他寫了一本微積分教材，豆瓣評分9.9分 | 展卷新書_風聞
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前幾天，我們介紹了由舊金山大學數學系教授特里斯坦·尼達姆（Tristan Needham）所著的名著《複分析：可視化方法》（見《數學家齊民友：大學本科生的數學教材應該是怎樣的？》），這部書開創了數學領域的可視化潮流。
近期，同作者的另一本同系列數學名著的中譯本《可視化微分幾何和形式》上市了。本書以五幕數學劇的形式直觀地講述了微分幾何和微分形式，包括“空間的實質”“度量”“曲率”“平行移動”和“微分形式”。本書作者挑戰性地重新思考了微分幾何和微分形式這個重要數學領域的教學方式，只需要基本的微積分和幾何學知識即可閲讀本書。
撰文 | [美]特里斯坦·尼達姆（Tristan Needham）
翻譯 | 劉偉安
來源 | 《可視化微分幾何和形式：一部五幕數學正劇》之“序幕”
與魔鬼的靈魂交易
代數是魔鬼給數學家的開價。魔鬼説：“我可以給你這個強有力的機器，它可以回答你要問的任何問題。你只需交出你的靈魂，放棄幾何，然後你就可以得到這個非凡的機器。”……這就是我們的靈魂所遭受的危險：一旦跨入代數計算，你基本上就停止了思考。當你止步於幾何思考時，你也就不再考慮真正有意義的問題了。
——邁克爾·阿蒂亞爵士
“幾何”味的“微分幾何”
這是個重複使用同義詞的語言遊戲嗎？當然不是，我們就是要討論有“幾何”味的“微分幾何”。當本科生第一次拿到指定的微分幾何課本時，他們可能不這樣認為。這些倒黴的學生，面對的不是幾何，而是大量的公式，以及證明這些公式的冗長、晦澀的計算。
更糟糕的是，這些計算，因為遭受“指標的濫用”（debauchof indices，這個短語是埃利·嘉當在 1928 年創造的，他是我們這部數學劇的主角之一），通常很令人頭痛。如果學生執着而且大膽，教授就可能不得不面對一個直率得令人尷尬的問題：“幾何到哪裏去了？”
説實話，現代教科書的確也包含很多圖，通常是由計算機生成的一些曲線和曲面。除了極少數例外，這些圖都屬於特定的例子，只是一些定理的插圖，而這些定理的證明完全依賴於符號的演算。對於這些定理及其證明，這些圖什麼也説明不了。
本書就不一樣了，我們有兩個截然不同但都意義非凡的目標。第一個目標是在前四幕的主題裏，把“微分幾何”迴歸為“幾何”。本書包含 235 幅手繪示意圖，它們與僅靠計算機生成的例子有本質上的不同。用直觀幾何來解釋一些令人驚奇的幾何現象是我多年來一直堅持的觀念，這些示意圖就是這個觀念的可視化典型，是我多年來斷斷續續但堅持不懈努力的成果。
《複分析》的前言裏有一段話，在這裏同樣適用：“就我所知，本書中很大一部分幾何的事實和論證是新的。我在正文中沒有強調這一點，是因為這樣做沒有意思：學生們不需要知道這些，而專家們不説也知道。然而，如果一個思想顯然是不同尋常的，而我又知道別人曾經發表過，我就會努力做到功歸應得者。”此外，我還貢獻了一些首次出現的習題，但它們並不是我的原創。
説一點兒個人經歷吧（這與後面一個嚴肅的數學觀點有關），現在這些工作的起源可以追溯到幾十年前，也就是我年輕的時候。這是關於兩本書的故事。
第一本書是《引力論》（Misner, Thorne, and Wheeler, 1973），它讓我深深地迷上了微分幾何與愛因斯坦的廣義相對論。這段經歷讓我難以忘懷，或許是因為這是我的“初戀”。當時我 19 歲，在牛津大學默頓學院學習物理學。第一學年末的一天，在布萊克韋爾書店的最深處，我偶然發現了一本黑色的厚書。儘管我當時並不真正瞭解，但是我隱約地覺得這部 1200 多頁的鉅著就是相對論的“聖經”。可以説，這部傑作改變了我一生的進程。如果我沒有讀到這本《引力論》，就可能會錯失跟隨羅傑·彭羅斯學習（併成為一輩子的朋友）的機會，彭羅斯徹底改變了我對數學和物理學的理解。
