希爾伯特第15問題與代數幾何學之起源_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！27分钟前
Springer數學百科全書[28]中回顧到：“澄清舒伯特演算是20世紀代數幾何學的重要主題”。本文旨在尋根溯源，以幾何學拓荒者們的故事為掠影，第15問題的解答為脈絡，重現代數幾何學誕生歷程。
撰文 | 段海豹（中國科學院數學與系統科學研究院研究員）、趙學志（首都師範大學數學科學學院教授）
01 相交理論簡史
公元前3世紀，希臘幾何學家阿波羅尼斯 (Apollonius, 262-190 B.C.) 在“Tangencies”一文中，證明了下述結果。是計數幾何學的第一個範例：
定理 1.1：對於平面中處於一般位置的3個圓，恰有8個圓與它們相切。
這個定理的最初證明已遺失在歷史的塵埃中，後人僅能從帕普斯 (Pappus) 在公元4世紀的一篇記述中得知這個結果。在文藝復興時期，眾多幾何學家致力於尋求該定理的證明，其中韋達 (Viete)，阿德里安 (Adriaan van Roomen)， 熱爾岡 (Joseph Diaz Gergonne) 和牛頓 (Newton) 取得了成功。上面的插圖是劍橋大學2016年出版的代數幾何教程《3264 及相關故事》[15]的封面故事，其中的數目3264，係指復射影平面中與5條處於一般位置的圓錐曲線相切的圓錐曲線的條數，由Chasles在1864年得到[2]。
笛卡爾 (Descartes, 1627) 空間座標系的發現，使得幾何學家們 (如Maclaurin (1720)，Euler(1748)，Bezout(1764)) 能夠利用多項式方程組，來刻畫滿足特定幾何條件的幾何對象。於是，許多計數幾何問題有了如下表述：
多項式問題：對於複數域上一個自變量的個數等於方程的個數的多項式方程組：
相交數問題的提出可歸功於法國力學家、數學家龐斯列 (Jean-Victor Poncelet, 1788-1867)。他於1811年畢業於巴黎理工大學，作為工程兵上尉參加了拿破崙侵俄戰爭。在莫斯科附件的克拉斯諾耶戰役中，被誤認為陣亡而被遺棄在戰場，被俘後囚禁在西伯利亞 Saratow戰俘營。龐斯列通過研究幾何學，度過戰俘營中的艱難歲月。他僅靠大學期間蒙日 (Monge) 所教授的畫法幾何學的基礎，在對17世紀射影幾何一無所知的情形下，獨立發現並建立了高維射影幾何學的系統理論。他提出並研究了圖形經過中心射影的不變性質；引入了“交比”的和“無窮遠”元素的概念；建立了二次曲線和曲面的配極理論，並由此得到一般的對偶原理。此外，他還研究了圖形在一定範圍內連續變動時所保持的性質，提出了“連續性原理 (the principle of continuity) ”，這是今天拓撲學中的“相交數同倫不變性”以及代數幾何中的“Chow’s moving lemma” 的雛形。龐斯列將他在戰俘營期間的工作整理為《論圖形的射影性質, 1816》一文，這是近代射影幾何以及相交理論奠基性工作。但柯西對龐斯列參加法國大革命的經歷十分不滿，以文章會導致“嚴重錯誤”為由，拒絕發表該文。
1900年，龐加萊在3維流形的分類工作中，創造性地引入了流形M的同調羣H*(M)，使得人們能夠應用羣中的運算，來解析M的幾何結構。在研究相交數問題的過程中，萊夫舍茨 (Lefschetze) 進一步建立了流形M的上同調理論H*(M)[21，1926]。從鏈復形的層次看，後者只是前者的對偶，但與同調論相比較， 上同調具有一個突出優勢：對角映射d:M→MxM誘導了上同調羣中一個稱為“杯積”的乘法運算
02 希爾伯特第15問題
舒伯特 (Hermann Schubert, 1848-1911) 於1870年在德國哈勒大學 (the University of Halle) 獲得博士學位。他的博士論文《特徵數理論》[22]的主題是計數幾何學。此前，他已發表過相關文章，證明了空間中與4個處於一般位置的球面相切的球面有16個，是阿波羅尼斯定理在空間情形的直接推廣。
