廣義對稱性：聯結高能理論、凝聚態理論與數學的新概念_風聞

在理論物理學的最前沿，正在發生着一場“廣義對稱性”的概念革命，新的對稱性思想正在不斷湧現。重要的是，這些概念被廣泛應用於高能理論、凝聚態理論與數學等領域中，讓這些不同方向的學者因為對稱性這一核心概念而聯繫在一起。本文將簡要介紹一些新穎的對稱性概念，包括高形式對稱性、範疇對稱性，以及在弦論、全息原理等方面的應用。

撰文 | 王一男（北京大學物理學院研究員）

理論物理學的目標是建立物質相互作用的理論體系、解釋自然現象背後的本質規律。為了將理論化繁為簡，一個至關重要的指導思想是尋找物理體系中的對稱性。對稱性不僅能限制物理理論的形式，還能引出守恆量的概念，可幫助我們理解物理體系的演變過程。

近年來，理論物理領域正在發生着一場“廣義對稱性”[1-4]的概念革命。來自高能物理、凝聚態物理與數學等不同領域的學者們會聚一堂，提出各種新穎的對稱性概念，並在物理體系中的尋找它們的痕跡。本文試圖引領讀者瞭解這個充滿活力的數學物理領域，一窺其背後的思想與魅力。

對稱性與守恆量

無論是在宏觀的日常生活中，還是微觀的物理體系中，對稱性都無處不在。從美學的角度來看，對稱性是美的極大體現。甚至可以説，對稱性的美學追求深深刻在了人類基因中。

著名數學家艾米·諾特（Emmy Noether）提出了關於對稱性的基本定理——諾特定理。她指出：每一種連續對稱性都能引出一個守恆量。常見的例子有：

(1) 空間平移對稱性——動量守恆；

在具有空間平移對稱性的系統裏，體系的總動量不隨着空間平移而變化。

(2) 時間平移對稱性——能量守恆；

想象一下，在房頂上放置了一個鐵球。在具有時間平移對稱性的系統中，鐵球的重力勢能並不會隨着時間的推移而變化。不論是今天還是明天將其推下，鐵球着地的速度都是相同的。

(3) 空間旋轉對稱性——角動量守恆；

花樣滑冰為角動量守恆提供了一個生動的例子。因為角動量等於轉動角速度乘以轉動慣量，選手縮起手臂時，轉動慣量減小，從而使轉速加快（此處忽略摩擦等耗散現象）。

也許你會思考：那我們熟知的電荷守恆，又對應着什麼樣的對稱性呢？

局域場與規範對稱性

讓我們回到19世紀，當時物理學家使用了一個重要的新概念——“場”以描述電磁現象，它對人類哲學也產生了衝擊，因為這是一種無形且無處不在的物質。最終麥克斯韋總結了後以他命名的方程組，為經典電磁學奠定了理論基礎（此處“經典”是與量子對立的概念）。

經典電磁理論的一個重要推論是電磁波的存在，例如可見光、微波等。電磁波在真空中的傳播速度是恆定的，即光速。在經典電磁場理論中，所有相互作用都是局域的。也就是説，物質只能影響其附近的事物，而電磁相互作用的傳播速度不能超過光速。這一特性啓發了愛因斯坦在20世紀初建立狹義相對論，將三維空間與一維時間統一為有機的整體——四維時空。

狹義相對論可以自然地描述電磁場的動力學（即“電動力學”）。在其現代版本中，基本的物理對象包括由電磁四維矢量描述的場A，以及描述帶電粒子的局域物質場Φ。這樣的理論具有“規範對稱性”（或“局域對稱性”），即拉格朗日量在變換Φ→exp(iλ)Φ，A→A+dλ下不變，這裏“規範參數”λ是依賴於時空座標的函數。因此，四維矢量A也被稱為規範場。

