莫等閒，白了少年頭：超冷原子模擬哈伯德模型 | 袁嵐峯_風聞

****■導讀

費米子，哈伯德模型，冷原子，量子模擬，反鐵磁，高温超導等等，每多瞭解一個術語，你的知識水平就多一個9。如果全都瞭解的話，你就超過了99.9999%的人！

最近有個大新聞，中國科學技術大學潘建偉、陳宇翱、姚星燦、鄧友金等人構建了求解費米子哈伯德模型的超冷原子量子模擬器“天元”，以超越經典計算機的模擬能力首次驗證了該體系中的反鐵磁相變，朝向獲得費米子哈伯德模型的低温相圖、理解量子磁性在高温超導機理中的作用邁出了重要的第一步（中國科大首次實現超越經典計算機的費米子哈伯德模型量子模擬器“天元”）。論文7月10日在線發表於《Nature》（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。

潘建偉（中）、陳宇翱（左）和姚星燦（右）

呃，這説的是啥？普通人可能唯一能聽懂的是，論文發表於《Nature》。

《三維費米子哈伯德模型中的反鐵磁相變》

看看這裏有多少科學術語：費米子，哈伯德模型，冷原子，量子模擬，反鐵磁，高温超導等等，每一個都不是省油的燈。“天元”倒是容易理解，就是圍棋棋盤的中心那個點，但在這裏是實驗裝置的名字，並不是科學術語。我可以説，每多瞭解一個術語，你的知識水平就多一個9。所以如果全都瞭解的話，你就超過了99.9999%的人！

不過，瞭解這事的大圖景其實也並不是特別難。我跟姚星燦聊了一個多小時，就基本明白了。下面，我來向大家解讀一下。

首先，這是量子模擬的一個重大進展。量子模擬指的是，用一個量子體系模擬另一個量子體系。

量子這個詞也許對沒有學過量子力學的人來説不容易理解，但模擬的理念應該是比較容易理解的。一個典型例子就是風洞。造一架飛機在空氣中飛，是比較困難的，但造一個風洞，讓氣流吹過一個固定的飛機模型，是比較容易的。空氣不動飛機動，跟飛機不動空氣動，在數學上是等價的。這樣就可以極大地節約成本和時間，做到原來做不到的事。類似的，量子模擬就是造一個量子體系，用它來模擬跟它在數學上等價的另一個量子體系。

殲-10在風洞中

那麼，這次模擬的是什麼呢？是費米子哈伯德模型。

費米子是個量子力學中比較入門的知識。世界上的微觀粒子分為兩類，費米子（fermion）和玻色子（boson）。電子、質子、中子等屬於費米子，光子、膠子等屬於玻色子。原子作為複合粒子，同樣也可以分為費米子和玻色子。例如這項工作中用的Li-6屬於費米子，而比它多一箇中子的Li-7就成了玻色子。

費米子與玻色子（科普漫畫| 你認識這兩個“子”嗎？）

比較進階的知識是哈伯德模型（Hubbard model）。其實我20多年前上學的時候就聽説過這個模型，因為當時高温超導很熱，而哈伯德模型被普遍認為是高温超導的基礎。在這裏的費米子，當然指的就是電子。

這個模型是什麼呢？它的形式非常簡單，只有這麼兩項（量子模擬中的“北極星”——中國“天元”量子模擬器率先取得量子計算第二階段重大進展 | 墨子沙龍）。當然，簡單的意思是，如果你能看懂這些符號，它就是簡單的。這裏的a+是產生算符，表示在某處產生一個粒子，a是湮滅算符，表示在某處消滅一個粒子，n是粒子數算符，表示某個狀態上的粒子數，其實它就等於這個狀態的a+乘以a。

哈伯德模型

總之，瞭解了這些符號以後，你就會明白，哈伯德模型説的其實就是這麼兩件事。一，如果有一個粒子從一個格點跳到旁邊的格點，整個體系的能量就降低t。這就是為什麼，t前面有個負號。t越大，就説明粒子越容易跳來跳去。二，如果有兩個自旋相反的粒子待在同一個格點上，整個體系的能量就升高U。這是因為電子帶負電荷，兩個帶同號電荷的粒子之間會互斥，U就是這個排斥能。U越大，就説明兩個電子越不容易待在一起。

二維哈伯德模型圖示（https://handwiki.org/wiki/Physics:Hubbard_model）

然而奇妙的是，這麼一個看起來很簡單的模型，在數學上卻很難求解。最搞笑的是，對於一維和無窮維這兩個極端，我們都有解析解，但對於二維、三維、四維等中間的維度，卻沒有解析解，而且數值解也很難求。

這就很杯具，因為大家最關心的其實是二維。這是因為高温超導材料主要是銅氧化物，其中發揮關鍵作用的是二維的Cu-O原子層。但偏偏，二維的哈伯德模型就沒有解析解。幾十年來，對哈伯德模型的數值研究都發展成了一個龐大的領域，但仍然有許多基本問題算不清楚，例如有摻雜情況下的反鐵磁相變。

