小平邦彥：赫爾曼·外爾老師的數學研究風格_風聞

我們到底還是無法理解數學真正的基礎、真正的含義是什麼，數學與音樂一樣，都屬於人類創造性活動的產物，其成果受到歷史發展的影響，因此我們很難客觀對其進行合理化。

——赫爾曼·外爾

撰文 | 小平邦彥

譯者 | 尤斌斌

1949 年 9 月，我接受了赫爾曼·外爾的邀請去了普林斯頓的高等研究院。邀請信上外爾老師的簽名給我留下了深刻的印象。第一次在研究院見到外爾老師時感到有些意外，他身材高大，長着一張圓臉，是一位體態文雅的紳士，給人的感覺像是一個性格和善的大叔。

我在去普林斯頓的路上順便拐到芝加哥大學拜訪了韋伊老師。韋伊老師從三樓窗户探出頭來招呼我，他戴着魔鬼面具，嚇了我一跳。即便如此，我並未對他感到些許意外。我對外爾老師的長相雖然有些意外，但並非那種因為與預想形象不同而感到的意外，而是一種莫名的意外感覺，説不太清楚。

對外爾老師而言，他們看到眼前這個身材瘦小、英語不流利的亞洲人時，也許也感到一絲意外。所以他才盯着我的臉打量一番，然後建議我“等下學期英語好點的時候再開專題研討課”。

外爾老師幾乎每天中午都跟我們這些年輕研究員一起在研究院四樓的食堂就餐，同時愉快地談論各種話題。他會把灑在托盤上的咖啡重新倒入碗中喝掉。回想起來，這些事情彷彿是昨天剛剛發生的一樣。

外爾老師生性率直，他不會將自己的想法藏在心裏，有時候會説出一些辛辣的話語。有一天中午，我們在食堂吃午飯時，坐在我身邊的一位年輕的美國數學家提到説：“今天是小平 40 歲生日。”於是，外爾老師突然轉向我，並對我説：“據我所知，數學家想要做出一番成就一般要在 35 歲以前，你最好抓緊時間（you’d better hurry）。”不管如何抓緊時間，我都無法再回到 35 歲，這對我來説太困難了。老師貌似也意識到自己説得有些過分了，就繼續補充説：“不過也有例外，也許你就是例外。”這還算是比較收斂了，我還聽説外爾老師曾經微笑着對一個意氣風發的新人數學家説：“我不太看好你的數學研究。”這簡直太嚇人了。

外爾大概是 20 世紀最後一位重量級的大數學家了，他的研究領域不僅限於數學，還涉及物理學和哲學。在愛因斯坦發表廣義相對論後，外爾隨即編著了《空間、時間與物質》，嘗試研究統一場論。量子力學出現後，他又撰寫了《羣論與量子力學》。他發表論文共167 篇，合計約 2800 頁，出版著作多達 16 冊，為後人留下了豐厚的碩果。

20 世紀 40 年代盛行研究巴拿赫空間、希爾伯特空間等函數解析，普林斯頓高等研究院的許多年輕研究員都以此作為自己的研究領域，外爾和西格爾彷彿在數學研究上完全與其他人獨立。我曾經在研究院正面的院子裏遇到日本數學家，至今還清楚地記得他説過：“外爾和西格爾兩個人樂此不疲地在挑戰古老複雜的數學，那是種反動行為。”進入 20 世紀 50 年代後，代數幾何、流形論、微分拓撲等迅速發展，數學出現了天翻地覆的變化。

在我赴美前，外爾老師就一直很照顧我。斯通在其關於希爾伯特空間的著作的最後一章中提到雅可比矩陣（Jacobi matrices）理論，即二階差分方程理論。將其改成二階常微分方程，同時結合外爾在年輕時撰寫的有關二階常微分方程固有值問題的論文發現，可以得到具體公式給出固有值分佈與固有函數的展開，於是我寫成一篇論文發給了外爾老師。之後外爾老師回信告訴我蒂奇馬什（Titchmarsh）使用其他方法得出了相同的公式，並且給我寄來了蒂奇馬什的著作。後來我又收到外爾老師來信，大致的內容是：“我想在這次數學年會上演講時引用你前幾天的論文，我可以引用你未發表的論文嗎？”即便是我這樣的亞洲無名數學家，外爾老師也考慮得非常周到。在 1948 年 12 月美國數學學會的年會上，外爾老師發表了該演講 。

到了下學期，按計劃我在外爾和西格爾的指導下開始上有關調和微分形式的專題研討課。剛開始幾次課由外爾老師講授歷史沿革，因為當時我的英語還很糟糕，所以很遺憾，我不太記得上課的具體內容。外爾的部分結束後，由德拉姆（de Rham）講授了七八節課基於當時現有方法的黎曼流形上調和微分形式理論，最後由我講授調和微分形式在複流形中的應用。整個課程結束後，外爾老師對我説：“之前的調和微分形式專題研討課上到一半就亂套了，幸虧這次專家陣容齊全，最終圓滿完成任務。”

之前的專題研討課指的是 1942 年左右開設的有關霍奇（Hodge）調和積分論的專題研討，剛開始主要研讀霍奇的著作，後來發現調和微分形式的存在證明存在一定的缺陷（gap），於是專題研討課就因此暫停了。外爾老師還專門寫了一篇論文去填補該缺陷。