韋斯特福爾寫了一本關於牛頓的卓越傳記（Westfall, 1980）。在 1982 年夏天，我簡單翻閲了其中的數學部分，這激起了我強烈的好奇心。於是，我研讀了牛頓的傑作《自然哲學的數學原理》（Newton, 1687，通常簡稱為《原理》）。這就是徹底改變我一生的第二本書。如果阿諾爾德的文章和著作以及昌德拉塞卡的著作（S. Chandrasekhar, 1995）試圖道破《原理》中牛頓理論的奧秘，我這本書則是要展示牛頓方法的魅力。
曾有一個傳言（我在別處也討論過此事）稱 1687 年《原理》中的結論，是牛頓利用他首創的微積分的 1665 年版本推導出來的，後來才修改為幾何形式。一些研究牛頓的學者煞費苦心地否認這個傳言，因為他們認為這個傳言有損牛頓的形象。
事實上，牛頓最初建立的微積分是冪級數形式的，不同於我們今天在大學學習的形式——我們現在學習的是後來由萊布尼茨建立的形式。到 17 世紀 70 年代中期，在研究了阿波羅尼奧斯、帕普斯和惠更斯的思想後，已經成熟了的牛頓不再偏愛自己年輕時建立的微積分的代數形式，轉而欣然接受了純粹幾何的方法。
到 17 世紀 80 年代，牛頓對於冪級數代數運算的迷戀終於讓位於一種新的微積分形式。他稱之為“人造的變動方法”，其中，古代數學家的幾何被完全改變，再次用來研究：當幾何圖形不斷收縮，直到它消失的那一刻的性質。這就是微積分的非算術形式才具有的優點，在 1687 年的《原理》中，我們讀到的就是這種形式的全貌。
如在《複分析》中一樣，我希望本書從頭至尾都充分利用牛頓的方法。所以，我馬上就來把它講清楚，比在《複分析》中講得更詳細，奢望第二本書能比第一本書吸引更多數學家和物理學家採用牛頓的直覺（也是嚴格的）方法。
設 A 和 B 是兩個變量，它們依賴於一個小的變量ε。如果當 ε 趨於 0 時，A與 B 的比值趨於 1，我們就按照牛頓在《原理》中的先例，説“A 最終等於 B”，取代麻煩的極限語言。同時，如在我以前的著作（Needham, 1993, 2014）中那樣，我們將使用符號
我在掌握了牛頓的方法以後，就立刻在微積分入門課程中試了試自己的身手，簡化了教學。後來，我又知道了怎麼將它應用於複分析（在《複分析》中），現在是微分幾何。儘管我可以舉出任意數量的簡單示例（詳見 Needham, 1993），但是這裏還是再次利用《複分析》前言中的那個例子，因為，不同於《複分析》中所為，這次我將利用符號
現在我們來證明：
牛頓自己並沒有用任何記號來表示“最終相等”的概念。這是因為他想利用古代數學家的幾何方法，這樣就不得不模仿他們的表述模式，從而導致他寫出“最終具有相等的比例”，並且在證明中每次都這樣用。正如牛頓自己的解釋（Newton,1687, 第 124 頁），《原理》是“按照古代數學家的習慣用詳細的詞語寫成的”。儘管牛頓已經聲稱了兩個比例是最終相等的，他還是堅持用語言來表述每一個比例。
結果就是，我不得不首先用“現代”的形式（事實上，這種形式在 1687 年已經通用了）改寫和總結，才能讀懂牛頓的論證。事實上，這就是刺激我在 1982 年引入和使用符號
