“氫彈之父”烏拉姆：我的朋友馮·諾伊曼（上）_風聞
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2023年12月28日是匈牙利裔數學家、物理學家、計算機科學家、工程師約翰·馮·諾伊曼120週年誕辰。他的傳奇一生做過太多貢獻，甚至只把他的重要工作羅列並簡要解釋都是一般專業人士力所不及的。在馮·諾伊曼去世時，《美國數學學會公報》（Bulletin of the American Mathematical Society）推出了一期紀念專輯，其中著名數學家、“氫彈之父”烏拉姆撰寫了長篇文章，按時間順序介紹馮·諾伊曼生平和工作。我們將其全文翻譯（分兩篇推送），或許從烏拉姆的講述中我們可以瞭解到馮·諾伊曼為何能做出如此之多貢獻的原因。謹以此文以紀念這位偉大的全才型學者。
撰文 | 斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanisław Ulam）
翻譯 | 圓圓
簡要生平
約翰·馮·諾伊曼（暱稱“約翰尼”，在美國家喻户曉）於1903年12月28日出生在匈牙利布達佩斯（當時是奧匈帝國的一部分），是家裏三個男孩中的老大。他的家庭很富裕；他的父親馬克斯·馮·諾伊曼（Max von Neumann）是一位銀行家。約翰尼很小的時候就接受了私人教育。在1914年，第一次世界大戰爆發時，他才十歲，進入路德教會中學。
在第一次世界大戰前後的二十年裏，布達佩斯被證明是孕育科學人才的超級沃土。為何這裏能催生出如此眾多的傑出人才，這要留給科學史家去發現和解釋了（他們的名字在當今的數學和物理學年鑑上比比皆是；編者注：參見《這個不起眼的小國，走出了科學史上最傑出的一羣人》）。約翰尼可能是這羣科學家中最耀眼的明星。當被問及是什麼導致了這種統計學上不太可能出現的現象時，他會説，這是一些他無法精確解釋的文化因素的巧合：中歐地區整個社會所承受的外部壓力，個人潛意識中的極度不安全感，以及必須產生不尋常的東西，否則會面臨滅亡的必要性。第一次世界大戰打破了原有的經濟和社會模式。布達佩斯，曾經是奧匈帝國的第二首都，現在是一個小國的主要城市。對許多科學家來説，他們不得不移民，到其他不那麼受限制和偏遠的地方謀生。
據他的同學費爾納（Fellner）説1，約翰尼與眾不同的能力引起了一位早期教師拉斯洛·拉茲（László Rátz）的注意。他向約翰尼的父親表示，在學校按傳統的方式教約翰尼數學是毫無意義的，他應該接受數學私人輔導。於是，在庫爾沙克（József Kürschak）教授的指導下，由當時還是布達佩斯大學助教的費柯特（Michael Fekete）進行輔導，約翰尼學習了各種數學問題。
在1921年通過“matura”考試時（譯者注：歐洲許多國家的中學畢業考試，並以此獲大學入學資格），約翰尼已經是公認的專業數學家了。他的第一篇論文是與費柯特合作的，完成時還不到18歲。在接下來的四年裏，約翰尼註冊為布達佩斯大學數學專業學生，但大部分時間他是在瑞士的蘇黎世聯邦理工學院和柏林度過的，並在蘇黎世聯邦理工學院獲得了“化學工程師”（Diplomingenieur in Chemie）的本科學位。
在每學期末尾，他要為了通過課程考試回到布達佩斯大學 (不參加聽課，這樣做多少有點不合規則)。他在布達佩斯獲得數學博士學位的同時，也在蘇黎世獲得了化學學位。在蘇黎世期間，他把大量業餘時間花在數學問題上，寫文章並和數學家們通信。當時外爾（Hermann Weyl）和波利亞（George Pólya）都在蘇黎世，約翰尼與他們有過聯繫。有一次，外爾短暫離開蘇黎世，在此期間，約翰尼替他上課。
值得注意的是，總的來説，少年天才做出原創數學工作在歐洲並不少見。與美國相比，在專業教育方面似乎至少有兩三年的差距，這可能是由於美國在高中和大學之間實行了更密集的教育體系（預科）。然而，即使在神童中，約翰尼也是出類拔萃的。他在學生時代就開始了自己的原創性工作。1927年，他成為柏林大學的私俸講師（Privatdozent），以此身份工作了近3年。在那段時間裏，由於在集合論、代數和量子理論方面發表的論文，全世界的數學家都知道了他。我記得在1927年，當他來到利沃夫（Lwów，當時屬於波蘭）參加一個數學家大會時，他在數學基礎和集合論方面的工作已經很有名氣了。我們這羣學生把他的成果當作年輕天才工作的範例。
1929年，他來到漢堡大學，還是做私俸講師。1930年，他第一次來到美國，在普林斯頓大學任客座講師。我記得約翰尼告訴我，即使德國大學現有和未來的空缺職位寥寥無幾，但還有四十或六十個講師都渴望能在不久的將來當上教授。約翰尼用他典型的理性方法計算了“三年內”預期的教授任命數量是3，而（候選）講師有40個！他還感到即將到來的政治事件將使智力工作變得非常困難。
1930年，他接受了普林斯頓大學的客座教授職位，在一學年的部分時間裏講學，然後在夏天回到歐洲。他於1931年成為普林斯頓大學的常任教授。1933年，他被邀請作為教授加入普林斯頓高等研究院（IAS），是研究院最年輕的終身成員。
