蘇聯第一位菲爾茲獎得主逝世——紀念數學大師諾維科夫_風聞
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2024年6月6日，俄羅斯數學家謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov）去世，他是蘇聯第一位獲得菲爾茲獎的數學家。他在拓撲學領域取得了非凡的成就，也在數學其他領域和數學物理方面做出了傑出貢獻。謹以此文紀念這位20世紀數學大師。
撰文 | 倪憶（加州理工學院數學系教授）
2024年6月6日，蘇聯第一位菲爾茲獎得主謝爾蓋·諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov）與世長辭，享年86歲。諾維科夫在拓撲、幾何、力學、可積系統、數學物理等諸多領域都做出了傑出的貢獻，是當之無愧的數學大師。
少年英才
諾維科夫1938年3月20日出生於蘇聯一個顯赫的科學家庭。他的父親彼得·諾維科夫（Pyotr Novikov）是一位著名數學家，蘇聯科學院院士。老諾維科夫在描述集合論、數理邏輯和羣論等領域都取得了非凡的成就，他最著名的工作是證明了羣的詞問題不可解。諾維科夫的母親柳德米拉·克爾德什（Lyudmila Keldysh）是莫斯科大學教授，也是一位非常有成就的數學家。柳德米拉的弟弟姆斯季斯拉夫·克爾德什（Mstislav Keldysh）是應用數學家，蘇聯太空計劃的主要發起人，曾長期擔任蘇聯科學院院長。然而諾維科夫在回憶錄中對這位聲名顯赫的舅舅的政治手段頗有微詞。
這一家族的下一代同樣出了幾位傑出科學家。諾維科夫的異父兄長列昂尼德·克爾德什（Leonid Keldysh）是理論物理學家，也是蘇聯科學院院士和美國科學院外籍院士。他所創立的克爾德什電離理論是強場物理和阿秒科學的主要支柱之一，是多項諾貝爾獎工作的基礎。諾維科夫還有一位哥哥安德烈·諾維科夫（Andrei Novikov），是沙法列維奇（Igor Shafarevich）的學生，專長代數數論，可惜他的科研生涯剛步入正軌時便因意外事故離世。
諾維科夫在戰亂中度過自己的童年。他三歲那年，德軍逼近莫斯科，諾維科夫一家被疏散。柳德米拉帶着三個年幼兒子先行一步，但他們根本沒法搭上連開去哪裏都不知道的列車。此時幸好柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）出手幫助，説他們是自己的家屬，柳德米拉母子才得以乘上火車。諾維科夫一家最終到了喀山，在那裏過了兩年艱苦卓絕的生活才回到莫斯科。
諾維科夫十三四歲便在數學競賽中取得優勝，十七歲進入莫斯科大學數學力學系。那時的莫大數力系正處於自己的輝煌時期，有柯爾莫哥洛夫、蓋爾範德（Israel Gelfand）、沙法列維奇這樣的數學巨人坐鎮，學生中則有阿諾爾德（Vladimir Arnold）、西奈（Yakov Sinai）、馬寧（Yuri Manin）、阿諾索夫（Dmitri Anosov）等未來的大師。
大二時，諾維科夫需要選擇一個研究方向。他在系裏看到波斯尼科夫（Mikhail Postnikov）、博爾強斯基（Vladimir Boltyanskii）、施瓦茨（Albert Schwarz）三人貼出的一張海報，其中宣傳了他們組織的代數拓撲討論班，並捎帶貶低了點集拓撲學。於是諾維科夫決定選擇代數拓撲，導師為波斯尼科夫。
拓撲當時在蘇聯並非顯學，研究代數拓撲的更是鳳毛麟角。誠然，蘇聯有一代拓撲大師龐特里亞金（Lev Pontryagin），但他此時的研究興趣已經轉向控制論，對代數拓撲的最新進展並不瞭解。另外一位拓撲大師羅赫林（Vladimir Rokhlin）因為政治原因無法在莫斯科大學工作，幾年後乾脆去了列寧格勒。（羅赫林在二戰期間曾被德軍俘虜，在戰俘營被關了四年，通過隱瞞自己的猶太人身份才得以倖存。戰後他又在蘇聯的甄別營裏待了一年半，由於柯爾莫哥洛夫和龐特里亞金的干預才得以出來。）
