美國20世紀40年代的數學處於什麼水平_風聞
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判斷一個國家的數學水平是否高？丘成桐先生曾經給出一個基本標準，那就是“深刻而有創意”，並且能夠“流芳百世”，從而影響和決定了數學後續發展的基本趨勢。
撰文 | 陳躍
最近，丘成桐先生在題為“中國數學的現狀和未來”的演講中，作出了“中國現今數學還沒有達到美國20世紀40年代的水平”的論斷。一時間這個論斷引爆了輿論，眾説紛紜，引起了很大的爭議。
現代數學是一個極其抽象和高度專業化的領域，數學界以外的人士自然是無法理解這一驚人論斷的內涵（他們以為中國的數學家們似乎都在研究八十年以前的數學）。而在數學界內部，筆者也覺得一些文章在討論這一論斷的時候，都有些偏離丘成桐先生原來的意思，並且不瞭解20世紀40年代美國數學的真正水平，所以就沒有談到點子上。例如有一種觀點認為應當把美國的數學家分成“本土”和“外援”這兩類，想以此來淡化美國數學所取得的成就，這樣就把崇高的數學事業當成了某種很平常的競技比賽。
實際上，只有從20世紀數學發展的角度，才能夠對丘成桐先生的這個論斷給出一種合理的解讀。
丘成桐先生早在2020年發表的一篇演講“數學史大綱”（微信搜索“丘成桐：數學史大綱”可以找到）中，就已經對中國數學的整體現狀提出了他的獨特看法：
“文革剛結束，中國學術界正處於青黃不接的時候。經過文革這一段，很多學者已經洩了氣，而年輕的學者覺得前途渺茫，國內經濟困難，唯一的出路是出國。由於蔽塞已久，對於當代數學的發展並不清楚。……在八零年代和九零年代，中國的大學生大量出國，接觸到最前線的數學發展。有不少留學生回國後，也確實大量的提高了中國的數學水平。但是即使如此，我們還是沒有看到具有深刻而有創意的數學工作，我是説陳省身先生那樣的足以留芳百世的工作！經過深思熟慮之後，我認為中國的數學發展依舊沒有脱離傳統的急功近利的做法，一般學者沒有宏觀的數學思想，不知道數學有一個多姿多采的歷史，只看到數學的部分面積。”
在這一段話中，丘成桐先生給出了判斷一個國家的數學水平是否高的一個基本標準，那就是“深刻而有創意”，並且能夠“流芳百世”，從而影響和決定了數學後續發展的基本趨勢。這段話可以幫助我們更好地理解丘成桐先生的上述引起爭議的那個論斷。
另一方面，如果我們能夠了解美國20世紀40年代的數學水平，那麼就可以和當今中國的數學研究現狀來進行比較。下面羅列出了美國數學在20世紀40年裏曾經取得的一些重要的進展。
1940年
Allendoerfer等人將經典的Gauss-Bonnet（高斯-博內）定理推廣到了高維歐氏空間的子流形上。
Weyl（外爾）提出了重要的解狄利克雷問題的正交投影方法。
Jacobson提出了環的伽羅瓦理論。
Montgomery等人開創了關於拓撲變換羣的研究工作。
Weyl（外爾）發表了《數的代數理論》。
1941年
Brauer（布饒爾）提出了模表示論中的Brauer提升概念。
Siegel（西格爾）研究了羣代數。
1942年
Siegel（西格爾）建立了解析函數的迭代理論。
E. Artin（E. 阿廷）發表了名著《伽羅華理論》，其中進一步簡化了經典的伽羅瓦理論。
Whitney（惠特尼）首先研究了n維歐幾里得空間En到E2n-1的微分映射f的奇點，開啓了關於奇點理論的系統研究。
Wiener（維納）把統計方法應用於線性濾波問題，推導出連續時間濾波。
1943年
Allendoerfer等人證明了黎曼多面體上的Gauss-Bonnet（高斯-博內）定理。
1944年
陳省身先生內藴地證明了閉黎曼流形上的Gauss-Bonnet（高斯-博內）定理，這個重大突破開闢了關於纖維叢上微分幾何的研究新方向。
