他們或許忘光了公式，卻最懂怎樣學數學_風聞
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他認為，中國的教育太重視記憶術了，把學生大腦的存儲功能，挖掘到極致，但對大腦的最重要功能——思維——卻不聞不問。不會思考或不想思考，是中國幾千年填鴨式教育的後果之一。
1986年元旦，對我頗有紀念意義。那天中午，我從上海飛往美國讀博，在舊金山進關並住宿一夜，第二天清晨飛去密歇根州立大學。所以那天我在中美兩國各度了“半個元旦”。
1990年夏，我在李天巖（1945-2020）教授門下獲得應用數學博士學位，隨即受聘南密西西比大學數學系，迄今教書三十三年半。回憶起當年受教的點滴，很有體會感想。
考試歷史中的一個污點
我就讀數學系的研究生事務主任普拉金（Jacob Plotkin，1941-）教授，對那時中國研究生的強項劣勢瞭然於胸。在我報到的第一天，他就規勸我：數學不要慌，英文先大抓。雖然我聽從了他的建議，修了英語聽力與寫作兩門課，但除了正式註冊顏憲堯（David H. Yen，1934-2011） 教授的一門數學課外，我還旁聽了幾門研究生課。其中兩門是博士生兩大過關考試之一——博士資格考的課程，目的是一箭雙鵰：既能幫助提高英文聽力水平，又能複習鞏固資格考的數學內容。顏教授是系裏指派給我的學術顧問，如果我需要修課方面的指導，就可以找他請教。
博士資格考基於的這兩門一學年課，所覆蓋的內容——分析與代數——我在南京大學數學系讀本科時基本學過，但時隔多年未再複習，不重温一下是不行的。事實上，我到達學校的1月2日晚上，一直對我幫助很大的博士生沈韻秋就告訴我，系裏當天已經考過上半年的資格考第一門，第二天繼續考第二門。他建議我去試一下，反正按規定，剛進校就參加資格考通不過，不算失敗。於是我在翌日上午，昏昏沉沉地就去碰運氣了，但是卻碰上了難題，因為我的記憶庫經多年失修而漏掉許多公式，結果沒考過。儘管這個大膽的倉促應試，沒給未來的博士論文導師李天巖教授留下不佳印象（但他常説資格考僅用來“考美國笨蛋的”），我實在是慚愧不已，因為這是自己的考試歷史中一個刷不掉的污點。我聽説在秋學季開學前，有兩個四川大學的年輕碩士前來攻博。他們向系裏要來過去幾年資格考的卷子看了看，準備了十來天，就通過了9月初的這兩門考試。而4個月後冬學季剛開始，他們又通過了更難的兩門“博士預備考”。如此的神速讓我自嘆弗如。這兩位成都數學才子——呂克寧和鄭德超——做學問的精神與做人的方式都一直為我所敬重，幾十年來他們已成為各自研究領域中的佼佼者。
但是，我對自己的實力是有自信心的。回想起剛進南大時，看到早一個月入學的同學，好像都是“拼命三郎”，個個似乎“武林高手”。不少人超前學習，彷彿什麼都懂，嚇得我一週下來瘦了一圈，讓來南京出差順便看我的家兄大吃一驚。但是不久我就發現，只要我能真正搞懂關鍵數學概念，循序漸進，學習上就會立於不敗之地。多年中逐步養成的自學能力，這時派上了用場，很快就在同批錄取的學友中脱穎而出。我至今清晰地記得，第一學期教我們《空間解析幾何》課的王永成（1939-）老師對我們説的話：“我大學畢業時幾乎忘光了所有公式，但我卻學會了怎樣學數學。”的確，掌握學習方法，遠比牢記所學內容更為重要，這和成語“授之以魚，不如授之以漁”所藴含的道理一樣。後去上海交大任教的王老師成了一位在漢語排版方面頗有建樹的計算機專家，大概和他學會了“怎樣學數學”不無關係吧。他早年“忘光公式”的讀書經歷，驗證了日本菲爾茲獎得主廣中平佑（Hironaka Heisuke，1931-）所説的名言：“學習的目的在於掌握智慧。”
