量子相變簡介_風聞
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撰文 | 陳越（理論物理研究所2023屆博士生畢業生；導師：陳曉松教授；研究方向：統計物理與複雜系統）
量子多體系統的相變在自然形成的系統（如凝聚態）和通過冷原子氣體產生的人造系統中吸引了大量的理論和實驗研究[1-14]。相變是當系統的一個參數（序參量）通過某一個特殊值（相變點）時系統狀態發生的根本變化。相變點兩側的狀態以不同類型的序為特徵，通常是從對稱或無序狀態（包含哈密頓量的某種對稱性）到對稱性破缺或有序態（不具有該對稱性），儘管哈密頓量仍然擁有這種對稱性。
經典（熱力學）相變是有限温度下的相變，是粒子的熱運動和相互作用彼此競爭的結果。對於系統的穩定相，自由能取極小值，而自由能由系統的內能與代表無序度的熵在給定温度下抗衡的結果決定。例如，水的自由能曲線與冰的自由能曲線在0°C（在一個標準大氣壓下）時相交，0°C就是水的冰點，高温下水的自由能低，低温時冰的自由能低，所以水在高温下呈液態，在低温下呈固態。那麼，在絕對零度下，系統還會發生相變嗎？按照經典物理的看法，零温時沒有熵，因此不應該再有相變，例如水中的分子都處在能量最低的位置不動，構成一種冰，只有唯一的相。然而事實並非如此。微觀粒子的運動實質上並不遵循經典的牛頓力學，而應該由量子力學描述。經典相變可以完全由熱力學描述，並不需要用到量子力學，但在零温時發生的相變則需要量子力學描述。按照量子力學中的不確定性原理，微觀粒子的位置和動量不能同時測定。因此，在絕對零度，粒子仍然不會停下運動，還有所謂的“零點能”，這種零點能導致量子漲落，就像熱運動導致熱漲落。所以，在絕對零度時粒子的動能和勢能的競爭會導致不同相的存在以及它們之間的相變。與有限温度下經典的熱力學相變不同，這裏起作用的不是熱漲落，而是量子漲落。量子漲落會造成體系從有序到無序的轉變。
在非零温時，能量尺度為 的熱漲落與能量尺度為 的量子漲落互相競爭，這裏 為量子諧振子的特徵頻率，其反比於關聯時間。在量子臨界區域，即 的區域，量子漲落主導體系的行為，在非傳統的物理行為如新奇的非費米液體相中會出現這種量子臨界行為。從理論角度看，量子相變會將有序相和無序相（通常低温無序相被稱為量子無序相）分開。在温度足夠高時，體系是無序的且純經典的。實驗上，由量子漲落主宰的量子臨界相是最有趣的一種現象。
有人可能認為，根據熱力學第三定律，絕對零度是不可能達到的，因此討論這種絕度零度下的相變沒有實際意義，其實不然。與經典臨界現象類似，量子臨界現象也由一些普遍的規律描述，在很多時候，系統在非零温下的性質是由量子相變點決定的。
與經典相變不同，量子相變只能通過改變零温時的物理參數（如磁場或壓強）來實現。在零温時平衡態系統總是處於其最低能量態（如果最低能量是簡併的，則處於簡併態同等權重的疊加態）。量子相變描述的是多體系統的基態由於量子漲落髮生的突變，可以是二級相變。量子相變發生在量子臨界點，此時量子漲落驅動關聯長度發散。
拓撲費米子凝聚量子相變是一個例子。在三維費米液體的情況下，這種相變將費米麪轉變成費米體。這樣的相變可以是一級相變，因為它將費米麪這種二維結構轉變成三維的。其結果是，費米液體的拓撲電荷突變，因為它只能取離散值。另一個例子是光阱中稀薄原子的“超流-絕緣體”相變。1995年用激光冷卻、磁俘獲和蒸發冷卻的方法實現了稀薄的銣原子氣體的玻色-愛因斯坦凝聚。最早的實驗是把氣體分子俘獲在一個勢阱中，實現凝聚。有人用激光駐波的方法形成一個勢阱和勢壘的點陣。當温度降到幾十個納開爾文（ 10-9K）時產生玻色-愛因斯坦凝聚，從逃逸氣體分子的速度分佈在原點附近可以觀察到一個很尖鋭的峯，同時還有一些衞星峯，反應週期性的勢壘。這説明分子可以在勢壘中移動（隧道效應），因為這些衞星峯是衍射造成的。如果把勢壘提高，當超過一定閾值後，中心的峯和衞星峯都消失了，變成了模糊的一片。這説明粒子不能在勢壘中移動，被“局域化”了。前一種狀態被稱為“超流”態，而後一種狀態被稱為“絕緣體”態。這裏的“超流-絕緣體”相變是量子相變，因為其是量子漲落引起的，而不是熱漲落。
