席南華：基礎數學的一些過去和現狀_風聞
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撰文 | 席南華（中國科學院院士、中科院數學與系統科學研究院研究員）
本文試圖通過人們對一些基本的數學研究對象如素數、圓、球、方程、函數等的探索歷程展示基礎數學的特點、部分思想和發展及現在活躍的一些研究方向。
談論整個數學或者基礎數學的發展趨勢已經超出一個人的能力，龐加萊和希爾伯特被認為是數學領域最後兩個全才。後來還有一些傑出的數學家如外爾、馮·諾依曼、柯爾莫哥洛夫和I. M. 蓋爾範德等對純數學和應用數學都做出巨大的貢獻，但現在這樣的數學家也很難尋到了。
基礎數學大致分為代數 (含數論) 、幾何、分析 (基於微積分的數學) 三部分， 但看一看前幾屆國際數學家大會的報告目錄及其分組就知道現代數學的分支繁多，各個部分之間的融合與交叉也是日趨深入。有些方向是非常活躍的，如代數幾何、數論、表示理論、動力系統、偏微分方程、幾何分析、調和分析、微分幾何、微分拓撲、復幾何、拓撲、組合、數學物理等等。
數學當然是研究數與形的科學，也研究結構。邏輯支撐着數學的大廈，而邏輯本身也是數學研究的對象，與計算機科學密切相關。
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數學理論的起始
形是容易感知的，我們一睜開眼睛就會看到各種各樣形狀的物體。數卻是一個抽象的概念，但其形成也有很長曆史了，據考證和研究，人類在洞穴時代就已經有數的概念了，若干動物也有數的概念。剛開始時，實際的需要產生了加法、減法、乘法、除法等運算，長度、面積等概念。到公元前3000 年，數學的應用範圍就很廣了，如税收、建築、天文等。數學從理論上系統研究始於古希臘人，在公元前600 年至公元前300 年期間，代表人物有畢達哥拉斯、歐幾里得等。歐幾里得的《幾何原本》採用公理化體系系統整理了古希臘人的數學成就，兩千多年來一直是數學領域的教科書，其體系、數學理論的表述方式和書中體現的思維方式對數學乃至科學的發展影響深遠。
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數和多項式方程及相關的數學分支
我們認識數學基本上都是從數開始的，然後是簡單的幾何與多項式方程。數中間有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引着最富智慧的數學家和業餘愛好者。多項式方程是從實際問題和數的研究中自然產生的。在對數和多項式方程的認識和探究過程中，代數、數論、組合、代數幾何等數學分支逐步產生。
2.1 素數
素數有無窮多個，在《幾何原本》中有一個優美的證明。素數是數學永恆的研究對象，而且是最難以琢磨的數學研究對象，很多最為深刻的數學都與素數(或其複雜的其他形式如素理想等) 有關。我們熟知的孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，到現在仍未解決，孿生素數猜想的巨大突破由張益唐做出 (2014 年發表，2013 年完成)，哥德巴赫猜想目前最好的結果是陳景潤的 (1973 年發表證明，1966 年發表了概要)。但奇數哥德巴赫猜想由維諾格拉多夫於1937 年基本解決。哈代-李特爾伍德猜想是比孿生素數猜想更強的猜想。
對於素數在自然數中的比例，有著名的素數定理，曾是勒讓德的猜想 (1808)， 阿達馬和德拉瓦勒-普桑最先分別證明該定理 (1896) 。1949 年塞爾貝格和埃爾德什分別給出素數定理的初等證明。這是塞爾貝格獲1950 年菲爾茲獎的重要工作之一。
2004 年陶哲軒和本·格林合作證明了存在任意長的等差素數數列。這項工作極大地激發了人們對解析數論的新熱情，也是陶獲2006年菲爾茲獎的重要工作之一。
2015 年以來，梅納德在素數間距上有若干突破性的工作，也顯著改進了張益唐的工作，另外與他人合作在丟番圖逼近上取得重大進展，因為這些工作，他於2022 年獲得菲爾茲獎。
18 世紀歐拉對素數有無窮多個給出一個深刻的證明，他用到無窮級數1+2-1+3-1+…的發散性。他還對實數s考慮了級數1+2-s+3-s+…。1859 年，為研究素數的分佈，黎曼對複數考慮這個級數，證明了它可以延拓成複平面上的亞純函數，現稱為黎曼ζ 函數，給出了函數方程，建立了這個函數的零點和素數分佈的聯繫，提出了著名的黎曼猜想。這個猜想斷言黎曼ζ 函數的零點除平凡的外實部均為二分之一。黎曼對素數和ζ 函數的研究工作影響深遠。一般認為黎曼猜想是數學中最有名的猜想，也是克雷數學研究所的懸賞百萬美元的千禧年問題之一，自它提出之時起就在數學研究中佔有突出的位置，很多問題與它有關，還與算子代數、非交換幾何、統計物理等有深刻的聯繫，在阿達馬和 德拉瓦勒-普桑對素數定理的證明中起關鍵的作用。
黎曼的工作對 L 函數和代數幾何也有巨大的影響。L 函數已是數論的一箇中心研究對象，與分析、幾何及表示論的聯繫極深，其在一些特殊點的值含有很多深刻的算術信息。我們先從狄利克雷的 L 函數説起。