我又像當年進南大一樣地埋頭讀書了。儘管時差困擾了我好幾個月——白天進了教室就想睡覺，半夜三更時卻精神十足。一個學季後，我就通過了密歇根英文考試，不必再修聽力與寫作課了。我入學前因託福聽力考分未達標而導致的“條件錄取”，也因此升為名正言順的“正規錄取”。從春學季起，我的主要精力用在了數學上。我不僅註冊了要交學費的研究生課程，而且還旁聽了其他的數學課，它們中的一些與我當時設想的未來研究方向沒有直接關係，但我比較喜歡涉及不同領域，儘量拓廣知識。就像在南大時，學習再忙也堅持閲讀人文書刊，在這裏我像海綿一樣地吸收純粹數學的營養。為了儘快通過博士資格考，我繼續旁聽這兩門基礎課。其中具有歐洲紳士風度的拉彭（Peter A. Lappen）教授講授實分析時不苟言笑，一進教室就上黑板，板書龍飛鳳舞，他大概是我這輩子見到過的寫得最快的人。當年9月初，我就順利通過博士資格考，第二年一月，又考完了兩門博士預備考，從日記中看至少有一門考了第一。
多多益善的討論班
密歇根州立大學數學系應有盡有的課程設置和多多益善的討論班，成了我取之不盡的知識源泉。系裏還擁有一個藏書豐富、裝飾典雅的圖書館。當我報到的第一天，從研究生事務主任的秘書手中，接過除了助教辦公室及大樓以外的系圖書館鑰匙，我差點驚呆了，竟然如此相信剛來唸書的外國研究生，不怕書被偷了？回想起母校南京大學圖書館曾經相信過學生，為了方便他們起見，實施開架借書，結果幾個月下來，許多書就不翼而飛了，因為部分讀書人堅信魯迅為小説《孔乙己》的主人公創造的名言“竊書不能算偷”。可是在這裏讀書的那幾年，我從未聽説系圖書館的“監守自盜”。每個人充分享受使用圖書館的便利，尤其是在靜謐的夜間，坐在舒適的單人沙發上，沉浸在數學思維的海洋裏，感覺真是美妙至極。
在唸書的四年半中，我修過、旁聽過的各門課老師，各有授課特色與個人風格。我修第一門數學課的老師顏憲堯教授，原籍山東，是孔夫子得意門生顏回的直系後代。他在紐約大學柯朗數學科學研究所獲得博士學位。大數學家希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）的學生和同事柯朗（Richard Courant，1888-1972），逃離納粹德國後，以祖國哥廷根大學曾經輝煌的數學風格建立的這個研究所，其應用數學在美國是龍頭老大。顏教授比李教授年長十一歲，彼此是親密無間的同事。我修此課是李教授建議的，儘管這門《偏微分方程數值解》的基本內容，我早在大三時學過。顏教授精通力學和微分方程，講課風格如同他的處世為人，穩重厚實、邏輯嚴謹；説話語氣是從容不迫、四平八穩；板書則是小巧靈秀，與他高大的身材形成有趣對照。我從他那裏學到了做學問的嚴密和做人的平和。
我也從其他教授的課堂中學到了有用的知識，同時目睹了他們的講課特徵，並能薰陶於獨特的教書藝術。1988-89學年，我註冊了阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授的《高等泛函分析》。阿克斯拉教授具有典型的美國人風格，性格開朗，崇尚自由。他本科畢業於普林斯頓大學，是美國數學界中廣受尊敬的匈牙利裔數學家、數學寫作與演講大師哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的徒孫，論文導師為加州大學伯克利校區的薩拉森（Donald E. Sarason）教授。與其師爺一樣，他也善於教書，清晰的解釋、流利的板書與優美的英文相得益彰。我從本科起，就喜歡泛函分析，畢業前差點去考該學科的研究生。故決定通過阿克斯拉教授的課“更上一層樓”。泛函分析的概念對於計算數學家的功能，相當於高等微積分對於工程師的效用。