寫給有志研究數學之人_風聞

數學的本質在於和諧。

——龐加萊

撰文 | 岡潔 （日本現代著名數學家、作家）

翻譯 | 林明月

我希望有志從事數學研究的人能先仔細體會這句話的含義。1912 年，龐加萊離世。數學在龐加萊成為數學界的權威之後才有了更清晰的闡釋。

龐加萊説的和諧是指內在的和諧，而非藝術中美的和諧。不過既然同是和諧，必有相通之處，再加上藝術中美的和諧比內在的和諧更易被人感知，因而要想窺探內在的和諧，不妨多親近藝術。

故可言，研究數學的過程即是提升內在和諧感的過程。下面我將舉例説明何為提升內在和諧感。我們一般將三次方程的解法稱為塔爾塔利亞解法。塔爾塔利亞在意大利語中指“口吃者”。三次方程的解法之所以被稱為塔爾塔利亞解法，是因為文藝復興初期，該解法的發現者在童年時遭遇戰爭，被入侵的士兵砍傷了舌頭，留下了説話困難的問題，因而後被人戲稱塔爾塔利亞。

一次我在數學研究中遇到三次方程，偏巧當時怎麼都想不起塔爾塔利亞解法，於是萌發了自己探索三次方程解法的念頭。三天後，我終於找到了與塔爾塔利亞不同的解法。雖説我的解法不及塔爾塔利亞解法巧妙，但我也算成功地另闢蹊徑了。仔細想來，塔爾塔利亞解法其實是一代數學天才用盡一生鑽研出來的方法。當時致力於尋找三次方程解法的數學家不止塔爾塔利亞一人，同時代的大多數數學家都在鑽研該問題，但只有塔爾塔利亞得到了命運的青睞。三次方程對於文藝復興時期的人而言，是一道不知何時才能解開的難題，但我為何僅用三天就可覓得解題之法？究其原因，不外乎是數學的和諧感在四百年的發展過程中變得更加深厚的緣故。和諧感的增加徹底改變了可能性即“希望”的選擇方式，因而我才能在短時間內破解三次方程的解法。故可言，提升和諧感才是數學的目標。

我感覺和諧感提升一級，解答速度可飛昇 30 倍，而如今數學的和諧感較塔爾塔利亞時代應擢升了三級。也就是説，如果現代人和塔爾塔利亞時代的人要解決同樣的問題，塔爾塔利亞時代的人花費的時間會是現代人花費的時間的三個 30 倍，即 27,000 倍。三天的 27,000 倍是 225 年。當然，這不是説塔爾塔利亞用 225 年解開了三次方程，而是指那個時代優秀的數學家們為解開三次方程花費的時間總和是 225 年。順帶提一下，塔爾塔利亞之後，數學家迅速攻下了四次方程的解法，但前進的腳步卻被五次方程攔住了。儘管尋求五次方程解法的道路坎坷，但許多天才數學家仍孜孜不倦地鑽研探索，直至 19 世紀，阿貝爾證明了五次方程用代數方法不可解。

首先大家應該弄清楚推動數學研究的智力是何種智力。答案可以參見龐加萊的著作《科學的價值》。龐加萊在書中呼籲大家應該仔細觀察數學研究中取得進展的瞬間，並從切身體驗中總結出推動數學研究進展的智力所具備的兩大特徵，即“短時間內完成”和“沒有疑惑”。只有具備上述特徵的智力才稱得上是數學研究中不可或缺的智力。

那麼應該如何培養和提高該智力呢？眾所周知，提高數學能力必須鍛鍊大腦前額葉，可是正確有效的鍛鍊方法卻未受到重視。例如鍛造日本刀最好採用冷熱交替的方式。而龐加萊所説的智力，也多活躍在大腦的“冷卻期”。

就拿我來説吧。中學時每次數學考試做完題後，我都會仔細檢查答案，反覆確認無誤後再交卷。可往往交卷後離開教室的某一瞬間會突然意識到：“糟糕！那道題寫錯了。”最後只能灰頭土臉地走回家。我時常出現這種情況，相信大部分人都有類似的經歷。走出教室後精神開始放鬆，在這種狀態下開始工作的智力正是大自然的純粹直觀。在我們通過努力而實現了內心純淨的瞬間，也幫助智力恢復了活動，所以才會出現幡然醒悟的反應。數學上的發現離不開這種智力的活動。只是當我們在檢查答案對錯時，大腦中工作的不是這種智力。

但是現在我們的大腦長期處於活躍狀態，很難進入冷卻期，因而大腦前額葉彷彿被放置在持續加熱的鐵鍋之中，陷入過熱，從而導致精神達不到和諧。其危害甚大，甚至可以影響人的相貌。最近我仔細觀察了正值舞勺、豆蔻之年的少男少女，發現他們的鼻型發生了非常明顯的變化。究竟原因，正是因為當下的教育方式給予了大腦前額葉不間斷的微弱刺激。這讓我不禁聯想到副鼻竇炎的病症可能與鼻型的變化有關，這一觀點得到了醫生的認可。鼻型的變化自然會招致眼神上的改變，倘若情況繼續惡化，其影響範圍會逐漸擴展到人的面容，甚至還有可能導致出現“面無表情”的情況。若是日本文部省要進行知識普查，希望不要只停留在識字量的層面，而應把關注點轉至國民聯想力的調查，畢竟嗅覺器官的靈敏度與人的聯想能力息息相關。

