數學家和物理學家=貓和狗？_風聞

數學家和物理學家的世界是完全不同的，並且有一個分開他們的邊界。

撰文 | Ya. G. Sinai

翻譯 | 李靈芝

撰文 | 陸柱家

這個問題的肯定答案是一位著名物理學家給出的，出現在他對一位著名數學家寫的文章的審稿意見中。

下文緊扣我在2006年5月由J. Lebowitz組織，在羅格斯 (Rutgers) 大學舉辦的第95屆統計力學大會的圓桌討論會上的報告。

這次討論會的主題是“數學在自然科學中不可思議的有效性”，它是由Eugene Wigner在紐約大學的柯朗講座 (Courant Lecture) 中闡述的。Wigner的講座是在1959年5月11日進行的，即差不多50年前。

最近的這次討論會的參與者還有P. Anderson，F. Dyson和E. Witten。這次討論會的主席是M. Fisher。Wigner在CPAM (Communications in Pure and Applied Mathematics——校注) 的第13卷第1期，發表了一篇相同題目的文章。

文章以下面的故事為開始。一位研究人口增長問題的年輕統計學家向他的朋友講述他遇到的困難，並向其展示了一些他的分析結果。這位朋友注意到公式中的，並且問它是什麼意思。統計學家回答是半徑為1的圓的面積。然後他的朋友説道，“你是想讓我相信，圓的面積與人口增長有某種共同點嗎？”

在他的文章結尾，Wigner還寫道：“用數學語言能夠恰當地寫出物理定律的公式，這個奇蹟是一個我們既無法理解也不配擁有的奇妙禮物。我們應該對此心存感激，希望它在以後的研究中能夠依然有效，也希望它能夠擴展到廣泛的認知領域中，不管是好是壞，都是我們樂意看到的，儘管這甚至可能意味着我們會困惑。”

Wigner寫的關於隨機矩陣的一些著名文章比上面的文章早幾年出現。很難想象沒有代數幾何學和拓撲學的現代理論物理學。另一方面，理論物理學，尤其是弦理論，對數學的這個部分提供了許多漂亮的和重要的問題。然而，物理學家們並不都有一種傑出的數學欣賞力。

卓越的前蘇聯物理學家L. Landau曾説，蘇聯最優秀的物理學家是在論文中只用到了二次方程的Ya. Frenkel。Landau自己則稍遜一些，因為有時他需要常微分方程。著名的Landau理論的數學部分只包含積分，向量演算和常微分方程的一些問題。

相同風格的關於數學的一些敍述零散貫穿於R. Feynman所著的教科書中。數學家對此的反應是，他們説物理學家們對待數學如同罪犯對待刑法 (I. M. Gelfand)。這種敵意的原因是顯而易見的。

在數學中，主導風格基於一種公理化方法，證明以及對於嚴格的強烈要求。物理學中，攝動理論的複雜模式，圖表等佔有主導趨勢，這對於經典數學家來説很難賞識。

顯然，這是一個冷酷的“貓-狗”時代。

後來，數學家們開始定期參加物理學的討論班和會議，在一輩或兩輩人的時間中，能夠深入理解物理問題的數學家的數量顯著增加。似乎這個過程始於1950年代末，這時物理學家們意識到他們能在現代數學中找到他們之前不知道的有用的東西，讓我舉兩個與著名的“KAM-理論”有關的例子。

一位物理學家告訴我，KAM-理論是如此自然的事情，以致它一定是由物理學家發明的。在1950年代末，兩位著名的俄羅斯物理學家L. A. Arzimovich和M. A. Leontovich來到由A. N. Kolmogorov領導的莫斯科國立大學的討論班，講解當時非常重要的磁面 (magnetic surface) 的存在性問題。實驗物理學家L. A. Arzimovich是報告人。他的報告非常清晰並目鼓舞人心，不久之後，V. Arnold利用KAM-理論解決了其中的基本問題。

這個事件可以認為是冷酷的貓-狗時代的結束。

我認為，對於決定研究與物理學相關的問題的數學家來説，與物理學家或多或少地經常接觸是非常重要和有益的。我過去經常與I. M. Lifshitz碰面，他是那個時代領先的理論物理學家。

我們第一次見面時，他問我在做什麼。當我回答我在做遍歷理論時，他説道，“遍歷理論是解釋每條鞋帶遲早會被理順的理論。”

當我下次訪問時，我試圖向Lifshitz解釋我與我的學生S. Pirogov合作的關於低温下格點模型相圖的結果。他開始聽，但很快便説，一切都是非常簡單和明顯的。然後他寫了幾個公式導出了我們的結果。

我很尷尬地離開，經過一段時間後，我才意識到，他使用的這個分拆函數的對數公式正是我們的理論的最終和最困難的結果。

類似的反應來自I. M. Gelfand。當我們向他講解這些結果時，他説，對物理學家們來説，一切都應該是顯而易見的。然而，當我們問他我們是否應該寫一篇文章詳細闡述整個理論時，他回答，“當然，是的。”

有許多其他情況，物理學家的反應是出乎意料的，並且和數學家是迥然不同的。一次，我從美國回到莫斯科，向我的一位物理學家朋友講解我從T. Spencer那裏聽到的關於對於大量參數值，標準的地圖沒有KAM-島的假設。我的朋友想了一會兒，然後説，“它一定是一個偉大的數學定理，因為我們物理學家從來沒有見過。”

但是，過了一段時間，他在他隨後的一本出版物中寫道，大家都知道，標準的地圖有一些參數值，對於這些參數值來説沒有島。

有時，數學家對出自物理學家的文字陳述或結果的理解太執着於字面。

幾年前，一篇M. Berry和M. Tabor寫的文章，在文章中他們斷言可積度量的Laplace算子的相鄰本徵值之間的間距分佈收斂到Poisson律。從概率的觀點，此陳述看起來是非常吸引人的，我花了幾年時間試圖證明它，最後，我可以證明它對隨機可積度量是正確的。

據我所知，對精確度量還沒有證明任何事情。最近，我與一位物理學家討論這個問題，他告訴我，他們瞭解在Poisson律下，距離趨於零時，第二相關函數越於一個正的極限。顯然，這意味着在水平上沒有排斥，這是主要問題。但這是一個簡單得多的，在很一般的條件下非常容易證明的定理。

現在邀請數學家在物理學討論班上作報告是很平常的。在理論物理學的一次大的討論班上一個這樣的報告之後，主持人問我關於把我的結果應用到實驗物理上的可能性。我回答説，理論物理對我而言所起的作用與物理實驗對他的作用一樣。

這不是一件輕而易舉的事情。通常我不相信物理學家，除非我找到自己的證明或者，至少，找到他們的結果的一種解釋。因為這個原因，我一直不太理解理論物理學的很大一部分。

我已故的朋友R. L. Dobrushin曾經説道，每位數學家建立他自己的理論物理學。這當然是一種誇張。但是的確，數學家和物理學家的世界是完全不同的，並且有一個分開他們的邊界。這個邊界是非常獨特的，每個人都為自己選擇各自的邊界。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學大院”，本文原載於《數學譯林》2023年第3期。作者系普林斯頓大學數學系教授，美國國家科學院院士、美國藝術和科學院院士，曾獲Abel獎、Wolf獎、Nemmers獎。

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