代數無處不在：交叉融合發展下的有效引擎_風聞
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代數學是伴隨着早期文明的產生而產生的，它是最早的、有組織的智力活動之一。代數化是20世紀數學發展的一個重要特徵和有效引擎，將代數的思想和方法滲透到其他領域的研究中，所呈現出的“交叉融合”的數學傾向是20世紀數學發展的特色之一。
撰文 | 閆焱（華北理工大學理學院教授）、鄧明立（河北師範大學數學科學學院教授）
代數化趨勢的形成
代數學的歷史可以追溯到什麼時候呢？最早的代數起源於度量、計時和土地測量等實際問題。據記載，在公元前3000年左右，埃及和巴比倫的文明中就產生了以實用為目的的數學。在數學這條困難重重的道路上，古埃及人大大推動了人類的進步，他們創造了最早的方程。古巴比倫人則在數學道路上走得更遠，為了求解一些特殊形式的方程，他們創造了用特殊符號代表未知量的方法，這些都是代數早期的初始形態。在數學史上古希臘人是至高無上的，公元前4世紀古希臘時期不僅誕生了真正的數學，從哲學到民主制，應有盡有，這一時期的數學、社會及文化共榮發展。古希臘數學家丟番圖（Diophantus，約246-330）是代數學重要的創始人之一。在13卷鉅著《算術》中，丟番圖發明了用字母表示未知數的方法，並開始解答含有若干未知數的方程，為此還發明瞭能簡化解題過程的運算定律[2]。印度文明可以追溯到公元前2000年，但是據記載，他們在公元前800年以前是沒有數學的。古印度代數學主要被用於天文、利息與折扣計算、合股分紅、財產劃分等，在代數學的表達上採用縮寫文字和一些記號來描述運算，但是這一時期符號的使用比丟番圖的縮寫代數用途更加廣泛。
“代數”一詞可以追溯到公元9世紀阿拉伯數學家、天文學家花拉子米（Al-Khwārizmī，約780-約850）的著作《還原與對消的科學》(al-jabr wal muqābala) 中的“al-jabr”，該詞的本意為“還原”，即在方程中將負項移動到方程的另一端“還原”為正項。“代數”這個詞並沒有被翻譯成拉丁語，人們直接用它來表示這個尚未命名的新數學分支，該詞後來在英語中的用法與代數一詞的用法相同，後被簡譯為“algebra”。1859年中國數學家李善蘭（1811-1882）與英國漢學家偉烈亞力（A. Wylie, 1815-1887）合作翻譯了德·摩根(A. de Morgan, 1806-1871)的《代數學基礎》(The Elements of Algebra)，首次將“algebra”譯成“代數”，由此代數作為新數學學科被引入中國，開啓了西方代數學在中國進行傳播的新紀元。
從5世紀到11世紀，代數學的發展在整個中世紀處於凝滯狀態。12世紀在數學史上是翻譯者的世紀，當阿拉伯和希臘的一系列著作被陸續翻譯、傳播到歐洲以後，歐洲數學開始復甦。13世紀前期，歐洲各地興建了一些歷史上著名的大學，代數學在這些大學中得到了重視和發展。在14世紀的文藝復興時期，數學像美術、音樂、文化以及科學一樣在歐洲繁榮了起來，並且發生了根本性的變化，據記載這種新的數學開始於代數學中的發現。意大利數學家在求代數方程的精確解方面取得了重大的進步，他們的算法已經遠遠超出了自美索不達米亞時代起任何解方程的算法。此外，意大利數學還出現了另一種趨勢，即用代數學去解決科學中的問題。意大利科學家、數學家及發明家伽利略的工作最能説明科學家已經開始注重用代數學作為表達自己思想的語言。伽利略的名著之一《關於兩門新科學的對話》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中遍佈着代數學思想[1]，但是這並不是一部代數學著作，而是一部關於科學的著作，伽利略在這部著作中利用代數函數的文字形式表述了自己的科學觀點。伽利略的代數學方法告別了過去，因為在以往的一千多年來，幾何學一直都是進行科學探索的語言，科學家與數學家們常常使用直尺和圓規來表達自己的思想。儘管伽利略通過代數函數描述了物體的物理性質，遺憾的是，他沒有使用便捷的代數符號來表述這些思想。
