希爾伯特第15問題與代數幾何學之起源_風聞
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1900年,希爾伯特 (David Hilbert) 在題為《數學問題》的講演中,提出了23個公開問題[18]。其中的第15問題,專注於19世紀計數幾何與相交理論,題目是“為舒伯特計數演算法建立嚴格基礎”。
Springer數學百科全書[28]中回顧到:“澄清舒伯特演算是20世紀代數幾何學的重要主題”。本文旨在尋根溯源,以幾何學拓荒者們的故事為掠影,第15問題的解答為脈絡,重現代數幾何學誕生歷程。
撰文 | 段海豹(中國科學院數學與系統科學研究院研究員)、趙學志(首都師範大學數學科學學院教授)
01 相交理論簡史
公元前3世紀,希臘幾何學家阿波羅尼斯 (Apollonius, 262-190 B.C.) 在“Tangencies”一文中,證明了下述結果。是計數幾何學的第一個範例:
定理 1.1:對於平面中處於一般位置的3個圓,恰有8個圓與它們相切。
阿波羅尼斯定理的示意圖
這個定理的最初證明已遺失在歷史的塵埃中,後人僅能從帕普斯 (Pappus) 在公元4世紀的一篇記述中得知這個結果。在文藝復興時期,眾多幾何學家致力於尋求該定理的證明,其中韋達 (Viete),阿德里安 (Adriaan van Roomen), 熱爾岡 (Joseph Diaz Gergonne) 和牛頓 (Newton) 取得了成功。上面的插圖是劍橋大學2016年出版的代數幾何教程《3264 及相關故事》[15]的封面故事,其中的數目3264,係指復射影平面中與5條處於一般位置的圓錐曲線相切的圓錐曲線的條數,由Chasles在1864年得到[2]。
笛卡爾 (Descartes, 1627) 空間座標系的發現,使得幾何學家們 (如Maclaurin (1720),Euler(1748),Bezout(1764)) 能夠利用多項式方程組,來刻畫滿足特定幾何條件的幾何對象。於是,許多計數幾何問題有了如下表述:
多項式問題:對於複數域上一個自變量的個數等於方程的個數的多項式方程組:
相交理論示意圖
相交數問題的提出可歸功於法國力學家、數學家龐斯列 (Jean-Victor Poncelet, 1788-1867)。他於1811年畢業於巴黎理工大學,作為工程兵上尉參加了拿破崙侵俄戰爭。在莫斯科附件的克拉斯諾耶戰役中,被誤認為陣亡而被遺棄在戰場,被俘後囚禁在西伯利亞 Saratow戰俘營。龐斯列通過研究幾何學,度過戰俘營中的艱難歲月。他僅靠大學期間蒙日 (Monge) 所教授的畫法幾何學的基礎,在對17世紀射影幾何一無所知的情形下,獨立發現並建立了高維射影幾何學的系統理論。他提出並研究了圖形經過中心射影的不變性質;引入了“交比”的和“無窮遠”元素的概念;建立了二次曲線和曲面的配極理論,並由此得到一般的對偶原理。此外,他還研究了圖形在一定範圍內連續變動時所保持的性質,提出了“連續性原理 (the principle of continuity) ”,這是今天拓撲學中的“相交數同倫不變性”以及代數幾何中的“Chow’s moving lemma” 的雛形。龐斯列將他在戰俘營期間的工作整理為《論圖形的射影性質, 1816》一文,這是近代射影幾何以及相交理論奠基性工作。但柯西對龐斯列參加法國大革命的經歷十分不滿,以文章會導致“嚴重錯誤”為由,拒絕發表該文。
1900年,龐加萊在3維流形的分類工作中,創造性地引入了流形M的同調羣H*(M),使得人們能夠應用羣中的運算,來解析M的幾何結構。在研究相交數問題的過程中,萊夫舍茨 (Lefschetze) 進一步建立了流形M的上同調理論H*(M)[21,1926]。從鏈復形的層次看,後者只是前者的對偶,但與同調論相比較, 上同調具有一個突出優勢:對角映射d:M→MxM誘導了上同調羣中一個稱為“杯積”的乘法運算
至此,我們回顧了歷史上解答計數問題(或相交數問題)的三個設想,以及它們之間一脈相承的關係。一個自然地問題是,哪種方案具備有效可算性?這不僅是計數幾何問題的核心要求,也是推動20世紀代數幾何學發展的動力。
02 希爾伯特第15問題