約翰尼於1930年與瑪麗埃塔·科維西（Marietta Kovesi）結婚。他們的女兒馬瑞娜（Marina）1935年出生於普林斯頓。在研究院成立的最初幾年裏，來自歐洲的訪問學者會發現這裏極為隨意，但科學氛圍異常濃厚。研究院的教授們的辦公室設在Fine Hall（普林斯頓大學的一部分），研究院和學校的各個院系中名人云集，無論在何時，這裏都很可能是數學和物理領域人才最集中的地方之一。
應約翰尼的邀請，我在1935年底第一次來到美國。維布倫教授（Oswald Veblen）和他的妻子安排了令人愉快的社交活動，我發現馮·諾伊曼【和亞歷山大（James Waddell Alexander）】的房子幾乎成了各種聚會的根據地。那是經濟蕭條的年代，但是研究院設法讓相當數量的本地和來訪數學家過上相對無憂無慮的生活。
約翰尼的第一次婚姻以離婚告終。1938年夏天，他在布達佩斯的旅行中再婚，並把第二任妻子克拉拉·丹（Klára Dan）帶回了普林斯頓。他的家仍然是科學家們聚會的地方。他的朋友們都會記得他盛情款待，以及那裏充滿智慧與風趣的氛圍。克拉拉後來成為第一批為電子計算機編寫數學問題的程序員之一，這門藝術的一些早期技巧正是她創造的。
隨着歐洲戰爭的開始，約翰尼在研究所以外的活動開始成倍增加。本文末尾列出了他的職位、組織成員資格等（編者注：將於下篇推出），僅僅從這個列表就可以讓我們瞭解約翰尼為政府內外的各種科學項目所做的大量工作。
1954年10月，他被總統任命為美國原子能委員會成員。他請假離開了普林斯頓大學，並終止了除洲際彈道導彈委員會（ICBM Committee）主席之外的所有職務。（原子能）委員會主席，也是約翰尼多年的朋友，海軍上將施特勞斯（Lewis Strauss）發現委員會有空缺後立即建議提名約翰尼。關於約翰尼在委員會的短暫服役，他寫道：
“在他獲得任命之日到1955年深秋之間的這段時間裏，約翰尼發揮了巨大的作用。他擁有極其寶貴的能力，能夠把最困難的問題拆分成幾個部分，於是一切變得非常簡單。而所有人都在想為什麼我們不能像他那樣清楚地看到答案。通過這種方式，他極大地促進了原子能委員會的工作。”
約翰尼的健康狀況一直很好，但從1954年開始他看起來非常疲憊。1955年夏天，他通過X射線檢查發現了致命疾病的最初跡象。一場漫長而殘酷的疾病逐漸結束了他所有的活動。最後他在華盛頓的沃爾特·裏德醫院去世，享年53歲。
朋友心中的馮·諾伊曼
在約翰尼朋友的記憶中，他總是以特有的姿勢站在黑板前或在家裏討論問題。不知何故，他的手勢、微笑和目光所觸總是能反映其思想，或者所討論問題的本質。他中等身材，年輕時相當苗條，後來變得越來越胖了；他走路時步幅很小，速度從來都不是很快，但加速度卻相當隨機。每當一個問題表現出邏輯或數學悖論的特徵時，他的臉上就會閃過微笑。除了喜好抽象的智慧，他還非常欣賞（甚至可以説是飢渴）更接地氣的喜劇和幽默。
他的頭腦似乎彙集了多種能力，它們即使不是相互矛盾的，可能至少是獨立的——每種能力都需要強大的專注力和記憶力，以至於極少出現在同一個人身上。這些能力是：集合論方式的，形式上基於代數形式的數學思想的感覺；對古典數學分析和幾何方面本質內容的認識和理解；以及對現代數學方法在理論物理現有問題和新問題方面的潛在應用的敏鋭感知。所有這一切都可以通過他傑出的原創性工作得到具體的證明，這些成就涵蓋了當代科學思想非常廣泛的領域。
他與朋友們就科學問題的對話可能持續數小時，他從來都不缺話題，即使不是數學主題。
約翰尼對人有濃厚的興趣，喜歡八卦。人們常常會覺得，他正憑自己的記憶收集人類的各種特性，彷彿在準備一項統計研究。他也關注時間流逝帶來的變化。他年輕時曾多次向我提到，他認為在大約26歲之後，創造性的數學能力會下降，但因經驗積累而發展出的某種更平淡無奇的閲歷和機智能夠彌補這種逐漸喪失的能力，至少在一段時間內是如此。後來，他把這一限制年齡逐漸提高了。
他偶爾會在談話中對其他科學家進行評價，總的來説，他的看法相當寬容，但也經常明褒暗貶。其實他表達的判斷非常謹慎，他不願意對其他人發表任何最終意見：“讓拉達曼迪斯（Rhadamanthys）和米諾斯（Minos；譯者注：他們是希臘神話中冥界的審判官）……判斷……”有一次他被問及此事，他説他認為埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）和外爾是對他影響很大的數學家，特別是在他早期工作的技術方面。
約翰尼被許多人視為優秀的委員會主席（這是一項特殊的現代活動）。他會極力強調自己的技術觀點，而在個人或組織事務上很容易順從。
儘管他擁有強大的能力，也對這些能力有充分意識，但他缺乏一定的自信。約翰尼非常欽佩幾位數學家和物理學家，認為他們擁有自己無法達到的最高程度的品質。我認為令他有這種感覺的品質是，對新真理的直覺，一種相對簡單的思維能力；或者是一種天賦——對新定理的陳述或證明的看似不合理的洞察。
