數學中的“太極”：切觸幾何的柔與剛_風聞

切觸幾何是微分幾何的一個分支，它是辛幾何的孿生兄弟。它看似怪異的定義卻有着極為自然的起源。本文主要介紹什麼是切觸幾何，從其研究中得到的重要定理來了解切觸幾何的來龍去脈與重要性質——柔性與剛性；它剛柔相濟，很像中國傳統文化的太極。而我們會看到這一古老的領域的高維探索，在今天才走上快車道。

撰文 | 周正一（中國科學院數學與系統科學研究院）

1912年，58歲的龐加萊（Poincaré），這個被稱為“對數學和它的應用具有全面知識的最後一個數學全才”又將視線轉回到三體問題——這個他已經研究了二十多年，併為他帶來巨大國際聲譽的問題。這次他考慮的是平面圓型限制性三體問題：三體中有一體沒有質量，而另外兩體在萬有引力的作用下繞着它們的質心旋轉，比如地球、太陽和一顆質量可以忽略不計的人造衞星。龐加萊把衞星的週期軌問題轉化成為一個環帶面上變換的不動點問題。在一些情況下，他成功地證明了後者的不動點的存在性，並在投稿的信件中説明了他對一般情況的確信。兩週以後，這位數學巨人不幸離世，這便是龐加萊最後的幾何定理。一年以後，Birkhoff給出了定理的完整證明。由此這個傳奇的定理以Poincaré-Birkhoff不動點定理的名字流傳於世。

定理 1（Poincaré-Birkhoff不動點定理）

環帶面上一個保面積的變換，如果它在兩個邊界上反向扭轉，那麼它至少有兩個不動點。

圓型限制性三體問題可以説是三體問題中最為簡化的一個版本，即便如此，其藴含的數學也無比豐富，甚至可以説冥冥中為幾十年後的辛幾何與切觸幾何（Contact geometry）的發展埋下了伏筆。

01 切觸幾何——辛幾何的孿生兄弟

三體問題是牛頓力學的特例，也可以用哈密頓力學的語言在辛幾何的框架裏重新描述。所謂辛結構就是切空間上的一個反對稱非退化的雙線性形式ω，並且局部上等價

觸形式。）它的三維情形由Taubes[1]證明（2007），其證明中構造的工具和方法產生的餘波綿延至今，對三維Reeb系統和曲面動力系統產生了深刻的影響。而在一般維度上，雖然Weinstein猜想在許多例子中得到了驗證，但離它的最終解決似乎仍在目力之外。

回到三體問題，2010年，Albers、Frauenfelder、van Koert和Paternain[2]合作證明了在圓型限制性三體問題在能量低於或稍高於第一拉格朗日點的能量時，其對應的哈密頓系統是一個切觸系統。從限制性三體問題到Poincaré-Birkhoff不動點定理的約化，正是從切觸流形Reeb向量場週期軌的問題到一個辛流形葉面上的哈密頓同胚不動點/週期點的問題的約化。也就是從辛幾何的哈密頓系統出發，特化成切觸系統，繼而再約化成更低維度上的哈密頓系統的問題，可見辛幾何與切觸幾何之間的難捨難分。

另一方面Poincaré-Birkhoff不動點定理也是現代辛幾何起源的一條主要脈絡。上世紀70年代，Arnold將兩個環帶面粘合，以一個習題的形式猜測二維環面上任何一個哈密頓同胚，在非退化假設下，會有4個不動點。以該問題為代表的一系列整體性問題為現代辛幾何的發展埋下了種子。1985年Gromov[3]將擬全純曲線的整體性方法引入辛幾何，隨後在80年代末，Floer[4]為了解決Arnold猜想（在更一般辛流形的情況）將Gromov的技術與變分法相結合，為整體辛幾何注入了強勁的活力，掀起了延續至今的革命。也正是Arnold的這個問題，讓切觸幾何即將登場的主角有了被世界聽見的機會。

