最大數和最小上界是一回事嗎？_風聞
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本文面向初學者，以淺顯語言娓娓道來，講解微積分重要概念“確界”的內涵與外延，釐清它和“最大數”之間的區別與聯繫，並觸及極限理論的基石——實數的完備性。
撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）
“靠不住”的最大數
讀者朋友，給你一個區間 (0, 1)，即所有比1小的正實數所組成的集合，我想問你一個問題：這個實數集有最大的數嗎？如果這個問題一時難以回答，那我換個問題，將上面表示開區間的那對圓括號改成花括號，即我先問你：集合{0, 1}有最大數嗎？
你肯定馬上就能回答我：有，最大數為1。這一正確回答也説明你清楚地知道“最大數”的定義，或至少對於這個極其簡單的例子，你瞭解什麼是“最大數”。下面是它的嚴格定義：設A是一個實數集合，如果實數M滿足兩個條件：(i)M是A中的一個數；(ii)對於A中的任意一個數a，不等式a≤M都成立，那麼M稱為A中的最大數。如果你不喜歡用廣義不等式符號“≤”，我們也可將定義中的條件(ii)改成與之等價的(ii)＇：對於A中的所有其他數a，嚴格不等式a＜M都成立。類似方法可以定義數集中的最小數。但本文主要涉及最大數，有關它的一切結論都能導出關於最小數的對應結論，因為最大數和最小數有這樣一個關係：數集A的最大數（假如它存在的話）是集合-A的最小數的相反數，這裏集合-A={-a:a∈A}。
將上面的二數集合{0, 1}換成其他有限數集，比如給出像全中國人口一樣多（當然這個數無法精確得知，但確實是個正整數）的實數所構成的集合，它們當中一定有一個最大數，即這個數不小於它們當中的任一個數。請注意“不小於”不同於“大於”：前者是“小於”數學符號“＜”之否定，即“大於或等於”，符號為“≥”；後者的符號是“＞”。推而廣之，任何由有窮個實數所組成的一個集合一定有個最大數，這個數屬於該集合，並且嚴格大於集合中的任何其他數。我相信每一個讀這篇文章的人應該都知道這個直觀而易懂的事實。但是，倘若一個實數的集合包含無窮多個數，這種所謂的“無窮數集”也一定會有最大數嗎？
這就是我在文章一開始向大家提出的問題，即所有比1小的正數當中，有最大數嗎？讀者稍微想一下可能就會知道，從0到1的開區間 (0, 1)這個無窮集合，當然沒有最大的數啦。按照最大數定義中的邏輯，該區間不存在最大數的意思是： (0, 1)中不存在一個數，它大於或者等於該區間當中所有的數；換言之，無論在這個開區間裏取哪一個數，比方説，0.9999，我們總能在同一區間裏找到另外一個更大的數，例如也在區間中的數0.99999就比所取的數0.9999大。注意，這裏似乎1是最大數，然而它不屬於 (0, 1)，故不符合最大數的定義。
但是，這並非説由無窮多個實數組成的集合就一定沒有最大的數。譬如，所有不大於1的正數當中一定有最大數——1，因為這些數的集合是左開右閉的區間 (0, 1]，數1不僅屬於這個區間，而且大於該數集中的任何其他數。由此可見，無窮多個實數組成的集合可以有最大數，也可以沒有最大數。正因為最大數時有時無，這個概念留給我們一點遺憾。在數學中，實數之間的大小比較是個基本操作，然而在有的時候，“靠不住的”最大數實在幫不了我們多少忙。
上確界和實數完備性
怎麼辦呢？數學家是聰明無比的，他們總能想出點子，克服“最大數”這個初等數學中很實用的概念在高等數學中的不足之處。這個點子出在考慮大於或者等於給定實數集中的所有數的那些數構成的“上界之集”。
作為闡述這個好點子的佳例，我們再仔細瞧瞧沒有最大數的開區間(0, 1)。這個集合是“上有界”的，即存在一個實數，比如2，它總是大於或者等於該集合裏的每一個數。2被稱為該數集的一個“上界”，英文是upper bound。一個顯而易見的事實是，因為實數2是(0, 1)的一個上界，任何比2大的數也是同一數集的一個上界，因而區間(0, 1)具有無窮多個上界。問題是在所有這些上界中，有最小的數嗎？即這個數不僅是給定數集的一個上界，而且更進一步，它總是小於或者等於同一數集的所有上界。如果它存在的話，那麼這個最小的上界稱為給定數集(0, 1)的上確界，這是英文數學術語least upper bound的中文翻譯，不知出自哪位華人數學家之手。這個翻譯的優點是精煉，只用了三個漢字就簡潔譯出了三個英文單詞，數目對等，但是沒有譯出原詞組的直接含義：least=最小，upper bound=上界。上確界更形象化、更容易看懂的中文翻譯是“最小上界”。顧名思義，最小上界就是所給數集所有上界中最小的那個數。顯而易見，如果數集的上確界存在，那麼它是唯一的。如果實數s是數集A的上確界，則記為s=l.u.b. A或丟掉點號的lub A，也可寫成s=sup A，其中 l.u.b. 或 lub 是least upper bound的三個首字母，sup 為 supremum（上確界）的前三個字母。