2.2 L 函數和朗蘭茲綱領
對有限循環羣的特徵，狄利克雷構造了與黎曼ζ 函數類似的函數，現稱為狄利克雷 L 函數。利用這些函數，他證明了一個有趣的結論——很多算術數列含有無限多個素數。具體説來就是: 如果兩個正整數a和m互素，那麼算術數列a+m, a+2m, a+3m,…,a+km,…裏有無窮多個素數。
後來阿廷對數域的有限擴張域的伽羅瓦羣的表示，類似地也定義了一類 L 級數並解析延拓得到一個L 函數，現稱為阿廷 L 函數。利用這 些 L 函數，他證明了交換類域論裏面很有名的阿廷互反律。20 世紀六七十年代朗蘭茲想把阿廷的工作延伸到非交換的類域論去。雅各和朗蘭茲對p進域上的簡約代數羣的不可約表示和整體域上的簡約代數羣的自守表示也定義了L 函數。朗蘭茲給出了一系列的猜想，這就是現在非常熱鬧的朗蘭茲綱領。
這個綱領的中心是函子性（functoriality）猜想，該猜想描述了不同代數羣的自守表示之間深刻的聯繫。函子性猜想藴涵了很多著名的猜想，如阿廷猜想、拉馬努金猜想、佐藤-泰特猜想等。函子性猜想的一個重要特殊情況是朗蘭茲互反律，或説朗蘭茲對應。通過整體域上簡約代數羣的自守表示定義的L 函數稱為自守L 函數。還有一種L 函數稱為母題（motivic）L 函數，是哈塞-韋伊 L 函數的推廣，例子包括阿廷 L 函數和哈塞-韋伊 L 函數。本質上朗蘭茲綱領的中心問題就是證明所有的母題 L 函數均是自守 L 函數。
在最簡單的情形，函子性猜想就是阿廷互反律，類域論的實質。函子性猜想僅在一些很特別的情形得到證明，離完全解決遙遠得很。但對函數域上的一般線性羣，拉福格在2002 年證明了朗蘭茲的互反律猜想 (即建立了朗蘭茲對應)，並因此獲得當年的菲爾茲獎。2010 年發表的基本引理的證明也是這個綱領中的一個巨大進展，有意思的是來自代數羣表示論的仿射斯普林格纖維和因研究可積系統而產生的希欽纖維化之間的聯繫在吳寶珠的證明中起了一個關鍵的作用。吳寶珠因其對基本引理的證明獲得2010 年的菲爾茲獎。
研究函子性猜想的重要工具是塞爾貝格-亞瑟跡公式。塞爾貝格跡公式1956 年得出，與黎曼ζ 函數的聯繫導致他引進了塞爾貝格ζ 函數。塞爾貝格跡公式後由亞瑟在1974 年至2003 年間做出各種推廣，它在數學物理中也有很好的應用。
如同黎曼ζ 函數，人們對一般的L 函數在實部為二分之一的那條直線的值是很感興趣的。對自守L 函數，文卡特什運用表示論和遍歷理論的工具在這條直線的亞凸問題上帶來重要的突破，並且與他人合作對二級一般線性羣給出的自守L 函數建立了亞凸界，這些工作是他2018 年獲菲爾茲獎的工作的重要組成部分。
2.3 一元高次方程和羣論
人們很早就會解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在16 世紀被找到。在嘗試得到更高次方程的根式解時，數學家的探索失敗了，其中包括18 世紀一流的數學家拉格朗日。答案原來是否定的：1824 年挪威數學家阿貝爾證明了五次及更高次的方程一般沒有根式解。稍後幾年法國數學家伽羅瓦給出的證明影響深遠，一個重要的數學分支——羣論因此而誕生。我們可以簡單説一下伽羅瓦的證明。五個人排隊的排法有一百二十種，一種排法按另一種方法重排就會產生第三種排法，於是這一百二十種排法成為一個羣，而且是不可解的，所以五次及更高次的方程一般沒有根式解。
羣論的影響幾乎遍及整個數學，在物理和化學及材料科學中有很多的應用，是研究對稱的基本工具。1872 年克萊因提出著名的埃爾朗根綱領，用羣來分類和刻畫幾何，對幾何的發展影響巨大。拓撲學中同調羣和同倫羣是極其重要的研究工具和研究對象。代數幾何中的阿貝爾簇是一類特別重要的幾何對象。很多空間具有一些自然的羣作用，從而可以作相應的商空間。這些商空間在幾何、數論和表示論中極其重要。齊性空間和志村簇是其中兩類例子，幾何不變量則是一個有關的重要數學分支。
羣論自身的研究同樣是非常深刻的。20 世紀一項偉大的數學成就是對有限單羣的分類。這是一項龐大的工作，第一個證明主要的工作發表於1960 年至1983 年期間，前後有一百多位數學家參與，數百篇發表的論文，總長度超過一萬頁。到2004 年，羣論專家完成第二個證明，總長度也有五千頁。現在， 他們正試圖進一步簡化。湯普森因其在單羣分類中的傑出工作於1974 年獲菲爾茲獎，他最出名的工作是與費特合作證明了伯恩賽德猜想：非交換的有限單羣的階是偶數，論文發表於1963年，佔了太平洋數學雜誌整個一期。阿西巴赫因其在有限單羣分類的傑出工作獲2012 年沃爾夫獎。在有限單羣中有一個非常大的單羣，稱為魔羣，其中元素的個數大約是8×1053，與數學中的月光猜想密切相關。1992 年博切爾茲證明了這個猜想，為此他引進了廣義卡茨-穆迪代數，與他人一起引進了頂點算子代數。現在，這些代數都是重要的研究對象。主要因為這項工作，博切爾茲於1998年獲菲爾茲獎。
如果把所有整係數的一元多項式方程的根放在一起，我們得到一個數的集合，比有理數全體大，稱為有理數域的代數閉包。有理數域的代數閉包的絕對伽羅瓦羣及其表示的研究是現代數學尤其是數論中極其重要的研究課題。
