陳省身訪談錄：這是我最重要的工作_風聞
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本文系《美國數學學會通訊》原副主編Allyn Jackson於1998年對陳省身先生的採訪。陳先生主要談到了他的求學經歷和他重要的研究工作。
撰文 | Allyn Jackson
翻譯 | 陳亦飛
校對 | 許勁松
原編者注：這篇文章基於1998年3月4日Allyn Jackson對陳省身的訪談，數學部分得到了Dieter Kotschick的幫助。（本文加框部分非Jackson的提問，而是她為上下文的連貫加入的背景説明文。）
陳省身是最偉大的健在的幾何學家之一（編者注：陳省身先生於2004年去世）。1911年10月28日，他出生於中國嘉興。他的父親取得法律學位，併為政府工作，陳省身幼年，正是中國開始創辦西式的大學學院之時。他未滿15歲便進了南開大學學習，並且被物理學所吸引，只是當他發現自己從事實驗工作並不太順手時，最終改為主修數學。1930年他進入到清華大學研究生院，在那裏有許多已在西方國家獲得了博士學位的數學家。其中有曾經是芝加哥大學 E.P.Lane（萊恩）教授的學生的Guangyuan Sun（Dan Sun，即孫光遠）。大約20年後，陳先生成了芝加哥大學Lane教授的繼任者。1932年，德國漢堡大學的數學家Wilhelm Blaschke（布拉施克）訪問清華大學時，他的講演給了陳先生巨大影響。
Jackson（以下簡寫為“J”）：您在中國的學習之後，就決定到西方來唸博士了。
陳省身（以下簡寫為“陳”）：我是1934年獲得由清華大學提供的獎學金來西方深造的，我那時已經在清華做了一年助教，並在研究生院學習了3年。我覺得對我來説去歐洲比去美國更合適。通常的情況是來美國，但是我對普林斯頓大學或哈佛大學並不感興趣。
J：為什麼不呢？
陳：感覺是不太適合我的情況。我想成為一個幾何學家。美國當時沒有我想從事的幾何研究種類，所以我去了歐洲。那時，儘管我是初出茅廬的學生，但是我有自己的長處，對於我想研究的、對於國際上的數學狀況、以及誰是最好的數學家、什麼地方是最出色的研究中心，我都有自己的想法。我的評估可能不對，但是我有自己的思想。我決定去漢堡。事實上，這是一個非常好的選擇。19世紀末期科學，包括數學的中心在德國。而德國的數學中心是在哥廷根，還差不多的柏林和慕尼黑。當然，巴黎始終是一個數學中心。
我於1934年從清華大學畢業。1933年希特勒在德國奪取政權後，在德國大學開展大規模的運動。猶太教授被清洗，哥廷根從此崩塌。漢堡成了非常好的地方。漢堡大學是第一次世界大戰以後新建立的大學。它當時並不是頂尖大學，但是它的數學系很出色。於是，我在正確的時間去了那兒。
就是在漢堡，陳先生首次接觸了Elie Cartan（嘉當）的研究工作，這對陳先生的數學研究方法產生了深刻影響。那時的Erich Kähler（凱勒），漢堡大學的一名編外講師（Privatdozent），是Cartan思想的主要支持者之一。Kähler剛寫了一本書，書中的主要定理就是如今聞名的Cartan-Kähler定理。Kähler在漢堡大學組織了研討班，研討班的第一天，所有的教授如Blaschke，Emil Artin（阿廷），Erich Hecke（赫克）等都參加了。
陳：[研討班]看上去就像慶祝會。教室裏擠滿了人，書也剛剛面世。Kähler拿了一大堆書走了進來，每人分發一本。但是這個專題太難了，因此研討班進行了幾次以後，就沒有人蔘加了。我認為我是本質上堅持到最後的唯一一人。我認為我能堅持到最後是因為我能跟上這個專題。不僅是那樣，我當時正在寫一篇有關應用其方法到另一個問題的畢業論文（thesis）。因此研討班對我來説具有很重要的意義。我甚至在研討班結束後去找Kähler先生。有很多次我們共進午餐。研究所附近有一個餐館，我們一邊吃飯一邊談論各種各樣的事情。我的德語水平有限，而那時Kähler先生不講英語。不管怎麼説，我們相處得很好。因此，一個結果是，我很快地完成了我的畢業論文。