外爾老師用了幾周時間在研究院講授數學的 50 年曆史，即1900 年至 1950 年間數學的歷史。我記得這部分課程大概是在1952 年的上半學期，當時希策布魯赫也來旁聽。後來我因為當時沒記筆記而感到遺憾，不過印象比較深刻的內容包括關於整數論的詳細分析、對奈望林納（R.Nevanlinna）理論的高度評價、抽象的普遍化理論很無聊，等等。不過我也不記得在講什麼內容時提到抽象的普遍化理論很無聊，他曾提到：“你們肯定會想問，那你為什麼要寫《黎曼曲面的概念》這樣的普遍化理論呢？當時在講黎曼曲面時，我就想‘思考普遍化的黎曼曲面’，於是就做了這件事（雙手側平舉後上下襬動）。儘管如此還是覺得很麻煩，因此就寫了《黎曼曲面的概念》。”這樣聽來，感覺外爾老師將《黎曼曲面的概念》歸類於無聊的抽象論，這令我感到十分震驚。眾所周知，《黎曼曲面的概念》是現代複流形理論的原型，書中幾乎完美地展現了一維複流形理論。

另外對於自己的定理“假設θ 是無理數，點列

在單位圓周上平均分佈”，外爾談道：“在以前，類似這樣的簡單定理就是一個大發現，而現在的你們必須從事複雜的研究工作，太不容易了。”在這個課上我還聽到了類似這樣的故事：“阿廷説在巴赫之後就沒有出現新的音樂了，於是我就問他數學是什麼情況，結果他擺出了一副嫌棄的表情。”數學家阿廷（Emil Artin）精通音樂，會彈奏撥絃古鋼琴，他的興趣是研磨天體望遠鏡的鏡片。

到了普林斯頓後，我又重新將調和微分形式的論文印成小冊，並帶着它去拜訪了外爾老師。老師手拿着小冊，笑眯眯地誇我説：“從運用正交射影的方法來看，確實做得不錯。”又説：“也許我是一個守舊派，不過我覺得正交射影的方法不太好，我建議你重新修改論文，最好也不要採用正交射影的方法。”這番話使我備受打擊。外爾老師在 1955 年出版的《黎曼曲面的概念》修改版的序中曾經寫道：“我也曾考慮過從本質上將狄利克雷原理改成正交射影的方法，不過最終還是放棄了。我不打算解釋箇中緣由。”

正交射影是外爾發現的方法，對證明調和微分形式的存在極其有用。外爾老師説這個方法不太好，其原因在於他自身的數學哲學。對於數學基礎研究，外爾老師支持直覺主義，雖説我也是支持直覺主義，不過這也只是針對數學基礎研究，平時在做數學研究時，跟一般的數學家並無任何區別，而外爾的直覺主義可不是如此膚淺。康斯坦·裏德在庫朗傳記中寫道：“外爾站在直覺主義的立場上為新生講授解析入門。”

外爾老師深受哥德爾的不完全性定理“任何一個包含自然數論的形式系統，當該形式系統無矛盾時，它的無矛盾性不可能在該形式系統內證明”影響，他在其著作《數學與自然科學的哲學》英文版中提到：“我們到底還是無法理解數學真正的基礎、真正的含義是什麼，數學與音樂一樣，都屬於人類創造性活動的產物，其成果受到歷史發展的影響，因此我們很難客觀對其進行合理化。”此外，在有關數學與邏輯概述的論文的結語中，外爾寫道：“（源於集合論悖論）的數學危機給我的數學研究帶來了相當大的實際性影響，因此我將自己的興趣轉向了相對“安全”的研究領域。

他認為該方法遠比正交射影的方法“安全”。

哥德爾證明了不完全性定理，不過他的想法好像與外爾不同。

哥德爾在其論文“羅素的數理邏輯學”中指出，“集合（class）和概念（concept）是兩個完全獨立的實在，它與我們所説的定理或構成不同。假定類似的實在與物理學假定物體的存在一樣合理。想要得到滿意的物理，物體是必要條件。同樣，想要得到滿意的數學，實在也是必要條件”。而且，他還在“何謂康托爾的連續統假設”一文中提到：“我們對集合論的對象有着某種覺察力（perception），我認為這種感覺即數學直覺比五官的感覺更值得信任。”

總而言之，哥德爾認為數學的對象是與我們獨立的實在，即實在論。而且，我們具有感知這種數學實在的能力。這與外爾的想法剛好相反，因為外爾認為數學是人類創造性活動的產物。哥德爾的想法表明，集合論是實際存在的，因此連續統的濃度ℵ 也是固定的。竹內外史與哥德爾交往頗深，據竹內所説，哥德爾“認為連續統的濃度ℵ 等於ℵ²。因為如果ℵ=ℵ²，將會呈現出一個極其美麗的世界”。

我個人非常喜歡外爾的數學研究風格。我讀過他的論文和著作，深有共鳴，唯有直覺主義讓我難以理解。因為我實在無法贊同希爾伯特空間不“安全”的説法。我是一名缺乏哲學素養的數學家，因此也沒有資格評論外爾和哥德爾的數學哲學。我只是從自己多年從事數學研究的經驗中得到一些體會，既然自然界實際存在，那麼數學現象的世界應該也實際存在。雖然我也發現了一些定理，但是那並不是我的發明，而是我在探索數學現象世界的途中，偶然發現了這些散落在角落的定理。

本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈新知”。

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