同調代數學走入21世紀_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！54分钟前
撰文 | 黎景輝
01
開始
本文承繼“返樸”2023年4月14日所載李克正先生的《同調代數的起源和發展》，以歷史故事的方式介紹同調代數在西方的起源和發展。同調代數在國內的發展歷程則留給國內專家撰文詳述。關於我們的觀點，讀者可自擇其需。我們並不是給一個純歷史次序的記錄。這裏比較像一個掠影短片。我們認為一個掠影會更生動地讓讀者體會同調代數。我們希望引起讀者滿心好奇地發問：同調代數，這個二十世紀最強力的代數工具是什麼？
最早的同調代數公式應該是Euler (1707-1783) 著名的點-線-面公式: V-E +F=2。拓撲流形的同調概念早就出現在Riemann (1826-1866) 和Betti (1823-1892)的工作中。到20世紀初有Poincare (1854-1912), Picard (1856-1941) 和Lefschetz (1884-1972) 深刻的研究。
今日無論用什麼語言寫的同調論課本一定會討論拓撲空間的奇異同調羣。在1944年Annals of Mathematics刊登的Samuel Eilenberg撰寫的文章裏，我們能看見最早的、有系統討論的同調代數的基礎: 復形的同調羣。1952年Princeton大學出版社出版Eilenberg和Steenrod的代數拓撲學名著, 他們創立了同調羣公理系統。這公理系統的第4公理指出，對應於空間及子空間，有同調羣的長正合序列。這個簡單的要求卻在三角範疇裏重生對以後的發展有深遠的影響。
02
轉換
從代數學的觀點最有影響力的第一個同調代數的結果應該是1890年Hilbert的Syzygy定理，而第二定理是Hilbert定理90 (證明見[14]十三章命題13.7)，這個定理改變了整個代數數論（見[6]; [16]第五至八章和十一章; [13]第三篇; [15]第10章; [17]15, 16章）。
我們今日看到的【同調代數】應該從1950到1951年Henri Cartan (1904-2008) 在巴黎高師的討論班開始。在這個討論班，Cartan-Eilenberg-Serre重新整理了Leray的工作：包括層的定義，層上同調的公理和譜序列。Cartan和Eilenberg (1913-1998) 合寫的同調代數[5]在1956年由Princeton大學出版社出版。他們做了什麼呢？他們從代數拓撲學裏針對拓撲空間的同調羣計算裏把同調代數“帶”了出來，變為環R上的模的同調不變量，變為代數結構的同調代數！他們引入模的化解用於計算上同調羣。
第一波：範疇和函子的概念已出現在Eilenberg和MacLane (1909-2005) 登在1945年的美國數學會的《美國數學會彙刊雜誌》上。Cartan和Eilenberg的書亦開始用這個語言和導出函子的概念。革命性的改變來自Grothendieck (1928-2014) 於1957年發表在日本的東北數學雜誌的文章[10]。
第一，Grothendieck清楚堅定的建立範疇為數學的基礎結構，範疇學不是代數拓撲的幾個人的語言。
第二，他引入Abel (1802-1829) 範疇並置於同調代數的中心位置；把模範疇換為Abel範疇。
第三，他為導出函子提出一個容易明白和計算的方法——這是對Cartan-Eilenberg[5]的一個重要的改進。
第四，他指出空間的層的上同調是整體截面函子的導出函子。
第五，他用函子合成的導出函子表達譜序列, 第一次讓世人明白了這個複雜工具的用途。
Grothendieck的學生Gabriel (1933-2015) 登在1962年法國數學會Bulletin的博士論文總結了他的Abel 範疇理論。這只是第一波。
差不多在同一時段Hochschild、Heller、Eilenberg, Moore[7]開始研究用來計算導出函子的復形與範疇的關係。他們稱這個研究方向為相對同調理論。近年來這方面發展出很多代數的工作，如：Gorenstein同調理論以及覆蓋與包絡理論等，後者也即代數表示論中的逼近理論。相對同調理論的專著很多：如：[12]。
第二波：這一幕的主角是Grothendieck的學生Verdier (1935-1989) ——他1967年的博士論文文[27]又是一創舉。首先我們留意Cartan-Eilenberg和Grothendieck均構造導出函子卻沒有説明這個導出函子是從那一個範疇到什麼範疇。Verdier構造出Abel範疇A的導出範疇DA使得函子F: A→B的導出函子DF: DA→DB 由一個泛性刻劃。至此，同調代數的問題便轉為導出函子的性質了。
Verdier的構造包含以下兩個部份: 引入三角範疇和使用範疇的局部化。
一. 同調代數就是要產生長正合序列。
(1) 若我們以模為例子，我們便要求從一個態射的短正合序列得長正合序列。
