate for Carmichael Numbers”, Int. Math. Res. Not. (2023), No. 15, 13072-13098
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出品：中國科協科普部
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