在理論物理中，人們通常不將這種規範對稱性視為“真正”的對稱性，因為它意味着理論中存在一些冗餘的自由度。實際處理中，需要選擇特定的λ進行“規範固定”，以得到真實的物理自由度。

與此相反，諾特定理中的對稱性要求λ與時空座標無關，即對應於 “全局對稱性”（global symmetry）。本文中提到的“對稱性”默認都指的是全局對稱性。

回到之前的問題：電荷守恆是由什麼連續對稱性得到的呢？

答案是：全局規範對稱性！電荷是令規範參數λ與時空座標無關後，應用諾特定理推出的守恆量。

對稱性背後的數學——羣

羣是由19世紀數學天才伽羅瓦（Évariste Galois）、阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人提出的代數結構，它作為描述對稱性的基本數學框架，具有高度的美感。

簡而言之，羣是一個集合，一種被額外賦予的代數結構，即元素之間的羣運算a·b（也可稱為羣乘法、羣加法）。羣運算需要滿足

(1) 結合律a·(b·c)=(a·b)·c；

(2) 可逆性，即羣中有唯一的單位元e，使得對任何元素a，存在它的逆元素a^（-1），a·a^（-1）= a^（-1）·a=e。

此定義比較抽象，但從對稱性變換的角度來理解就顯得非常自然。一個羣的元素對應某種對稱性變換，羣乘法則表示兩次接替的變換，而單位元對應於不變換，逆元對應於逆變換。

用羣來表示前文提到的對稱性例子：

(1) 時間平移對稱性——實數上的加法羣R；

(2) 空間平移對稱性——三個獨立實數的加法羣R^3；

(3) 空間旋轉對稱性——李羣SO(3)，每一個羣元素可以用三個“歐拉角”來描述；

(4) 電磁場的規範對稱性——李羣U(1)，羣元素exp(iλ)對應上文提到的相位旋轉（規範參數），其中λ的取值範圍是0到2π。

尤其留意，可逆性是羣的一個重要定義特徵。在後文中，我們將突破羣的可逆性，探討“不可逆”的對稱性。

高形式對稱性

在傳統的局域量子場論中，人們研究的焦點通常是局域場算符，它們被定義在時空中的某個0維的點上。傳統的對稱性主要作用在這些局域場算符上。

然而，量子場論中同樣存在着高維的非局域算符。以麥克斯韋電磁學理論為例，我們可以圍繞一個一維的圈上對規範場A做積分，從而定義出

這一在規範對稱性變換下不變的“威爾遜圈”（Wilson loop）算符。

在廣義對稱性浪潮的早期，奠基性工作“Generalized global symmetries”[1]首先提出了一種被稱為高形式對稱性（Higher-form symmetry）的新穎概念，作用在場論中的高形式算符上。

例如對於不存在帶電粒子的麥克斯韋電磁學理論，可以定義一種拓撲算符——電通量算符（electric flux）作用於威爾遜圈上，形式是將其乘上一個額外的U(1)相位因子（見下圖）。此種全局對稱性被稱作（電的）“1-形式對稱性”（1-form symmetry）。

高形式對稱性同樣滿足諾特定理，上文中1-形式對稱性對應的守恆量即是電通量。由於我們假設不存在帶電粒子，電通量的確是守恆的。

類似地，當理論中不存在磁荷時，磁通量也是一個守恆量，對應於磁的1-形式對稱性。

更一般地説，以上圖中拓撲方式作用在p維非局域算符上的對稱性，我們稱之為p-形式對稱性。這個命名來源於定義這些拓撲算符的數學工具——微分形式。在這種語言下，高形式對稱性可以自然地在彎曲時空中進行定義。

高形式對稱性與禁閉

在基礎物理學中，一個重大問題是解釋量子色動力學中的夸克禁閉現象。具體來説，為什麼夸克在長距離（低能標）下會組合成質子、中子和其他粒子，而我們無法直接觀測到裸夸克呢？這個問題在數學上對應着克雷數學研究所千禧年七大數學問題之一，即楊—米爾斯問題。