有這樣條件的加範疇便是Abel範疇。
(2) 在代數拓撲學裏是從映射錐序列產生長正合序列。
在加範疇模仿這樣的構造便得三角範疇，一個重要的性質是：三角範疇的局部化還是三角範疇。
二. Verdier用範疇局部化造Abel範疇的導出範疇並提出比較有效的算法。代數稱從整數到分數的過程為局部化。
第三波：Beilinson (1957-)，Bernstein (1945-)，Deligne和Gabber (1958-)在1982年Asterisque 100（由法國數學學會出版的數學期刊《Astérisque》的第100期）上發表了三角範疇的t結構公理。這篇[2]深入地影響了代數表示論的後續發展。可以用t結構定義偏屈層。柏原正樹 (1947-)和Mebkhout (1949-)使用偏屈層證明了複流形的微分方程的Riemann-Hilbert對應[11]。
第四波：Lurie認為可用∞-範疇代替三角範疇。設Abel範疇A有足夠投射對象，Lurie構造穩定∞-範D-(A)。並指出同倫範疇hD-(A)是A的導出範疇 ([21]69頁)。所以他説：穩定∞-範疇推廣了同調代數。這樣從第二波開始的三角範疇已經可以功成身退了。如此: Lurie的《高等代數》裏同調代數換成了: 範疇局部化，同倫論，∞-拓撲式，穩定∞-範疇，導出範疇與導出函子。
我們引[8]168頁 A.1 : “若我們還是在20世紀我們便使用三角範疇。但是現在我們應利用本世紀同調代數的新發展，使用穩定∞-範疇便可以作代數幾何的基本操作如粘貼 (glueing) 和取極限，這樣便可以避開三角範疇理論的缺陷。”
03
未來
讓我們分開幾點來問一些來自微分算子和李羣表示論的問題。
第一，取結合環R，則左R-模範疇R-mod是Abel範疇。當環R不必是交換的。我們求R-mod的導出函子的所有性質。我們亦可以取特殊的R，例如取R為四元代數，頂點代數，Hecke (1887-1947) 代數，微分算子環等等。
第二，在Grothendieck理論裏計算一個同調羣並不是最重要的事，更為有趣的是所有導出函子之間的系。雖然沒有明確提出，Grothendieck及他的學生在他們的巴黎IHES第四屆到第七屆代數幾何討論班（SGA4至SGA7），經常研討這些運算的構造和性質。當然他們的主題是代數幾何的應用, 因此主要對象是交換環。在流形微分算子環的情形，Mebkhout的講義[23]介紹了Grothendieck運算。包括張量積, Hom, 對偶, 正極限, 反極限, ΓZ, f*, f*, f!, f!等的導出函子。
Ayoub的博士論文[1]詳細研究了6個Grothendieck運算。我們問是否可以從這些材料把一般的原則虹吸出來為非交換環作個綜合總結。
Scholze (2013年Ramanujan獎, 2018年菲爾茲獎得主) 2023年在Bonn的課程上[26]指出最先建立6個Grothendieck運算的系統是：
(1) 劉一峯-鄭維喆[19]；
(2) Gaitsgory-Rozenblyum[9]
最近Scholze的學生Mann[22]進一步用Lurie的∞-算元 (operad) 來表達6-函子系統。Scholze[26]亦在D-模範疇建立6-函子系統，並預言可在算術D-模範疇建立6-函子系統。Caro 在這一方面的工作有[3]、 [4]。還未聞有人以Lurie的高等代數重建Berthelot的算術D-模理論。
第三，在複數域上的有限維向量空間取距離度量拓撲，然後讓維數趨無窮, 我們便由線性代數進入泛函分析了。學過初等泛函分析的人都知道泛函分析裏的定理是不同於線性代數的。例如，在線性代數里只有一個張量積，在泛函分析裏，因為可取的拓撲不同而產生不同的張量積。於是有不同的張量代數。
研究非緊李羣的實或p進表示便要考慮無窮維線性拓撲空間範疇, 但這不是Abel範疇，幸好1999年F.Prosmans[24]和J-P.Schneiders[25]指出它是擬Abel範疇，並且有導出範疇和導出函子理論。目前還未見在p進域上獲得類似柏原正樹在實數域上關於核Frechet空間範疇的結果 (相關問題的討論見[18]），亦未見有擬Abel範疇的Grothendieck運算理論。亦未知Lurie的理論怎樣處理擬Abel範疇。
結語
同調代數專家當然有他們的課題。同倫論學者也可以用Lurie的理論重做用三角範疇得來的同調代數。或者像Emerton、Scholze和我們想了解的：Lurie的理論是否可以解決在數論遇到的老同調代數沒能解決的問題。
同調代數是一種處理複雜關係的代數計算技術，利用等價關係把數據簡化。同倫代數開始處理關係、關係的關係、關係的關係的關係……等複雜結構。這引起研究信息論、通訊技術、計算機理論、人工智能的人的注意。當然同倫關係亦有限制的，例如當n >1時，同倫羣是交換的。
是否有產生用非交換羣刻畫的高次關係的等價關係和新的同調代數呢?