但是16世紀代數學的重要進展已經成為數學最顯著的成就。以費羅（S. D. Ferro, 1465-1526）、塔爾塔利亞（N. Tartaglia, 1499-1557）、卡爾達諾（G. Cardano, 1501-1576）、費拉里（F. Lodovico, 1522-1565，人們習慣稱其名）等為代表的數學家（他們都略早於伽利略）發現三次和四次方程的代數解為主要標誌，大大推動了代數方程的研究和發展。16世紀末到17世紀，產生了近代數學的三大基礎學科之一的符號代數學。符號代數學（或字母代數學）的產生並沒有改變代數的算法本性，並由此派生了兩類相關的新問題[2]：計算對象以及計算法則。韋達（F. Viète, 1540-1603）是第一個系統地引入代數符號的數學家，依照今天的代數視角，這個符號體系不但複雜而且效果甚微。隨後，笛卡兒改進了韋達的符號體系，比如在語言上笛卡兒使用的是易懂的法蘭西口語，在形式上去掉了許多不必要的限定條件。1628年，笛卡兒將前人的幾何分析方法同近代人的代數方法相結合，從而形成了統一的普遍數學（構造出普遍方法來解決科學問題，特別是數學問題，對此笛卡兒稱之為普遍數學），從而完成了符號代數學的建立，這套符號體系被廣泛用於解決各個領域中的實際問題，如土木工程、軍事工程、天文學、航海學、會計學等。
古典代數學大多使用的是語言描述，現在使用的代數符號是在17世紀沿用下來的。在數學史上，17世紀是一個引人注目的富於開創性的世紀，世界數學進入了近代數學時期，這一時期數學發展的特徵是代數化趨勢明顯。最為典型的就是笛卡兒把變量解釋成數量（即線段的長度），使他首創了將代數方法作為研究幾何學的一種工具，建立了解析幾何學，實現了代數與幾何方法的統一，並將此方法付諸解決科學問題。代數學的發展史是伴隨着漫長的符號化進程的：從數字及其表示的符號化→運算的符號化→關係的符號化→各類量的係數符號化→更一般對象的符號化。在這種背景下，笛卡兒和萊布尼茨產生了邏輯符號化的思想，這種思想後來發展成符號邏輯，成為數理邏輯（重要的數學基礎之一）的前身。事實上，符號化是使問題代數化至關重要的一步，它使得初等幾何學問題變得代數化、形式化，從而為程序化以及機械化證明奠定了基礎。在這種符號化的演變過程中，代數學作為一種符號語言，從字符體系的發明開始，不僅在數學中贏得了突出的地位，也促使數學家在表述自己思想的同時，不斷持續提升對符號系統的思維意識。
18世紀分析學在一定程度上推動了代數學的進展，在方程演算不斷發展的過程中，數值計算（或近似計算）以及方程理論問題逐漸成了代數學發展的新傾向和主流。儘管如此，符號代數學的產生並沒有改變代數的算法本性，但由此派生了兩類相關的新問題：計算對象以及計算法則。大約在1840年前後，代數學發展成為對任意對象進行運算操作的一門科學。計算對象以及計算法則又得到了新的發展，計算對象進一步擴大，特別是行列式、矩陣、置換、變換等均可以成為運算的對象，只是它們的計算法則不一定服從數的運算法則。計算法則更加系統，比如冪等律、德·摩根律等新規則的確立。此外，代數符號化促使了結構形式化的發展，這使得從1840年前後到1920年前後，在抽象羣理論、交換環論、交換代數理論、域論、結合代數及非結合代數理論以及李羣理論的發展過程中，形式地推廣促進了不同問題的解法統一成共同的算法，這些都推動着代數學逐漸走向了結構數學研究的道路。
近世代數學——研究抽象代數結構的一門結構數學