波斯尼科夫和博爾強斯基都是龐特里亞金的學生，當時已經是教授，施瓦茨則是一名研究生。但在這三人中，資歷最淺的施瓦茨對於代數拓撲學造詣最深，已經發表了若干篇論文。施瓦茨的導師P·亞歷山德羅夫（Pavel Aleksandrov）研究了一輩子點集拓撲，現在看到自己學生在海報上貶低點集拓撲，十分不滿。亞歷山德羅夫在莫斯科數學會擔任過三十多年主席，是蘇聯數學界舉足輕重的大人物。施瓦茨就此失去了留校任教的可能性。到諾維科夫大四時，施瓦茨畢業離校，去了沃羅涅日國立大學，波斯尼科夫則到中國訪問一年，諾維科夫只能單打獨鬥。
就在這一年，21歲的諾維科夫做出了他的第一個數學工作：對配邊環的計算。配邊理論是由法國數學家託姆（René Thom，1958年菲爾茲獎得主）建立的，配邊環是其中出現的一個重要代數結構。諾維科夫創造性地將託姆的工作和亞當斯（Frank Adams）所引進的一個譜序列結合起來，計算出了幾種配邊環的結構。由於當時蘇聯與西方交流不暢，諾維科夫並不知道美國數學家米爾諾（John Milnor，1962年菲爾茲獎得主）稍早時候已經宣佈了類似的結果，而且使用的是同樣的方法。儘管如此，數學界仍然承認諾維科夫獨立於米爾諾做出了這一工作，並把相應結果稱為米爾諾-諾維科夫定理。諾維科夫從此在拓撲界聲名鵲起。
1960年，諾維科夫成為蘇聯科學院斯捷克洛夫數學研究所的一名研究生，此時他已經站在了拓撲學研究的最前沿。次年夏天，米爾諾、希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）、斯梅爾（Stephen Smale，1966年菲爾茲獎得主）等西方拓撲學家訪問莫斯科，諾維科夫自然而然地成為他們想要會見的人。當時斯梅爾跑到斯捷克洛夫數學研究所，要求見諾維科夫。研究所的工作人員花了好一陣子才把人找來，結果來的是老諾維科夫，這時人們才發現斯梅爾想見的是他兒子。這件事令領導們印象深刻，讓諾維科夫的處境得到很大改善。一顆耀眼的新星正在數學的天空中冉冉上升。
非凡成就
在上世紀60年代，諾維科夫的主要研究方向是拓撲學。他在代數拓撲和微分拓撲的許多領域都取得了令人矚目的成果。他發展了手術和譜序列的技巧，極大推動了高維單連通流形的分類以及穩定同倫羣的計算，在葉狀結構領域也做出了奠基性工作。他所建立的亞當斯-諾維科夫譜序列，至今仍然是研究穩定同倫羣所必不可少的工具。例如2016年希爾（Michael Hill）、霍普金斯（Michael Hopkins）、拉夫納爾（Douglas Ravenel）幾乎完全解決Kervaire不變量問題，以及近年來王國禎、徐宙利等人對於球面穩定同倫羣計算的突破，亞當斯-諾維科夫譜序列都是證明中的主要環節。
諾維科夫在拓撲上最重要的成果，無疑是證明有理係數的龐特里亞金類是拓撲不變量。
示性類是拓撲學中的一大主題。常見的示性類有三種：施蒂費爾-惠特尼類、陳（省身）類、龐特里亞金類，它們是空間的上同調羣中的某些元素。其中陳類是複流形的不變量，而施蒂費爾-惠特尼類和龐特里亞金類是通常的微分流形的不變量。
從定義來看，施蒂費爾-惠特尼類和龐特里亞金類先驗地依賴於流形的微分結構。然而，一個拓撲流形上可能有不同的微分結構。這就帶來一個自然的問題：這兩個示性類是否是拓撲不變量，也即是説它們是否依賴於微分結構？更進一步，它們是否是同倫不變量？
對於施蒂費爾-惠特尼類，託姆證明了它們是同倫不變量，稍後吳文俊的“第一吳公式”給出了具體從同倫型信息計算施蒂費爾-惠特尼類的方法，前述問題得到圓滿解決。
對於龐特里亞金類，吳文俊在1953年到1955年間率先研究了它們的拓撲不變性，證明了模3和模4的龐特里亞金類是拓撲不變量。託姆、羅赫林和施瓦茨在1957年證明了有理係數的龐特里亞金類在分段線性同胚下保持不變。但米爾諾在1963年找到例子，説明整係數的龐特里亞金類不是拓撲不變量。米爾諾發現的是一個拓撲流形上的兩個不同的微分結構，其中一個的龐特里亞金類是0，另外一個的龐特里亞金類則是一個非零的撓元素。這意味着如果採用有理係數，米爾諾例子中的龐特里亞金類就都是0了。所以這個例子並不能排除有理係數的龐特里亞金類是拓撲不變量的可能性。