大家都知道Elie Cartan是最偉大的微分幾何學家。但是他的文章非常難懂。其中一個原因是，他用所謂的外微分。而在我們微分幾何課題中，其中你談到了關於流形，一個困難是這種幾何是用座標來描述的，但是座標沒有意義。它們是允許進行變換的。並且為了處理這種情況，一個重要的工具是所謂張量分析或Ricci（裏奇）演算（calculus），當時對數學家來説是新的。在數學中你有一個函數，你要寫下這個函數，你計算，或加，或乘，或你能微分。你有非常具體的東西。在幾何中，幾何位置是用數（座標）描述的。但是你能任意選擇你的數（座標）。所以為了處理這種情況，你需要Ricci演算。
陳省身獲得3年的獎學金資助，但是他僅花了兩年的時間完成了他的學位。第3年，Blaschke安排他去巴黎和Cartan一起工作。陳先生不太懂法語而 Cartan只説法語。在他們第一次會面時，Cartan就給陳先生出了兩個問題。過了一段時間，他們恰巧在Poincaré（龐加萊）研究所的樓梯上遇見，陳省身告訴Cartan他還未能解出那兩個問題。Cartan讓陳先生到他的辦公室來一起討論。從那時起，陳先生就定期在Cartan的辦公時間（office hours）訪問他，但Cartan的辦公室卻被眾多慕名這位著名數學家的求見者擠滿了。幾個月後，Cartan邀請陳先生到他家裏見面。
陳：通常在與Cartan會面後，我總能收到他的一封來信。他説：“自你離開後，我對你的問題做了更進一步的思考……”他會得出一些結果，和更多的問題，等等。他熟知所有的有關單李羣、李代數的論文，而且爛熟於心。當你在街上遇見他，那時你會突然想問他問題，他總會抽出某個舊信封，寫上些什麼，給你一個答案。這些問題有時花費我數小時甚至幾天的時間才能得到相同的答案。我大概每隔兩週和他碰面一次，很顯然，我必須非常努力地工作。這樣持續了一年，直到1937年，我回到了中國。
當陳省身返回中國後，他成了清華大學數學系教授。但抗日戰爭限制了他與國外數學家的聯繫。他寫信給Cartan説明了他的處境，Cartan寄了一箱他的重印本文章給陳先生，還包括一些以前的論文。陳先生花了大量的時間閲讀和思考它們。儘管與外界隔離了，但是陳先生繼續發表論文，他的論文引起了國際上的關注。1943年他收到了來自Oswald Veblen（維布倫）教授訪問普林斯頓大學高等研究院的邀請。由於戰爭的原因，陳先生花了一個星期才乘軍用飛機抵達美國。在高等研究院的兩年期間，陳先生完成了他的推廣的Gauss-Bonnet（高斯-博內）定理的證明，這把任意維閉Riemann（黎曼）流形的Euler（歐拉）示性數表示為曲率在整個流形上的積分。該定理將局部幾何與全局拓撲不變量結合起來，代表了陳先生的大部分工作中的深層主題。
J：您認為什麼是您最重要的數學研究工作？
陳：我想是纖維空間的微分幾何。你會看到，數學正走向兩個不同的方向。一個方何是一般理論。例如每個人都必須學習點集拓撲學，學習一些代數學，由此打下一般的基礎，那幾乎覆蓋整個數學的基本理論。然而也有一些課題是專門的，而它們在數學的應用上卻起着重要的作用。這些東西你必須相當瞭解，例如一般線性羣、甚至酉羣。它們到處出現，無論你是研究物理還是研究數論。因此，數學中有一般理論，其中包含某些美妙的東西。纖維空間便是其中之一。你擁有一個空間，其纖維是相當簡單的古典空間，但它們以某種方式組合在一起。這是一個非常基本的概念。現在，在纖維空間中，聯絡的概念變得很重要。這就是我的工作所在。通常最好的數學工作將一些理論與一些非常特殊的問題結合起來。特殊問題促使一般理論的發展。我用這個想法給出了Gauss-Bonnet公式的第一個證明。
Gauss-Bonnet公式不但在微分幾何，而且在整個數學領域中是最重要最基礎的公式之一。在我（1943年）來普林斯頓之前，我就已經考慮過它，因此從某種意義上講，我在普林斯頓的發展是十分自然的。到普林斯頓後，我見到André Weil（韋伊）。他和Allendoerfer（艾倫多弗) 剛發表了他們的論文。Weil和我很快成了朋友，所以我們自然地討論了Gauss-Bonnet公式。之後我證明了它。我想這是我最好的工作之一，因為它解決了一個重要而基本的經典問題，並且想法十分新穎。為了讓你實現這些想法，你需要有一些技術上的聰明手段。這不是輕而易舉的，也不是隻要你有想法就可以實行的。這很微妙，所以我認為這是件非常好的工作。