他非常清楚，數學工作的價值標準在某種程度上是純粹審美的。他曾表達過這樣的擔憂：在我們現在的文明中，抽象的科學成就的價值可能會減弱，“人類的利益可能會改變，目前對科學的好奇可能會停止，未來人類的思維可能會完全不同。”有一次談話的中心是不斷加速的技術進步和人類生活方式的變化，這讓人覺得我們似乎正在接近一些人類歷史的基本奇點，超過了奇點，我們所知道的人類事務就無法繼續下去。
約翰尼的朋友們喜歡他絕妙的幽默感。在科學同行中，他可以用數學家的表達方式，對歷史或社會現象做出具有啓發性（通常是諷刺性）的評論，表現出只有在空集中命題才正確的那種內在幽默。這些通常只有數學家才能欣賞。當然，他並不認為數學是神聖不可侵犯的。我記得在洛斯阿拉莫斯的一次關於物理問題的討論，其中數學論證使用了遍歷變換（ergodic transformations）和不動點（fixed point）的存在。他突然笑着説：“現代數學終究可以應用！我們不清楚它是先驗的，對吧，但它可能會是……”
他在科學之外的主要興趣是研究歷史，他對古代歷史的瞭解令人難以置信地詳細。例如，他能記住吉本（Edward Gibbon）的《羅馬帝國衰亡史》（The History of the Decline and Fall of the Roman Empire）中的所有軼事，並喜歡在晚飯後參與歷史討論。在一次南下去杜克大學參加美國數學學會（American Mathematical Society，AMS）的會議的旅行中，途徑南北戰爭的戰場附近，他對戰鬥裏最細枝末節的故事的熟悉程度讓我們感到震驚。這種百科全書式的知識通過某種“解析延拓”，塑造了他對未來事件進程的看法。我可以作證，在對導致第二次世界大戰的政治事件和戰爭期間軍事事件的預測中，他的大多數猜測都出奇的正確。然而在大戰結束後，他認為極有可能會立即發生災難，幸運的是，他的擔憂被證明是錯誤的。也許有一種傾向，他對歷史事件採取過於純粹的理性觀點，而這種傾向可能是由於過度形式化的博弈論方法造成的。
在其他成就中，約翰尼還是一位出色的語言學家。他非常清楚地記得他在學校學習的拉丁語和希臘語。除英語外，他還能説流利的德語和法語。他在美國的演講以其文學性而聞名（只有個別他的朋友們喜聞樂見的標誌性錯誤發音，例如“integhers”；譯者注：整數應為“integers”）。在他頻繁來往於洛斯阿拉莫斯和聖達菲（新墨西哥州）期間，他對西班牙語的瞭解不太完美，在墨西哥旅行中，他試圖通過使用“新-卡斯蒂利亞語”來表達自己的意思，這是他自己創造的語言——把英語單詞帶上“el”前綴和適當的西班牙語結尾。
戰前，約翰尼會在歐洲度過暑假並做一些講座（1935年在劍橋大學，1936年在巴黎的亨利·龐加萊研究所）。他經常提到，由於緊張的政治氣氛，他發現在那裏做科學工作幾乎是不可能的。而戰後，他只在迫不得已的情況下才出國旅行。
自從來到美國，他就對這裏的機會表示讚賞，並對這裏的科學工作的未來寄予厚望。
馮·諾伊曼的偉大成就
我們按時間順序回顧馮·諾伊曼的興趣和成就，很大程度上這也是回顧過去30年整個科學的發展。在他年輕時的工作中，他不僅關注數理邏輯和公理集合論，而且同時關注集合論本身的實質，並在測度理論和實數理論中獲得了有趣的結果。
正是在這個時期，他也開始了自己在量子理論方面的代表性工作，即關於量子力學中的測量以及新統計力學的數學基礎。他對希爾伯特空間上的算子的深入研究也可以追溯到這一時期。他的研究遠遠超出了物理理論的直接需求，例如他開創了具有獨立數學意義的算子環（譯者注：即馮·諾伊曼代數）的詳細研究；關於連續幾何的研究也是在這個時期開始的。
馮·諾伊曼對其他數學家獲得的結果及其藴含的潛力的認識是驚人的。在其早期的工作中，博雷爾（Émile Borel）關於極大極小性質的論文啓發馮·諾伊曼寫出論文《社交遊戲理論》（Zur Theorie der Gesellschaft-Spiele）2[17]，這些想法後來在他最具原創性的傑作之一——博弈論中達到頂峯。庫普曼（Bernard Koopman）關於通過函數空間上的算子處理經典力學問題的可能性的想法，啓發他給出數學上遍歷定理的第一個嚴格證明。哈爾（Alfréd Haar）對羣中測度的建構，為他巧妙地部分解決希爾伯特第五問題提供了靈感，他證明了在緊羣中引入解析參數的可能性。
在20世紀30年代中期，約翰尼對流體動力學（hydrodynamics）中的湍流問題着迷，他意識到了非線性偏微分方程背後的奧秘。從第二次世界大戰開始，他的工作就涉及對流體動力學方程和衝擊理論的研究。這些非線性方程所描述的現象無法解析求解，甚至目前的方法連定性理解都不可能。在他看來，數值計算似乎是理解這類系統行為最有希望的方法。這促使他從一開始就研究了在“電子機器”上進行計算的新可能性。他開始研究計算理論，並着手自動機（automata）理論的工作，此理論至今仍在發展。正是在這些研究中，他對神經系統的工作原理和生物體的系統化特性產生了濃厚興趣，併為此付出了許多精力。