1879 年，舒伯特發表了19世紀相交理論的巔峯之作《計數幾何演算》[23]：
在該書中，他發展了 Chasles 關於圓錐曲線的工作[2]，並通過一系列示例， 展示了相交理論的幾何魅力。例如：
例2.1: 給定空間中處於一般位置的8張二次曲面，恰有4,407,296條圓錐曲線與它們相切；
例2.2: 給定空間中處於一般位置的9張二次曲面，恰有666, 841, 088張二次曲面與它們相切；
例2.3: 給定空間中處於一般位置的12張二次曲面，恰有5,819,539,783,680條三次立體曲線與它們相切。
由於舒伯特的工作廣泛應用了柯西所反對的“連續性原理”，廣受非議。為了迴避批評，他在1874年將該原理更名為“特殊位置原理 (the principle of special position) ”，兩年後又更名為“數的守恆原理 (the principle of conservation of numbers) ”；仍然受到Study和Kohn的攻擊[19]。最為中肯的評論來自範·德·瓦爾登 (van der Waerden)，他在文獻[32]中回顧道，舒伯特的論證如此之概略，以至於“沒有給出相交數的定義，沒有辦法找到它，也沒有辦法計算它”。
希爾伯特在第15問題中要求，“為舒伯特計數演算法建立嚴格基礎”。同時，希爾伯特肯定了舒伯特的方法能夠預見到多項式問題的解的優勢：
“這個問題是：對於計數幾何中的那些幾何數目，在準確界定其適用範圍的前提下，嚴格地證明其正確性。特別需要研究的是，舒伯特在他的書中，基於所謂特殊位置原理（或相交數的守恆原理）所建立的一套計數演算法，並據此算出的那些幾何數目。
雖然今天的代數學在原則上保證了實施消元法可能性，但要證明計數幾何中的那些定理，對於代數學提出了更高要求。因為，它要求在對那些特定的方程 (組) 實施消元法之前，事先就能預見到最終所得方程的次數及其解的重數。”
03 舒伯特演算的基本問題: 特徵數問題
為深入到舒伯特演算的核心內容，我們引用原著[23]中一個計數表格：
其中，符號ρ, μ, ν依次表示空間中通過一個定點、相交於一條定直線、相切與一張定平面的圓錐截線所構成的三個代數簇。舒伯特本人將表格中的等式稱為“特徵數方程”，而早期的研究者也稱它們為“舒伯特符號方程”。舒伯特在他的工作[22-24]中多次強調，特徵數問題是計數幾何的主要理論問題[20]。然而，為了得到“特徵數問題"的嚴格表述，數學家們用了60多年時間，本節回顧相關故事。
3.1意大利學派 (The Italian school)
首先研究第15問題的數學團體，是以恩裏克斯 (Enriques) 和塞韋裏 (Severi) 為代表的意大利學派。他們的代表性著作是塞韋裏的文章《(特徵)數的守恆原理》和《計數幾何基礎與特徵數理論》[26, 27]。根據範·德·瓦爾登[28]的記述，“他們建立了令人欽佩的結構，但邏輯基礎不穩定，概念定義不明確，證據也欠充分”。
3.2 哥廷根學派 (The Gottingen School)}
1930年，範·德·瓦爾登發表了“計數幾何演算的拓撲基礎”[29]一文，是代數幾何發展史中的一個重要里程碑。他在文章中首次提出，在萊夫謝茨所建立的上同調理論的框架中，解答第15問題的設想。他在文章中敏鋭指出：
a) 每個舒伯特符號方程應是某個射影類流形上同調羣中的一個關係式；
b) 解答特徵數問題的前提，是確定該射影流形上同調羣的一個加法基底；
c) 所有計數問題的共同目標，是計算射影類流形中代數簇的相交數，成功地引領了第15問題的後續研究。
3.3 布爾巴基學派 (Bourbaki)