19世紀數學家發現對於五次、六次乃至次數更高的方程找不到求根公式，在這種情況下，數學家希望創造出另一種代數，轉向一個新領域。這一時期，整個代數學由於羣及域的觀念而使其自身發生了根本的改變，這種遠離古典代數學的異端在最初並不被世人所接受，經過了四五十年的發展之後，人們才開始意識到數學的對象除了“數”與“形”，還有“羣”這類抽象的對象。19世紀中後期，諸如羣一樣的抽象對象層出不窮，代數學迎來了新的局面，這為代數結構觀念在20世紀的發展奠定了基礎。19世紀末，當抽象羣可以概括所有具體羣的共同性質，抽象羣概念隨即誕生，並且可以很自然地把許多具體羣論的結果都推廣到抽象羣中。由於羣概念的日趨成熟且涵蓋了當時大部分的數學，因此一大批數學家嘗試以羣的觀念來統一數學。另一方面，在集合論的刺激下，產生了探索數學基礎的運動熱潮，20世紀初形成了三大“數學哲學”學派：直覺主義學派，其代表人物是布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881-1966）；形式主義學派，其代表人物是希爾伯特；邏輯主義學派，其代表人物是羅素。三個學派堅持用各自的主張統一數學，儘管都有成就，但是均以失敗告終。
數學史上，近世代數學思想的發展經歷了由“戴德金（J. W. R. Dedekind, 1831—1916）→希爾伯特→諾特→範·德·瓦爾登”的過程。戴德金作為庫默爾（E. E. Kummer, 1810-1893）的得意門生，他在庫默爾理想數的基礎上，提出了理想概念（復整數的集合），建立了理想理論，實現了從數到集合的推廣。戴德金的代數學思想影響廣泛，希爾伯特、諾特等大批數學家都傳承了他的數學思想。特別是諾特，她曾參與編輯出版了戴德金的三卷全集[2]，這讓她對戴德金的工作有了深入的思考，並用自己的思想和邏輯體系呈現並凝練出了驚人的近世代數成果。諾特的抽象代數系統研究始於理想理論，特別是她對交換環論的工作使之成為代數學的重要研究領域，並且在數學中產生了強大的內交叉效應，促使了很多其他數學分支的發展。1930-1931年，得到諾特真傳的範·德·瓦爾登出版了《近世代數學》（Moderne Algebra），確定了代數結構化的思想形成，成為數學代數化趨勢的思想源泉，標誌着抽象代數學正式誕生[3]，這部書也被世人公認為是抽象代數學發展過程中的一個里程碑。在隨後的幾十年中，這部著作為代數學的寫法建立了一個類似範·德·瓦爾登的範式，它以結構為指向的“近世代數學”從根本上改變了代數學的整個面貌。1950年代第四版起改名為《代數學》（Algebra），對此範·德·瓦爾登解釋説，在1930年還可以稱為是近代的代數學，在今天，這就是代數學了。
19世紀羣論的誕生，驅動着代數學向抽象代數方向發展，數學對象及方法得到了大範圍的推廣。在這一時期代數學的發展方向產生了幾次拐點，比如方程數值解法和近似解法的發展、方程論及置換羣論的發展、抽象羣及表示論的產生、型論及不變式論的發展、消元法技術的產生、交換代數理論的產生、四元數及其各種推廣、非結合代數的產生等。
19世紀數學的多樣性在代數學的演變中得到了淋漓盡致的彰顯，伴隨着代數學的發展，抽象化為20世紀結構數學的誕生植入了強大的動力，在數學基礎與數理邏輯的研究中，集合的觀念、公理化方法和結構的意識愈演愈烈。20世紀20年代末至30年代初，抽象代數逐漸成為代數學的主流，其研究的對象是滿足若干條件、具有代數運算的集合。在這一時期，“代數”一詞有兩種含義：一是作為一個數學分支；二是作為一種代數結構，如前面所提到的羣、環、域，它們都是由一些公理來進行定義的。從結構的角度研究代數是20世紀代數學研究發展的一個趨勢，抽象代數討論代數結構，其中最基本的對象是羣、環、域，其他對象都是這三個對象衍生出來的[4]。在20世紀的前幾十年裏，很多數學家都在他們各自認知的領域裏，深入挖掘是否存在羣、環、域這些結構，以便在更抽象的結構層次上考慮問題。羣作為最純粹的代數對象，具有應用性廣、抽象度高的特點。環和域雖然具有較為複雜的代數結構，但是它們擁有極為明顯的數的背景，而且它們的發展完全與數的推廣密切相關，因此在數與多項式的背景下，理解環和域是比較形象的。諸如環、域和模等許多代數結構都可以看成是在羣的基礎上衍生出來的，由此可見在代數中羣具有最基本的重要地位。
