跟隨大師腳步：狄拉克講廣義相對論丨展卷_風聞

20世紀物理學大師狄拉克最偉大的貢獻是發展量子力學，創立了相對論量子力學方程並預言了正電子的存在。而在廣義相對論最初誕生時，狄拉克是為數不多真正理解這門開創性理論的人之一。1975年，狄拉克根據自己的系列講座出版了一本小書，即General theory of relativity，以其“秋水文章不染塵”的行文風格，言簡意賅地闡述了廣義相對論的核心內容，包括微分幾何相關的基礎知識以及愛因斯坦理論的物理圖像和思想。今天來看，這本書依然閃耀着智慧的光芒，仍有很好的啓發意義，值得物理與天文專業的學子和老師參考閲讀。

《狄拉克講廣義相對論》（人民郵電出版社·圖靈新知，2023年7月）

P. A. M. 狄拉克 著；朱培豫 譯；萬維 張建東 審校

本文經授權摘自《狄拉克講廣義相對論》“寫在前面的話”。

撰文 | 李學潛

“廣義相對論”的提出已經超過100年了，在這百年中，物理學家和天文學家對廣義相對論的理解不斷加深，很多全新的處理方法，特別是在宇宙學方面的應用，取得了巨大的進展。

當年愛因斯坦理論預言光的傳播在大質量附近彎曲已經被觀測證實，引力波也被 LIGO 等合作組直接測量證實，特別是人類發現宇宙不僅在膨脹，而且是在加速膨脹，極大地挑戰了我們對引力理論、時空結構的認知。

為了保持宇宙在理論上的穩定，愛因斯坦引入了導致微弱斥力的宇宙學常數Λ，然而在得知哈勃發現宇宙在膨脹後，愛因斯坦深感遺憾。但是由於宇宙在加速膨脹，原則上就需要存在一個斥力（也許是對的），今天，ΛCDM 已經成為宇宙學中的“標準模型”。

由於愛因斯坦方程是高度非線性的微分方程，至今只有施瓦茲解（也包括了很多近似）是普遍接受的解析解；廣義相對論確認奇點的存在；黑洞是否如我們理解的那樣；霍金預言奇點問題由於量子力學的引入而可以軟化，而且霍金輻射有可能導致量子理論和引力理論統一……廣義相對論帶來的繁多問題甚至超過科學家的想象，但同時，在認識自然界道路上，廣義相對論給人類帶來的機遇也是非常巨大的，這就是為什麼我們期望年輕人學習和研究廣義相對論。

在牛頓時代，儘管萬有引力公式開闢了一個天文學宇宙學的新紀元，成功地解釋了當時所

因為自然界存在最大的速度——真空中的光速，作用的傳遞無法超越它。並且，由於“力”這個概念不夠“科學”，因此在現代物理中代之以“相互作用”，而相互作用的傳遞是需要時間的。

麥克斯韋將“場”的概念引入物理，使得電磁場理論徹底改變了這個含混不清的局面。麥克斯

變，也就是電荷會影響它的緊鄰（無窮小的範圍），然後通過同一個方程，受影響的小區域再影響它的鄰域，這樣電荷的影響就傳遞出去了。在物理圖像上，我們“看到”的是電荷ρ在周圍建立了一個“電場”。“場”是改變了電磁性質的時空，從而在這個時空中的帶電物質可以和ρ通過場相互作用。

回到引力理論。當我們拋棄“力”這個不合時宜的概念時，一個質量 M 怎麼影響周圍的時空？對照電磁場，我們當然可以説它在周圍建立起了“引力場”，這個圖像和麥克斯韋的電磁場類似，當然也可以將它應用到各個方向。但是愛因斯坦建立了一個新的圖像，M在周圍改變了時空的性質，這個性質的改變使周圍的時空變得“彎曲”了。也就是説相互作用體現在幾何上。物體在時空中的運動不會像在平直空間那樣，而是沿彎曲時空運動。有一個恰當描述（維爾切克），物體“一直走，別拐彎”。在平直空間一直走就是一條直線，而在彎曲時空，從直角座標系看，就是彎曲的軌跡了。霍金的描述是這樣的：正如我們的地球是三維空間的二維球面（彎曲的）， 一個飛機在山區上空沿直線飛行，但在下面崎嶇的山巒上的投影就是彎彎曲曲的了。