銅氧化物高温超導體中的CuO2面，其中紅點代表Cu，藍點代表O（https://blog.sciencenet.cn/blog-22926-582521.html）

好，這就説到了下一個關鍵詞，反鐵磁相變（antiferromagnetic phase transition）。我們日常比較熟悉的是鐵磁性（ferromagnetic），顧名思義鐵就有鐵磁性，即所有原子的磁矩同向排列，導致宏觀的磁場。而反鐵磁的意思是，相鄰原子的磁矩全部反向，即上下上下上下這樣相間排列，結果在宏觀上沒有磁場。這裏的反鐵磁相變指的是，隨着温度的降低，體系從磁矩隨機排列的順磁（paramagnetic）相變成反鐵磁相，這個轉變温度叫做奈爾温度（Néel temperature）。

各種磁性（https://www.bilibili.com/video/BV1eu4y187Gu/）

在費米子哈伯德模型中，一個格點最多隻能填充兩個粒子，所以粒子數剛好等於格點數的情況被叫做半滿（half filling），或者叫做無摻雜（doping）。對於這種情況立刻可以看出，它能量最低的狀態就是反鐵磁態，即每個格點上都有一個粒子，而相鄰格點的粒子自旋方向相反。但問題是，如果有一點摻雜呢？即如果粒子數跟格點數的比例不是1，而是稍微差一點，那麼體系是否仍然保持反鐵磁態？如果可以保持的話，那麼這個摻雜的閾值是多少？有沒有可能，這個閾值是0，即只要稍微偏離一點點，反鐵磁就會消失？

設想的哈伯德模型低温相圖（量子模擬中的“北極星”——中國“天元”量子模擬器率先取得量子計算第二階段重大進展 | 墨子沙龍）

這些對於現在的計算機，都是巨大的難題。而高温超導相是在反鐵磁相基礎上進一步摻雜出現的，所以用哈伯德模型來解釋高温超導，就離得更遠了。因此，我們其實並不清楚哈伯德模型是否能解釋高温超導。這只是一個假設，而這個假設是需要檢驗的。所以精確模擬哈伯德模型有兩重意義，一是瞭解哈伯德模型本身會推出什麼結果，二是瞭解哈伯德模型能在多大程度上解釋現實，也就是説它是不是一個好的模型。

説了這麼多背景，現在終於可以理解我的這些科大同事做的是什麼了。他們構建了一個光晶格，把超冷的Li-6原子囚禁在裏邊，讓這些原子之間的相互作用正好可以用哈伯德模型來描述，也就是説，用原子來模擬電子。然後對這個體系進行測量，就相當於獲得了哈伯德模型的解。

“天元”量子模擬器示意。紅色和藍色的小球分別代表自旋相反的原子，它們在三維空間交錯排列，形成了反鐵磁晶體。原子被光晶格囚禁在玻璃真空腔中。/製圖：陳磊

他們首先做的是，在無摻雜的情況下，隨着温度的降低，確實觀測到了反鐵磁相變。你也許會問，這不是單從理論就能預測的嗎？沒錯，這正是他們的目的啊。要知道自己的量子模擬器對不對，是不是真正模擬了哈伯德模型，正應該找一個模型能夠精確預測的現象，看實驗是不是能實現這個現象。這是基本的校準工作，即benchmark。

論文圖2a，三維費米子哈伯德模型在半滿時的示意性相圖（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。橫座標是哈伯德模型中兩個參數U與t的比值，縱座標是温度與t的比值。這個圖表示，只要U > 0，就會發生由温度降低導致的反鐵磁相變

千萬不要以為這個benchmark很容易。實際上國際上早就有很多研究組在嘗試對哈伯德模型的量子模擬，但從來沒有成功過，因為這個基本的benchmark就做不出來。科大團隊做出來了，所以至少可以説，我們的量子模擬器是正確的，它確實描述了它想描述的那個模型。

在這個基礎上，他們引入一部分摻雜，仍然觀測到了反鐵磁相變，也就是説，哈伯德模型中的反鐵磁相可以容忍一定的摻雜。這就很亦可賽艇了，因為這是經典計算機算不出來的。這對高温超導實驗來説不算一個新結論，因為那裏早就觀察到這樣的現象了，但對哈伯德模型來説確實是一個新結論，因為以前沒人能精確求解這種條件下的哈伯德模型。這至少增加了我們對哈伯德模型能描述高温超導的信心。

論文圖4a，有摻雜的三維費米子哈伯德模型在U /t ≈ 11.75時的示意性相圖（https://www.nature.com/articles/s41586-024-07689-2）。橫座標是平均每個格點上的粒子數n，縱座標是每個粒子的熵。這個圖表示，在n偏離1（即半滿）的一定範圍內，仍然存在反鐵磁相