在此理論中，威爾遜圈扮演着重要的角色，因為當圓圈的尺寸趨於無窮大時，其行為對應於量子色動力學在長距離下的行為。有以下兩種可能的情況：

(1) 威爾遜圈的取值（真空期望值）呈exp(-A)的形式，與圓圈的面積相關，被稱為面積律。當圓圈尺寸趨於無窮時，威爾遜圈的真空期望值趨於零，理論處於禁閉狀態。

(2) 威爾遜圈的取值（真空期望值）呈exp(-L)的形式，與圓圈的周長相關，被稱為周長律。這時當圓圈尺寸趨於無窮時，威爾遜圈的真空期望值可在加局域抵消項後不等於零，而理論處於解禁閉狀態。

對於只有規範場（膠子），沒有物質場（夸克）的楊—米爾斯場論，其中藴含着離散的1-形式對稱性，我們也可以討論其中膠子的禁閉行為。上面提到的面積律（1）對應於1-形式對稱性未發生自發對稱破缺的情況，即禁閉狀態；而周長律（2）則表明1-形式對稱性發生了自發對稱破缺，即解禁閉狀態。

在廣義對稱性的研究中，一個終極目標是找到適用於真實世界的量子色動力學的廣義對稱性，研究其對稱性自發破缺，最終理解禁閉與解禁閉相之間的相變過程等物理問題。這是一個長遠而富有挑戰性的研究問題。

量子反常，反常理論與SPT

量子世界是一個神秘且與經典世界截然不同的領域，其許多方面難以用日常經驗理解。在對稱性方面，經典場論中具有的對稱性也有可能在量子水平下被破壞。這種物理現象被稱為量子反常（或反常，anomaly）[5]。

具體而言，我們需要計算量子理論的配分函數是否依然擁有原對稱性。量子反常可分為兩種主要類型：

(1) 規範對稱性的量子反常；它的存在表明量子規範場論本身是不自洽的，因而需要用某些物理機制來抵消（例如Green-Schwarz機制）。

(2) 全局對稱性的量子反常，即’t Hooft反常；它的存在本身並不會推翻理論，但如果想將全局對稱性變為有動力學的規範對稱性，即進行規範化，’t Hooft反常將阻礙這一過程的發生。

在有’t Hooft反常的情況下，我們通常可以引入一個高一維時空中的“反常理論”（anomaly theory），與原來的物理體系相耦合。換句話説，原來d維的物理體系可以被認為存在於某個(d+1)維帶邊流形的邊界上。反常理論是一個拓撲量子場論，其規範變換正好與d維物理理論中的’t Hooft反常相抵消，這樣組合之後的大體系就沒有反常，見下圖。

在凝聚態物理中，一個重要的研究課題是探索和分類物理體系中的各種相，特別是被體系的拓撲性質所保護的“拓撲序”（topological order）。前述的反常理論的物理圖像正好對應於文小剛老師等人提出的對稱性保護拓撲序（SPT，Symmetry Protected Topological order）[6]。以上的討論也可自然適用到高形式對稱性的情況，為理解量子體系中的對稱性和拓撲性質提供了新視角。

超越羣——範疇對稱性

正如前文所述，羣是一種描述對稱性的自然結構，但是否描述對稱性一定要用羣呢？隨着形式化量子場論的發展和高形式對稱性的提出，人們意識到在場論中需要關注高維物體和高維算符，例如被p-形式對稱性作用的p維算符。但是，我們能否描述不同高形式對稱性之間的混合呢？以及需要用什麼樣的數學結構來描述呢？

答案是：現代數學的靈魂——範疇。

範疇是集合論的推廣與集大成，同時也是數學的一個重要前沿領域。一個一階範疇包含了一些對象（object）和對象之間的關係（被稱為“態射”，1-morphism）。進一步，我們可以定義二階範疇（2-category），其中包含關係之間的關係（2-morphism），三階範疇包含關係的關係的關係（3-morphism），以此類推，甚至到無窮範疇。