量子力學建立起來後發展出的固體能帶論解釋了為什麼有些金屬是導體，而有些金屬是絕緣體。後來的研究發現有些材料按能帶論應該是金屬，而實際卻是絕緣體。進一步的研究表明，這與電子間的庫侖排斥有關，簡單的單個粒子運動的圖像不可描述，這類材料被稱為“莫特絕緣體”。研究這種絕緣體在摻雜和加壓等條件下變為導體的相變是個熱門課題，它與有廣泛應用前景的高温超導體的研究有關。有人認為，冷原子的玻色-愛因斯坦凝聚研究為解決這個難題提供了新的途徑：用實驗手段直接調控這種相變。
除了以上提到的凝聚態體系中的量子相變，在光與物質相互作用體系中也會出現量子相變。傳統的量子相變通常考慮多粒子系統在熱力學極限下的相變，這要求微觀粒子的數量趨於無窮，如Dicke模型[15]。然而，最近的理論研究表明，即使系統僅包含一個原子，當原子躍遷頻率與空腔場頻率之比趨於無窮大時，可能會發生二階量子相變，如量子Rabi 模型[16, 17]。最近，在Paul 陷阱中使用 進行的俘獲離子實驗觀察到了這種量子相變，這為無需熱力學極限的量子相變的可控研究打開了一個新窗口[18]。
量子Rabi 模型描述了光子場與二能級原子系統之間的相互作用，是研究光-物質相互作用最簡單的模型之一，其起源於80 多年前的半經典模型。那時，Rabi 引入了一個模型來討論快速變化的弱磁場對具有核自旋的定向原子的影響[19, 20]。最簡單的情況對應於兩量子態系統。原子的運動用量子力學描述，場被視為經典旋轉場。Bloch 和Siegert 後來討論了非旋轉交變場的影響[21]，他們發現了共振位置的偏移——現在稱為Bloch-Siegert 偏移。在驅動超導量子比特的實驗中已經觀察到這種偏移[22]。
Jaynes 和Cummings 在1963 年引入了一個類似的量子模型，描述了一個與光腔的量子化模式相互作用的二能級原子[23]。他們最初的目標是研究輻射的量子理論與相應的半經典理論之間的關係。儘管它很簡單，但量子Rabi 模型在當時並不被認為是精確可解的。為了求解這個模型，採用了旋轉波近似。在這種稱為Jaynes–Cummings (JC) 模型的近似中，反向旋轉項被忽略，結果證明這是與許多實驗相關的近共振和弱耦合參數區域的有效近似。JC 模型很容易求解，並已非常成功地應用於理解一系列實驗現象，例如真空Rabi 模式分裂[24]和量子Rabi 振盪[25]。
在工程量子系統的重要實驗發展中，所有相關係統參數都是可調的，從而可以達到新的量子耦合區域。這些系統包括耦合到微波波導諧振器[26-29]、LC 諧振器[30-32]和機械諧振器[33-35]的超導量子比特。特別是，可以達到超強耦合區域。此外，在飛秒激光寫入的波導超晶格中，已經實現了深度強耦合狀態下量子Rabi 模型的經典模擬器[36]。另外，已經報道了在超強耦合狀態和更強的耦合狀態下的超導量子比特諧振器電路的結果[37, 38]。在這種耦合區域中，通常的旋轉波近似不再有效，反向旋轉項也不容忽視。JC 模型失效的直接證據已被報道[26]。人們已經提出了各種方法來解決強耦合區域的問題，包括後來被稱為廣義旋轉波近似的方法[39-45]，用於獲得量子Rabi 模型的本徵譜的連續近似。基於此，人們預測了反向旋轉項引起的一些有趣現象[46-52]。