設G是一個緊緻連通李羣，P是G的一個拋物子羣。通過G到它的李代數的伴隨表示，齊性空間G/P得以實現為一個光滑復射影代數簇，稱為李羣G的一個旗流形。下面，我們依從文獻[1]，用W(G)表示李羣G的外爾羣 (Weyl group)，並用W(G;P) 表示子羣W(P) 的左陪集W(G)/W(P)。埃里斯曼 (C. Ehresmann ) 在1934年首度發現[14]
a) 舒伯特演算所關心的幾何對象的參數空間，本質上是旗流形 G/P 的一些特例；
b) 對於復格拉斯曼類流形 Gn,k(C) 這個特殊情形，經典的舒伯特符號，恰好是其上同調羣的一個加法基底。
隨着研究的深入，早期文獻中的含糊術語“舒伯特符號”，逐步被“舒伯特胞腔”或“舒伯特簇”此類嚴謹的幾何對象所替代。尤其是，切瓦利 (Chevalley)[3, 1958]，蓋爾芳德等人 (Bernstein - Gel’fand - Gel’fand) [1, 1973] 相繼證明，每個旗流形G/P具有一個胞腔分解：
04 代數幾何學的誕生
範·德·瓦爾登在文章[30]的開篇中指出：“第15問題的核心問題在於給出相交重數 (intersection multiplicities) 的定義 (或計算公式)，藉助於該公式，我們能夠有效計算出舒伯特的那些計數幾何問題的解，同時使得相交數的守恆原理得以保持”。隨之，他開始了構建代數幾何學基礎的規劃。他在《Mathematische Annalen》上發表了系列文章《ZurAl- gebraische Geometrie(#1~#20)》，並在1939 年出版了名著《Introduction to Algeberaic Geometry》，首要任務是尋求“相交重數”的嚴謹定義。
安德烈·韋伊 (Weil.A) 是布爾巴基學派的靈魂。1946年，他發表了里程碑式的名著《代數幾何基礎》[31]，其中第一次系統且完整地對於代數閉域上的代數簇，給出了“相交重數”的定義。隨後，他根據切瓦利所發現的舒伯特演算的基底定理 (定理3.1)，在該書的第二版中，將希爾伯特第15問題的解答，等價於“決定所有旗流形G/P的上同調環” 的問題[31, p.331]。下稱為“韋伊問題”。
在韋伊工作[31]的基礎上，對於不可約代數簇W中兩個維數互補子簇X, Y， 塞爾 (Serre J.P.) 得到了相交重數的“優美公式” [25, 1965]：
第15問題是當代數學中一個影響深遠的問題，它推動19世紀的計數幾何與相交理論，成長為20世紀數學大師範·德·瓦爾登和安德烈·韋伊所建立的代數幾何學[29-31]，使得舒伯特演算深度融入微分幾何學、代數拓撲學、李羣表示論等領域，深刻地影響着這些領域的發展軌跡。這一切，既是希爾伯特對於數學發展的寬闊視野和前瞻性的有力見證，也對探索舒伯特演算行之有效的演算法則，尤其是特徵數問題和韋伊問題的解答，提出迫切要求。
1931年，周煒良 (Wei-Liang Chow, 1011-1995) 在芝加哥大學獲博士學位。出於對範·德·瓦爾登《代數學》的欣賞，他在1933年赴德國萊比錫大學，跟隨範·德·瓦爾登研究代數幾何學。1958年，他在切瓦利 (C. Chevalley) 的討論班上宣佈了以他的姓氏所命名的周環 (Chow Ring) [4]，是當代相交理論的一個基礎平台。
周煒良在構建周環的工作中，證明了所有旗流形周環A*(G/P)和上同調環H*(G/P)之間，存在一個典範同構。利用這個同構，段海豹、趙學志在他們的系列工作[6-11]中，發展了微分拓撲、代數拓撲、以及符號計算的技術，從理論到計算兩個角度，解決了“特徵數問題”和“韋伊問題”。據此，他們已在文章[12, 13]中闡明，第15問題已獲解答。
參考文獻
[1] Bernstein I N, Gel’fand I M, Gel’fand S I., Schubert cells and cohomology of the spaces G/P, Russian Math. Surveys, 28: 3 (1973), 1--26.