如果一個數不是任何整係數一元多項式的根，則稱這個數是超越數，π就是一個超越數。超越數的研究也是數論的重要組成部分，貝克曾因對超越數的研究獲得1970 年的菲爾茲獎。一些自然產生的數如某些無窮級數的和與某些函數的值等是否為超越數是人們特別感興趣的。
在羣論中，李羣和代數羣的理論與其他數學分支的聯繫十分廣泛和深刻。羣表示論，尤其是李羣和代數羣的表示論是現在非常活躍的分支。李羣和代數羣的離散子羣特別有意思，與數論和遍歷論等分支的聯繫極密切，馬爾古利斯因其在半單李羣的離散子羣上的深刻工作獲得1978年的菲爾茲獎。
5.2.4 不定方程和數論
不定方程是數論研究的中心對象之一。直角三角形三邊的關係x2+y2=z2就是一個不定方程，它與圓方程類似。它有很多的整數解，勾三股四弦五就給出一組。一般的解很容易給出：X=a2-b2，Y=2ab，Z=a2+b2，其中a, b是任意整數。高次的情形就是方程xn+yn=zn，其中n是大於2的整數。1637年，費馬在一本書內的邊頁寫道，他有一個此方程無非平凡整數解的證明，但太長，邊頁空白處寫不下。人們怎麼也沒找出費馬説的那個證明，一般認為費馬在書中註記説的證明可能有問題，於是此方程無非平凡整數解成為一個猜想，稱為費馬大定理問題。這個猜想一直吸引着數學家的強烈興趣，費馬本人對四次的情形的證明流傳下來，三次的情形是歐拉在1770年證明的，五次的情形於1825 年由勒讓德和狄利克雷獨立證明，等等。19世紀庫默爾對這個問題的研究導致了代數數論的誕生。1920年，莫德爾提出一個猜想：有理數域上虧格大於一的代數曲線的有理點只有有限多個。這個猜想被法爾廷斯於1983 年證明，它藴含了費馬的方程在n比2大時至多存在有限多個本原整數解。法爾廷斯主要因此獲得1986 年的菲爾茲獎。費馬大定理最後在1995 年被懷爾斯證明，這是20 世紀一項偉大的數學成就。代數數論現在是非常有活力的數學分支。
在懷爾斯對費馬大定理的證明中，橢圓曲線起了關鍵的作用。橢圓曲線的方程其實很簡單: Y2=X3+aX+b，其中a, b是常數，如1, 2等等。它們有羣結構，在射影空間中的幾何圖形就是環面，與汽車輪胎一個形狀。對橢圓曲線也能定義 L 函數。BSD 猜想斷言這個 L 函數在 1 處的值與橢圓曲線的羣結構密切相關。這個猜想是克雷數學研究所懸賞百萬美元的千禧年問題之一，自然是數學的研究熱點之一。
BSD 猜想還和一個古老的問題有關。如果考慮方程X2+Y2=Z2的正數解，那麼解是一個直角三角形的三個邊長。有一個古老的問題：什麼時候這個三角形的面積XY/2 是整數，而且X, Y, Z都是有理數。這樣的整數稱為和諧數(congruent number)。數組(3, 4, 5) 和(3/2, 20/3, 41/6) 是方程的解，所以6 和5 都是和諧數。塔奈爾1983 年的一個結果告訴我們如果BSD 猜想成立，有可行的計算辦法判定一個整數是否為和諧數。
橢圓曲線還與數的幾何密切相關。巴嘎瓦在數的幾何中發展了一些強有力的方法，並把這些方法用於小秩環的計數和估計橢圓曲線的平均秩。他因此於2014 年獲菲爾茲獎。
2.5 多項式方程和代數幾何
我們已經看到解方程，哪怕是一個一元的或簡單的二元方程，都不是容易的事情，其研究給數學已經而且還要帶來巨大的發展。多項式方程組的求解顯然是更為困難，甚至一般説來是毫無希望的。我們需要換一個角度，把一組多項式方程的零點集看作一個整體，就會得到一個幾何空間，稱為簇。研究簇的數學分支就是代數幾何，一個龐大深刻又極富活力的分支。我們讀中學時就知道一個二元一次方程和直線是一回事， X2+Y2=1則是單位元圓周的方程。代數幾何的蹤跡可以追溯到公元前，17 世紀笛卡兒建立的解析幾何可以看作是代數幾何的先聲。
代數幾何的中心問題是對代數簇分類。但這個問題太大太難，現階段沒希望完全解決，人們只能從不同的角度考慮更弱的問題。一維的情形是代數曲線，其分類很容易，在19 世紀就知道光滑的射影曲線可以用它們的虧格來分類，這時還有著名的黎曼-羅赫定理。大約在1885年至1935年期間，代數幾何史上著名的意大利學派對二維的情形研究了分類，也得到了二維情形的黎曼-羅赫定理。意大利學派的特點是幾何直觀思想豐富深刻，後期的工作嚴格性不足。後來，20世紀四五十年代韋伊和查里斯基用新的語言嚴格表述代數幾何的基礎。小平邦彥和沙法列維奇及其學生在20 世紀60 年代重新整理了代數曲面的分類。小平邦彥在代數幾何和複流形上的工作十分有影響，早在1954 年，他就獲得菲爾茲獎，沙法列維奇在代數數論和代數幾何上都做出重要的貢獻，有著名的沙法列維奇猜想，至今未解決。
芒福德和邦別裏在20世紀六七十年代把意大利學派對曲面的分類工作做到了特徵p域上。芒福德在代數幾何方面的貢獻是多方面的，構造了給定虧格的曲線的模空間、幾何不變量的研究等，因為這些貢獻，他於1974年獲菲爾茲獎。邦別裏則因其在解析數論、代數幾何和分析數學上的傑出工作於1974 年獲菲爾茲獎。