Zariski（扎里斯基）解決了3維代數簇的奇點解消問題，由此開啓了關於代數簇奇點解消的一系列重要研究。
Ambrose研究了局部緊阿貝爾羣的譜。
Whitney（惠特尼）證明了n維微分流形可嵌入於R2n中，可浸入於R2n-1中，從而為微分流形理論奠定了基礎。
von Neumann（馮·諾伊曼）發表《對策論與經濟行為》，由此奠定了對策論的基礎，他還提出了離散變量自動電子計算機（EDVAC）設計方案，由此造出第一台電子計算機。
Eilenberg（艾倫伯格）定義了奇異（上）同調羣，這是代數拓撲中一個很基本的概念。
Eilenberg（艾倫伯格）和MacLane（麥克萊恩）提出了很基本的範疇和函子理論。
1945年
Eilenberg（艾倫伯格）和Steenrod（斯廷洛德）對同調論進行了公理化，結束了戰前多種同調論並存的局面。
Jacobson證明了關於單結合與非結合環的定理。
Ambrose 建立了巴拿赫代數的系統理論。
1946年
陳省身先生確定了Hermitian（埃爾米特）流形的示性類，即發現了在幾何學、拓撲學、代數幾何中十分重要的陳省身示性類（簡稱陳類）。
Bochner（博赫納）建立了向量場與裏奇（Ricci）曲率之間的聯繫。
Zariski（扎里斯基）研究了Zariski環。
Weil（韋伊）寫了《代數幾何學基礎》一書，第一次系統地建立了抽象代數幾何學的基礎。
1947年
Dantzig（丹齊格）首次提出線性規劃的名稱並創立單純形方法，由此創立了線性規劃這一學科。
Wald（瓦爾德）發表了《序貫分析》，創立了數理統計領域中序貫分析這一分支學科。
Steenrod（斯廷洛德）發展了拓撲學中的障礙理論。
1948年
Feynman（費曼）創立了路徑積分（或Feynman積分）的基本理論。
Shannon（香農）發表了《通訊中的數學理論》，由此創立了信息論。
Eilenberg（艾倫伯格）和Chevalley（謝瓦萊）建立了李代數的上同調理論。
von Neumann（馮·諾伊曼）對無粘流體（非線性雙曲型）方程引入人工粘性項的差分方法。
1949年
Kodaira（小平邦彥）建立了黎曼流形上的調和場理論（廣義位勢論）。
Weil（韋伊）對有限域上的代數曲線證明了黎曼猜想，並且作出了著名的Weil猜想，這兩項非常重要的工作為後來的數論與代數幾何的大發展指明瞭前進的方向。
Siegel （西格爾）發表了《多復變解析函數》。
Wiener（維納）發表了《平穩時間序列的外推、內插和平滑及其工程應用》，由此建立了維納濾波理論。
1950年
Kodaira（小平邦彥）與de Rham（德·拉姆）發表了《調和積分》，這個重要工作奠定了複流形理論的基礎。
Ahlfors（阿爾福斯）與Beurling 創立了共形不變量的基本理論。
Brauer（布饒爾）建立了有限階羣的模表示理論，開創了表示論發展的新階段。
Steenrod（斯廷洛德）寫了《纖維叢的拓撲學》，書中首次系統總結了纖維叢的拓撲理論。
Dunford創立了譜算子理論。
Wald（瓦爾德）創立了統計決策理論。
小結：丘成桐先生最近幾年來大力倡導研究20世紀數學的發展歷史，其實是意味深長的，他的目的就是為了讓人們更好地瞭解當今數學的發展，他長期身居世界數學發展的中心，對20世紀數學史的理解是非常深刻的。以上所列出的一些重要數學工作，曾經深深地影響了20世紀後半葉的數學發展，因此如果按照“深刻而有創意”且“流芳百世”這樣的標準來衡量，美國數學在20世紀40年代也已經達到了一個比較高的水平。
本文經授權轉載自微信公眾號“小朱的讀書筆記”。
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