關於切觸幾何，數學家常常會説它是辛幾何在奇數維度的類比，是辛幾何那有點害羞，甚至有點怪異的孿生兄弟。從動力系統的角度，它們之間緊密的聯繫從上面已可以窺見。

02 切觸幾何的起源

那到底什麼是切觸幾何，如此的結構又是如何自然地出現的呢？我們可以考慮一階常微分方程

對於一個一般F，我們應該如何求解這個方程呢？一個自然的思路是首先把dz/dx看作一個獨立無關的變量y，首先求解 F(x, y, z) = 0。由於少去了微分關係的約束，這個

空間。這樣的觀點可以很自然地遷移到任何流形，從而任何流形的（餘）球叢也是一個切觸流形。而切觸變換就是保持切觸結構的變換。很明顯，切觸變換會把勒讓德子流形映到一個勒讓德子流形，從而把一個微分方程的解映到另一個微分方程的解。

來的流形。等價地説，一個切觸流形，就是一個奇數維的流形，並且在每一點處的切空間中都光滑地選取一個餘一維的子空間，使得它局部上和前文的標準切觸結構一樣。由此可見切觸幾何是一門側重整體的幾何學。

03 切觸幾何的柔性

在上面的故事裏，切觸幾何更多地像一個配角、一個背景板，提供一種角度和解釋。直到上世紀中葉，切觸幾何才逐漸從幕後走到台前，慢慢形成一個獨立的領域。在這個過程中我們面對的基本問題就是切觸結構的存在性問題。在很長的一段時間裏，切觸流形列表只有下面可憐的幾項：

1. 黎曼流形的餘球叢/餘射影叢，這是Lie的發現；

早在上世紀50年代，陳省身先生就意識到切觸結構存在拓撲障礙，即流形的切空間必須能分解成一個平凡線叢和一個具有復結構的向量叢，這被稱為近切觸結構。而近切觸結構的存在性和分類是一個純拓撲問題，原則上我們可以通過障礙理論來計算這個問題。當然，在具體的例子裏，這也是一個非常複雜且困難的問題。

拋開這部分的困難，一個自然的問題的便是：給定一個近切觸結構是否存在切觸結構代表元？在開流形的情形，這個問題由Gromov給出了圓滿的答案並引入瞭如今被稱為同倫原理（h-principle）的重要理念。

定理 2（Gromov，1970[6]）

在同倫意義下，開流形上的切觸結構與近切觸結構一一對應。

在閉流形的情形，這個問題的答案則要複雜得多。在這方面第一個重要工作便是：

定理 3（Lutz，Martinet，1971[7, 8]）

任何三維流形的任何一個近切觸結構都存在切觸結構代表元。

在執行手術前，通過擾動我們可以要求對象紐結會橫截地穿過切觸平面，比如上圖左側的 z 軸（我們可以把z軸的±∞附近的切觸結構粘合起來）。如果把這個首尾相粘的z-軸的小鄰域去掉，那麼在邊界輪胎面上，切觸結構和輪胎面的切空間會交出一個斜率很小的切向量，這被稱為特徵葉狀結構——我們可以把它想象成螺絲上的螺紋。那麼在縫合的時候，我們需要將由兩側切觸結構誘導的螺紋對齊。不過因為縫合方式的不同，從新粘入的實心輪胎一側看，這個相應的螺紋可能會有完全不同的斜率。也就是説，我們需要一個具有切觸結構的實心輪胎，使得其邊界上的螺紋具有任意的斜率。在上圖左側的情形（通過一個座標變換，它等價於前文的標準切觸結構）為例，通過增大以z-軸為軸心的半徑，我們能實現越來越多的斜率，但始終無法實現所有的斜率，因為沿着徑向切觸平面只旋轉了半圈。與標準切觸結構不同的是，上圖右側的切觸結構（被稱為過度扭轉（overtwisted）切觸結構），由於切觸平面沿着徑向不停地旋轉，我們的確可以通過選擇合適的半徑實現所有的斜率。所以，通過在過度扭轉切觸空間中選取合適的手術配件，我們就可以在任何手術上實現切觸結構。

