量子多體糾纏計算新範式：抽樣約化密度矩陣_風聞
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撰文 | 嚴正（西湖大學物理系）
參加過幾次學校的博士生面試，某吳老師常問學生：“你覺得量子力學最有趣在哪裏？”於我自己而言，我覺得量子糾纏肯定是其中之一了。量子糾纏如此神奇，以至於在民間被神化和佛化了。所謂的“量子佛學”，“幾世糾纏”……在各種神棍口中被髮揚光大，混吃混喝。然而，思而不學則殆，拋開量子力學和線性代數而空想量子糾纏實則是非常不科學乃至迷信的。建議大家有錢有閒，不妨買本量子物理的科普書，而不是買量子襪子、量子水等智商税產品。
物理人比較實在，我們更關注量子糾纏的計算、探測以及背後的機制等。近期我們在量子多體系統中如何計算糾纏信息有了一番新的認識和探索，在此與大家分享。
要談量子糾纏，首先需要量化它。數學上有許多反映糾纏信息的量，比如，Von Neumann糾纏熵、Renyi糾纏熵、糾纏譜等等。而它們的定義都往往離不開約化密度矩陣。所謂約化密度矩陣，就是將系統分為兩部分：關心的子系統A和不關心的環境B。如果我們對總系統的密度矩陣做部分求跡操作，把B的自由度都積掉，那麼我們就得到了關於A
目前常用的計算糾纏方法就是，先用嚴格對角化或者密度矩陣重整化羣一類的方法，得到體系的基態，然後得到對應的密度矩陣，接着對其部分求跡，得到ρA。受限於現代計算機的內存，這些方法能處理的總體系本身尺寸很小，或者侷限於一維。要想再得到其中的A部分，尺寸就得變得更小了。
如果有一種數值方法，可以跳過求解基態而直接得到約化密度矩陣，那計算機的全部內存就只需要處理ρA的自由度，這將大大拓展糾纏計算的範圍。經過多番嘗試，我和學生丁一茗以及康復大學 (籌) 的毛斌斌老師，通過量子蒙卡算法達到了這個目的[1]！關心細節的朋友們且聽我慢慢道來。
上下邊界相同顏色的格點表示此處虛時間為循環邊界條件，反之則為開放邊界條件。
這樣一處對於傳統量子蒙卡計算方式小小的改動，賦予了計算對象新的含義。從配分函數變成了約化密度矩陣。回過來看很簡單，事實上為了追求約化密度矩陣的信息，蒙卡先賢們付出了巨大的努力和嘗試。比如，通過構造多腿褲子結構加上解析延拓來嘗試得到糾纏譜函數的信息[2, 3]（約化密度矩陣的本徵值取ln後就是糾纏譜）；通過計算不同n階的Renyi糾纏熵來反推糾纏譜的能級[4]。其中，前者受複本流形和解析延拓所限，只能得到非常低能範圍內的譜函數，無法得到能級和簡併度等重要信息[5]。而我們知道，在共形場論、拓撲序等信息提取時，糾纏譜的簡併和精細能級是極其重要的。後者方法雖然能給出精細的能級，但是計算代價是極為巨大的。我們需要計算儘可能多的不同階數的Renyi糾纏熵來反解糾纏譜。而高精度的Renyi熵計算本身就是極其困難的問題[6, 7]，更何況要窮盡去算不同階數的熵值。我們的新方法顯然是以極低代價，給出了新的解決方案。
接下來我們先看看這個方法的有效性。以一個反鐵磁海森堡模型梯子鏈為例，我們計算了兩條鏈之間的糾纏譜。如圖2(a)所示，可以看到，隨着蒙卡步數的增加，越低能的糾纏譜能級越早收斂，其中紅線是標準的嚴格對角化結果，而黑色的數據點則是蒙卡結果。此處的梯子長度為L=8。進一步，我們嘗試了更大尺寸的糾纏譜數據，如圖2(b)所示，這在過去的計算中是難以達到的[8]。
從這裏我們可以簡單分析下此方法的優劣。由於我們對環境部分B用蒙卡做了trace計算，所以該部分自由度的計算代價是代數的，故而該方法並不受限於B的大小。但是因為我們要對所關心繫統A的自由度做矩陣操作，事實上導致了A部分計算複雜度是指數增長的。幸運的是，同時，由於蒙卡自帶的重要性抽樣特性，低能的糾纏譜會被優先得到。而在凝聚態物理中，大家普遍關注的都是低能糾纏譜的普適行為，所以高能譜可以被丟掉。所以如果我們限制蒙卡抽樣數量的話，相當於可以對A的態空間做有效截斷，只提取其低能信息。故而A部分的計算複雜度也可以根據關注的低能範圍做優化。最極端的例子是，如果我們只關注糾纏譜是不是有能隙（所謂的Schmidt gap[9]），事實上只需要極少數的抽樣就可以捕捉該信息。
我們在文章中展示了幾個例子[1]，分別是反鐵磁/鐵磁海森堡梯子兩條腿之間的糾纏譜，以及二維反鐵磁海森堡模型的糾纏譜。此處不再一一贅述。我們着重展示下二維繫統的例子。如圖3(a)所示，我們在二維反鐵磁海森堡模型的基態中，選擇一條鏈(A)和一個方塊(A’)為子區域。計算了他們各自的糾纏譜，如圖3的(b)和(c)所示。其中我們都發現了反映自發對稱性破缺特徵的塔狀（tower of states, TOS）糾纏結構[10]。這類計算在之前是難以做到的。如果大家對於其他兩個例子也感興趣的話，歡迎閲讀我們近期的文章[1]。