這門課沒有教科書，只指定了兩本參考書籍——盧丁（Walters Rudin，1921-2010）的Functional Analysis（《泛函分析》）和約翰康威（John B. Conway，1939-）的A Course in Functional Analysis（《泛函分析教程》）。連上三個學季，卻沒有一次考試，全按佈置作業的總分數計算學期成績。讓人叫絕的是教授的評分標準：佈置的習題，做對了得10分，不做得0分，但如做錯了，則得負5分。這就讓修課的學生緊張起來，不敢做錯題。因為不考試，可以想象部分習題有相當的難度。大部分修課者，是那些將來要從事分析、方程或幾何、拓撲方面研究的純數學博士生，其中至少兩人就是教授本人的弟子。但他們也害怕得負分，經常互相討論，不敢輕舉妄動，貿然交題。班上有一位是剛通過國內某個留學基金考來的名校畢業生，計劃跟隨系裏的名教授讀博士，幾年後卻投奔了東海岸更有名大學的更有名教授拿到學位，後來成為某個研究型大學的教授，兼任母校特聘教授。當時他畢竟只有本科文憑，對這門難課信心不太足，不時來問我題目。有次作業發下來，某道題他拿到10分，我卻被倒扣了5分，因為我的解題證明太精煉，而被認定不對。而他卻因和我討論，才會做該題，但寫得較為詳細。當然，我課後向阿克斯拉教授解釋了我的正確答案。仔細考慮後，教授同意把分數從負5分上調為正10分，但不希望今後再看到我作業中的“馬馬虎虎”，從此我記住了他用的這個我第一次見到的英文名詞sloppiness。阿克斯拉教授確是講課高手，以至於我和其他人，提名了他競爭系裏的教學獎，他當之無愧地拿到了。後來我申請大學教職時，他熱情地給我寫了一封推薦信，不吝筆墨地誇獎了我在他這門別具風味一學年課上的“表現”。
但是，真正讓我折服，並對我後來的研究和教學生涯影響最大的教授，就是我投奔他而來的李天巖先生。1985年6月初，當他第一次訪問祖國大陸時，和他已在通信中認識的我，專程飛去中山大學聽他一週講座，目睹了他手舞足蹈的課堂表演，也第一次聽到那篇他與博士導師約克（James Yorke，1941-）合寫的著名論文Period Three Implies Chaos，這題目被他妙譯為“週期三則亂七八糟”。那一週，我在他講座中學到的數學思想，可能比我在整個讀碩士階段獲得的還要多。這種感覺對那些按部就班學習的人來説可能以為是誇大其詞。其實只要讀一讀普林斯頓高等研究院戴森（Freeman Dyson，1923-2020）教授寫過的東西，就會知道這種感覺的強烈。三十歲被奧本海默（J. Robert Oppenheimer，1904-1967）院長挖去當正教授的戴森回憶道，他在芝加哥大學與偉大的物理學家費米 （Enrico Fermi，1901-1954）談論自己以為可行的一項物理計算時，對方的二十分鐘評述，讓他全然相信中國成語“聽君一席話，勝讀十年書”。
我在南京大學數學系何旭初（1921-1990）教授門下讀碩士學位時，從第一個學期起，導師就讓我們弟子舉辦討論班。他也親自參加，不時發表有啓發性的真知灼見。他不光引導我們儘快在研究領域登堂入室，而且培養獨立思考習慣，提高數學演講能力。記得我報告斯坦福大學工程-經濟系統系倫伯格（David G. Luenberger，1937-）教授所著的教科書《線性與非線性規劃引論》（Introduction to Linear and Nonlinear Programming）中關於線性規劃對偶理論的那一節前，本着“數學是一個有機整體”的基本觀點，我以泛函分析中的對偶概念作為引子，用類比法將對偶思想貫徹到線性規劃之中。這場我一生中的首次報告，得到大家的好評，平時不苟言笑的何先生也微笑起來。我本科在南大打下了比較堅實的分析基礎，碩士研究生階段，又有幸得到討論班的訓練。加上在讀研第一年，教我們專業基礎課《非線性方程組迭代解》的沈祖和教授，在授課一學期後讓我們學生主講所用英文教材的下半部分，這更強化了我們自學及講課的能力。來美后，我信心十足地成為李教授討論班中的一員。