我認為，牛頓沒有選擇引入一個符號來表示“最終相等”是一個失誤，這個失誤導致了數學發展的一個悲劇性結果。當萊布尼茨用符號解釋的微積分橫掃天下時，牛頓更具洞察力的幾何方法被扔到了一邊。幾個世紀以來，只有屈指可數的幾個人曾試圖改變這個狀況，恢復牛頓的方法。近期，牛頓方法最突出、最著名的支持者是弗拉基米爾·阿諾爾德（1937—2010）。
如果牛頓能避免陷入古代表述模式的“陷阱”，利用某個符號（任何符號都可以！）來代替“最終相等”這個詞，他在《原理》裏那些令人費解的冗長證明就可以簡化為簡潔的幾行，那麼他的思想模式就有可能在今天仍被廣泛應用。《複分析》和本書都力圖非常具體地展示牛頓的幾何方法在數學的很多領域裏都具有持續的相關性和有效性，儘管這些領域在他去世（1727 年）後的一個世紀才被發現。
在此，我要對“嚴格”和“證明”這兩個詞的使用解釋幾句。是的，我在本書裏直接使用了牛頓的最終相等，與我在《複分析》中的表達比較，這代表了嚴格性的一個巨大突破。但是，仍然會有一些數學家提出反對（帶着證據！），説即使這裏的嚴格性有所增強，但仍不充分並且本書裏的“證明”沒有一個是名副其實的，包括剛才那個例子的證明：我其實沒有證明“小直角三角形的邊長最終等於圓周上的弧長”。
我不做邏輯方面的爭辯，而是重複我 20 多年前寫在《複分析》前言裏的話：“本書無疑還有許多未曾發現的毛病，但是有一樁‘罪行’是我有意去犯的，對此我也不後悔：有許多論證是不嚴格的，至少表面上看是如此。如果你把數學理論僅僅看成人類的心智所創造的，是岌岌可危的高聳的建築物，這就是一樁嚴重的罪行。
追求嚴格性就好比絞盡腦汁來維持這幢建築物的穩定，以防整個建築物在你身旁轟然倒塌。然而，如果你和我一樣，相信我們的數學理論只不過是試圖獲取一個柏拉圖式世界的某些側面，而這個世界並非我們創造的，我就會為我們辯護：在開始時缺少嚴格性，只不過是付出了小小的代價，讓讀者能比採用其他方式更直接、更愉快地看透這個世界。”因此，最好事先就告訴我的批評者，從一開始我就承認：當我説一個命題“得證”的時候，可以認為這只是指“排除了合理懷疑後得證”（proved beyond a reasonable doubt）！
除了嚴格性的問題，還有一件糟糕的事情，那就是在回顧大量古典數學時，我幾乎肯定會出錯：所有這些錯誤的責任都在我，而且只在我。請不要責怪我使用的幾何方法，只是我的技藝不佳——在進行符號運算時，我同樣會出錯！
本書並不是一定要當作一部正在上演的五幕正劇才能完全讀懂。儘管如此，我還是認為書中的故事情節很重要，這種非常規的結構和書名也都很合適，理由如下。首先，我力求用演出戲劇的方式來展現微分幾何的思想，就如我看待它們的方式一樣，不僅要看到它們的歷史發展，而且（更重要的是）要看到它們的層級關係，各種想法相互關聯的影響，以及它們在數學其他領域和物理學中令人想象不到的含義。
其次，這部所謂的五幕劇中每一幕的劇情都（或多或少）符合莎士比亞戲劇的經典結構（劇情的這種結構並非都是有意設計的，更多的是內容自然演進而形成的），特別是預期中的劇情“高潮”確實就出現在第三幕：曲率。事實上，在開始寫作本書幾年後的一天，我突然清楚地意識到：我撰寫的東西就是一部五幕數學劇。就在這一天，我“更正”了本書的書名，並將之前的五“部分”改為五“幕”。
• 第一幕：空間的本質
• 第二幕：度量
• 第三幕：曲率
• 第四幕：平行移動
• 第五幕：形式
前四幕實現了我的承諾，相互獨立、有“幾何”味地介紹了微分幾何。第四幕是真正的“數學動力站”，它使得我們最終可以用幾何方法證明前三幕中的許多論斷。
這幾幕主題的幾個方面是非正統的，處理它們的幾何方法也是非正統的。在此，我們只説三個最重要的例子。