文末，在寫這篇小文時，看到了我老東家卡洛組裏貼出了類似精神的文章，用約化密度矩陣計算了糾纏負度（entanglement negativity）等物理量[11]。贊英雄所見略同之時，深感卡圈太卷！望各位讀者朋友繼續淨化職場！
參考文獻
[1] Bin-Bin Mao, Yi-Ming Ding, and Zheng Yan. “Sampling reduced density matrix to extract fine levels of entanglement spectrum.” arXiv preprint arXiv:2310.16709 (2023).
[2] Fakher F. Assaad, Thomas C. Lang, and Francesco Parisen Toldin, “Entanglement spectra of interacting fermions in quantum monte carlo simulations.” Phys. Rev. B 89, 125121 (2014).
[3] Zheng Yan and Zi Yang Meng, “Unlocking the general relationship between energy and entanglement spectra via the wormhole effect.” Nature Communications 14, 2360 (2023).
[4] Chia-Min Chung, Lars Bonnes, Pochung Chen, and Andreas M. Läuchli, “Entanglement spectroscopy using quantum monte carlo.” Phys. Rev. B 89, 195147 (2014).
[5] 嚴正，好蛋大爺的糾纏譜猜想——路徑積分蟲洞效應揭示糾纏譜與能譜的迷離關係 (qq.com)
[6] Jiarui Zhao, et al. “Measuring Rényi entanglement entropy with high efficiency and precision in quantum Monte Carlo simulations.” npj Quantum Materials 7, 69 (2022).
[7] Jiarui Zhao, et al. “Scaling of entanglement entropy at deconfined quantum criticality.” Phys. Rev. Lett. 128, 010601 (2022).
[8] Didier Poilblanc, “Entanglement spectra of quantum heisenberg ladders,” Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).
[9] Abolfazl Bayat, Henrik Johannesson, Sougato Bose, and Pasquale Sodano, “An order parameter for impurity systems at quantum criticality,” Nature communications 5, 3784 (2014).
[10] F. Kolley, S. Depenbrock, I. P. McCulloch, U. Schollwöck, and V. Alba, “Entanglement spectroscopy of su(2)-broken phases in two dimensions,” Phys. Rev. B 88, 144426 (2013).
[11] Ting-Tung Wang, et al. “Entanglement Microscopy: Tomography and Entanglement Measures via Quantum Monte Carlo.” arXiv preprint arXiv:2402.14916 (2024).
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協科普部
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