《華爾街日報》：地圖如何通過“固定點”保持目標定位

數學家尤金妮亞·程探索數學在課堂之外的用途。閲讀更多專欄請點擊這裏。

當我用電腦查看數字地圖時，常常因點擊“放大”圖標而感到沮喪。問題在於，我想要放大的位置總會從屏幕上消失，然後我不得不移動地圖重新尋找它。為了避免這種情況，我試着記住將感興趣的地方放在屏幕中央，因為放大時中心點會保持不動。

在數學中，保持不動的部分被稱為“不動點”，儘管名字聽起來像沒有任何變化，但不動點理論是一個成果豐碩的研究領域。數學家研究所謂變換的不動點。放大是變換的一個例子；另一個例子是旋轉，其中不動點是你旋轉的中心。我們還研究函數的不動點。例如，如果你將所有數字乘以2，唯一保持固定（即其值不變）的點是0。如果你對每個數字取平方，那麼0和1都會保持固定並維持其值。

20世紀初，荷蘭數學家L.E.J.布勞威爾證明了一個被廣泛使用的不動點定理。該定理指出，如果你從一個圓形區域開始，並用一個“連續”函數（不破壞任何部分）對其進行映射，那麼必定存在一個點保持不動。但實際上，區域不必是圓形的。例如，如果你拿兩張相同的圖片，將其中一張揉皺並壓平放在另一張上面，定理表明揉皺的圖片上至少有一個點會完全位於平坦圖片的同一位置之上。

不動點理論的應用涵蓋微分方程、博弈論、金融和互聯網搜索等領域。谷歌最初的網頁排名系統理念是通過計算用户基於其他頁面鏈接頻率訪問每個頁面的概率來對搜索結果進行排序。如果一個頁面被許多其他頁面鏈接指向，用户更有可能訪問該頁面，但這同時也取決於那些其他頁面是否也有大量鏈接指向它們。這個（非常龐大的）概率矩陣在經過一定次數的假設點擊後會趨於穩定，並可以計算為不再隨進一步迭代而變化的固定點。在谷歌初創時期，矩陣背景下的不動點理論已被充分理解，而排名系統有效地利用了這一現有理論。

數學家經常進行這種重構，利用現有理論解決新問題。這種做法催生了一個笑話：一位知道如何用空鍋煮雞蛋的數學家，當拿到一個裝滿水的鍋時，不是直接煮雞蛋，而是把水倒掉，然後得意地宣佈：“我已經把問題簡化為之前的問題了。”

有時涉及無限的問題可以通過不動點來解決，因為無限可以被視為在給所有事物加1的函數下保持不變——每個有限數都會增加1，但無限保持不變。在我自己的一些研究中，我曾利用這一點將無限維對象構造為不動點，而不是試圖通過無限構建過程直接構造它，因為後者可能需要無限長的時間。

更具體地説，不動點理論可以用來證明，如果你攪拌一杯馬提尼酒，總會存在一個固定點——即攪拌後仍停留在原位置的點。這為"馬提尼要搖勻，不要攪拌"的偏好提供了一個可能的科學依據。

該內容曾以《“不動點"如何確保地圖定位準確》為題發表於2023年7月1日的印刷版中。