三維情形的分類直到20世紀80年代才由日本數學家森重文完成，他因此於1990 年獲菲爾茲獎。如何把這些分類的工作推廣到高維的情形是非常活躍的研究方向，其中森重文等人提出的極小模型綱領最為人關注。比爾卡與合作者對很寬泛的一類奇點建立了極小模型和典範模型，進而比爾卡證明了法諾簇的有界性，他因這些工作於2018 年獲菲爾茲獎。
前面提到的黎曼-羅赫定理是極其重要的定理，它計算了某些函數空間的維數。1954年希策布魯赫把它推廣到高維，現稱為希策布魯赫-黎曼-羅赫定理。這是他最為人知的工作，其實他對拓撲、複分析和代數幾何都做出重要的貢獻，1988年獲沃爾夫獎。希策布魯赫-黎曼-羅赫定理很快被格羅滕迪克進一步推廣成格羅滕迪克-希策布魯赫-黎曼-羅赫定理。為此，格羅滕迪克定義了 K 羣，這是 K 理論的開始。後來阿蒂亞和希策布魯赫發展了拓撲K 理論，它被阿蒂亞和辛格用於證明阿蒂亞-辛格指標定理。希策布魯赫-黎曼-羅赫定理也是1963 年出現的阿蒂亞-辛格指標定理的先聲。阿蒂亞於1966 年獲菲爾茲獎，這個指標定理是他最為有名的結果。K 理論已成為代數、數論、幾何、拓撲等分支的重要工具，奎倫因為在20 世紀70 年代建立了高階K 理論而於1978 年獲菲爾茲獎，沃耶沃茲基因其對米爾諾關於K 羣的一個猜想的證明和相關的工作獲得2002 年菲爾茲獎。
對有限域上的代數簇，韋伊1949 年提出了一個猜想，其中一部分可以看作黎曼猜想在有限域上的形式，對以後代數幾何的發展影響巨大，包括塞爾和格羅滕迪克在代數幾何上的工作。20 世紀五六十年代格羅滕迪克用概型的語言改寫了代數幾何，在此基礎上極大地發展了代數幾何，包括為證明韋伊猜想而建立的l 進制上同調理論。他於1966 年獲菲爾茲獎。他的思想和工作對代數幾何與數學的發展產生了深遠的影響。1974 年格羅滕迪克的學生德利涅用l 進制上同調證明了韋伊猜想中的黎曼假設部分並主要因此於1978 年獲菲爾茲獎。
韋伊的工作把數論和代數幾何深刻地結合在一起，沿着這個方向以後逐步發展起來算術(代數) 幾何，其特點是以解決數論中的問題為導向研究代數幾何。算術幾何在解決莫德爾猜想和費馬大定理中都發揮着重要的作用。舒爾茨建立了完美胚(perfectoid) 空間理論、發展了 p 進霍奇理論和新的上同調方法，這些工作深刻地改變了p 進域上的算術代數幾何，他也因此於2018 年獲得菲爾茲獎。
如果一個代數簇有奇點，那麼很多對研究無奇點的代數簇有效的工具就失效了。1964年広中平祐找到一個辦法解消奇點，為此他於1970 年獲得菲爾茲。幾何中的奇點非常有意思，常常藴含了豐富的信息，與其他的分支有出人意料的聯繫，如舒伯特簇的奇點和李代數的表示的聯繫就是一個例子。
許埈珥把霍奇理論和奇點理論思想引入組合理論，與他人合作解決了組合理論若干重要的問題，如幾何格的道林-威爾遜猜想、擬陣的赫容-羅塔-威爾士猜想等，於2022 年獲得菲爾茲獎。
2.6 羣和李代數的表示理論
前面我們看到因為一元高次方程的研究產生了羣論，它的應用很廣泛。很多時候，羣是通過它的表示應用到其他分支和領域。表示在數學中間是隨處可見的，比如説我們熟悉的多項式環、分析裏面的平方可積函數空間、拓撲裏面的上同調羣和K 羣等等，就有豐富的表示結構。在物理和化學中也很常見， 例如在單粒子模型中，單電子的軌道波函數生成三階正交羣的表示，自旋波函數生成二階酉羣的表示。20 世紀60 年代吉爾-曼用三階酉羣的十維表示預言了 Ω 粒子的存在，後來很快被實驗證實。
羣表示理論是一個龐大而且非常活躍的研究領域，在數學和物理中應用廣泛。李羣和代數羣在單位元處的切空間是李代數，可以看作李羣和代數羣的線性化。李代數和相關的代數如頂點算子代數等及其表示同樣在數學和物理中應用廣泛。有限羣的表示可以通過其羣代數的模來研究。過去幾十年，代數的表示論有很大的發展，尤其是林格爾發現代數表示論與量子羣的聯繫之後。I. M. 蓋爾範德似乎對這個領域有獨特的感受，曾經説“所有的數學就是某類表示論” (All of mathematics is some kind of representation theory)。他是偉大的數學家，從研究的廣度和深度來説，20 世紀後半葉能和他相提並論的數學家是非常少的，對錶示論做出的貢獻廣泛深刻。
表示論的基本的思想有兩點: 一個是對稱；一個是線性化。這個領域關心的主要問題有: 最基本的表示的性質，如分類、維數、特徵標等；一般的表示如何從最基本的表示構建；如何構造最基本的表示; 一些自然得到的表示的性質；等等。大致説來表示論就是要弄清楚這些事情。
表示論一直吸引着最優秀的數學家，早期如索菲斯·李，E. 嘉當 (陳省身先生的老師)，外爾，後來有I.M. 蓋爾範德、哈里希-錢德拉、塞爾貝格等，現在有朗蘭茲、卡茲旦、俊菲爾德、拉福格、路茲蒂格、吳寶珠等等。奧昆寇夫的工作揭示了概率論、表示論和代數幾何之間的一些深刻聯繫，並因此獲2006 年菲爾茲獎。
