數學家驚歎於四維空間的“瘋狂”切割_風聞
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撰文 | Jordana Cepelewicz
翻譯 | mathematici
拓撲學的核心研究對象是被稱為流形的空間。例如，球面就是一個二維流形。拓撲學家非常瞭解這種二維流形。他們還開發了一些工具，讓他們能夠理解三維流形和五維或更多維的流形。
牛津大學博士後研究員薩姆·休斯（Sam Hughes）説：“但在四維空間中，一切都變得有點瘋狂……工具不再起作用，奇異的行為出現了。”正如麻省理工學院的湯姆·莫羅卡（Tom Mrowka）所解釋的那樣：“有足夠的空間來產生有趣的現象，但空間又不能大到讓它們分崩離析。”
20世紀90年代初，莫羅卡和哈佛大學的彼得·克朗海默（Peter Kronheimer）正在研究二維表面如何嵌入四維流形。他們開發了表徵這些曲面的新技術，從而得以深入瞭解四維流形原本難以觸及的結構。他們的研究結果表明，一大類曲面的成員都以相對簡單的方式切入其父流形，並保持一個基本屬性不變。但沒有人能證明這一點。
今年2月，休斯與布蘭迪斯大學的丹尼爾·魯伯曼（Daniel Ruberman）一起，構建了一系列反例——“瘋狂”的二維曲面，它們以數學家認為不可能的方式剖開母流形。這些反例表明，四維流形比數學家們早幾十年認識到的更加豐富多彩。“這真是一篇漂亮的論文，”莫羅卡説。“我一直在看。那裏有很多美味的小東西。”
列出清單
去年年底，魯伯曼協助組織了一次會議，會議列出了低維拓撲中最重要的未決問題的新清單。在籌備會議的過程中，他查看了1997年的一份重要未解拓撲問題清單。其中包括克朗海默根據他與莫羅卡的合作提出的一個問題。魯伯曼説：“這個問題就在裏面，我覺得它有點被遺忘了。”現在他認為他可以回答這個問題了。
要理解這個問題，首先要考慮兩個關鍵概念：單連通流形和基本羣。
單連通流形是沒有任何孔洞通過的空間。在一維中，無限直線是單連通的，但圓不是。在二維中，無限平面和球面是單連通的，但甜甜圈的表面不是。
數學家們通過在流形上放置迴路，並考慮它們如何變形，來嚴格區分這種區別。如果任何環路都可以縮成一個點，那麼流形就是單連通的。例如，在平面或球面上，這是可能的——想想拉緊一根繩子。但如果繩子繞着一個圓轉，它就無法收縮。同樣，在甜甜圈的表面上，環繞或穿過中心孔的線圈無法變形為一個點。甜甜圈本身就會妨礙變形。
數學家通過計算“基本羣”來對非單連通的空間進行分類，“基本羣”的結構反映了循環如何收縮。單連通的流形有一個只有一個元素的“瑣碎”基本羣。但有孔洞的流形的基本羣則更為複雜。
單連通的四維流形仍然非常奇特。為了理解它們，數學家們會思考嵌入其中的二維曲面會發生什麼變化。
打個比方，把一圈繩子平鋪在一張紙上。你能做的不多。但把它拉高到三維空間，你就可以把它打成複雜的結。你可以用什麼方式來操縱繩子——一個一維流形——來闡明它所嵌入的空間的性質。
同樣，在更為複雜的四維空間中，二維曲面“在許多不同方面都是整個業務的關鍵”，魯伯曼説，“曲面對四維流形的作用遠遠超出你的想象”。曲面能讓你區分流形：如果一個表面可以在一個流形內生存，而不能在另一個流形內生存，那麼你就知道這兩個流形是不同的。曲面可以用來從舊的流形中建立新的流形。
曲面也有相應的基本羣。它們的補集也是如此——即去掉曲面後流形的剩餘部分。例如，把球面或甜甜圈表面等二維流形的赤道去掉，就會得到兩個斷開的半球。但是，如果去掉一個垂直環而不是水平環，甜甜圈的表面仍然是一個整體。同樣，根據從四維流形中切割曲面的方法，可以得到不同種類的互補。
早在20世紀90年代，莫羅卡和克朗海默就研究過從四維流形中切除一個二維曲面會發生什麼。如果流形本身是單連通的，那麼曲面必須滿足什麼條件才能保證它們的補集也是單連通的呢？
克朗海默和莫羅卡知道，有些曲面的補集可能不是單連通的。但他們的研究似乎表明，另一大類曲面必須始終具有單連通的補集。
近三十年來，沒人能在這一類曲面中找到一個補集不是單連通的例子。但在2023年秋天，魯伯曼遇到了這個問題，他認為自己可以做到。他沒有從四維流形入手切出一個曲面，而是從一個具有必要性質的二維曲面入手，圍繞它建立了一個流形。
曲面告訴你的關於四維流形的信息遠比你所期望的要多得多。
——丹尼爾-魯伯曼
首先，他將曲面增大為一個四維球體。這個四維球體有一個三維邊界，就像球這樣的三維物體有一個二維邊界一樣。魯伯曼希望在邊界的另一側附加一個精心挑選的四維流形，作為曲面的補充。如果這一招奏效，那麼這個流形就會有一個複雜的基本羣，而所有物體的基本羣加起來又是微不足道的。因此，新構建的四維流形將是單連通的。
但是，為了能夠以正確的方式把所有東西粘合在一起，他必須證明新增加的流形的基本羣滿足各種性質。魯伯曼説：“我完全不知道該怎麼做。”
今年1月，羣理論家休斯在布蘭迪斯大學發表了一場演講。魯伯曼當時就在聽眾席上。他意識到休斯可能有他正在尋找的缺失部分。兩人第二天見了面，幾個小時內，他們就想出了所需的主要觀點。休斯説，魯伯曼所缺少的“是羣體理論家們已經計算了七八十年的東西”，而“我們一直在做這件事”。一週結束時，他們完成了一個證明。
魯伯曼説：“我知道一些東西，他也知道一些東西，我們兩個人知道的足夠多了，就這樣完成了。”
由於在證明中使用了羣論，“這有點不同尋常，”德克薩斯大學奧斯汀分校的瑪吉·米勒（Maggie Miller）説：“它的寫法與大多數四維拓撲學家的寫法有些不同”。
這一結果再次證明了四維拓撲的複雜性。“表面的有趣嵌入比我們想象的要多得多，”休斯説。這使得流形分類更加困難，也更難證明關於流形的其他結果。
儘管如此，與魯伯曼一起組織了去年列表會議的馬薩諸塞大學阿默斯特分校的伊南奇·貝庫爾（İnanç Baykur）還是在3月份宣佈了1997年列表中另一個涉及單連通四維流形問題的解決方案。
看來拓撲學家們正在清理門户。
更正：2024年4月23日
本文原版稱，如果把一個球體或甜甜圈一分為二，就會得到兩個半球（hemispheres）。更準確的説法是兩個一半（halves）。
本文經授權轉載自微信公眾號“數學家”，譯自Quanta Magazine。“數學大院”編輯整理。
原文鏈接
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/
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