這趟穿越數學科學眾多領域的旅程並不是躁動不安的結果。這既不是對新穎性的追求，也不是對將一小部分通用方法應用於許多不同特殊情況的願望。與理論物理不同，數學並不侷限於幾個核心問題。馮·諾伊曼認為，對統一的追求，如果建立在純粹的形式基礎上，那註定要失敗。這種廣泛的好奇心以一些元數學（metamathematical）動機為基礎，並受到物理現實世界的強烈影響——那些物理現象可能在未來很長一段時間內都無法形式化。（編者注：可參見《楊振寧點評物理學的公理化》。）
數學家在開始創造性的工作時，經常面臨兩種相互矛盾的動機：第一種是為現有的大廈添磚加瓦——人們可以通過解決已有問題而迅速獲得認可；第二種是開闢新道路的願望，融合已有認知從而創造出新的領域。後一種做法是一項風險更大的事業，對其價值或成功與否的最終判斷只會在未來出現。在早期的工作中，約翰尼選擇的是第一種。而到了晚年，他對自己感到足夠自信，這才自由地但也是煞費苦心地創建一門可能的新數學學科——自動機和生物體的組合理論。（編者注：可參見《圖靈和馮·諾伊曼的遺產：生命計算機的架構》）但疾病和早逝讓他只開了一個頭。
在他對（數學）適用性的不斷探索，以及對於所有精準科學尋求一般數學的本能中，他會讓人想到歐拉、龐加萊，或者是更近代的，也許是赫爾曼·外爾。人們應該記住，當代問題的多樣性和複雜性大大超過了前兩人所面臨的情況。約翰尼在他最後的一篇文章遺憾地指出，現在可能沒有任何一個大腦能學會純數學領域三分之一以上的知識。
早期工作：集合論與代數
馮·諾伊曼的第一篇論文與費柯特合作，處理某些極小多項式的零點。這是關於切比雪夫多項式根的位置的費耶爾定理的推廣，文章完成於1922年，發表時馮·諾伊曼還不到18歲。
另一部青少年時期的作品是關於一致稠密數列的論文（用匈牙利語寫作，而摘要是德語），文章證明了將一個稠密列重新排序可以得到一個一致稠密的序列。這項工作還沒有顯露其數學構想未來會有的深度，也不存在技術上的困難，但是該論文主題的選擇和證明中技巧的簡潔性預示着，他未來的研究將包含集合論直覺與代數技巧的結合。
一大批年輕數學家對集合論的重視，是那個時代的顯著特點。喬治·康托爾（George Cantor）的偉大思想通過偉大的法國人貝爾（René-Louis Baire）、博雷爾、勒貝格（Henri Lebesgue）和其他人的工作，最終在實變函數理論、拓撲學和後來的分析學中得到了體現。在世紀之交，這些內容還不是年輕數學家基本直覺的一部分。而在第一次世界大戰結束後，人們注意到這些思想對新一代數學家來説，算是成為本能了。
關於超限序數的論文[2]3已經展示了馮·諾伊曼用代數處理集合論的獨特方式和風格。文章第一句話就坦率地説：“這項工作的目的是具體而準確地闡述康托爾的序數的概念。”正如其序言所述，康托爾本人此前有些模糊的表述可被策梅洛公理系統中給出的定義所取代。此外，他還概述了通過超限歸納進行定義的嚴格基礎。論文引言強調了嚴格的形式主義方法，馮·諾伊曼甚至有些自豪地指出，符號….【用於表示等等（et cetera）】和類似的表達此前從未有過。這種對序數的處理方式——後來庫拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）也考慮過——是至今介紹這一思想的最好方式，對抽象集合論中的“構造”非常重要。依照馮·諾伊曼的定義，每個序數都是所有比其小的序數的集合，這就使序數的理論變得非常優雅，並且可以避免序型（ordertype）的概念，而序型在某種程度上是模糊的，因為公理集合論中與某給定序同構的所有序集並不構成一個集合（並不存在）。
關於理想代數數的普呂弗理論（Priifer’s theory）的論文[5]4暗示了他未來研究興趣的廣度。此文涉及集合論問題以及相對素理想分支的枚舉問題。普呂弗（Heinz Prüfer）將理想數作為“無限生成的同餘關係的理想解”引入。馮·諾伊曼在這篇文章中所用的技術，類似於庫爾沙克（Kürschak）和鮑爾（Mihály Bauer）關於亨塞爾p-進數（Hensel’s p-adic numbers）的工作。在這裏，他再次展示了將有窮代數上的構造推廣到無窮領域（無窮可數與連續統情形）這一方法的有效性——這在接下來幾十年裏的數學研究中變得非常普遍。另一個表明他對代數感興趣的跡象是一篇關於閔可夫斯基線性泛函理論的簡短註釋[39]5。
馮·諾伊曼早期的大部分工作都能表現出他的公理化願景，從某種意義上説，他的想法比20世紀初邏輯學家最初設想的更形式化、更精確。從1925年到1929年左右，馮·諾伊曼的大多數論文都試圖傳播公理化精神，甚至對於物理理論也是如此。他不滿足於現有的表述，即使是集合論本身，他在關於集合論公理化的論文[3]6的第一句話再次坦率地指出7：“本工作的目的是對集合論進行邏輯上無可爭議的公理化處理”；下一句話是這樣寫道：“我首先講一些公理化的困難，而這將使本文變得有價值。”