表示論過去幾十年的發展可能給人印象最深的是幾何方法在代數羣和量子羣表示理論中的運用並由此產生的幾何表示論、用表示論研究數論的朗蘭茲綱領和一個平行的幾何朗蘭茲綱領、李 (超) 代數及其表示的發展與在理論物理和數學物理中的應用 (包括標準模型)，還有近二十年的一股範疇化潮流。另外，傳統的李羣表示理論、代數表示論和有限羣的模表示理論也是很活躍的。這些依然是表示論的主要研究方向。幾何中的相交上同調、反常層理論和K 理論在表示論中的運用給表示論帶來巨大的進展，很多困難的問題得到解決，也帶來了很多新的研究課題。這個方向的一個代表性人物是路茲蒂格。正是用幾何的方法，他建立了有限李型羣的特徵標理論，或許這是目前有限羣表示理論中最為深入的部分。因在表示論上開創性的工作，路茲蒂格於2022 年獲沃爾夫獎。
2.7 計數、集合論和數理邏輯
計算一些物品的數量當然是我們日常生活經常要做的事情。對有限集合，確定其中元素的個數理論上不是問題，一個一個數就行了。組合論的一部分就是研究計數，和數論密切相關。但對無限集合，事情顯然並不簡單。例如某人有個面積無窮的王國，國土增加一兩平方千米的面積對他顯然沒什麼意義。無限集合的計數理論是德國人康托爾在19世紀後半葉建立的，稱為集合論。其中一個核心的概念是等勢：兩個集合稱為等勢的如果它們之間能建立一一對應。有意思的一件事情是自然數集合和有理數集合等勢，但與實數集合不等勢。1874年，康托爾提出有名的連續統假設：實數集合的任何無窮子集要麼與實數集合等勢，要麼與自然數集合等勢。1940 年哥德爾證明了這個假設與現有的公理體系不矛盾。20世紀60年代，科恩建立了強有力的力迫法，證明了連續統假設之否與現有的公理體系不矛盾，他因為這項工作獲得1966 年的菲爾茲獎。
現代數學是建立在集合論上的，集合論也是數理邏輯的重要組成部分。連續統假設表明我們的邏輯體系並不能對每一個陳述斷定真偽。事實上更早以前就有各種各樣的悖論和哥德爾的不完全定理表明數學邏輯體系的危機。數學家為補救這些缺陷做了巨大的努力，這包括羅素和懷特黑德的三大卷《數學原理》等。羅素獲得1950 年的諾貝爾文學獎。與數理邏輯密切相關的一個問題是P 和NP 問題，這是克雷數學研究所的千禧年問題之一，也是理論計算機科學領域最有名的問題。簡單説，P和NP 本質上問的是如下事情：給了一些整數，能否有很快捷的方法（即多項式時間算法）判斷這些整數的某一部分的和為零。
模型論是數理邏輯的一個分支，在代數和代數幾何有深刻的應用，有些代數幾何的結果還是最先用模型論發現並證明的。赫魯曉夫斯基1996年用模型論證明了函數域上的莫德爾-朗猜想，名噪一時。
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形與幾何、拓撲
最簡單的形無疑是線段、直線、多邊形、多面體、圓、球、橢圓、拋物線、雙曲線等，它們也是幾何與拓撲的起點，人類很早就研究它們了。我們做一點簡單的遊戲：多邊形的頂點的個數等於邊的個數，凸多面體的面的個數加上頂點的個數等於稜的個數加二。後一個等式稱為歐拉公式，雖然並不是歐拉最早發現的。這些公式被認為是拓撲學的起源。拓撲學研究幾何空間的整體性質，就是説那些在連續變形下不變的性質，是數學的主流分支，在數學的其他分支和物理中的應用極其廣泛，有時是研究一些問題必不可少的工具，如廣義相對論中的一般性的時空奇點定理就是彭羅斯把拓撲學引入廣義相對論而證明的。
如果把多面體的稜角磨平，再整理一下，我們就得到球了。歐拉公式本質上是説球面的歐拉示性數等於二。一個幾何空間的歐拉示性數是通過空間的同調羣定義的。球面當然是一個光滑的曲面。對於一般的光滑曲面，有高斯-博內公式，它把曲面的曲率和歐拉示性數聯繫起來，從而把微分幾何與拓撲聯繫起來，非常深刻，對以後數學的發展影響很大。20世紀40年代，阿冷多爾費爾和韋伊把它推廣到高維的情形。陳省身對高維情形的高斯-博內公式的證明則是整體微分幾何一個開端，影響深遠。
上面提到同調羣，它們是研究拓撲的主要手段之一，也是代數拓撲研究的主要對象之一。為了不同的目的，人們定義了各種各樣的同調羣和上同調羣。在好的空間如流形上，這些 (上) 同調羣都是一樣，而且有著名的龐加萊對偶。但對有奇點的空間，如何定義好的 (上) 同調羣，花了人們很長的時間。直到20 世紀80 年代，高熱斯基和曼可菲森才找到對空間奇點研究很有意義的一種上同調，稱為相交上同調。後來伯恩斯坦、貝林森和德利涅三人用層的語言處理相交上同調，形成了反常層理論。很快相交上同調和反常層理論成為研究代數幾何、拓撲和表示論的強有力工具。夫洛爾同調在低維拓撲和辛幾何中是有力的研究工具，它是夫洛爾為研究辛幾何中的阿諾德猜想而引進的。
同調羣中有一些特別的元素對研究認識空間的幾何結構非常重要，這些元素就是示性類。最著名的示性類有陳類、斯蒂弗爾-惠特尼類、龐特里亞金類等。對光滑的復代數簇的德拉姆上同調，其中一些元素稱為霍奇類。代數幾何中一個未解決的主要問題是霍奇猜想，它斷言霍奇類都是一些代數圈類的有理線性組合，這也是克雷數學研究所的千禧年問題之一。