1930年代，“新數學基礎”運動席捲數學界，布爾巴基學派就是在這種背景下產生並初顯他們所提倡的結構主義運動端倪的，結構數學由此應運而生。與經典數學的數與形不同，結構數學關注的是對象的結構。數學結構主要是一些對象的集合，着重考慮的是它們之間的關係，對於抽象的集合，元素和元素之間除了它們有共同隸屬於該集合這種共性之外，一旦元素之間存在一些特殊的關係，結構也就產生了。定義結構的方式一般是這樣引入的：首先，需要闡明一系列法則，然後數學家對服從這些法則的對象進行研究，這些法則用數學術語來説叫作公理。在某一個學科體系內建立公理具有一些顯著的好處：第一，這些法則使得研究範圍清晰化；第二，人們通過事先約定法則，可以確保在討論數學對象時所有人頭腦中想的是同樣的對象;第三，可以依法則為基礎進行邏輯推導，從而得出一些起初從法則本身沒有預見到的事實。
代數學的滲透與應用
在集合化和公理化浪潮的作用下產生了很多的抽象結構，由此引發眾多數學研究者投入到創建新方法、發展新理論、實踐新交叉或者新應用的研究中。眾多數學家喜歡追求清晰的數學結構，在這一過程中經常會流露出一種常見的數學哲學思維：拋開多餘的信息，抓住問題的本質。數學推理的魅力常在於找到一個框架，在其中將試圖證明的結果變得幾近明顯，數學的創造力主要在於找到這樣一個框架。正如數學史的發展長河經過上百年的洗禮，數論、代數、幾何及分析四個互不相干的數學領域逐步形成了一種共同的代數結構——交換代數。代數數論、代數幾何和不變量理論可以視為是交換代數的三大起源。反過來，交換代數也通過交叉滲透去影響這些領域的發展。
20世紀的數學發展中一個重要趨勢是不同學科互相滲透和由此發生的統一，其中諾特所開創的抽象代數學以及她的抽象思想方法不僅奠定了代數學的未來發展，也促使了整個數學“代數化”趨勢的產生，特別是交換環理論的交叉應用。代數數論的研究也從早期側重算術方面的研究，轉移到側重代數方面的研究。歷史上，代數數論中的唯一分解定理、理想、模等為交換代數提供了早期的框架。再有，作為19世紀最偉大的數學創造之一的代數幾何，該理論體系中最原始的公共零點以希爾伯特不變式論的形式，構建了諾特環的基礎理論。反過來，交換代數為代數幾何提供了有力的工具，兩者之間的界限現在已經逐步消失，並融入數學的前沿領域中[3]。還有，19世紀的代數函數論曾是數學研究的核心地帶，許多數學家將代數函數論作為代數幾何的超越理論加以論述，這樣代數函數論很自然地被融入代數幾何併成為其中的組成部分。由此從幾何的角度，代數函數論被納入代數幾何學範疇。到了20世紀中葉，代數函數論同一般域上的代數曲線論被納入交換代數範疇，這是典型代數化的作用影響結果。回顧展望這些與交換代數相融合的理論，不禁感嘆這位偉大的“抽象代數之母”——諾特，是她賦予了抽象代數這門學科旺盛的生命力，並在很多學科領域植入了抽象代數這顆強大的種子。
多學科交叉融合是數學創新的重要來源之一，在數學中很難有哪個數學分支能夠與代數學的歷史變遷同日而語，代數學既承載了數學發展史中的經典厚重，又勢不可擋地展現了交叉融合背景下不容忽視的強大力量，使其思想和方法不斷滲入許多學科領域之中。諾貝爾物理學獎獲得者、美籍匈牙利理論物理學家維格納（E. Wigner, 1902-1995）曾在他1960年的里程碑式的論文《數學在自然科學中不可思議的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）中提到[1]：
“這是一種奇蹟，代數學的不可思議的有效性隨處可見。”
20世紀以來，不同分支領域的數學思想與方法彙集碰撞、成果交流，代數學在這一過程中成了交叉融合發展理念下的有效引擎，它通過與其他學科的互通互融，算子代數、代數拓撲、代數組合等新學科如雨後春筍般破土而出。20世紀偉大的德國數學家外爾在《半個世紀的數學》（A Half Century of Mathematics）中曾寫道：
“羣的概念是由年輕的法國天才伽羅瓦引進的，現在已經擴散到整個數學中，沒有羣就不能理解現代數學。”