這篇1925年論文的最後一句話最有趣。馮·諾伊曼指出了任何公理系統形式化的侷限性。這裏也許是對哥德爾（Kurt Gödel）關於形式系統中存在不可判定命題的一個模糊預測。最後一句話是：“就目前而言，我們能做的莫過於聲明這裏存在對集合論本身的反對意見，而且現在還沒有辦法避免這些困難。【也許在這裏我們會想到一個完全不同的科學領域的類似説法：泡利（Wolfgang Pauli）在《物理學手冊》（Handbuch der Physik；譯者注：介紹理論和實驗物理學的“百科全書”，有數十卷）的文章中對相對論性量子理論現狀的評價，無窮大和發散在場論中仍然起着神秘的作用。】
他在該主題上的第二篇論文[18]8的標題是“集合論的公理化”（Die Axiomatisierung der Mengenlehre，這篇論文在1925年的標題是“集合論的一種公理化”）。
公理系統的簡潔性令人驚訝，一階和二階對象的引入，分別對應於樸素集合論中的集合和集合的性質；這些公理打印下來只需要一頁多一點，卻足以建立幾乎所有的樸素集合論，並由此建立所有的現代數學。直到今天，這都是集合論數學的最佳基礎之一。哥德爾在其關於選擇公理的獨立性和連續統假設的偉大工作中，使用了一個受這種方法啓發的系統。值得注意的是，在馮·諾伊曼關於集合論公理化的第一篇論文中，他明確地認識到數學家為了避免布拉利-福爾蒂悖論（Burali-Forti’s paradox）、理查德悖論（Richard’s paradox）和羅素悖論（Russell’s paradox）而採取的兩個根本不同的方向。由羅素（Bertrand Russell）、科尼格（Julius König）、布勞威爾（L. E. J. Brouwer）和外爾組成的小組採取了更激進的觀點，即精確科學的整個邏輯基礎必須受到限制，以防止出現上述類型的悖論。馮·諾伊曼説：“對他們工作的總體印象幾乎是令人崩潰的。”他反對羅素將整個數學的基礎建立在可疑的還原公理上（axiom of reducibility）；對於外爾和布勞威爾拒絕接受他所認為的數學和集合論的大部分更有意義的內容，他也表示反對。
他更為理解第二個不那麼激進的團體，其中有策梅洛（Ernst Zermelo）、弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）和舍恩弗利斯（Arthur Moritz Schoenflies）。馮·諾伊曼知道他們（也包括他自己）的工作還遠未完成，他也明確指出了這些公理看起來似乎有些隨意。他説，他們的公理化不能證明此形式系統不能推出矛盾，但即使樸素集合論在此意義上不能被完全嚴肅對待，至少它所包含的大部分內容可以重述為形式系統中的證明，且這些“形式化”內容可以被明確定義。
馮·諾伊曼給出了集合論基礎的第一個有限公理化，這些公理如同初等幾何的公理那樣具有簡單的邏輯結構。公理系統的簡潔性和推理所採用的形式特徵似乎實現了希爾伯特的目標：將數學作為一個有限的遊戲。從這裏我們可以看出馮·諾伊曼未來對計算機和證明的“機械化”感興趣的根源。
從這些公理開始，推導集合論的大多數重要概念時，其代數運算的效率是驚人的；這種處理方式的經濟性似乎表明，本質上的簡潔更能引起人們的關注，而不是為了簡潔而追求技巧。這為用“機器”或“自動機”的概念來研究有窮形式系統的侷限性提供了基礎9。
令我感到奇怪的是，在許多關於集合論和相關領域話題的數學討論中，馮·諾伊曼的思考似乎也是形式化的。大多數數學家在討論這些領域的問題時，腦袋中似乎都有一個直觀的框架——基於幾何或者能表示抽象集合的圖示、箭頭之類的。而馮·諾伊曼給人的感覺是，他是通過純粹的形式演繹按順序推演來思考的。我想説的是，他的直覺基礎——就像其他更“直接”的直覺（譯者注：意思是本能的直覺）——可以產生新的定理和證明，他的這種直覺類型似乎非常罕見。如果按照龐加萊的説法，把數學家分成兩類——視覺直覺和聽覺直覺，約翰尼可能屬於後者。而在他身上，“聽覺直覺”可能非常抽象。更確切地説，這涉及形式語言的證明遊戲以及這些符號的數學解釋之間的聯繫和轉化。這兩者有點像用代數符號記錄的棋盤走法和在腦海中描繪真實的棋盤之間的區別。
在最近的一些關於數學基礎現狀的討論中，馮·諾伊曼似乎在暗示，在他看來，故事還遠沒有講完。哥德爾的發現使得我們應該用一種新方法來理解數學中形式主義的作用，而不是就此終結這一話題。
他的論文[16]10給出[2]中非正式討論的嚴格公理化處理。該論文的第一部分介紹了集合論中的基本運算，等價、同構（similarity）、良序等理論的基礎，最後在對序數處理的基礎上，證明了有限或超限歸納定義的可能性。馮·諾伊曼在論文引言的最後正確地指出，在以前集合論的任何公理或非公理系統中都沒有嚴格地介紹過超限歸納法。
也許馮·諾伊曼關於集合論公理的論文中最有趣的是[23]11。文章探討了滿足某一性質的所有集合能構成一個新的集合的充要條件。此條件是，不存在所有集合的類到滿足該性質的集合的類的一個單射。此集合的存在性原則被馮·諾伊曼用作為公理12，而其他系統中假設的一些公理，特別是選擇公理，都可由它推導得到。現在我們也證明了反之亦然，即這些其他公理也可以推導出這一馮·諾伊曼公理。因此，如果通常的公理是一致的，那麼該公理也是一致的。