1965年，諾維科夫證明有理係數的龐特里亞金類的確是拓撲不變量，震驚了拓撲界。這一結果的意義不僅僅是解決了一個難題，它還第一次揭示了拓撲與分段線性這兩個範疇之間的相似之處。受此啓發，柯比（Robion Kirby）等人徹底解決了高維拓撲流形上何時存在分段線性結構的問題，而柯比證明中最為關鍵的“環面技巧”，其雛形已經出現在諾維科夫的論文中。
有理係數的龐特里亞金類並不是同倫不變量。不過，希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）著名的符號差定理説，4n維流形的符號差可以用龐特里亞金類的L-多項式表示。符號差是同倫不變量，所以這些龐特里亞金類的L-多項式是同倫不變量。作為類比，諾維科夫把基本羣到其餘離散羣的同態跟龐特里亞金類的L-多項式結合起來，定義了流形的高階符號差。他猜測，流形的高階符號差也是同倫不變量。這就是諾維科夫猜想，被譽為拓撲學裏最重要的問題之一。
諾維科夫在1970年法國尼斯舉辦的國際數學家大會上獲得了菲爾茲獎，成為第一位獲獎的蘇聯數學家。大會上介紹他工作的是阿蒂亞（Michael Atiyah，1966年菲爾茲獎得主）。
然而，諾維科夫未能到場領獎。究其原因，可以追溯到兩年之前。1968年，蘇聯數學家和詩人葉賽寧-沃爾品（Alexander Esenin-Volpin）因為政治活動而被強制關入精神病院。葉賽寧-沃爾品是大詩人葉賽寧（Sergei Yesenin）的兒子，對點集拓撲和數理邏輯都有卓越的貢獻。他的博士導師正是老諾維科夫。當時99名蘇聯數學家簽署了一封公開信，要求釋放葉賽寧-沃爾品。參與簽署的有許多著名數學家，包括諾維科夫和他的父母。在這一事件被外媒報道後，蘇聯當局迫於壓力釋放了葉賽寧-沃爾品。然而，很多參與簽署公開信的人後來遭到報復，像諾維科夫就被禁止離境，未能前往法國領取菲爾茲獎。他在1971年才拿到獎章和獎金。
除了菲爾茲獎以外，諾維科夫在2005年獲得沃爾夫獎。他是僅有的11名同時獲得這兩項大獎的數學家之一。
數理聯姻
受阿諾爾德、蓋爾範德、以及自己的兄長列昂尼德（可稱為三德）等人的影響，諾維科夫從1965年開始學習物理。他花了五年時間學習朗道（Lev Landau）和慄弗席茲（Evgeny Lifshitz）所著的十卷《朗道理論物理學教程》，並閲讀愛因斯坦等人的經典論文。到1970年，他乾脆加入朗道理論物理研究所，從此將研究興趣轉向數學物理。
在那個年代，數學與物理的前沿研究已經分道揚鑣幾十年。老一輩的蘇聯數學家，除了蓋爾範德以外沒人懂現代物理。到了60年代末，隨着規範場論的發展，物理學家們已經越來越意識到現代數學的重要性。尤其是朗道學派，他們迫切需要一名一流數學家來提供幫助，而諾維科夫適時地扮演了這個角色。
一天，波利亞科夫（Alexander Polyakov）向他請教示性類，諾維科夫告訴他示性類可以用微分形式來表示，並給他寫出了一個四維的例子。波利亞科夫十分興奮：“這是二次的！”第二天，他告訴諾維科夫，他發現了楊-米爾斯方程的一個特殊情形，即自對偶方程。自對偶方程的解是楊-米爾斯方程的一類特殊解，後來被命名為“瞬子”（instanton）。示性類中包含的拓撲信息描述了瞬子空間不同的連通分支。
在這一想法的基礎之上，波利亞科夫、施瓦茨等四人發現了最早的一類瞬子，被稱為BPST瞬子。隨後，許多數學家開始研究楊-米爾斯理論。阿蒂亞、辛欽（Nigel Hitchin）、辛格（Isadore Singer）、德林菲爾德（Vladimir Drinfeld，1990年菲爾茲獎得主）、馬寧、博特（Raoul Bott）等人很快取得大量成果。這方面最著名的工作當屬唐納爾森（Simon Donaldson，1986年菲爾茲獎得主）利用瞬子構造出了光滑四維流形的不變量，由此引發低維拓撲、復幾何和辛幾何領域的一系列革命。而這一切，都要感謝當初諾維科夫與波利亞科夫的對談。