具體而言，科大團隊之所以實現這些突破，是因為兩點技術上的重要進步。

一個是平頂光晶格。這東西聽着像紅太狼的平底鍋，實際形狀也差不多，意思就是讓原子在空間中均勻分佈，而以前的高斯光晶格導致的均勻性就很差。由於這個原因，以前的實驗只能實現幾十個原子的晶格，因為只有在這麼小的範圍裏才能讓t和U這兩個參數比較均勻。説實在的，這麼少的原子簡直都不好意思稱它為“晶格”。而現在科大團隊能做到80萬個原子的均勻晶格，一下子提高了四個量級，現在説它是個晶格就比較靠譜了。

平頂光晶格（https://www.bilibili.com/video/BV1E4421U79B/）

另一個是低温技術。以前的實驗肯定觀察不到反鐵磁相變，因為它們的温度都太高，高於反鐵磁相變的温度即奈爾温度。而科大團隊把各種製冷方法推到了極致，終於冷到了奈爾温度以下，所以能觀察到反鐵磁相變。關於製冷方法，可以參見墨子沙龍邀請“可視科學”團隊製作的動畫。

鋰離子經光阱蒸發，進一步冷卻

有了這樣一個可靠的模擬器，下一步，我們就可以變化各種參數，來探索新物理。例如給反自旋的粒子之間一個人為的吸引力，即把U變成負的，讓它們很喜歡待在一起，看看這時它們會不會自發配對。如果會的話，這其實就是對超導的傳統解釋，即BCS理論，這説明哈伯德模型有希望解釋超導。如果不會，那就説明哈伯德模型不太可能解釋超導，我們得尋找更復雜的模型才行，比如説它現在只有最近鄰相互作用，我們再來加個次近鄰相互作用。

模擬器的作用就在於此，可以人工調節模型形式和參數。最終，搗鼓來搗鼓去，我們就有可能理解高温超導，以及很多其他神奇的現象，甚至發現現在還完全沒有想到的神奇現象。

最後，我們再來從量子計算的角度來談談這項工作的意義。我以前做過很多量子計算的科普，例如同樣是科大團隊的“九章”量子計算機系列。量子計算跟量子模擬可以説非常相近，都是用量子實驗來解決數學問題。如果要説區別的話，就是量子計算處理的數學問題是有明確解析解的，只是這個解析解對經典計算機來説計算量過大，在正常的時間內算不出來，而量子模擬處理的數學問題沒有解析解。

九章光量子計算機

量子計算近年來實現了一個重要的里程碑，叫做量子優越性（quantum advantage），即對於某些數學問題，量子計算機超越了最強的經典計算機。對於九章系列，這個數學問題叫做玻色子取樣。還有谷歌的“懸鈴木”和科大的“祖沖之二號”也實現了量子優越性，它們處理的數學問題叫做隨機線路取樣。但這兩個數學問題，本身都還沒有找到實用價值。它們其實就是為了實現量子優越性而造出來的問題，因為它們天生就非常有利於量子，不利於經典。但無論如何，這是一個了不起的里程碑，因為它説明，量子計算機確實有可能比經典計算機強。

祖沖之二號超導量子計算機

我們現在會説，量子計算與量子模擬的發展有三個階段的重要目標。第一階段就是量子優越性，這個已經實現了。第二階段是用專用的量子模擬機解決重要的科學問題，例如求解哈伯德模型，這是當前的主要目標。第三階段是通過量子糾錯等技術，實現通用的、容錯的量子計算機，這是長期的遠景。

在這樣的圖景下，科大團隊最近的工作可以稱為第二階段的一項里程碑性進展。它還沒有把費米子哈伯德模型的低温相圖完全探索出來，但已經為這項目標、尤其是為理解量子磁性在高温超導中的作用提供了工具。這就好比打開一個寶庫的大門，前面有多少寶藏令人無比期待。

最後，我們需要説明一下，這樣看似科學上的一小步，背後是許多人的長期艱辛努力。如果從2011年陳宇翱回到科大工作，跟潘建偉討論把用超冷原子模擬哈伯德模型作為目標開始，已經有13年了（用13年，抵達量子模擬無人區 | 賽先生）。從姚星燦2017年擔任科大教授，開始指導學生以來，也已經有7年了。這篇文章的共同第一作者王宇軒同學博士讀了8年，他的博士學位還沒拿到就開始作博士後，現在博士後都快出站了，然而博士學位還沒拿到呢！因為他唯一的第一作者文章，就是這篇，熬到今年才發表。

論文共同第一作者王宇軒

陳宇翱是我的科大師弟，年齡也比我小，但你看他的頭髮現在花白到什麼程度了，——我才不會説，這是因為他本來就少白頭！

2013年的陳宇翱

2022年的陳宇翱

2024年的陳宇翱（左）、潘建偉（中）和姚星燦（右）

如果説，理解這項工作的科學原理需要超越99.9999%的人，那麼你只要熱愛科學，支持科學，你就和99.9999%的人站在了一起。