在拓撲學中，我們可以將空間上的每個點看成對象，兩個點之間的路徑看成對象之間的關係，兩個路徑之間張成的面看成關係之間的關係，等等。因此，可以看出範疇論早期的發展與代數拓撲中的同倫論（homotopy theory）存在密切的聯繫。

在代數中，我們同樣可以用範疇的語言定義代數結構。例如，羣可以被看作是隻有一個對象“•”的一階範疇，其中每個羣元素對應“•”到自己的一個1-morphism。當然，對於羣來説，這些1-morphism都是可逆的，並且需要滿足結合律。

接下來就是將羣推廣到高階羣（higher-group），一個n階羣（n-group）被定義為只有一個對象“•”的n階範疇。在這個n階範疇中，包括可逆的1-morphism、2-morphism直到n-morphism，它們在物理中對應於不同的對稱性變換，作用在不同維度的算符上。

更細緻地説，對稱羣在物理算符上的作用方式是由其“羣表示”確定的。一個簡單的例子是三維空間中的旋轉變換，它可以作用在三維座標矢量上。在線性代數中，這可以理解為一個3×3的旋轉矩陣去乘以一個三維列矢量。換句話説，我們用一個3×3矩陣去“表示”旋轉對稱羣的元素。

對於高階羣的羣表示，也需要用所謂的“n階矢量空間”（一個n階範疇）去替代普通的矢量空間。在數學領域，一般的高階羣與表示理論還未被完全建立，而此問題在數學和物理中都存在許多未知的可能性，亟待人們深入探索。

不可逆對稱性

在範疇對稱性的討論中，我們依然假設所有對稱變換都是可逆的。現在自然而然地引出一個問題：我們能否放鬆對可逆性的要求呢？

在一般的範疇中，1-morphism當然可以是不可逆的。一個經典例子是非阿貝爾羣的表示張量範疇（representation tensor category），其中的1-morphism是羣表示，而它們之間的結合就是羣表示之間的張量乘積展開。一個簡單的例子是SU(2)羣，其不可約表示可用自旋標記。兩個自旋1/2的粒子結合，可以得到一個自旋為1的三重態，以及一個自旋為0的單重態：

在這個代數系統中，單位元可以被定義成自旋為0的單重態。然而，對於張量積運算而言，不存在逆元的概念。

接下來，我們將探討物理系統中的不可逆對稱性[3]。一般來説，生成不可逆對稱性的拓撲算符之間的張量積需要形成以下的一般形式，即等式右邊是若干個算符的直和：

一個具有不可逆對稱性的物理實例可由以下方法構造：考慮一個具有離散非阿貝爾羣G對稱性的場論模型，我們將這個對稱性規範化，變成一個規範羣為G的規範場論。可以證明，新的體系會具有一個新的對稱性G’，其對稱性代數為G的Pontryagin對偶，也就是G的表示張量範疇。由於非阿貝爾羣的表示在張量乘積運算下不可逆，我們因此構造出了一個帶有不可逆對稱性的物理體系。

我們還可以研究最一般的，由n階張量範疇描述的高階範疇對稱性，這些高階範疇對稱性的定義和性質與普通對稱性大不相同。如何研究它們的表示論、量子反常、對稱性破缺等問題都是數學物理中的前沿課題。

廣義對稱性與弦論

如何理解非微擾、強耦合、強關聯繫統是物理學中的基本難題，也是數學物理的終極問題之一。由於一般的非微擾量子場論過於複雜，人們會嘗試討論一些具有更高對稱性的模型。

其一是探討具有標度不變性的“共形場論”。這些理論在統計物理中用於描述臨界現象，同時也能描述量子場論在極限短距離（紫外）或極限長距離（紅外）下的“不動點理論”。

其二是引入一種新的對稱性——超對稱，要求理論中的玻色子與費米子兩兩配對。超對稱可簡化、減少量子場論中的量子修正。

共形場論與超對稱量子場論一直以來都是形式化高能理論的重點研究領域，它們背後藴含着豐富的數學結構。例如四維N=2超對稱場論的Seiberg-Witten理論、四維N=4超對稱場論的散射振幅結構，以及各種對偶性等都是深受關注的研究方向。