舒伯特 (Hermann Schubert, 1848-1911) 於1870年在德國哈勒大學 (the University of Halle) 獲得博士學位。他的博士論文《特徵數理論》[22]的主題是計數幾何學。此前,他已發表過相關文章,證明了空間中與4個處於一般位置的球面相切的球面有16個,是阿波羅尼斯定理在空間情形的直接推廣。
1879 年,舒伯特發表了19世紀相交理論的巔峯之作《計數幾何演算》[23]:
舒伯特與《計數幾何演算》
在該書中,他發展了 Chasles 關於圓錐曲線的工作[2],並通過一系列示例, 展示了相交理論的幾何魅力。例如:
例2.1: 給定空間中處於一般位置的8張二次曲面,恰有4,407,296條圓錐曲線與它們相切;
例2.2: 給定空間中處於一般位置的9張二次曲面,恰有666, 841, 088張二次曲面與它們相切;
例2.3: 給定空間中處於一般位置的12張二次曲面,恰有5,819,539,783,680條三次立體曲線與它們相切。
由於舒伯特的工作廣泛應用了柯西所反對的“連續性原理”,廣受非議。為了迴避批評,他在1874年將該原理更名為“特殊位置原理 (the principle of special position) ”,兩年後又更名為“數的守恆原理 (the principle of conservation of numbers) ”;仍然受到Study和Kohn的攻擊[19]。最為中肯的評論來自範·德·瓦爾登 (van der Waerden),他在文獻[32]中回顧道,舒伯特的論證如此之概略,以至於“沒有給出相交數的定義,沒有辦法找到它,也沒有辦法計算它”。
希爾伯特在第15問題中要求,“為舒伯特計數演算法建立嚴格基礎”。同時,希爾伯特肯定了舒伯特的方法能夠預見到多項式問題的解的優勢:
“這個問題是:對於計數幾何中的那些幾何數目,在準確界定其適用範圍的前提下,嚴格地證明其正確性。特別需要研究的是,舒伯特在他的書中,基於所謂特殊位置原理(或相交數的守恆原理)所建立的一套計數演算法,並據此算出的那些幾何數目。
雖然今天的代數學在原則上保證了實施消元法可能性,但要證明計數幾何中的那些定理,對於代數學提出了更高要求。因為,它要求在對那些特定的方程 (組) 實施消元法之前,事先就能預見到最終所得方程的次數及其解的重數。”
希爾伯特與第15問題
03 舒伯特演算的基本問題: 特徵數問題
為深入到舒伯特演算的核心內容,我們引用原著[23]中一個計數表格:
表1. 空間圓錐截線的特徵數方程
其中,符號ρ, μ, ν依次表示空間中通過一個定點、相交於一條定直線、相切與一張定平面的圓錐截線所構成的三個代數簇。舒伯特本人將表格中的等式稱為“特徵數方程”,而早期的研究者也稱它們為“舒伯特符號方程”。舒伯特在他的工作[22-24]中多次強調,特徵數問題是計數幾何的主要理論問題[20]。然而,為了得到“特徵數問題"的嚴格表述,數學家們用了60多年時間,本節回顧相關故事。
3.1意大利學派 (The Italian school)
首先研究第15問題的數學團體,是以恩裏克斯 (Enriques) 和塞韋裏 (Severi) 為代表的意大利學派。他們的代表性著作是塞韋裏的文章《(特徵)數的守恆原理》和《計數幾何基礎與特徵數理論》[26, 27]。根據範·德·瓦爾登[28]的記述,“他們建立了令人欽佩的結構,但邏輯基礎不穩定,概念定義不明確,證據也欠充分”。
意大利學派關於相交理論進行辯論的場景
3.2 哥廷根學派 (The Gottingen School)}
1930年,範·德·瓦爾登發表了“計數幾何演算的拓撲基礎”[29]一文,是代數幾何發展史中的一個重要里程碑。他在文章中首次提出,在萊夫謝茨所建立的上同調理論的框架中,解答第15問題的設想。他在文章中敏鋭指出:
a) 每個舒伯特符號方程應是某個射影類流形上同調羣中的一個關係式;
b) 解答特徵數問題的前提,是確定該射影流形上同調羣的一個加法基底;
c) 所有計數問題的共同目標,是計算射影類流形中代數簇的相交數,成功地引領了第15問題的後續研究。
範·德·瓦爾登與《計數幾何學的拓撲基礎》
3.3 布爾巴基學派 (Bourbaki)
設G是一個緊緻連通李羣,P是G的一個拋物子羣。通過G到它的李代數的伴隨表示,齊性空間G/P得以實現為一個光滑復射影代數簇,稱為李羣G的一個旗流形。下面,我們依從文獻[1],用W(G)表示李羣G的外爾羣 (Weyl group),並用W(G;P) 表示子羣W(P) 的左陪集W(G)/W(P)。埃里斯曼 (C. Ehresmann ) 在1934年首度發現[14]