導師李天巖的“治學之道”
李天巖教授是個傳奇人物，極具個性。他於七十五歲不幸病逝後，第二年我由上海科技教育出版社出版了回憶錄《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》，其中有一章談了他的“治學之道”。他對討論班的報告要求極高，不希望只講什麼定理證明的邏輯推理，或“莫名其妙的ε-δ語言”，他想聽到的是那些條件和結論背後的基本思想。如果你只想背書式地展示某命題對所有自然數n都成立的證明，那你就錯了。他想看到的是，你對n等於3時的具體推演。對任意n都成立的論證步驟，也許你能倒背如流，卻不會應付更簡單的n=3特殊情形，因為你沒有真懂這個定理，還僅僅停留在背誦證明的階段。這樣的學生其實大有人在。李教授告訴過我們，一位研究生在博士資格口試時要求將“證明兩個緊集的乘積是緊集”的問題改為“任意個緊集的乘積為緊集”，因她早就將後者這個著名的吉洪諾夫定理的證明背得滾瓜爛熟。
還沒參加討論班前，進校僅三週，我就領教了李教授對學術報告的嚴格要求。那天，他將一篇厚厚的文章遞給我，説“我還不知你的水平到底在哪條線上，三個禮拜後你向我報告它的內容。”他在給我一個非官方的“博士資格考”！文章作者的博士導師是大名鼎鼎的斯梅爾（Stephen Smale，1930-），畢業後成了康內爾大學的年輕教授，在學術界已嶄露頭角。七十多頁的這篇長文，用到積分幾何研究線性規劃一類算法的計算複雜性，而對這個領域我是門外漢。但是，儘管我每天忙於修課旁聽，還要對付時差的進攻，我不能知難而退，而是應以實際行動，不辜負老師的期望！我從系圖書館借了西班牙數學家桑塔洛（Luis A. Santaló，1911-2001）關於積分幾何的經典大著。多年來不斷提升的自學能力，讓我很快瞭解到這門學科的基本概念，並被以概率觀點研究幾何之美傾倒。任何人只要聽説在畫有兩條直線的平面上，隨機投擲細針大量次數，則可以用概率方法估計圓周率的值，就會對積分幾何的先驅之一、法國植物學家和作家布豐（Georges de Buffon，1707-1788）古稀之年的天才創造嘖嘖稱奇。
當我站在李教授辦公室的黑板前準備大顯身手之時，只見他坐在椅子上，雙腳放在辦公桌上（這並不顯示他傲慢無禮，而是在美國司空見慣的現象），嘴裏突然吐出令我驚訝的一句話：“你要把我當成笨蛋，我什麼也不懂。”堂堂大教授，什麼也不懂？一霎那，我全明白了，他是在考察我講課的本領、演講的效果，是否真能讓“笨蛋”也能聽懂“高深的數學”。我知道我的短處和長處，短處是普通話發音較差，家鄉口音頗重，這是我少年十四歲開始謀生，與只説家鄉方言的工人師傅為伍數年後才進大學的結果。但我希望能“取長補短”。這個小小的長處就是：只要是已經真正弄懂的東西，我基本上能講得讓普通人也能聽懂。歇後語“茶壺裏的餃子——肚子裏有貨，嘴上倒不出”，可能難以用到我的身上。這部分是源自先天的父母教書基因，部分是受到後天的南大教學訓練。
第一次報告完畢，李教授未置一詞。他很少當面表揚人，但我清楚得很，我把這個“笨蛋”講懂了。第二週我更胸有成竹，講完後，他説“你回去給我寫個報告吧。”我舒了一口氣，終於通過了他獨特的“資格考”。後來才知道，該文是投給期刊《數學規劃》（Mathematical Programming）的稿子，編輯部送到李教授手裏審閲。他就想出這個鬼點子，一石二鳥，既能看看我的數學功夫和演講能力，又給我機會練習寫審稿報告。當然，他自己也節省了審稿時間，何樂而不為呢？這是我學術生涯中的第一次審稿，雖然是非官方性的，因為我還是博士生，但對我卻意味深長。