值得一提的是，有些量子場論同時具備超對稱性和共形不變性，它們被稱為“超對稱共形場論”（superconformal field theory）。這類理論很多都是非微擾的，甚至沒有經典拉氏量近似描述。著名的例子包括四維的“Argyres-Douglas”理論，以及眾多的五維、六維時空中的超對稱共形場論等[7, 8]。

我們可以在弦論框架中系統地構造許多超對稱共形場論，這也被稱為“幾何工程”（geometric engineering）。弦論是一種自上世紀70年代以來發展起來的量子引力候選理論，旨在統一量子場論與廣義相對論。諸多現代數學分支也隨着弦論的進展而一同得到發展，如復代數幾何、鏡像對稱、計數幾何、共形場論相關的算子代數，等等。

人們通常使用的弦論版本是10維的IIA/IIB超弦理論，或者11維的M-理論、“12維”的F-理論等。為了獲得我們所需的低維理論，我們需要把其中一些額外的時空維數置於滿足一定數學條件的幾何空間上，比如著名的卡拉比-丘流形。

當我們希望構造不含引力部分的超對稱共形場論時，選取的幾何空間需要滿足以下的性質：

(1) 幾何空間的體積趨於無窮，使得低維理論的牛頓引力常數趨於零，即引力相互作用可被忽略；

(2) 幾何空間包含一個奇異點，即呈現下圖的錐形結構。超對稱共形場論中的物理自由度就隱藏在這個奇異點當中。

前文提到的許多有趣的超對稱共形場論都可以通過這種方法構造。近年來的研究表明，雖然我們仍然很難描述這些理論的動力學細節，但卻可以直接利用幾何空間的拓撲性質去計算它們的全局結構，尤其是它們的廣義對稱性。

具體而言，在超弦/M-理論中都存在着奇異的高維“膜”物體，如超弦中的D膜和M-理論中的M2、M5膜。通過將這些膜纏繞在一些特定的子空間上，我們可以直接構造出廣義對稱性作用的高維物理對象！例如，筆者與合作者首次通過這種方法計算了四維“Argyres-Douglas”理論及其推廣理論的高形式對稱性[9]。

近年來，一些學者也在探索用弦論框架來構造不可逆對稱性和高階範疇對稱性[10]。這種嘗試或許可以在一定程度上將弦論“範疇化”。

廣義對稱性與全息

除了前文提到的在弦論中的直接幾何構造方式，還有一種在弦論框架中研究量子場論的途徑，即AdS/CFT對應，或更廣義地説是全息原理。AdS/CFT對應的核心思想在於兩個物理理論之間存在對偶性（等價性），分別是：

(1) 彎曲的反德西特（Anti de-Sitter ，AdS）時空中的量子引力理論。這裏的反德西特時空可以視為一種具有邊界的負曲率雙曲時空；

(2) 在AdS時空邊界上定義的一個量子場論，該場論中沒有引力相互作用。

由於AdS時空中量子引力理論的信息完全包含在其邊界場論當中，這種對應關係類似於光學中的全息現象，所以也被稱為全息原理。

在某些極限情況下，我們能夠建立弱耦合引力理論與強耦合邊界場論之間的對偶關係。因此，AdS/CFT也被認為是一種有望解決強耦合物理問題的理論框架。

從廣義對稱性的角度看，在AdS/CFT中，量子引力中的規範對稱性對應於邊界量子場論中的全局對稱性。

因此，為了研究AdS/CFT框架下邊界量子場論的廣義對稱性，我們可以去尋找AdS量子引力中是否存在合適的規範場。讀者可能會發現，此物理圖像與上文中講的反常理論與SPT的圖像非常相似。實際上，邊界量子場論的’t Hooft反常正好對應於AdS中量子引力的拓撲項！在近年，筆者與合作者利用M-理論的幾何框架成功計算了著名的三維ABJ/ABJM理論的’t Hooft反常，以及其他三維超對稱共形場論的情形[11]。