他在《數學雜誌》（Mathematische Zeitschrift）上的偉大論文[12]13《關於希爾伯特的證明論》（Zur Hilbertschen Beweistheorie）專門研究了數學中避免矛盾的問題。這項經典研究闡述了一般數學的形式主義背後的原始思想。原文強調由希爾伯特發起並發展、伯內斯（Paul Bernays）和阿克曼（Wilhelm Ackermann）等人也參與過的這個複雜問題，尚未得到令人滿意的解決。特別是，馮·諾伊曼指出阿克曼關於一致性的證明不能用於經典分析，我們只能用嚴格的有窮方法證明其某個子系統的一致性。事實上，馮·諾伊曼證明了（儘管他沒有明確陳述這一點），關於有限（即可判定）關係的量詞和命題連詞的邏輯理論是一致的。這與希爾伯特的原始計劃，即完全使用嚴格有限的方法，所能獲得的極限相去不遠。但馮·諾伊曼當時推測，全部分析的一致性都可以用同樣方法證明。目前，人們始終會有這樣一種印象，即希爾伯特及其學派的工作所闡發的思想，以如此精確的方式發展，隨後再由哥德爾徹底革新，但尚未終結。也許我們正處於另一個偉大的進程之中：對集合論“樸素”地處理，以及源自我們對無限性的直覺而做出的元數學形式化的嘗試，正在轉向未來的“超集合論”。數學史上並不少見的是，頂尖數學家對現有科學問題的直覺，或者更確切地説，一種共有的模糊感受，之後都被形式地納入進一個涉及原有系統本質的“超級系統”。
馮·諾伊曼對數學基礎問題的興趣一直持續到生命的最後一刻。在上述一系列論文誕生25年後，人們可以從他構建的有關計算機邏輯中發現那些工作的印記。
馮·諾伊曼在研究數學基礎的同時，也在集合論本身以及由集合論中的問題所驅動的實變量理論和代數理論方面取得了獨特的進展。例如，馮·諾伊曼構造了一個與連續統等勢的實數子集，使其內任何有限個元素都是代數無關的。而該證明沒有用到選擇公理。在同年發表在《數學基礎》（Fundamenta Mathematicae）上的一篇論文[14]14中，他給出將區間分解為可數個不相交且同餘的子集的方法（譯者注：實數集的兩個子集是同餘的當且僅當其中一個子集通過平移和對稱操作可得到另一個子集）。該方法解決了斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）的一個問題——需要一種特殊的構造才能在區間上進行這樣的分解。而豪斯多夫（Felix Hausdorff）對圓的相應分解則要容易得多。（這是因為圓周是一個羣流形。）
在關於一般測度理論的論文[28]15中，馮·諾伊曼解決了羣的子集的有限可加測度問題。他將豪斯多夫的球面分解悖論，以及巴拿赫（Stefan Banach）和塔斯基（Alfred Tarski）對三維球體所做的絕妙分解的相關理論，從歐幾里得空間推廣到一般的非阿貝爾羣（編者注：參見《數學家的魔術：一物生二物》）；巴拿赫關於存在平面所有子集的可加測度的肯定結果則被推廣到一般交換羣的子集。約翰尼最後的結論是，所有可解羣都是“可測的”（即可以在其中引入這樣的測度）。
該文將集合論中有關歐幾里得空間的結論推廣到了更一搬的拓撲和代數結構中，這是類似的問題和方法最初的實例之一，此後這種趨勢愈發顯著。兩個集合的“同餘”被更廣義地理解為在某給定變換羣作用下的等價性；測度則是廣義的可加函數。同樣，這個問題的表述預示着哈爾的工作以及對豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基悖論分解的研究16。
在1928年的“奇蹟年”，馮·諾伊曼同時寫出了關於博弈論的文章。這是他在這個後來成為組合領域內重要方向所寫的第一部作品，博弈論目前正在蓬勃發展，有非常多的應用。很難相信，從1927年開始，在完成上述工作的同時，他還能發表大量關於量子理論的數學基礎、量子統計理論中的概率問題的論文，在連續羣表示方面也得到了重要結果！
實變函數理論、測度論、拓撲、連續羣
哈爾莫斯（Paul Halmos）教授的文章描述了馮·諾伊曼對測度論的重要貢獻。而我們以他的其他貢獻為背景，簡要介紹他在這一領域的工作。
論文[35]17解決了哈爾提出的一個問題，關於函數類的代表元的選取，考慮有限系統的冪的乘積，以及定義在其上的線性流形；假如線性流形上的兩個函數在一個零測集以外都相等，則定義它們等價。這個問題被推廣到勒貝格測度以外的測度，一個類似的問題得到了明確的解決。
論文[45]18證明了測度論中的一個重要結論：（兩個測度空間中的）兩個可測集合類之間任意保測度的布爾映射（Boolean mapping）由一個保測度的點變換生成。這個結論對於證明更一般的完備可分測度空間等價於具有勒貝格測度的歐氏空間非常重要，這樣我們就能把所有可測集構成的布爾代數簡化為通常的勒貝格測度來研究。
在論文[51]19中，馮·諾伊曼證明了由哈爾構造的哈爾測度的唯一性（參考 Ann. of Math. vol. 34, pp. 147-169），這種測度要求（勒貝格型）測度在羣的左乘或右乘下保持不變。對於緊羣而言，哈爾測度的唯一性在那時已經得到了證明。馮·諾伊曼在他的證明中引入了一種不同於哈爾的構造。這篇文章早於可分拓撲羣上的概週期函數（almost periodic functions）的一般理論的構造，並與其正交表示論相兼容。