至此，切觸幾何已經做好了迎接它的英雄的所有準備。只不過對於這位英雄，命運仍要為他設計一些試煉。

Eliashberg於1946年出生於列寧格勒，師從Rokhlin。早在1970年代，Eliashberg就和他的師兄Gromov一起發展同倫原理。1974年，Gromov移民至美國，而Eliashberg被分配至偏遠的瑟克特夫卡爾國立大學，並在那裏工作到1979年。隨後，Eliashberg因為移民簽證被拒絕而成為不被蘇聯政府信任的人，被迫離開數學工作。他從事了各種臨時工作，之後在一家公司從事軟件開發直至1987年。早在1979 年，Eliashberg就解決了前文中的Arnold猜想在環面以及其他曲面的情形，他拜託移民美國的Katok將其論文帶到美國，這在當時是不被允許的。不幸的是，這個論文的第一版有錯誤，而修正的版本也被搞混而沒有及時被更多人看到。1983年，Conley-Zehnder證明了任意偶數維環面的Arnold猜想，而Eliashberg關於曲面的證明卻因為種種原因仍未能發表。在一次訪談中，Eliashberg把前者比作他的世界裏的一顆炸彈。不過，他在Arnold猜想上的工作，以及在辛剛性上的進展最終得到了國際數學界的認可，並受邀在1986年的國際數學家大會上作報告。可惜最終未能成行，只能由Mather代為彙報他的工作。在被迫離開數學界的幾年裏，Eliashberg因為各種限制未能發表什麼論文，不過切觸幾何已經迎來了飛躍式的發展，雖然當時人們並沒意識到。1988 年，Eliashberg來到美國，世界終於可以聽到他的聲音。

先回到剛才的提到的手術描述，如有要求手術縫合進一個足夠粗的實心輪胎，我們能在手術後的切觸流形中找到一個如下的圓盤——過度扭轉圓盤（overtwisted disk）。

Eliashberg把能夠找到這樣圓盤的三維切觸流形稱為過度扭轉切觸流形，並通過證明相應的同倫原理證明了如下的里程碑結果，這揭示了Lutz-Martinet定理（任何三維流形的任何一個近切觸結構都存在切觸結構代表元）中隱藏的更為深刻的結構。

定理 4（Eliashberg，1989[9]）

在同倫意義下，三維流形上的過度扭轉切觸結構與近切觸結構一一對應。

這般的存在性或者是構造性的性質，往往被稱為是切觸幾何的柔性。除了過度扭轉切觸結構的同倫原理，切觸幾何中典型的柔性定理還包括：Giroux的切觸開書分解[10]，即將三維切觸流形看作一族帶邊辛曲面的組合（如下圖），例如限制性三體問題和Poincaré-Birkhoff不動點定理的關係，以及用於分解切觸流形的凸曲面理論（也是由盲人數學家Giroux開創）等。這些結果都在三維切觸幾何的發展中起到了舉足輕重的作用。

開書分解將切觸流形分解成一族帶有公共邊界的辛流形的組合，形如一本打開的書本。

上述柔性定理的高維版本的出現則要晚得多，儘管人們對它們的探索從未停止過。以高維過度扭轉為例，通過類比三維的情形，雖然我們早有幾個備選定義，並也很快證明了過度扭轉流形應該具備的剛性性質（見下文），但具有同倫原理的定義直到2014年才由Borman、Eliashberg和Murphy[11]給出。隨後，與之前備選定義的等價性也很快被建立起來。而對於開書分解，雖然高維版本的切觸開書存在性已早為人知，但完整的Giroux對應的證明直到2023年才出現在Breen、Honda和Huang[12]的一個預印本中。最後高維凸曲面的存在性也直到2019年才被Honda和Huang[13]建立。

04 切觸幾何的剛性

關於存在性的基本問題解決之後，接下來自然便是切觸結構的分類問題。切觸幾何的柔性構造給了列舉切觸結構的一種可能，但僅有柔性，切觸幾何只能跛足前行，我們還需要有效的不變量來區分切觸結構，從而回答分類問題。這些不變量，尤其是超越拓撲不變量——即近切觸結構——的不變量，就是所謂的切觸幾何的剛性。這方面的一個基本結果是：