展望

廣義對稱性是一個蓬勃發展的新領域，不斷刷新着人們對於對稱性這一古老概念的認知。它的重要意義不僅在於其在各物理分支中的應用，更在於它成功重新團結了三個原本獨立的羣體：高能理論學家、凝聚態理論學家和數學家。在國際理論物理學界，人們逐漸開始習慣用廣義對稱性的語言和思考方式來分析問題。筆者相信，廣義對稱性將成為物理基礎教育中的一部分。如果讀者想更深入地學習廣義對稱性，可參考筆者與王晴睿老師以及學生羅然合作撰寫的綜述講義[2]，以及其他相關講義[3, 4]。

最後，讓我們簡要展望一下這三個方向的未來研究前景：

(1) 在高能理論方面，研究各種廣義對稱性的量子反常、對稱性自發破缺等基本問題，深入研究廣義對稱性在弦論與引力-全息對偶中的實現形式，探索在粒子物理、散射振幅、模型構造中的物理應用等。

(2) 在凝聚態理論方面，用廣義對稱性描述各種拓撲物態、SPT，在格點哈密頓量模型中實現廣義對稱性，分類融合範疇、高階融合範疇（higher fusion category）及其對應的拓撲場論，研究在拓撲量子計算中的潛在應用等。

(3) 在數學領域，細緻地研究高階範疇及其表示論，嚴格證明拓撲量子場論、SPT等領域的物理猜想，推動量子場論的公理化，為理論物理提供更嚴密的數學基礎。

參考文獻

[1] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, B. Willett, Generalized Global Symmetries, JHEP (2015) 02, 172.

[2] R. Luo, Q-.R. Wang, Y-.N. Wang, Lecture Notes on Generalized Symmetries and Applications, Physics Report (2024) 1065.

[3] L. Bhardwaj, L. E. Bottini, L. Fraser-Taliente, L. Gladden, D. S. Gould, A. Platschorre, H. Tillim, Lectures on generalized symmetries, Physics Report (2024) 1051.

[4] S. Schafer-Nameki, ICTP lectures on (non-) invertible generalized symmetries, Physics Report (2024) 1063.

[5] J. A. Harvey, TASI 2003 lectures on anomalies, arXiv: hep-th/0509097.

[6] X. Chen, Z-.C. Gu, Z-.X. Liu, X-.G. Wen, Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, Physical Review B, 87(15), 155114.

[7] P. Jefferson, S. Katz, H. C. Kim, C. Vafa, On geometric classification of 5d SCFTs, JHEP 04 (2018) 103.

[8] J. J. Heckman, D. R. Morrison, T. Rudelius, C. Vafa (2015), Atomic classification of 6D SCFTs. Fortschritte der Physik, 63.7-8 (2015), 468-530.

[9] C. Closset, S. Schafer-Nameki, Y-.N. Wang, Coulomb and Higgs Branches from Canonical Singularities: Part 0, JHEP 02 (2021) 003.

[10] F. Apruzzi, F. Bonetti, D. S. Gould, S. Schafer-Nameki, Aspects of Categorical Symmetries from Branes: SymTFTs and Generalized Charges, arXiv:2306.16405.

[11] D. S. Gould, M. v. Beest, S. Schafer-Nameki, Y. N. Wang, Symmetry TFTs for 3d QFTs from M-theory, JHEP 02 (2023) 226.

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協科普部

監製：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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