圓和球是我們熟悉的基本形狀，在數學上的意義是非凡的。圓周在三維空間的嵌入稱為紐結。通俗説來紐結就是一根首尾相連的柔軟繩子，在不弄斷繩子，也不打結的情況下，它在三維空間中的各種樣子。紐結理論是拓撲學中非常活躍的分支，一個重要的問題是尋找紐結不變量。20 世紀20 年代發現的亞歷山大多項式是紐結不變量，紐結補的基本羣是紐結不變量，稱為紐結羣。20 世紀70 年代，瑟斯頓把雙曲幾何引入紐結的研究中，從而定義了新的有力的不變量。20世紀80年代瓊斯發現了新的多項式不變量——瓊斯多項式。威騰和孔採維奇等人一系列的後續工作則揭示了紐結和統計力學、量子場論之間的深刻聯繫。瓊斯多項式是瓊斯1990 年獲菲爾茲獎的重要工作之一。圖拉耶夫等人用量子羣研究紐結，得到新的不變量，很有影響。以上是圓周給我們帶來的深刻數學的一部分。下面我們看一下高維的情形——球面。
關於球面，最有名的應該是龐加萊1904 年提出的猜想，它斷言一個單連通的閉三維流形與球面同胚。在2003 年被解決前，這個猜想是拓撲學中的一箇中心問題。在此之前，數學家做過很多的努力。既然三維的情形證明不了，人們就對高維的情形考慮類似的問題。1961 年，斯梅爾證明了當維數大於四時，高維的龐加萊猜想成立，因此他獲得1966 年的菲爾茲獎。1982 年弗裏德曼對四維的情形證明了龐加萊猜想，於是他獲得1986年的菲爾茲獎。龐加萊猜想最後在2003 年被佩雷爾曼證明，這是轟動一時的結果，標誌了數學中一個大問題的終結，也是克雷數學研究所七個千禧年問題中到目前為止唯一被證明的。佩雷爾曼證明這個猜想所用的工具是非常有意思的，那就是幾何分析。幾何分析是微分幾何與微分方程的交叉學科，丘成桐，後來還有哈密頓等人在其中的建立和發展起了突出的作用，是一個有力的工具，也是非常活躍的研究方向。2007年布仁德爾和舍恩用幾何分析的方法證明了微分球定理，是流形理論中一個重要結論。
球面帶來的深刻數學還很多。1956年，米爾諾發現七維球面上有非標準的微分結構。這一發現對拓撲學的發展影響很大，是米爾諾最有名的工作，也是他1962年獲菲爾茲獎的主要工作之一。六維球面是否有復結構則是困擾數學家很多年的一個問題，至今未解決。球面的同倫羣也是拓撲學研究的重要問題，至今未完全解決。20世紀50年代初，塞爾成功計算了球面的很多同倫羣，這是他獲1954年菲爾茲獎的重要工作之一。同倫羣現在仍是拓撲學研究的一個主要方向。
在幾何與拓撲中，一個基本問題是對流形分類。流形有各種各樣的，如拓撲流形、微分流形、複流形、黎曼流形、辛流形、無窮維流形等等，這裏面的問題和結果都是非常豐富的。閉二維拓撲流形是曲面，其分類很早就知道，結果很漂亮：可定向閉曲面的同構類由曲面的虧格完全確定，不可定向的閉曲面則同胚於一些實射影平面的連通和。曲面的虧格就是曲面所圍的空洞的個數，如汽車輪胎是虧格為1 的曲面，它只圍了一個空洞。
黎曼面是一維的複流形，一直是非常重要的研究對象。米扎哈尼因其在黎曼面及其模空間的動力系統和幾何上的傑出工作獲得2014年菲爾茲獎。她是第一位獲此獎的女性。
三維流形的研究中，瑟斯頓的工作非常重要，他發現雙曲幾何在三維流形的研究中起突出的作用。瑟斯頓提出的幾何化猜想是比龐加萊三維球面猜想更廣泛的猜想，後與龐加萊猜想一起得到證明。瑟斯頓因其在三維流形上的開創性工作獲得1982 年的菲爾茲獎。
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切線、面積、速度、加速度等和微積分、分析數學
我們會求一些簡單圖形如多邊形、圓等的面積，也會求圓的切線，但對更復雜的圖形，這就不是一件容易的事情了。在物理中，對於非勻速運動，求加速度和路程同樣不是一件容易的事情。對這些問題探索最後導致牛頓和萊布尼茨在17 世紀分別獨立建立了微積分。用微積分我們能輕易求出一些複雜圖形的面積、體積，確定物體的加速度、路程，π的精確值，等等。微積分及在其上發展起來的分析數學成為認識和探索世界奧秘最有力的數學工具之一，為數學帶來全面的大發展，促進了很多新分支的產生，如解析數論、實分析、複分析、調和分析、微分幾何、微分拓撲、微分方程等等。
微積分的基本概念有極限、微分和積分，分析數學的基本研究對象是函數。1927 年物理學家狄拉克在研究量子力學時引進了δ函數，它不是經典意義下的函數，給當時的數學家帶來很大的困惑。施瓦茲建立的分佈理論使得δ函數變得容易理解並能嚴格處理，他因此獲1950 年的菲爾茲獎。分佈理論在現代偏微分方程理論中極其重要。
正弦函數和餘弦函數都是週期函數。傅里葉認為它們是描述週期運動的基本函數並在19世紀初建立了相應的理論，現稱為傅里葉分析。傅里葉分析及其更一般的理論調和分析是內容非常豐富且應用很廣泛的數學分支。如果注意到正弦和餘弦函數可以看作圓周上的函數並把單位圓周與模長為一的複數等同起來，就知道傅里葉分析與李羣表示論是密切相關的。卡爾松因其在調和分析上的重要工作於1992年獲沃爾夫獎，特別他理清了函數與其傅里葉級數表示的關係。陶哲軒在調和分析上的工作也是他獲菲爾茲獎的工作的一部分。李羣和拓撲羣上的調和分析是一個重要的分支，與泛函分析密切相關，在數論中的深刻應用使人驚歎。