長時間機械作業的工作人員非常容易出現大腦前額葉嚴重過熱的情況，例如錄入員。該類人羣的健康問題應該受到更多的關注，單位也應該為他們提供合理的休息時間。成人出現大腦前額葉嚴重過熱的情況後果相對可控，可知覺尚未發育完全的兒童若出現這類情況，後果不堪設想。讓兒童邊看琴譜邊看琴鍵練習鋼琴，以及早期的珠算教育，對此我都持懷疑態度。

換言之，只要大腦意識持續活動，就會導致大腦過熱，從而導致智力無法活動。這裏的智力指的是“自明”，也稱“無分別智”。相反，“分別智”是指主觀地認識世界，其潛力較無分別智相差甚遠。

前些日子，我去和歌山市演講，所住旅館的老闆娘問我：“我給我家兒子報了珠算、鋼琴、插畫和跳舞四個興趣班，要不要再報幾個？”當我瞭解到她的兒子只是剛入小學的兒童時，內心十分震驚。要知道，光學校的作業量就已大大超出了學生的能力範圍。老闆娘大概希望把兒子的時間安排得滿滿當當，不留一絲空白。但是人應該生活在草原上，而非夾縫中。人之所以能成長，正是因為有足夠的施展拳腳的空間。不縮短大腦過熱的時長，讓大腦得到合適的休息，如何喚醒智力？

我再舉一兩個親身經歷的例子吧。小學時，父親買了些香蕉形狀、香蕉口味的糕點回家。因為口味不錯，父親把剩下的糕點裝進了罐子，打算留着用來招待客人。我們小孩子也只有家裏來客時，才能沾光吃到一個，所以小時候我特別期盼家裏有客人來。只要看到有客人到家裏來，就立刻心花怒放。

平日糕點罐被束之高閣，我們只有在家中來客時才能分上一杯羹。正因為能吃到糕點的機會不多，所以糕點才分外可口。

但現在的情況是大腦前額葉處於持續發熱的狀態，猶如餐餐珍饈，終將食之無味。假使面前有一盤美味的糕點，初嘗時深感可口。可若獲取糕點易如拾芥，反而會令你感受不到它帶來的層層遞進的味蕾及感官刺激，糕點也不再似初嘗時那般可口。這樣的糕點與花店裏的鮮花無甚區別，因為唾手可得，所以不受珍視。同理，渴望閲讀的心情遠比真正的閲讀來得更加珍貴。

牡丹雖美，但花期至多不超過十日。牡丹花凋謝之時，花枝中亦已開始孕育新的花苞。再見花開需等來年。牡丹花期雖短，但花苞的蟄伏期卻相當地長。這就是自然。人也不例外，生命需要蟄伏期的存在。在此我奉勸有志從事數學研究的人切勿心急，請靜待花開。

那麼，數學對全人類的福祉、利益有何意義？過去數學的主要功能是計算，如今隨着科技的進步，機器已可取代人類完成該類機械性作業。照此發展下去，機器人或將能代替人類從事理論性研究。據此我們可知數學存在的意義是完成機器無法替代的任務，即曉以人類和諧的精神。

龐加萊去世距今正好 50 年。這 50 年一言蔽之，大戰頻發，即便期間少有休戰期，也非戰前即戰後。整個世界因為戰爭而喧囂不止，一片狼藉。可戰爭為何此起彼伏地爆發？

究其原因，我認為是在缺少和諧精神的前提下過度發展科學所致。1810 年左右，科學家在印度池沼中發現了霍亂弧菌。此時正值科學發展的黎明期，後百年間科技日新月異，卻招致世界大戰的爆發。儘管我們可以如數家珍地舉出科學進步帶來的諸多好處，例如殺死細菌降低了患病率，研發化肥促使大米增產等，但這只是表面現象，事實未必如此。鐵路等交通方式的發展，看起來確定給人類帶來了極大的便利。倘若眾人駕車而行，僅自己步行，那麼的確難以追趕；可若眾人皆無車可乘，均靠步行，也就沒什麼問題了。其實我認為無須過於重視交通工具的發展。

儘管科學發展令人類受益匪淺，但其招致的弊端又何嘗不是罄竹難書，其中光戰爭帶來的災難已叫人難以招架。如今世界上科學和機器兩個陣營相互搏殺，科學孕育了機器，但機器卻藐視科學。世間萬事萬物皆前途未卜。我認為當下的世間百態與希臘時代至羅馬時代的過渡期十分相似。羅馬文化發展至文藝復興時期有兩千年，我們的時代或許也會繼續經歷一個兩千年的“羅馬時期”吧。可當今文明僅在 50 年之中，就已經是兵連禍結，滿目瘡痍，實難想象再一個兩千年後，世間是何模樣。但毫無疑問，人類必會落敗離場。言及此，我想大家都已深知擁有和諧精神何等重要。

或許當下仍有人不解數學這門學科存在的必要性，但數學正是照亮黑暗的光。青天白日自不需要點燈相助，可如今世界已墮入茫茫黑夜，星辰之光已是救命稻草。夜色愈深，數學愈加重要。望諸位深思。

作者：[日] 岡潔

譯者：林明月

我們通常認為，數學是邏輯性的學問，而日本數學家岡潔先生卻認為，數學中最重要的是“情緒”。

情緒是影響心智與認知發展的重要因素，若不能培育“健全的情緒”，則很難真正理解數學和創造性是什麼。

本書從“情緒與心智”的角度，論述了認知發展、義務教育中的深層問題，同時闡述了對人性的細微考察與獨到理解，是一本影響了日本幾代人的經典名作。

本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈新知”，原載於《春夜十話》（人民郵電出版社出版，圖靈出品，2019年）。

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