[2] Chasles M., Construction des coniques qui satisfont à cinque conditions, C. R. Acad. Sci. Paris, 58(1864), 297--308.
[3] Chevalley C., Sur les Decompositions Celluaires des Espaces G/B, Proc. Symp. in Pure Math. 56 (part 1) (1994), 1--26.
[4] Coolidge J.L., A history of geometrical methods, Oxford Univ. press,1940.
[5] Chow W. L., Anneaux de Chow et applications, Sem. Chevalley (1958).
[6] Duan H., The degree of a Schubert variety, Adv. in Math., 180(2003), 112--133.
[7] Duan H, Zhao X., Multiplicative rule of Schubert classes, Invent. Math. 159(2005), no. 2, 407--436; 177(2009), no.3, 683--684.
[8] Duan H., Multiplicative rule in the Grothendieck cohomology of a flag variety, J. Reine Angew. Math. 600 (2006), 157--176.
[9] Duan H., Zhao X., A unified formula for Steenrod operations in flag manifolds. Compos. Math. 143(1), (2007), 257--270.
[10] Duan H, Zhao X. The Chow rings of generalized Grassmannians, Found. Math. Comput. 10(2010), no.3, 245--274.
[11] Duan H, Zhao X., Schubert presentation of the cohomology ring of flag manifolds G/T, LMS J. Comput. Math. 18(2015), no.1, 489--506.
[12] Duan H, Zhao X., On Schubert’s Problem of Characteristics, in Schubert calculus and its applications in Combinatorics and representation theory, Springer proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 332(2020), 43--71.
[13] Duan H, Zhao X., Schubert calculus and interesection theory of flag manifolds, Russian Math. Surveys (Uspekhi Matematicheskikh Nauk), 77(2022), 729--751.
[14] Ehresmann C. Sur la topologie de certains espaces homogenes, Ann. of Math. (2) 35 (1934), 396--443.
[15] Eisenbud D, Harries J., 3264 and all that: A Second Course in Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 2016.
[16] Fulton W,. MacPherson R.D., “Defining algebraic intersections”, LNM. 687, 1978.
[17] Fulton W., Intersection theory, Springer-Verlag, 1998.
[18] Hilbert D., Mathematische Probleme, Bull. AMS. 8(1902), 437--479.
[19] Kleiman S., Problem 15: Rigorous foundation of Schubert’s enumerative calculus, Proc. Symp. Pure Math., 28, Amer. Math. Soc. (1976), 445--482.
[20] Kleiman S., Book review on ``Intersection Theory by W. Fulton’’, Bull. AMS, 12(1985), no.1, 137--143.
[21] Lefschetz S., Intersections and transformations of complexes and manifolds, Trans. AMS, Vol.28, no.1 (1926), 1--49.
[22] Schubert H., Zur Theorie der Charakteristike, Celles Journ. 71(1870), 366--386.
[23] Schubert H., Kalkul der abzahlenden Geometrie, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag (1979).
[24] Schubert H., A Losung des Characteristiken-Problems fur lineare Raume beliebiger Dimension, Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, t. I (1886), pp. 134–155.
[25] Serre J.P., Algebre Locale, Multiplicites, LNM, 11, 1965.
[26] Severi F., Il Principio della Conservazione del Numero. Rendiconti Circolo Mat. Palermo 33, 313 (1912).
[27] Severi F., Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche,
Atti 1st. Veneto, 75 (1916), 1121-1162.
[28] Sottile, F., Schubert calculus, Springer Encyclopedia of Mathematics, 2001.
[29] van der Waerden B L., The foundation of algebraic geometry from Severi to Andre Weil, Archive for History of Exact Sciences, 1971.
[30] van der Waerden B L., Topologische Begrundung des Kalkuls der abzhlenden Geometrie, Math. Ann. 102(1930), no. 1, 337--362.
[31] Weil A., Foundations of algebraic geometry, American Mathematical Society, Providence, R. I. 1962.
[32] Yvonne, D. S., Interview with Bartel Leendert van der Aaerden, Notice of the AMS, Vol.44, No.3 (1997), 313--321.
出品：科普中國
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。