諾維科夫本人於1974年做出了一項重大突破。他發現對於物理中廣泛出現的KdV方程（以荷蘭數學家Diederik Korteweg和Gustav de Vries命名），在週期邊界條件下，其解（通常被稱為週期性孤立子）對應的斯圖謨-劉維爾算子的譜構成一個黎曼曲面，從而將孤立子理論跟代數幾何聯繫起來。這一想法可以用在很大一類可積系統中，帶動了許多後續工作。諾維科夫在1978年國際數學家大會上就這一主題做了全會報告。
1981年，諾維科夫意識到，理論物理中許多作用量並不是單值函數，但是其變分可以視作環路空間上的1-形式。他將這一思想運用於二維共形場論，對這種拉格朗日量進行了分類。許多物理學家在此前後也獨立做出了類似的發現。相應的二維共形場論被稱為WZW模型或者WZNW模型。這裏的N就是諾維科夫，而其中的第二個W是著名物理學家威騰（Edward Witten，1990年菲爾茲獎得主）。諾維科夫還用同樣的想法推廣了微分拓撲裏經典的莫爾斯理論，得到莫爾斯-諾維科夫理論。這一推廣在後來的弗洛爾（Andreas Floer）同調理論中起到了關鍵作用。
可以説，在諾維科夫那一代的蘇聯數學家裏，數學跟理論物理結合已經成為潮流。例如阿諾爾德不滿意朗道和慄弗席茲寫的《力學》，乾脆自己寫了一本《經典力學的數學方法》。馬寧除了瞬子方面的工作，還是1980年最早提出量子計算機的人之一。施瓦茨是拓撲量子場論的先驅，在弦理論中也有重要成果。
心繫故里
1985年至1996年，諾維科夫擔任莫斯科數學會主席，成為蘇聯/俄羅斯數學界實至名歸的領袖人物。1991年蘇聯解體後，他訪問過許多西方數學機構，並從1996年起在美國馬里蘭大學任教。
諾維科夫的經歷在20世紀後半期的蘇聯/俄羅斯數學家中可謂非常典型。他們通常在年輕時就展露出非凡的數學才華，贏得了國際聲望；他們精通數學的多個領域，在物理上造詣也極深。由於政治原因，他們難以跟西方同行交流，很多成果都沒有及時得到西方承認。蘇聯解體後，他們大批移民西方，在國際數學界取得了顯要地位。
不過，跟許多完全移民國外的俄羅斯數學家不同，諾維科夫在俄羅斯本土紮根更深。他在莫斯科大學數學力學系、斯捷克洛夫研究所、以及朗道理論物理研究所都保留着職務。在斯捷克洛夫研究所，諾維科夫長年主持一個“幾何、拓撲與數學物理”討論班，培養了大批人才，出版的系列論文集產生了廣泛的國際影響。
蘇聯解體後，曾經十分輝煌的俄羅斯數學毋庸置疑是在逐漸衰落中。這一時期雖然許多俄羅斯數學家獲得了菲爾茲獎或沃爾夫獎，但除了已經退出數學界的佩雷爾曼（Grigori Perelman，2006年菲爾茲獎得主），無一人獲獎時在俄羅斯本土全職工作。諾維科夫的逝世，或許正是俄羅斯數學在這動盪年代的一個縮影。
主要參考文獻
[1] Michael Atiyah, The work of Serge Novikov, Actes du Congr. Int. des Math., 1970. Tome 1, p. 11 à 13.
[2] Victor M. Buchstaber, Interview with Sergey P. Novikov.
[3] Sergei Novikov, Role of integrable models in the development of mathematics, Symposium Current State and Prospects of Mathematics, Barcelona, June 1991.
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