由於羣結構具有普適的一般性和外延的張力性，在派生數學新領域、新內容的過程中，羣方法成為極具創造性的思維模式，代數學成了20世紀融合發展理念下的有效引擎。代數學通過與其他學科的交叉融合，代數拓撲、代數組合等新學科如雨後春筍破土而出。正是在這種不同學科間的交叉融合中，現代數學彷彿被注射了一支活力劑，蓬勃發展，方興未艾。從羣論的觀點來研究組合數學，這為組合數學注入了新的活力，亦為代數組合這門學科找到了適合的生長點。國際數學界常將代數組合（algebraic combinatorics）視為“組合對象的表示理論”或“沒有羣的羣論”。代數組合是組合數學與抽象代數兩門學科的一個重要分支，除了可以利用代數方法或結論研究組合問題，也可以利用組合方法或結論研究代數問題。代數組合的特色魅力就在於通過數學結構，本質上彰顯了在數學統一性的趨勢下表現出來的代數學的滲透與應用。
代數組合的起源可以追溯到數學領域的不同分支，其中一個重要起源可以追溯到羣論中舒爾（I. Schur, 1875-1941）在1933年關於舒爾環的工作。最初舒爾環是用來研究具有正規子羣的本原置換羣的，其中大部分的結論後來被發現也適用於具有正規羣作用的本原結合方案（代數組合中的一個核心概念和重要的研究方向）。此外，代數組合這門學科的研究歷史可以與羣的特徵理論媲美，包括弗羅貝尼烏斯（F. G. Frobenius, 1849-1917）、舒爾和伯恩賽德（W. Burnside, 1852-1927）的研究理論。特別是20世紀30-60年代，羣論專家維蘭德（H. Wielandt, 1910-2001）和希格曼（D. G. Higman, 1928-2006）等人關於有限置換羣的工作（置換羣的中心化子環）[5-7]，由此打開了新的局面，促進了代數組合領域的發展。代數組合與有限羣論、編碼、圖論、組合設計有着密切的聯繫，在調和分析、代數幾何、表示論和數學物理方程中發揮着積極的作用，並且在化學、信息論、計算機科學、工程技術等領域具有重要的工具價值。自代數組合被系統研究以來，許多羣論的概念和性質被發現可以推廣到結合方案上來，例如：子羣、正規化子、有限羣的冪零性、西羅定理等。不僅是羣中的概念和性質，類似有限羣的表示理論，結合方案的表示理論也是研究結合方案數學結構的有效途徑之一。這些信息都揭示出一個強烈的信號，在代數組合中看似沒有羣的結構，但是其學科體系中卻藴含着強大的羣論思想和“沒有羣的羣論結構”。“代數組合”一詞首先是坂內英一（E. Bannai，1946-）於1979年在日本著名刊物《數學》（Sugaku）上發表的《代數組合論》(代數的組合せ論) 這篇評論性文章中提出的[8]，由此宣告了這門學科的誕生。坂內英一一貫主張以純粹數學的觀點來研究組合學，堅持用羣論的視角為組合學的研究開創新的思路和方法[9]，從而建立起“代數思維”與“代數組合中思維實踐”之間的關係思考，這正是20世紀這個統一的時代所彰顯出來的一種特色趨勢——“代數學無處不在”。
回望歷史來路，汲取歷史智慧，代數學的能量是巨大的。代數學不僅是集合、符號和思維的語言，更是貫穿在科學中的工具。正如數學已經成為科學的語言，代數學通過一代代數學家們的踔厲奮發，篤行不怠，儼然成為數學的流行語言，並實現了將許多種類各異的、高度數學化的學科進行代數化處理。在人類思考和探索代數學發展的歷程中，每當所有的代數難題被攻克或者即將被完成的時候，一些全新的問題、學科分支和新思想便會出乎意料地浮出水面，使得人們重新思考之前的知識積累並加以拓展延伸。代數學正是在這樣的歷史進程中，逐漸彰顯出其巨大的能量，成了很多現代數學乃至科學與工程研究中必不可少的組成部分。
[本文相關研究得到國家自然科學基金(12171137)的資助。]
參考文獻
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本文經授權轉載自微信公眾號“科學雜誌1915”，刊載於2024年第76卷第1期《科學》雜誌（P29-P34）。
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