J：您另外一項重要的工作是對示性類的發展。
陳：示性類——它們並不那麼令人印象深刻。示性類是非常重要的，因為這些是纖維空間基本的不變量。纖維空間是非常重要的，所以示性類產生了。不過這沒傷我多少腦筋。它們經常出現，包括一階陳示性類c1，因為在電磁學中你需要複線叢的概念。而複線叢引出c1，這在Dirac（狄拉克）關於量子電動力學的論文中就出現過。當然Dirac 並沒有稱之為c1。當c1不為零時，它與所謂的單極（monopole）有關。示性類是重要的，因為它們自然而然地出現在一些具體而基礎的問題中。
J：當您在20世紀40年代首先發展陳類理論時，您是否意識到Pontryagin （龐特里亞金）的工作以及這樣的事實：一個實纖維叢的Pontryagin類可以從其復化的陳類重新得到？
陳：我的主要想法是，人們應該在複數情形下做拓撲和整體幾何的研究。複數情形有更多的結構，而且在許多方面要比實數的情形更簡單。因此我引進復情形下的陳類。我讀過Pontryagin的論文，但實數情形要複雜得多。我沒有念過他的全文，不過我想他在英語版的 Doklady 雜誌上發表了摘要。我是從Hirzebruch（希策布魯赫）處得知陳類和Pontryagin類之間的關係的。
陳類可以用局部不變量曲率表達。我主要對局部性質與整體性質之間的關係感興趣。當你研究空間的時候，你所能測量到的是局部性質。重要的是，一些局部性質與整體性質是相關聯的。Gauss-Bonnet公式的最簡單情形是，三角形的內角和是180度。它出現在非常簡單的事實中。
J：您被視為整體微分幾何的主要倡導者之一。與Cartan一樣，您喜歡使用微分形式和聯絡等工具。而德國學派，如作為代表的P. A. Klingenberg（克林根貝格），卻以不同的方法研究整體幾何。他們不喜歡用微分形式，他們用測地線和比較定理等手段來證明。您是怎樣看待這種差異的呢？
陳：沒有什麼本質的差異。這是歷史的發展。例如，為了研究流形上的幾何，標準的技巧是Ricci演算。基本的問題是形式問題（form problem），這是由Lipschitz（利普希茨）和Christoffel（克里斯托費爾），尤其是後者解決的。而Christoffel的想法又追溯到Ricci，Ricci寫了關於Ricci演算的著作。所以所有的人，包括Hermann Weyl（外爾），都是通過Ricci演算來學習數學的。張量分析起着如此重要的作用，於是大家都要學會它。大家在微分幾何方面都是從張量分析開始的。但是在某些方面，微分形式應該引入。我通常喜歡説，向量場就像一個男人，而微分形式就像一個女人。社會必須由兩性構成。如果單有其一是不完整的。
1943年-1945年，在普林斯頓研究所訪問兩年後，陳先生返回中國待了兩年，其間，他幫助建立了中央研究院數學研究。1949年他成了芝加哥大學的一名數學教授。1960年，他到加州大學伯克利分校任教。1979年先生退休後依然很活躍，尤其是幫助創建了伯克利的美國國家數學研究所（Mathematical Sciences Research Institute）。1981年-1984年，陳先生出任首任所長。陳省身已培養了41位博士。這個數字還不包括他在頻繁的訪華中已有聯繫來往的許多學生。陳省身做了許多事情，以幫助恢復中國數學研究的傳統。特別是1985年先生對中國天津南開數學研究所的創建起到了重要作用。
J：您多長時間回中國一次？
陳：近年來我每年都要回中國。通常呆上一個月或更長的時間。我在南開創辦了數學研究所，最重要的是擁有了一批紮根中國的優秀年輕人。這方面我們已獲得了成功。我們新的研究人員包括龍以明（動力系統），陳永川（離散數學），張偉平（指標理論），方復全（微分拓撲）。還有一些其他非常優秀的年輕人。我認為在中國數學發展主要困難是報酬太低。順便説一下，國際數學聯盟已將下一屆國際數學家大會選定在北京舉行。
J：您認為中國在數學方面會有極大的提高嗎？