1986年夏，李教授辦了一個討論班，討論麻省理工學院教授斯特朗（Gilbert Strang，1934-）的新書《應用數學導論》（Introduction to Applied Mathematics）。儘管我那個夏天因為還未考過博士預備考（連資格考還沒過呢），系裏不給資助，但我沒想去校外打工，因為過去半年拿的教學助理薪水所剩尚夠這三個月開銷，便理所當然參加了。李教授的兩個博士生——來自韓國的李弘九（Noah Rhee）和北京的張紅，加上顏教授的一個弟子等也參加了。每個學生必須報告一章內容，因我碩士專業為最優化理論，故讓我報告關於數學規劃的那一章。
這是我在美國所做的第一次討論班報告。儘管有過南大討論班的訓練，我還是把它當成一生中首次作學術報告來準備。這的確是我的第一次英文討論班報告。我精讀了斯特朗教授書的那章內容，梳理了幾年來對這門學科的心得體會，決定用自己的語言，幾何化地介紹最優化理論的基本想法。當我成竹在胸地上場報告前，李教授和我打了招呼，抱歉因有事要提前十分鐘離場。那天我根本沒按作者採用的標準方法證明等式約束最優化中的拉格朗日乘子法則，而是採用了多元微積分中方向導數的概念，一下子就直觀地推導出。我的英文口語表達能力肯定還停留在起步階段，但我自信的神態流露出的是對這個法則比較透切的理解——這歸功於在南大讀最優化專業研究生時打下的基本功和認真的演講準備。我從聽眾的面部表情中確信他們真的聽懂了。演講者最覺得意的事，莫過於感受到觀眾的共鳴！突然，我看到李教授站起來了，因為他要走了，但是他的嘴裏先吐出了幾個我永遠記得的詞，而且是中文詞：“講得不錯，馬列主義學得好！”
幾天後，系裏年紀與李教授相仿因而彼此常常聊天的博士生王鐸告訴我，李教授跟他講“丁玖有思想”。這五字評語雖然屬於過獎之言，但讓我高興，因為我在未來博士論文導師的眼裏基本過了關。中國的傳統教育太多強調“有知識”，故催生了一句令人羨慕的成語“學富五車”。但是在西人眼裏，“有思想”的學者，才是有創造力的學者。
“忘光公式”
王鐸文革前考入大學，我進南大不久他考上了北大的研究生，畢業後來到這裏訪問李教授的師兄周修義（1943-2023）教授，後轉為其門下的博士研究生。周教授是來自新加坡的華人，大學畢業後，沒有像李教授那樣要當兵一年，就直奔美國，1970年在約克教授的手中拿到博士學位。雖然他較師弟年長兩歲，看上去卻十分年輕，精巧的面龐、炯炯的目光，一看就知道是個能幹之人，可以在任何領域有所建樹。我第一次見到他時聊了會兒。我用中文提到中國某著名大學的一位數學教授在某個專業領域有個強大的理論團隊，且其某個理論研究在國內獨樹一幟時，他卻用英文回答我：“Not many people do that！（沒多少人幹那玩意兒！）”，意思是説這個研究題目太老了，一下子就把我鎮住了，頓時對他格外尊敬。
雖然我在大學階段讀過的課外數學書，數目上可能不少於課內教科書，但國內研究生的培養機制，限制我們選修其他領域的課程。來到美國，我基本只修國內未系統學過的那些科目。第二年，我一見周教授要開一學年的《常微分方程與動力系統》研究生課程，就毫不猶豫地註冊修課。周教授那時才四十餘歲，手上有幾個研究基金，在系裏薪水最高，正處於研究生涯的高產期。他和布朗大學的黑爾（Jack K. Hale，1928-2009）教授於八十年代初出版的合著《分支方法理論》（Theory of Bifurcation Method），是這個領域的主要參考書之一。他與顏教授或阿克斯拉教授的教課風格迥異，各有千秋。顏教授教書像潺潺流水，滋潤心田，但難見波瀾壯闊之舉；阿克斯拉教授的課堂證明思路清晰，邏輯性強，滴水不漏；周教授的講台表演則是天馬行空，隨心所欲，從大處着想而不拘小節，極具研究風味。在推演過程中他常讓我們幫忙，因為他忘記了下一步該用到的三角函數恆等式。這就從某一方面佐證了前述的王永成老師所坦誠的“忘光公式”，確有知音。記不得又有什麼關係呢？我們學生最需要的只是思想，而周教授向我們傳授了做研究的思想！