大自然很多的奧秘是通過微分方程表述的，描寫電磁運動的麥克斯韋方程，描寫微觀世界的薛定諤方程，描寫流體運動的納維-斯托克斯方程，描寫宏觀世界的愛因斯坦方程，等等。這些方程都是非線性微分方程，有很多人研究，納維-斯托克斯方程是否有整體光滑解則是克雷數學研究所的千禧年問題之一。在線性偏微分方程上，赫曼德的工作可能是最深刻和突出的，他因此獲得1962 年的菲爾茲獎。從解線性偏微分方程發展起來的 D 模理論不僅在偏微分方程的研究中十分有用，在表示論的研究也發揮了巨大的作用，柏原正澍建立的黎曼-希爾伯特對應很重要。
P. L. 利翁斯在非線性方程上的傑出工作使他獲得了1994 年的菲爾茲獎。丘成桐發展了一些強有力的偏微分方程技巧用以解決微分幾何的一些重要問題如卡拉比猜想等，在這些工作的基礎上，幾何分析逐步發展起來。因為這些工作，丘獲得1982 年的菲爾茲獎，另外，他的工作在理論物理和數學物理中有極大的影響。偏微分方程領域引人入勝的深刻問題比比皆是，一流的數學家很多，如拉克斯、卡發熱利等等。過去這些年，隨機偏微分方程發展迅速，最優傳輸理論成為偏微分方程的研究的一個有力工具。海熱爾因其在隨機偏微分方程方面的工作尤其是建立了這類方程的正則性理論獲得2014 年菲爾茲獎；菲加利因與他人合作利用最優傳輸理論在蒙日-安培方程的解的正則性上做出突破性的工作等獲得2018 年菲爾茲獎。
只有一個獨立變量的微分方程稱為常微分方程，很多這類方程來自經典力學，如牛頓第二定律，獨立變量很多時候就是時間。餛飩理論來自常微分方程的研究。事情起源於19 世紀末，自17 世紀以來人們一直試圖弄清太陽系行星運行軌道的穩定性。如果只有兩個星球，那麼牛頓的萬有引力定律很容易導出星球的軌道行為，但太陽系是多體的，極其複雜。龐加萊想先把三體問題解決，但發現問題太困難，清楚寫出微分方程的解是沒希望的，只能考慮解的定性研究，發現解的混沌性。對一些微分方程的解混沌性，有一個通俗的説法——蝴蝶效應，意指在一定的約束下，剛開始時很小的差別可以導致後來巨大的差異。混沌理論的應用十分廣泛，氣象預報是其中之一。三體問題的一個冪級數解在1912年由遜德曼給出，但對初始值有很強的要求，而且收斂得很慢。遜德曼的結果被王秋東 (音譯) 在1991 年推廣到多體的情形，但沒考慮奇點問題。
常微分方程解的定性研究與動力系統密切相關。太陽系的運動是一個動力系統 (運動和力之間關係的系統)，由萬有引力決定，所以是一個常微分方程的動力系統，龐加萊對太陽系和三體問題的研究是動力系統史上非常重要的工作。動力系統是很活躍的研究領域，其中一個研究方向是復動力系統，研究函數的迭代。約柯茲因其在動力系統的傑出工作獲1994 年菲爾茲獎。曼克木稜在復動力系統方面的重要工作是他獲1998 年菲爾茲獎的原因之一。部分因其在動力系統方面的重要工作，斯米爾諾夫獲得2010 年菲爾茲獎。阿維拉因其在動力系統上的深刻工作於2014 年獲菲爾茲獎。研究有不變測度的動力系統的分支稱為遍歷論，與調和分析、李羣及其表示、代數羣、數論有密切的聯繫。林德施特勞斯因其在遍歷論中的出色工作獲得2010 年的菲爾茲獎，另外馬爾古利斯獲1978 年菲爾茲獎的工作中遍歷論起了重要的作用。
在19 世紀對常微分方程的研究導致了李羣和李代數的誕生，後者在數學和物理中的應用廣泛深刻。
無限維空間上的分析是泛函分析，巴拿赫空間和希爾伯特空間及其上面的算子是基本的研究對象，其中的希爾伯特空間對量子力學有着基本的重要性。泛函分析的重要一支是算子代數，與表示論、微分幾何等有深入的聯繫。孔涅因對一些算子代數的分類獲得1982年的菲爾茲獎。他還把泛函分析引入非交換微分幾何的研究中。高韋斯主要因其在巴拿赫空間上的重要工作獲1998 年的菲爾茲獎。
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數學物理
物理一直是給數學發展帶來最為強大推動力量的學科，在這裏有着無窮無盡的問題，提供非常鮮活、生動的思想，它永遠給數學帶來很多特別深刻的東西。弦理論、量子場論和規範場論是非常活躍的領域。弦理論能統一四種基本的作用力，把量子力學和相對論統一起來。卡拉比-丘流形在超弦理論中非常重要，因為額外的時空被認為是六維卡拉比-丘流形。楊-米爾斯理論是一種規範場論，共形場論則是一種量子場論。
20 世紀80 年代初期，唐納森利用楊-米爾斯理論中的方程的一類特別的解，稱為瞬子，研究四維流形的微分結構，證明了一大類四維流形沒有光滑結構，而有些則有無窮多的微分結構。唐納森因其在四維流形上的開創性工作獲得1986 年的菲爾茲獎。結合他的結果和弗裏德曼關於四維流形分類的結果，1987 年陶貝斯證明了四維歐氏空間有不可數多的微分結構。注意我們生存的三維空間加上一維的時間就是四維歐氏空間，而其他維數的歐氏空間則僅有一種微分結構。瞬子在數學和物理中都有很多的用處，楊-米爾斯理論在數學上則可能是最受重視的規範場理論，是否對任意的緊單的規範羣在四維歐氏空間存在質量間隙非負的量子楊-米爾斯理論是克雷數學研究所千禧年問題之一。
在共形場論的研究中，羣論、李代數、頂點算子代數、維拉索羅代數等代數結構是描述對稱的工具，十分重要。