第一，第三幕是整部劇的高潮，而這一幕的高潮是全局高斯 – 博內定理——這是連接局部幾何與全局拓撲的著名定理。這個話題的內容是標準的，但我們的處理方法就不是標準的了。為了突出這個定理的中心地位和根本重要性，我們燃放了一組豪華的“數學煙花”：用五章的篇幅來討論它，還貢獻了四個不同尋常的證明，每個證明都體現了對證明結果和微分幾何根本性質的新見解。
第二，從二維曲面到 n 維空間（稱為“流形”）的轉換（通常在研究生階段學習）常常是令學生困惑和害怕的內容。第 29 章（在本書中篇幅第二長）通過集中研究三維流形的曲率（這是能夠可視化的），尋求建立一座跨越這個鴻溝的橋樑。
當然，我們討論的框架是可以應用到任意維流形的。我們利用這種方法引入了著名的黎曼張量，用它來度量 n 維流形的曲率。我們直觀、有幾何味地介紹了黎曼張量，在技術上是完整的。
第三，我們覺得，黎曼張量在自然科學的競技場上單槍匹馬就能取得光輝、偉大的勝利，在充分討論了黎曼張量之後，繼續隱藏這一點就不好了。所以，在第四幕的最後，我們用很長的篇幅有幾何味地介紹了愛因斯坦偉大的廣義相對論：物質和能量的引力作用於四維時空，引起時空彎曲。這一章在本書中篇幅第三長，不僅（完全用幾何的語言）討論了（愛因斯坦在 1915 年發現的）著名的引力場方程，而且介紹了它在黑洞、引力波和宇宙學最新研究中的意義。
現在，我們來到第五幕，這是與前四幕具有不同特點的一幕。我們在此力求完成本書的第二個目標，它與第一個目標截然不同，但同樣意義非凡。
即使最瘋狂的幾何迷也不得不承認，（開篇引語中描述的）阿蒂亞的殘忍機器是個繞不開的惡魔，但是，如果我們必須做計算，至少也要做得非常優雅。幸運的是，從 1900 年開始，埃利·嘉當就建立了一種簡潔有效的新計算方法。它首先用於研究李羣，而後為微分幾何提供了一種新的研究途徑。
嘉當的發現稱為“外微分”，它的研究對象及其微分式和積分式統稱為“微分形式”（本書中簡稱為“形式”）。我們將在第五幕的最後，用本書篇幅最長的一章，跟隨嘉當的指引，最終展示這種方法的優美和有效性——用符號運算的方法重新證明在前四幕中已經用幾何方法證明了的結論。不僅如此，微分形式還將幫助我們完成一些在前四幕裏做不到的事情：特別是，它們給出了一種通過曲率 2 次微分形式（簡稱為 2-形式）來計算黎曼張量的方法，既有效又優美。
然而，我們首先要充分發揮嘉當思想自身的實力，在完全不依賴前四幕內容的前提下，引入完整的微分形式理論。為避免造成任何困惑，我們再説一次：第五幕中的前六章與微分幾何沒有絲毫關係！我們這樣做的原因是，微分形式在數學、物理學和其他一些學科的不同領域內都有成果豐富的應用。我們的目的是使微分形式能被儘可能廣泛的讀者所接受，即使他們的主要興趣不是微分幾何。
為達到此目的，我們努力尋求一種比常用方法更直觀、更形象的辦法來討論微分形式。儘管如此，也請不要有任何幻想：第五幕的主要目的就是建造一台“魔鬼機器”（只需要本科水平就可以完成），一種非常有力的計算方法。這些微分形式的威力使我們回憶起複數：可謂一石激起千層浪，嘉當的微分形式能解釋的東西比它的發現者要求的還要多得多。這真是個理想的形式，堪稱妙手偶得！
只需舉一個例子就夠了：微分形式可以統一闡明向量微積分中的所有公式。可以説，這就是本科生的一本啓示錄，只要允許他們去讀就行了。事實上，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式僅僅是微分形式的一個定理在不同情況下的表現方式，而這個定理比這些特殊情況下的表現方式更簡單。儘管從數學到物理學，微分形式都具有不可置疑的重要性，但是絕大多數本科生在離開學校之前未學到過微分形式，我早就認為這是個問題。只有屈指可數的幾本本科生的（向量微積分或微分幾何）教科書曾經提到過微分形式，並且告訴學生這個內容歸屬於研究生課程。