當相對論在全世界響徹雲霄之時，曾有一名無知無畏的青年，想考一下偉大的愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955），問他聲音在水中的傳播速度是多少。愛因斯坦不慌不忙地回答道：先生，我記不得了，但是您可以從任何一本物理教科書上查到。我有次在回國飛機上，與鄰座一位美國人閒聊中國教育。這位北卡羅萊納大學教堂山校區歷史系的畢業生，常年來廣東指導出口傢俱生產。他告訴我，中國工程師在技術上非常聽話，按部就班地遵循國外的設計方案，鮮有別出心裁的另闢蹊徑之舉。在談到中國學生中普遍存在的創新不足現象時，他引述了他曾在北京教物理的一位同胞所説的俏皮話：如果老師在課堂上教等式2+3=5，美國學生會問為什麼2 + 3不等於4或6，而中國學生則默默地將公式記在心裏。不會思考或不想思考，是中國幾千年填鴨式教育的後果之一。
中國的教育太重視記憶術了，把學生大腦的存儲功能，挖掘到極致，但對大腦的最重要功能——思維——卻不聞不問。因而這種記憶力，與理解力不能相輔相成，並駕齊驅。學校裏到處鼓勵的囫圇吞棗式的機械性記憶，一言以蔽之，就是死記硬背。動物也是有記憶力的，家養的犬對熟人搖尾，對生人狂吠，信鴿可以飛回千里之外的家。但是人和動物的區別就是，人可以思維，因此人可以被定義為“會思維的動物”。人會改造自然、改變世界，而動物則不能，就是歸功於人的思維特性，而不是記憶特性。否則我們的寵物狗和貓，也能統治世界了。可惜，我們目前大行其道的應試教育，只能驅使我們的學生，成為僅會背公式的不愛思考者。美國偉大的物理學家費曼（Richard Feynman，1918-1988）有個好父親。他從小就告訴兒子，僅僅知道事物的名稱而對事物的本質一無所知，等於什麼也不知。他舉例説，有一隻鳥，在不同的語言裏，有不同的叫法。即便你背得了一百個叫法，卻不知道該鳥的習性，你對那隻鳥還是一竅不通。這對我們“知其然而不知其所以然”的教育法，確實也是極妙的比喻。
上他的課，沒有人會打盹
如果説阿克斯拉教授的課程成績不依據考試，只看平時作業，加上他的獨特打分標準有點與眾不同，周教授給註冊他課學生的科目最終評分，那次所用的簡單方法，更是出人意料。我事後聽説，交了課堂作業的，基本都拿A，沒交的也得B。也就是説一個嬰兒，只要能註冊此課，就能拿到B，因為嬰兒當然是不會做作業的。姑且不論這種評分方式是否合理或太鬆，學生們卻從這門課中，至少觀賞到做研究的藝術。部分人甚至可從這裏起步，奔向熱門研究前沿陣地。真正做研究的教授往往在分數面前對學生特別寬宏大量。而有些早已在研究陣地上丟槍棄甲的教授，視分數為保持他們教授權威的最後一張招牌，不肯輕易放鬆，學生平均分數89.9時，也只能得到倒黴的B而與A無緣。
當然，最讓我嘖嘖稱奇的講課風格，還是非李天巖教授莫屬。在1987-88學年，他被日本京都大學數理解析研究所請去當了一年的講座教授，據説薪水是日本大學正教授的一倍半。這個研究所共有十個講座教授，其中九個是永久性職位，屬於國內學者，只有一個講座才向國外聘請。李教授在那裏給京都大學數學系做了一系列的演講：[0, 1]上的遍歷理論。這一年裏，我們幾個他從祖國大陸招來的弟子，平時見不到導師表面上威嚴的面孔，像見不到貓的老鼠似的，活得自由自在，天天活蹦活跳，但每個人都很自覺，普遍用功。我已經通過了博士資格考和預備考各兩門，以及兩種第二外語的考試。在繼續修課的同時，我開始閲讀別人發表的最新論文，着手思考問題，撰寫了我來美后的第一篇學術文章。當遠在東方的李教授收到我的文章初稿後，給我回信時，不僅給予了學術建議，而且還大大褒揚了我做研究自己找問題動手乾的主觀能動性。