在論文[54]20中，馮·諾伊曼將以往只為度量空間定義的完備性概念推廣到線性拓撲空間，同時得到了不是度量空間卻是完備空間的有趣例子。當然，這種情況涉及到不可分空間。該論文還包含偽度量（pseudo-metric）和凸空間的新穎構造。
在與約爾當（Pascual Jordan）合作的一篇論文[59]21中，他們解決了由弗雷歇（René Maurice Fréchet）提出的線性度量空間中廣義希爾伯特空間的表徵問題。這篇文章加強了弗雷歇結果並得到一個充要條件：一個線性度量空間L同構於希爾伯特空間，當且僅當每個2維線性子空間都同構於歐氏空間。
論文[35]中的結果在一篇與馬歇爾·斯通（Marshall Harvey Stone）合作的文章[60]22中得到推廣。論文[35]處理瞭如下問題：從一個抽象環模去一個給定的雙邊理想後，如何從剩餘類中選取代表元。此論文包含了一系列有關布爾環模去一個理想後的表示論的結果。
在俄國雜誌“Sbornik”的論文[64]23中，馮·諾伊曼再次研究了哈爾測度的唯一性問題。先前的唯一性證明是通過不同於哈爾構造的方法完成的，這種構造不包含任意的元素，而且自動地導出了測度的唯一性。而這篇文章給出了適用於局部緊可分羣的雙不變外測度的唯一性的獨立方法。【同一時期，韋伊（André Wei）給出了一個不同的證明。】
在與庫拉托夫斯基合作的論文[69]24中，對於由超限歸納法定義的某些實數集合的投影性，他們獲得一些精確而有力的結果。著名的勒貝格集25，以前被庫拉托夫斯基證明是屬於第三投射類 （projective class 3），現在它被證明是兩個解析集的差集，因此屬於第二投射類。他們藉助於某些更普適的構造，得到了關於集合解析特徵（Hausdorff 意義下）的更一般的定理。這一結果對於目前尚不完善的射影集合理論似乎具有重要的意義。
發表在 Compositio Mathematica 上的綜述性論文《關於無窮直積》（On infinite direct products）[75]26，包括了算子的代數理論以及此係統的測度理論，這在現代抽象分析中非常重要。馮·諾伊曼總結了以前一些關於泛函算子的代數、算子環的拓撲，包括不可分超希爾伯特空間（non-separable hyper-Hilbert spaces）的工作。從方法論角度以及實際構造來説，這篇論文包含了當時代數研究的開拓性內容，同時也是一篇優秀的介紹性文章。從向量空間開始，文章最先處理它們的乘積，然後是這些結構上的線性算子，最後處理這些算子的類，再次從“第一層次”開始考察這些算子作為向量空間的代數性質。馮·諾伊曼打算將這個精巧的系統與量子理論中的超量子化（hyperquantization）作類比，並特別將此論文看作關於非可數乘積的數學準備。
論文[24]27研究了希爾伯特第五問題衍生出的一系列問題：對連續羣進行參數變換是否可能使羣運算變得解析。在我看來，這篇論文是該領域取得的第一個重要成果。它處理了n維空間的線性變換羣的子羣，並得到肯定的結果：每個這樣的連續羣都有一個正規子羣，局部存在解析的參數表示，並且這樣的參數表述與有限個參數一一對應。
這些定理第一次表明羣性質阻止了一元實變量函數理論中常見的“病態”（pathological）可能性。此論文通過將元素表示為指數算子的乘積，詳細地揭示了這些羣的結構，其結果後來被嘉當（Élie Cartan）推廣到一般李羣的子羣，並作了簡化。這些結果表明，對於一個線性流形，如果它滿足以下性質：若它包含矩陣U,V，則其同時也包含交換子UV-VU，這樣的線性流形是整個羣G的一個無窮小羣。這篇論文非常重要，因為它早於嘉當，而晚於阿多（Igor Dmitrievich Ado）。當然，馮·諾伊曼自己的論文[48]28解決了緊羣的希爾伯特第五問題。
這個漂亮的結果基於哈爾的論文（發表於同一期），哈爾在連續羣中引入了不變測度函數。馮·諾伊曼由此受到啓發，採用了類似於羣上的Peter-Weyl積分，並使用關於積分算子的有限個特徵函數的線性組合來逼近函數的定理（這是施密特博士論文提出的），以及巧妙運用n維歐氏空間中區域不變性的布勞威爾定理，最終證明了緊緻n維拓撲羣連續同構於有限維空間的酉矩陣構成的閉羣。
此論文的方法允許我們把更一般的羣（不一定是n維的）表示為這種n維羣的無限乘積的子羣。在論文的第二部分給出了一個例子：由作用在歐氏空間上的變換構成的一個有限維非緊羣，無論如何改變參數，都不能使這些變換成為解析的。這比希爾伯特第五問題的完全解決，包括蒙哥馬利（Deane Montgomery）與格里森（Andrew Gleason）在“開”的（即非緊的）n維羣情形的工作，要早幾乎20年。馮·諾伊曼能獲得這些成就，需要同時具備集合論、實變量技術的深刻知識，對布勞威爾拓撲思想的直覺，以及對積分方程技巧和矩陣演算的真正理解。