且慢，習慣思考並且敢於質疑的那些讀者開始反問了：上述宣稱隱含了一個武斷的前提：所有上界中必定會有最小數。既然有無窮數集中不存在最大數的例子，難道就沒有全體上界中不存在最小數的例子嗎？而另外一些讀者這時可能開始迷糊了。不要緊，當年讀南京大學數學系，在第一學期的《數學分析》課上，聽顏起居（1936-2011）老師講解“上確界”時，我們也有一部分同學有點迷迷糊糊了。要想不被“迷糊”牽住鼻子走，最好的方法還是先讓例子帶路，引導我們登堂入室。
先來看一看區間(0, 1)的所有上界到底會組成一個什麼樣的集合。我們剛才舉了一個上界2的例子，自然比2大的數統統也是上界。另一方面，顯然1.5也是一個上界，另外，1.1、1.01等等都是。那麼1是不是一個上界呢？仔細一想，也是呀。進一步地想，某個比1小的數，比如0.9999，也會是個上界嗎？前面已經指出，區間(0, 1)中的數0.99999比它來得大，所以0.9999失去了成為上界的資格。如此分析的結果就是：有界數集(0, 1)的上界全體就是無窮區間[1, +∞)，這個“左閉右開”的無窮區間當然有最小值1，換句話説，(0, 1)的所有上界組成的集合確實有最小數1，即1是區間(0, 1)的最小上界。
這樣一看，一個數集的最小上界具有如下兩個性質：1.它是該數集的一個上界；2.在該數集的所有上界當中，它是最小的一個。從前面的簡單例子可以想象，如果一個實數集合是上有界的，即它存在一個上界，那麼它一定有上確界,即所有上界中的最小數。這實際上是實數系統的最重要的性質，稱為“實數的完備性”。儘管我們在中學就和實數打了不少交道，可是我們對此卻一無所知，因為理解它比較困難，而且不學微積分無需用它。事實上大部分的高等微積分著作也不證明它，比如當年我們大一大二所用教材、吉林大學江澤堅（1921-2005）教授等編寫的《數學分析》也不想對這個實數最重要的性質加以證明，乾脆將它列為“完備性公理”，只用不證。當然，這條“公理”不像著名的歐幾里得幾何第五公設那樣“不可證明”，而是可以證實的，但是論證它需要實數的構造理論，涉及到像“戴德金分割”或“有理數基本序列”等較為困難的概念。有的大部頭高等微積分教科書或教學參考書，比如我們讀大學時課外鑽研的、蘇聯數學家菲赫金哥爾茨 (Grigorii Mikhailovich Fikhtengol’ts，1888-1959) 所著百科全書式的那套八冊中譯本《微積分學教程》，開頭就是“實數理論”，其中證明了這條實數完備定理。
綜上所述，我們知道，一個有上界的無窮數集不一定有最大數，但一定有最小上界。
至此，我們已經回答了本文的標題提問——最大數和最小上界這兩個數學概念不是一回事。當然，如果集合僅僅包含有窮多個實數，該數集不僅存在最大數，而且最大數同時也是集合的最小上界。然而，如果集合包含了無窮多個數，則有可能它沒有最大數；並且也可能沒有上確界，除非它是上有界的。道理很簡單，一個上界也沒有的實數集合怎麼可能有最小上界呢？所以在實數完備性的陳述“若非空實數集有上界，則它有上確界”中，不能忽略每一個字。
阿基米德性質
舉兩個簡單例子以鞏固我們的認識。一是集合{1, 2, 3,…, n,…}。因為該可列數集缺乏上
我們繼續探討最大數與上確界之間的關係。儘管無窮數集既不一定有最大數，也不一定有上確界，但只要數集含有最大數，該集合也一定有上確界，並且兩數相等。這是為什麼呢？我們還是按照上確界的定義（即它前述的兩個性質）來證明這個斷言。首先所給數集的最大數自動成為該集合的一個上界；其次，任給集合的一個上界，則它大於或者等於集合中的任一個數，特別地，它大於或等於集合的最大數，這就證明集合的最大數是集合所有上界中的最小數，即數集的最大數等於數集的最小上界。由此可見，對於有上界的實數集，上確界的概念直接推廣了最大數的概念。
然而，一旦我們偷懶，僅僅侷限在有理數集合裏玩弄微積分，“上確界”的概念馬上黯然失色，微積分這個數學巨人也就萎靡不振了，基礎鬆動，散了架子，大廈將傾，微積分中的幾大定理，什麼單調收斂定理、閉區間套定理等，正好可用成語“皮之不存，毛將焉附”來描繪其不復存在之慘狀。
就代數結構和運算而言，有理數集合同實數集合同享榮耀，它們關於加法和乘法運算都是好數域，都具有大小關係。此外，相較於實數集，計算機科學家或電腦程序員可能對有理數更覺親近，因為無理數無法在計算機內被精確表示，只能四捨五入，誤差趁機入侵。這樣，常用電腦程序計算的科學家和工程師，大概很想離無理數遠遠的。