陳：嗯，是的。我所擔憂的，倒是中國將會有過多的數學家。
J：中國是一個大國，可能他們需要大量的數學家。
陳：我認為他們不需要太多的數學家。中國是一個大國，自然有許多人才，特別是在一些小地方。舉個例子，在國際中學生奧林匹克數學競賽中，中國學生通常表現十分出色。為了在這樣的競賽中有所成就，學生們需要訓練，這導致學生們忽略了其它課程。目前在中國，父母們想讓他們的孩子學英語，做生意，賺更多的錢。而這些競賽是不給錢的。我想，如果哪一年這種培訓方面他們投入得少了，中國隊的成績就可能立刻下跌。你能對一個擁有12億人口的國家做什麼？這意味着生活水平不會很高，如果你有任何社會正義。
1934年當陳先生選擇去德國攻讀研究生時，在美國，幾何學還只是一個邊緣學科；到1979年他退休時，幾何學已經成為美國數學界最具活力的專業方向之一。這種變化多半歸功於陳省身。然而，陳省身對他的成就卻極為謙虛。
陳：我不認為我高瞻遠矚。我只是在做一些小問題。數學中湧現出許多概念和新思想，你只是提出一些問題，然後盡力得到簡單的答案，並期望給出簡單的證明。
J：您是通過觀察產生想法的嗎？
陳：對，在大多數情況下，你什麼想法也沒有。而在許多情況下，你的想法也行不通。
J：您把自己描述為一個解題者，而不是理論創立者？
陳：我認為這種差異是很小的。每一個好的數學家都應該是一個解題者。不然的話，你僅有模糊的想法，如何能做出傑出的貢獻？你解決了某些問題，你使用了某些概念，你可能需要等待才能看到數學貢獻中的優點。你只能在將來才能看到。
要評估一個數學家或數學的某個方面是很困難的。如可微性的概念。二三十年以前，許多人不喜歡可微性。許多人對我説：“我對任何帶有可微性概念的學一概不感興趣。”這些人想使數學變得簡單。如果拒絕接納涉及到可微性的概念，你就排除了許多數學。這就不夠了，Newton (牛頓)、Leibniz (萊布尼茨) 應該發揮其作用。不過這是有趣的，因為在數學中有許多有爭議的想法。
J：您可以舉幾個數學中有爭議想法的例子嗎？
陳：一件事是當今一些論文太長了。如“有限單羣”的分類。誰會願意去唸1000多頁的證明？或還有四色問題的證明。我想人們必須使數學有趣些。
我認為數學不會很快消亡。在一段時間裏它到處存在，因為它還有許多美妙的事情要做。我不相信可以由一羣人來做數學。基本上這是一種個人行為。從而也容易開展。數學不需要太多的設備，它不像其它科學。它們比起數學來需要更多的物質設備。所以數學可以持續一段時間。我不知道人類文明能持續多長時間。比起數學來，那是一個大得多的問題。但是就數學本身，我們還要與它相處一段時間。
86歲高齡的陳先生還在繼續從事數學的研究。近年來他對Finsler（芬斯勒）幾何尤感興趣。兩年前他曾在本刊上討論過這一點（“Finsler“幾何就是無二次型限制的Riemann幾何”，1996年9月，959-963頁）。
陳：Finsler幾何比起Riemann幾何要來得廣泛得多，而且能用優雅的方法進行處理。它將是大學未來10年微分幾何基本課程裏的內容。
在數學上我沒有什麼困難，所以當我做數學時，我是在享受它。因此，我一直在做數學研究，另一方面是因為其他事情我做不了。我已經退休多年了，還有人問我是否仍在研究數學。我想我的答覆是：這是我唯一能做的一件事，其他的事我也做不了。我一生都是這樣。
譯註：在本文中還夾插着Allyn Jackson的一篇短文，題為“灣區榮耀：以陳省身命名的榮譽教授頭銜”。
本文轉載自微信公眾號“數學大院”，原文載於《數學譯林》（2018年第4期）。文章譯自Notices of the AMS, Vol. 45(1998), No.7,p.860-865, Interview with Shing ShenAll rightsChern, Allyn Jackson, figure number 8. Allyn Jackson 是《美國數學會通訊》（Notices of the AMS）的資深作家和副主編。
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