在另一個方面的發展中，Braak 在2011年發現量子Rabi 模型是精確可解的。Braak 在解析函數的Bargmann–Fock 空間中給出了量子Rabi 模型的精確解，導出了確定能譜的條件[53, 54]。隨後，其他研究者通過Bogoliubov 變換重現了這個條件[55]。進一步發現，量子Rabi 模型的解析解可以用合流Heun 函數給出[56, 57]，其中出現著名的Judd 孤立精確解[58]作為定義合流Heun 函數的無限級數的截斷。Braak 對量子Rabi 模型的解析解引導了對量子Rabi 模型各種已知推廣模型的完整本徵譜的解決方案浪潮。
現在，隨着探測強[59, 60]、超強[26, 31, 61]和深強[27,28]耦合區域的快速實驗進展，量子Rabi 模型備受關注[40, 42, 46, 53, 55, 56, 62-78]，它在量子光學[23]、凝聚態物理學[79]和量子信息[80]中起着重要作用。人們需要獲得其量子相變的性質。雖然量子Rabi 模型的解析解已經得出，但它不是閉合形式的，不能直接應用於量子相變的研究，因此通常採用近似解析（如微擾論）和數值方法研究量子相變。對於單模腔場的量子Rabi模型，Hwang等人在2015年發現其存在從正常相到超輻射相的二階相變，並研究了其臨界行為和動力學[16]。Shen等人在2021年提出了只涉及量子化電場與原子自旋一個分量的相互作用的雙模量子Rabi 模型哈密頓量，其基態相圖與單模量子Rabi模型一致，只是臨界點不同[82]。Chen等人在2023年研究了同時包含量子化電場與原子自旋一個分量的相互作用以及量子化磁場與另一個自旋分量的相互作用的雙模量子Rabi哈密頓量[95]，發現其基態相圖包含四個相：正常相、電超輻射相、磁超輻射相和電磁超輻射相，四個相的交匯點是四重臨界點。從正常相到電超輻射相和磁超輻相的相變是二階的，序參量為平均光子數，並且這種相變打破了離散空間反射不變性。從電超輻射相到磁超輻射相的相變是一階的。如果集體的原子-光子耦合強度參數相等，則存在連續幺正變換不變性。這種連續幺正變換不變性在電磁超輻射相中失效，因為該相是無限簡併的。在激發能譜中，存在三條臨界線，其中激發能變為零並且出現Nambu-Goldstone 模式。激發能和光子數的臨界指數與單模量子Rabi 模型相同[95]。
除了兩能級的模型之外，雙模腔場與三能級系統之間的相互作用導致許多重要現象，例如電磁感應透明[83]和暗態[84]，這些現象在相干量子態的捕獲和轉移的精確控制中是有利的[85]。三能級系統（常稱為“qutrit”）在量子信息中也很重要。與二能級方案相比，基於qutrits 的量子密鑰分發更能抵抗攻擊[86, 87]，使用qutrits 的量子計算速度更快，錯誤率更低[88, 89]。人們已經提出了具有俘獲離子的qutrit 量子計算機[90]。此外，三能級系統用於構建量子熱機[91, 92]。識別雙模模型中可能涉及的量子相和量子相變有助於進一步理解這些光-物質相互作用模型並擴展其應用。熱力學極限下的兩模三能級相互作用模型備受關注。Hayn 等人通過廣義Holstein-Primakoff變換研究了量子相變，並揭示它表現出兩個超輻射量子相變，可以是一階的，也可以是二階的[93]。Cordero 等人發現，多色基態相圖可以通過變分分析劃分為單色區域[94]。Zhang 等人報告了兩模三能級量子Rabi 模型的基態相圖、標度函數和臨界指數的解析計算[8]。發現了量子Rabi 模型中的量子相變和臨界現象之後，研究者對Rabi 和Dicke 模型的標度行為的進一步研究表明這兩個模型屬於同一個普適類。這些進展為不在熱力學極限下的量子相變帶來了新的認識。
不管是凝聚態系統還是量子光學系統，其中的量子相變的研究使人們對自然界的突變現象有了深入的認識。隨着理論和實驗的進展，人們一定會發現量子多體系統中關於相變的更為本質的規律。
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