然而，數學家就是另外一類人了。有理數失去的是“完備性”，更正式地説就是：在全體有理數的集合裏，上有界的子集合不一定有上確界；或言之，不一定有最小的上界。我們拿最有名的無理數——圓周率π來構造一個沒有上確界的有界集合例子。我的高中數學老師教會了我怎樣背誦圓周率的前15個數字，故我能寫出π= 3.14159265358979…。按如下的方式定義一個有理數數列
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,3.14159,3.141592, 3.1415926,3.14159265,…。
√2存在嗎？
我相信即使是以前沒有接觸過相關概念的讀者，也已經足夠了解上確界的基本思想以及實數的完備性了。現在，我們想借助這些知識，來證明2的算術平方根的存在性，即存在一個記為√2的實數，它的平方等於2。讀過中學代數的一些人可能都要“抗議”了：這個事實還需要證明？誠然，他們的代數教科書裏早就寫滿了√2，但就像中學代數里無理數指數冪的嚴格定義需要高等數學裏的單調收斂定理做後盾，√2作為無理數存在的嚴格論證也離不開實數完備性的一臂之力。
因為畢達哥拉斯定理的發現，古希臘人覺得√2一定存在，因為單位正方形的對角線的長度就是它，難道這個長度不存在嗎？然而，他們驚訝地發現測量這個長度遇到了“不可公度”的困難，這也成為數學史上第一次危機的源頭。歐幾里得（Euclid，約公元前330年-公元前275年）在他的輝煌著作《幾何原本》中證明了√2不是有理數。這個論證過程是簡潔的、漂亮的、標準的，被英國上世紀上半葉的純粹數學家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）放進了他著名的隨筆小書 A Mathematician’s Apology（《一個數學家的辯白》），作為關於“美的數學證明”的一個範例。
證明用的是反證法：假設√2是一個有理數，那麼存在兩個正整數m和n，它們沒有大於1的
為了驗證讀者是否理解了上確界的概念，我給出一道測驗題：請你求出下面一個數集的上確界。該集合由所有形如(-1)^（m-n）/(m-n)的分數組成，其中m和n為任意兩個不相等的自然數。這是我在大學講授高等微積分課時，面向高年級本科生和低年級研究生，為某次期中考試出的第一題。
與最大數相對應的概念是最小數，同樣，與上確界對應的概念是下確界，英文表述是greatest lower bound或infimum，故實數集A的下確界記為g.l.b. A, glb A或inf A。一個數集的下確界是這樣的實數：它首先是給定數集的一個下界，即它小於或等於集合中的所有數；其次它是集合的所有下界中的最大數，即它大於或等於集合的任何下界。故下確界的更易懂的稱呼是最大下界,正是英文對應短語一目瞭然的直譯。實數的完備性關於下確界的斷言是：如果給定數集是下有界的，則它有下確界。與上確界的情形類似，如果集合有最小數，那麼它也有下確界，並且兩數相等。
高斯曾經説過：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。”套用他的句型，我們也可以説：極限理論是微積分大廈的基礎，確界概念是極限理論的奠基石。實數的完備性——有界數集存在確界，可以推演出極限理論中的幾大定理。在本文的最後，我們列出關於數列的單調收斂定理，再次領略確界的魅力。
單調收斂定理説：如果單調遞增（減）數列是上（下）有界的，那麼它收斂。在論證定理
學習精妙的數學概念，並非僅僅為了增加數學知識，更是為了強化人的思維能力。在當今世界，所聞信息五花八門，魚龍混雜，令人不易分辨真假對錯。提高自己的識別能力有一個好方法，就是強迫自己試圖理解從未見過或以前老師沒有教好的數學概念，分析一個數學名詞定義內的邏輯關係及其延伸推論，以及與其他概念的聯繫。如果有條件獲得這種提升自身邏輯判斷能力的機會，過不了多久，你的腦袋瓜裏就慢慢長出孫悟空的火眼金睛，得以看清周圍眾多説辭背後的真實邏輯。這也是我撰寫本文，用盡量淺顯的語言介紹“上確界”概念的一個初衷。
致謝：感謝《返樸》周編輯細心審讀並改正一處誤寫。
寫於2024年1月22日星期一
美國哈蒂斯堡夏日山莊
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協科普部
監製：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
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