狹義相對論將時間和空間作為一個整體來討論，洛倫茲變換取代了伽裏略變換，原來的t=t’的陳舊時空變換被拋棄了。但是狹義相對論僅限於慣性柱座標系間的變換，為了處理有加速度的參考系中的力學問題，必須引入一個並不合理的“慣性力”。儘管對低速運動的過程這是很方便的處理方式（如傅科擺），但從根本上看，這是不自洽的。要真正解決這個問題，就要求助於廣義相對論了。

m是慣性質量，它們的來源不同，怎麼能消掉？為此，愛因斯坦想象出一部電梯，當它自由下落時受到的重力作用是mg，但如果將它放在真空中，有一個巨人以大力向上提升這個電梯，引起的加速度等於g，那麼引入的慣性力就是mg（方向向下），這和自由落下的電梯受力一樣。假如這個電梯是遮蓋好的，電梯中的觀察者怎麼分辨是在自由落下還是被加速向上提升？因而愛因斯坦提出了一個重要的等效原則：慣性質量必須嚴格等於引力質量。

為了將“引力”和場的概念融合，在大質量附近，質量誘導出的不是我們熟悉的“力”，而是彎曲的時空（注意是時空，不是僅僅空間）。也就是所謂電磁場對應的效應是時空性質的改變。由於時空是彎曲的，那麼矢量平移的觀念就要改變。原來平坦時空中任何矢量可以平行於自身而移動，但如果底流形不是平直的，在一個時空點定義的矢量不能按原來的方式“平行”移動到鄰域一個時空點，因為基底改變了。為了合理地定義矢量平移，原有的對時空的微商就要修正為“協變”微商，也就是增加一個仿射聯絡項。事實上，在量子規範場論中的Fμν也要相應改變。這是微分幾何理論中最基本的概念。

接受了在大質量鄰域時空彎曲的概念後，我們就知道物體從一時空點到下一個時空點是沿彎曲時空行進的，這個軌跡線就是最短路程線，也稱測地線。

根據微分幾何理論，愛因斯坦定義了曲率張量Rμν，繼而他“猜測”，最基本的方程，也就是

右邊是物質。這個方程和我們熟悉的牛頓力學方程有着根本的區別。在牛頓力學中，時空是獨立於動力學的，但在廣義相對論中，右邊的項告訴我們時空怎麼由於物質的存在而改變（重新安排），而左邊的項告訴我們物質如何移動，因而這是一個自洽的方程，比我們熟悉的動力學方程要複雜得多（知道等式的一邊，計算另一邊中相應的量）。要求解，一般來説必須做一些近似，這在近代宇宙學研究中已經做得很多了。

廣義相對論不僅解決了牛頓引力理論中困擾物理學家的問題，提出符合自然規律的理論框架，得到與天文觀測一致的計算結果，更重要的是在觀念（對時空的理解）上的徹底革命。時空不再是孤立存在，而是和物質（場）一起變化的框架。這在楊振寧-米爾斯理論中有類似的結果，是近代理論物理的基礎。

本書作者狄拉克是偉大的理論物理學家，他對量子力學的貢獻是名垂史冊的。他建立了相對論量子力學，從而確認正電子的存在，並且後來被安德森在宇宙線中發現了。狄拉克的文章被楊振寧先生譽為“秋水文章不染塵”，每一篇工作都是傳世之作。1915 年，愛因斯坦建立了廣義相對論，但當時真正能懂廣義相對論的物理學家實在太少了，大概只有狄拉克、泡利、施瓦茲等極少數人才能理解。

直到今天，儘管有不少理論物理學家理解了這個美妙的理論，並且應用它取得了很多成果，但對剛剛入門的年輕學生和教師而言，廣義相對論仍然不是很容易理解和掌握的。

這本書詳細介紹了微分幾何相關的基礎知識以及愛因斯坦理論的物理圖像和思想，因而仍有很好的啓發意義。我們希望有志在天文學和宇宙學方面做工作的學生讀一讀本書，一定會有收穫的。

2023年元旦

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