也是在20世紀80年代，數學物理中對量子可積系統和楊-巴克斯特方程的研究導致了俊菲爾德和神保 (相互獨立) 在20世紀80年代中期定義了量子羣，隨後引發了世界範圍的研究熱潮，產生了很多深刻的結果如典範基和晶體基、新的紐結不變量等，引出很多新的研究問題。俊菲爾德因其在量子羣和表示論上的工作獲1990 年菲爾茲獎。柏原正澍主要因在晶體基和D 模理論上的工作在2018 年國際數學家大會上獲得陳省身獎。
在過去幾十年的數學物理進展中必須提到威騰的工作，他帶來很多新的深刻思想，在數學和物理中架起橋樑，為相關研究方向帶來全新的面貌和很多問題，給數學和物理兩者都帶來巨大的影響，因為其深刻的工作他於1990 年獲得菲爾茲獎。在對兩個假設的量子場論作比較時，威騰對代數曲線的模空間提出一個猜想，後被孔採維奇證明。同樣基於量子場論的考慮，威騰認為存在一些可通過某些積分計算的紐結和三維流形不變量，此事後被孔採維奇。這些工作影響很大，是孔採維奇獲得1998 年菲爾茲獎的部分主要工作。
最近這些年，統計力學及相關的研究方向包括隨機過程等非常活躍，有很多突出的進展。2006 年沃納因其在隨機洛馬納演化和二維布朗運動的幾何等方面的工作獲菲爾茲獎，2010 年維那尼因其關於玻爾茲曼方程和朗道阻尼的工作獲得菲爾茲獎，斯米爾諾夫獲菲爾茲獎的部分工作也與統計力學有關。杜米尼-考平因在統計物理中的相變的概率理論方面解決了幾個長期存在的問題，如對三維伊辛型模型他與合作者證明了相變的連續性和尖鋭性等，於2022 年獲得菲爾茲獎。
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結束語
以上對基礎數學進展的介紹是很不全面的，不過，從以上的介紹可以看出，數學的發展始終貫穿在對基本問題和基本對象的探索認識中。好的問題對數學的發展起了巨大的推動作用。在數學研究中，我們需要考慮好的問題，基本的問題，同時要有好的數學思想。寫完這篇文章後，一個強烈的感受是在數學的發展中，我們做出的貢獻太少。缺乏好的傳統和數學思想乃至背後的哲學思想和思考可能是一個重要的原因，在這些方面我們還有很大的差距。可能我國已有很多數學家感受到我們還未形成中文數學的思考體系和語言體系，我們對數學的認識仍然很不足，在努力成為數學強國的路途上我們有很多的東西需要彌補，需要時間，需要國家的支持，更需要數學家的努力。
參考文獻
關於數學史和數學思想的通俗讀物可以看以下兩套書：
[1] M. 克萊因, 《古今數學思想》, 1-3 卷, 北京大學數學系翻譯, 上海科學技術 出版社, 2009 年.
[2] A. D. 亞歷山大洛夫等, 《數學: 它的內容方法》, 1-3 卷, 孫小禮、趙孟養、裘 光明等譯, 科學出版社, 2010 年.
下文觀點深邃, 思維流暢.
[3] Weil, History of Mathematics: Why and How, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978, vol.1, pp.227-236.
如果希望對現代數學瞭解得更深入, 可以看下面的叢書.
[4] 《國外數學名著系列》(影印版), 科學出版社, 2006 年及以後.
國際數學家大會的論文集是瞭解現代數學進展的一個窗口, 可喜的是國際數學聯盟已經在其網站彙集了2018 年及以前大會論文集的電子版.
[5] 國際數學家大會論文集. http://mathunion.org/ICM/
克雷數學研究所的七個千禧年問題的描述見其網站.
[6] http://www.claymath.org/millennium/.
[7] 維基百科. http://en.wikipedia.org/. 維基百科的文章經常也是很有參考價 值的.
數學家的傳記對了解數學家和數學都是有益的, 下面列三本.
[8] C．Reid, “Hilbert”, Springer-Verlag, New York, LLC, 1996. 有中譯本.
[9] 王元, 《華羅庚》, 江西教育出版社, 1999.
[10] 張奠宙、王善平, 《陳省身傳》(修訂版), 南開大學出版社, 2011.
數學大家談數學的文章或書籍多有對數學的深刻感悟和認識, 很有名的兩本書是:
[11] Henri Poincaré, Mathematics and Science Last Essays, BiblioBazaar, 2009.有中譯本: 《最後的沉思》.
[12] G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940年第一版, 1992 年Canto 版. 有中譯本: 《一個數學家的辯白》.
與本文有關的較專門的參考文獻和論文太多，因篇幅有限，就不羅列了。
附註: 本文首次發表於《中國科學院院刊》2012 年第27 卷第2 期,134-144。後略加修改，轉載於“數學與人文” 系列叢書第十四輯《數學與科學》。2022 年對一些譯名做了細微的文字改變，加入一點新的內容，然後轉載於作者主編的《認識數學》第二卷。
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