1988年秋季學期，剛從東瀛訪問歸來的李天巖教授，決定開一學年的遍歷理論課，所講材料主要是基於他在日本簡單整理的演講稿，目的是想經過課堂正式講授，為以後可能寫書做準備。這是我第一次正式註冊他的課。課程叫《高等應用數學選講》，註冊者除了他幾乎所有的中國博士生外，還有一對美國博士後夫婦，這迫使他不得不用英文授課。傑出實驗物理學家丁肇中（1936-），為了提高來自國內訪問學者的英文水平，平時故意不與他們講中文。但李教授卻恰恰相反，只要沒有洋人在場，總是滿嘴中文，甚至在大多是美國學生的課堂上，也偶爾耍點中文的小把戲。有一次，他對註冊他課的幾個中國弟子的作業表現不甚滿意，那天一進教室，就直奔黑板，寫下四個漢語大字：“眼高手低”，笑壞了不知其意的美國人，羞怯了只比他小了十歲左右的徒弟們。
寫過皇皇鉅著《古今數學思想》的美國應用數學家兼數學史家克萊因（Morris Kline，1908-1992），關於課堂教學，對教師曾給出如下的諄諄告誡：
“我想力勸每位老師成為演員。他必須藉助戲劇的每一種道具使他的授課技巧彰顯出生機與活力。他有必要在適當的時候運用戲劇效果，在講述事實的同時展現激情。不尋常的怪異舉動能夠激發人們的興趣，揮灑自如的幽默能夠極大地活躍課堂，即便這與授課內容貌似無關。”
坐在李天巖教授的課堂裏，你大概對克萊因的話更能體會，因為他就是詮釋這段話的範本。上他的課，滿腦子瞌睡蟲的人也不會打盹。如果我來美的第一個學季就修他的課，那我的時差困擾也不會拖得那麼久。他絕不是那種照本宣科的老學究，也不是敍述證明按部就班的標準師，更不是語速、頻率、振幅幾乎不隨時間變化的教書匠。他講課時面部表情多變，肢體語言誇張，吐出數學新概念前，總以生動例子鳴鑼開道，好讓我們從容不迫地登堂入室。抑揚頓挫的語氣，有時像潺潺流水，有時如驚濤駭浪，有時則彷彿美國黑人民權領袖馬丁·路德·金（Martin Luther King，1929-1968）在著名演講中重複句子“I have a dream !（我有一個夢想！）”那樣，連續強調同一個數學術語，聲音的分貝越來越大，把我們的激情也完全調動起來了。
第二個學季，那一對美國夫婦沒有再來旁聽，這樣每節課教室裏，盪漾的全是標準的台灣國語聲，李教授上課時的動感語言更加豐富多彩了，我們聽得也更起勁了。本來，我們對遍歷理論的基本概念幾乎一無所知，但這一學年，我們跟隨他浸潤於集純數學幾個學科於一體的理論大海，“遍歷”暢快地吸收着令人神往的新養料。至於我，就像“混沌”所揭示的“蝴蝶效應”那樣，我根本沒有預測到這門課居然成就了自己的博士論文。
而這篇學位論文該做什麼，也是導師與我事先都“始料未及”的。下次寫出這前後過程，或許會給因碩士、博士論文選題而煩惱的年輕學子提供一點“經驗之談”。
注：
本文基於2016年由商務印書館出版的《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》第四章《讀書日子》修改而成。
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協科普部
監製：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
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