a) 舒伯特演算所關心的幾何對象的參數空間,本質上是旗流形 G/P 的一些特例;
b) 對於復格拉斯曼類流形 Gn,k(C) 這個特殊情形,經典的舒伯特符號,恰好是其上同調羣的一個加法基底。
隨着研究的深入,早期文獻中的含糊術語“舒伯特符號”,逐步被“舒伯特胞腔”或“舒伯特簇”此類嚴謹的幾何對象所替代。尤其是,切瓦利 (Chevalley)[3, 1958],蓋爾芳德等人 (Bernstein - Gel’fand - Gel’fand) [1, 1973] 相繼證明,每個旗流形G/P具有一個胞腔分解:
令人驚奇的是,在上同調理論正式誕生的前50年,舒伯特就已經在應用該理論,從事計數幾何演算工作。作為例證,我們援引柯立芝[4]的一段記述:“舒伯特所面臨的基本問題,是將這些符號的乘積用其他符號線性表出。他僅取得了部分成功。”
04 代數幾何學的誕生
範·德·瓦爾登在文章[30]的開篇中指出:“第15問題的核心問題在於給出相交重數 (intersection multiplicities) 的定義 (或計算公式),藉助於該公式,我們能夠有效計算出舒伯特的那些計數幾何問題的解,同時使得相交數的守恆原理得以保持”。隨之,他開始了構建代數幾何學基礎的規劃。他在《Mathematische Annalen》上發表了系列文章《ZurAl- gebraische Geometrie(#1~#20)》,並在1939 年出版了名著《Introduction to Algeberaic Geometry》,首要任務是尋求“相交重數”的嚴謹定義。
安德烈·韋伊 (Weil.A) 是布爾巴基學派的靈魂。1946年,他發表了里程碑式的名著《代數幾何基礎》[31],其中第一次系統且完整地對於代數閉域上的代數簇,給出了“相交重數”的定義。隨後,他根據切瓦利所發現的舒伯特演算的基底定理 (定理3.1),在該書的第二版中,將希爾伯特第15問題的解答,等價於“決定所有旗流形G/P的上同調環” 的問題[31, p.331]。下稱為“韋伊問題”。
韋伊與《代數幾何學基礎》
在韋伊工作[31]的基礎上,對於不可約代數簇W中兩個維數互補子簇X, Y, 塞爾 (Serre J.P.) 得到了相交重數的“優美公式” [25, 1965]:
其中A表示局部環O(X,W),a和b依次是代數簇X和Y的理想,L是A模的長度。隨後,富爾頓 (Fulton W) 和麥克弗森 (MacPherson R.D.) 一道,將公式推廣到帶奇點的代數簇[16]。遺憾的是,此類公式無法從事有效計算,尤其是第15問題所關切的特徵數的計算。
第15問題是當代數學中一個影響深遠的問題,它推動19世紀的計數幾何與相交理論,成長為20世紀數學大師範·德·瓦爾登和安德烈·韋伊所建立的代數幾何學[29-31],使得舒伯特演算深度融入微分幾何學、代數拓撲學、李羣表示論等領域,深刻地影響着這些領域的發展軌跡。這一切,既是希爾伯特對於數學發展的寬闊視野和前瞻性的有力見證,也對探索舒伯特演算行之有效的演算法則,尤其是特徵數問題和韋伊問題的解答,提出迫切要求。
1931年,周煒良 (Wei-Liang Chow, 1011-1995) 在芝加哥大學獲博士學位。出於對範·德·瓦爾登《代數學》的欣賞,他在1933年赴德國萊比錫大學,跟隨範·德·瓦爾登研究代數幾何學。1958年,他在切瓦利 (C. Chevalley) 的討論班上宣佈了以他的姓氏所命名的周環 (Chow Ring) [4],是當代相交理論的一個基礎平台。
周煒良在構建周環的工作中,證明了所有旗流形周環A*(G/P)和上同調環H*(G/P)之間,存在一個典範同構。利用這個同構,段海豹、趙學志在他們的系列工作[6-11]中,發展了微分拓撲、代數拓撲、以及符號計算的技術,從理論到計算兩個角度,解決了“特徵數問題”和“韋伊問題”。據此,他們已在文章[12, 13]中闡明,第15問題已獲解答。
參考文獻
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出品:科普中國
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