如此可悲的狀況已經持續了一個多世紀，我仍未看到即將發生重大改變的任何跡象。作為回應，第五幕要做的不是咒罵黑暗，而是點燃一支蠟燭，奮力去説服讀者相信嘉當的微分形式（及其基礎“張量”）既簡單又優美，説服讀者相信它們（還有嘉當的名字）值得成為本科生課程的一個標準組成部分。這就是第五幕的宏偉目標。在前四幕讓讀者沉浸於純粹的幾何之後，最後一幕就是代數計算的表演，稱得上是一個暢快淋漓的大結局。
在序幕結束之前，我們來羅列一下本書的細節。
• 我沒有打算把本書寫成課堂教學用的課本。我希望有一些勇敢的人，會像之前使用《複分析》一樣，選擇使用本書。我主要的目標是，盡我所能既準確又通俗地向讀者（無論是稚嫩的初學者還是久經沙場的專家）傳遞一個宏大的主題。
• 我的主題選擇有時看似不拘一格。例如，極小曲面是一個很有吸引力又很重要的主題，為什麼這裏沒有討論呢？遇到這種情況，我們常常用以下兩個理由之一（或兩個都用）回答：(1) 我們關注的重點是內藴幾何，而不是外在幾何；(2) 關於極小曲面已經有很好文獻。對於後者，我盡力在附錄 A 提供一些有用的説明。
• 公式用“(1.1)”的格式編號，圖用“圖 1-1”的格式編號。
• 新術語的定義用黑體標明。
• 為了便於快速翻閲本書，重要結論用單框標記，特別重要的事實用雙框標記。在整本書裏，只有屈指可數的結果用三框標記，因為它們是基本原理。
我們希望讀者喜歡去尋找它們，就像找復活節彩蛋一樣。
• 我嘗試使讀者成為思路推進過程中的積極參與者。例如，在論證過程中，我常常會故意設置一兩個邏輯跳板。它們有一點兒難度，讀者可能需要停下來做一些準備，才能跳到下一塊上去。這樣的地方用“［練習］”標記，常常只需要簡單計算或沉思片刻就能解決。
• 我們鼓勵讀者充分利用索引，它可是為愛而辛苦勞動的產物。我們要用本書的一個更大的哲學目標來結束序幕，它遠勝於我們將要試圖解釋的特定數學內容。
從數學青春期到成熟的這個過程中，我們所獲的權利之一就是能夠區分什麼是真奇蹟，什麼是假奇蹟。數學自身充滿了真奇蹟，而假奇蹟的例子也是大量存在的：“我不能相信，那些醜陋的項，就這麼消掉，給出瞭如此優美簡單的答案？！”或“我不敢相信這個複雜的表達式有如此簡單的意思？！”
如果這種情況真出現了，那麼不值得慶幸，而應該讓人感到羞恥。這是因為，如果所有那些醜陋的項是可以消掉的，那麼它們從一開始就不應該存在！如果那個複雜的表達式有非常簡單的意思，那麼它一開始就不應該那麼複雜！
我不得不坦白，我自己的數學青春期一直持續到 20 多歲。直到成為研究生後，我才開始成長起來，這要歸功於兩個人的神奇影響：彭羅斯，以及我的親密好友，喬治·伯內特 – 斯圖爾特，他也是彭羅斯的學生。
數學世界的理想形式總是完美的，總是簡單的。它如果暫時留給了我們相反的印象，那只是因為我們自己表現得不完美罷了。我希望本書能幫助讀者在這種完美面前變得謙遜，就像許多年前我的兩個朋友在超現實、埃舍爾式的牛津尖塔中第一次推動我走上這條路時一樣。
特里斯坦·尼達姆
2019 年牛頓聖誕節
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作者：[美]特里斯坦·尼達姆（Tristan Needham）
譯者：劉偉安
作者：[美]特里斯坦·尼達姆
譯者：齊民友
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