在與約爾當和維格納（Eugene Wigner）合作的論文中[50]29，我們可以發現馮·諾伊曼將抽象的代數思想與解析技巧兩者絕妙地結合起來，這是一篇關於量子力學形式化的代數推廣的論文，被認為可能是量子力學理論未來推廣的起點，並處理交換但不結合的超復代數（hypercomplex algebras）。基本結果是，所有這些形式上實有限的，可交換的r-數系只是矩陣代數，只有一個例外。然而，這個例外對於量子理論所需的推廣來説似乎太狹窄了。
在提交給《美國數學學會公報》的一個未正式發表的摘要中（附錄2[14]30），馮·諾伊曼提出了包含了關於3維球面的所有同胚構成的羣的單位分支的單性定理。實際定理是：任意給定兩個（均不為恆等映射的）同胚A, B，存在A的有限個數（23已經足夠了）的共軛使得它們的乘積等於B。
希爾伯特空間、算子理論與算子環
在希爾伯特空間、算子理論與算子環方面，馮·諾伊曼對這些課題所做的基礎且全面的研究可以在他與默裏（Francis Joseph Murray）教授和卡迪森（Richard V. Kadison）教授的論文中找到。他對這個主題的最初興趣源於對量子理論嚴格的數學表述。
1954年，馮·諾伊曼在美國國家科學院（National Academy of Sciences）的一份調查問卷中表示，他認為這項工作位列他自己最重要的三項數學貢獻之一。僅就篇幅而言，這些主題的論文約佔他出版著作的三分之一。其中包含對線性算子性質非常詳細的分析，以及對無窮維空間的算子類（算子環）的代數研究。這些成果實現了他在《量子力學的數學基礎》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）一書中宣稱的目的，即證明了最早由希爾伯特提出的數學思想能夠為量子物理奠定充分的基礎，沒有必要為這一物理理論引入新的數學體系。
馮·諾伊曼對酉空間線性性質的分類詳細得令人難以置信，解決了許多有關無界算子的問題。它給出了完整的超極大變換（hypermaximal transformations）理論，使希爾伯特空間幾乎與有限維歐幾里得空間一樣，完全在數學家的掌握之中。
在整個學術生涯中，馮·諾伊曼對這一主題始終保持着興趣。甚至直到最後，在從事其他研究工作的同時，他還得到並發表了關於算子性質和譜理論的結果。論文[106]31發表於1950年，是為了祝賀施密特75歲生日而寫的（是施密特帶領他認識到了這一主題的魅力）。至少在酉的情形及其線性變換中，探索非緊緻性的奧秘方面，沒有人比馮·諾伊曼做得更多。在今後很長一段時間內，這個方向的工作將以他的結果為基礎。這項工作現在正由他的合作者和以前的學生（特別是默裏）以及其他人大力推進，我們完全可以期待他們會對線性算子性質提出更有價值的見解。
格理論與連續幾何
伯克霍夫（Garrett Birkhoff）的文章《馮·諾伊曼和格理論》（Von Neumann and lattice theory），記載了約翰尼關於格理論和連續幾何方面的工作。馮·諾伊曼對這些理論的興趣同樣是基於這些新的組合和代數結構在量子理論的潛在應用。
大約在1935年，伯克霍夫從戴德金（Richard Dedekind）的原始表述中發展和推廣了格理論。大約同一時期，馬歇爾·斯通系統地闡述了布爾代數在代數理論和集合論方面的性質。我記得在1935年夏天，伯克霍夫、斯通和馮·諾伊曼從一個莫斯科數學會議回來的路上，在華沙停留，並在華沙數學學會的一次會議上，做了關於這些領域新進展的簡單演講，還包括量子理論邏輯的新表述。這之後的討論使人們對用一般布爾代數和格論的語言來描述量子理論所具有的潛在應用產生了期待。後來馮·諾伊曼曾多次回到這些嘗試當中，但他在這個方向上的大部分想法只記錄在未發表的筆記裏32。
他對連續幾何和無點幾何（geometries without points）的研究基於這樣一種信念，即量子理論的原始概念與此類對象有關; 顯然，“物理的論域”（universe of discourse）則由希爾伯特空間中等同的點構成的若干類或線性流形組成。（狄拉克在他的書中明確指出了這一點。）
這些相關工作有些在專題討論會中得到了介紹，其內容載於普林斯頓研究院講義（Princeton Institute Lectures）；有些以手稿的形式保存下來。在與馮·諾伊曼討論這些問題時，我的印象是，大約從1938年開始，他覺得核物理中的現有問題與新發現產生了完全不同類型的新問題，而堅持用數學上完美無缺的體系來闡述量子理論變得不那麼重要了。戰爭結束後，他表達了一些類似於愛因斯坦的觀點，認為核物理和基本粒子物理的豐富程度令人困惑，因此任何建立一般量子場論的嘗試都為時過早，至少那時是這樣。（未完待續）
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出品：科普中國
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