參考文獻
[1] Ayoub， J.，Les six operations de Grothendieck, Asterisque 314、315(2007)。
[2] Beilinson， A.，Bernstein， J.，Deligne， P.，Faisceaux perverse, in Analysis and topology on singular spaces，I (Luminy, 1981), Asterisque 100, Soc. Math. France, Paris，(1982)。
[3] Caro， D.，Le formalisme des six operations de Grothendieck en cohomologie p-adique，arXiv:1209.4020v2 [math.AG] (2012)。
[4] Caro， D.，Systemes inductifs coherents de D-modules arithmetiques logarithmiques，stabilite par operations cohomologiques. Doc. Math. 21: (2016) 1515 – 1606。
[5] Cartan， H., Eilenberg， S.，Homological algebra，Princeton,Princeton University Press, (1956)。
[6] Deligne， P.，La conjecture de Weil, I, Pub. Math. IHES 43(1974) 273-307; II Pub. Math. IHES 52(1980) 137-252。
[7] Eilenberg， S.，Moore， J., Foundations of Relative Homological Algebra, American Mathematical Soc. Mem 55，(1966)。
[8] M. Emerton，T. Gee，E. Hellmann，An introduction to the categorical p-adic Langlands program，arXiv:2210.01404 [math.NT] (2022)。
[9] Gaitsgory， D.，Rozenblyum， N.，A study in derived algebraic geometry，Vol. I, American Mathematical Society，(2017)。
[10] Grothendieck， A.，Sur quelques points d’algebre homologique. Tohoku Math. J. (2), 9:119-221，1957。
[11] Hotta， R.，Takeuchi， K., Tanisaki， T., D-modules，Perverse sheaves and representation theory，Birkhauser，Boston (2008)。
[12] Iacob， A.，Gorenstein homological algebra，CRC Press，Boca Raton，FL(2019)。
[13] 黎景輝，陳志傑，趙春來，代數羣引論,科學出版社(2006)。
[14] 黎景輝，白正簡，周國暉，高等線性代數學，高等教育出版社 (2014)。
[15] 黎景輝，趙春來，模曲線導引，北京大學出版社，第二版第二次印刷 (2015)。
[16] 黎景輝，代數數論，高等教育出版社 (2016)。
[17] 黎景輝，代數K理論，科學出版社 (2018)。
[18] 黎景輝，微分方程和李羣表示，數學進展 48(3) : (2019) 257-301。
[19] Liu， Y.，Zheng， W.，Enhanced six operations and base change theorems for artin stacks, arXiv:1211.5948, (2012)。
[20] Lurie， J.，Higher Topos Theory,Princeton University Press， (2009)。
[21] Lurie， J.，Higher Algebra，https://www.math.ias.edu/~lurie/。
[22] Mann， L.，A p-adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry, arXiv:2206.02022, (2022)。
[23] Mebkhout， Z.，Le formalisme des six operationsde Grothendieck pour les D-modules coherents，T Paris， Hermann，(1989)。
[24] Prosmans， F.，Derived categories for functional analysis. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 36(5–6), 19–83 (2000)。
[25] Schneiders， J. P.，Quasi-abelian categories and sheaves，Mem. Soc. Math. Fr.(N.S.) 76 (1999)。
[26] Scholze， P.，Six functors formalism, Bonn lectures (2023)。
[27] Verdier， J.-L.，Des categories derivees des categories abeliennes, Asterisque 239, 1996。
作者簡介
黎景輝，1974年美國耶魯大學數學博士，導師朗蘭茲（Langlands）。畢業後曾在美國，香港，加拿大，澳洲，台灣的大學當老師。自1978年曾在囯內多所大學講課。研究方向是代數數論和數學教育。在科學出版社，高等教育出版社，北京大學出版社出版多部數學書籍。
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協科普部
監製：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。