羣論遇上博弈論_風聞

羣論與博弈論雖然抽象，但也很有故事，歷史上眾多傳奇數學家在這兩個領域做出了傑出貢獻。人們很早就知道要研究博弈論中的對稱性問題需要羣論，但用羣論研究博弈論仍是冷門方向。

撰文 | 曹志剛、楊曉光等

論文題目：On group structures of strategic-form games

論文地址：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2667325822002850?via%3Dihub

問：對於普通讀者而言，羣論和博弈論都是聽起來多少有些神秘色彩的學科領域。事實是這樣嗎？

答：很多人對於數學都有一種複雜的感情，就是既害怕又喜歡。害怕數學的抽象和困難，喜歡聽數學界的八卦和故事。羣論和博弈論這兩個領域都是非常典型的例子。而這種既愛又怕的複雜矛盾心理很容易讓人着迷併產生某種神秘感。如果你對這種抽象的論證沒感覺的話，不妨嘗試回憶一下暗戀某個人的感覺。所以説數學是我們暗戀的絕佳對象，因為她美麗且高冷，永遠得不到從而永遠神秘。

羣論和博弈論比較抽象比較難就不多説了，為什麼有故事呢？因為他們的主要創始人，伽羅華、阿貝爾、馮諾依曼以及納什等，都不是普通人，都有非凡的故事吸引着我們。所以羣論和博弈論都是自帶流量的。

問：博弈論和羣論這兩個自帶流量的領域能發生什麼有趣的化學反應嗎？

答：正如簡介中所提到的，早在1944年出版的博弈論的開山之作《博弈論與經濟行為》中，馮諾依曼和摩根斯坦就説過，要真正理解清楚博弈論裏的對稱性問題，多少得用一點羣論（“A real understanding of the nature and structure of symmetry is not possible without some familiarity with (at least) the elements of group theory. ——von Neumann, Oskar Morgenstern, 1944.”）。我們嘗試用 Midjourney 畫了一副伽羅華與馮諾依曼決鬥魔方的圖片展示這兩個領域的交叉（見圖1）。

對稱性對於博弈論的確很重要，因為對稱可以簡化問題使得我們把主要精力用於分析核心矛盾。比如博弈建模中經常假設的同質性就是一種簡單的對稱；表示單種羣演化博弈的矩陣博弈也是對稱的，因為我們假設種羣內的個體都是同質的；對稱性也是合作博弈中經常使用的公理。

羣論在博弈論中很早就引起了關注。除馮諾依曼和摩根斯坦外，納什1951年的經典論文也用羣論證明了一個比我們熟知的結論更強的結果：有限博弈不僅一定有混合策略納什均衡，其實還有一個滿足原博弈對稱結構的“對稱均衡”。

對稱和羣論還可以用來建模焦點均衡。由諾獎得主謝林提出的焦點均衡是博弈論中的一個基礎概念。我們知道謝林是罕見的不使用數學研究博弈論的大家。焦點均衡是一個展示其研究風格的絕佳例子。這是一個對多重均衡進行精煉的基本思想，但是其嚴格定義很難用數學形式化表達。奧地利著名博弈論學家Alós-Ferrer與合作者在2013年發表於 Journal of Economic Theory 的文章嘗試用對稱性對焦點均衡進行了嚴格定義：焦點均衡就是所有均衡中最對稱的那個。

所以從邏輯上來講，博弈論和羣論理應碰撞出重大的基礎性研究成果。但是很遺憾，歷史和邏輯並不總是統一的。博弈論和羣論的交叉，或者更確切地説用羣論來研究博弈論，是一個非常冷門的研究方向，80年來實質性進展屈指可數。

圖1 羣論遇上博弈論

問：有哪些基本事實可以説明用羣論研究博弈論很冷門？

答：目前關於什麼叫對稱博弈這一基本問題，教科書和學術界都沒有完全標準的答案。幾乎所有教科書中給出的定義都屬於狹義對稱博弈。由於策略的名字在狹義對稱博弈中起作用，這顯然不能令人滿意。比如按照此定義，性別大戰不屬於對稱博弈。但是隻要把“歌劇”和“足球”兩種選擇的名字在一個參與人中做一個對調，我們就能發現性別大戰也是一種對稱博弈。諾獎得主Selten和Maskin等在上世紀八九十年代的研究中用到的對稱博弈概念也不能包含性別大戰。

問：你們前期在此領域有哪些相關成果？

答：博弈論中很多經典的例子，比如囚徒困境、性別大戰，以及硬幣匹配博弈，都有一定的對稱性。但是按照我們教科書中對對稱博弈的定義，只有囚徒困境是對稱的，性別大戰和硬幣匹配博弈都不是。那麼如何嚴格定義進而充分理解這些直觀上不同的對稱呢？

我們2018年發表於Mathematical Social Sciences 的工作發現可以使用對稱羣定義三種不同的對稱博弈：普通對稱博弈，重命名對稱博弈以及命名無關對稱博弈（圖2）。普通對稱博弈就是狹義的對稱博弈，命名無關對稱博弈藉助的是納什曾經使用過的對稱羣，而重命名對稱博弈是我們提出的一類全新的對稱博弈。教科書都會講到的囚徒困境、性別大戰和硬幣匹配博弈恰好是這三類對稱博弈的典型代表。

圖2 三種不同的對稱博弈

問：本文有什麼主要貢獻？

答：本文是我們前期工作的自然延續。我們前面研究了給定一個博弈，用什麼羣來刻畫不同的對稱性。本文研究瞭如下的逆問題：對於一個置換羣，它什麼時候有可能成為某個策略博弈的普通對稱羣，什麼時候可以是命名無關的對稱羣？我們發現Sudholter等在2000年發表於Journal of Mathematical Economics 的論文中提出的“覆蓋羣”的自然推廣恰好是充分必要條件。在此基礎上我們進一步研究了策略博弈對稱羣的更多數學結構。

以上內容節選自期刊Fundamental Research 2024年第3期發表的文章“Z. Cao, G. Li, Z. Tan et al. On group structures of strategic-form games, Fundamental Research 4(3) (2024) 540-549.

主要作者簡介

楊曉光 中國科學院數學與系統科學研究院研究員。國家傑出青年科學基金獲得者、中國系統工程學會理事長、《系統工程理論與實踐》主編。主持國家自然科學基金重大項目等課題，曾獲復旦管理學傑出貢獻獎等榮譽。

曹志剛 北京交通大學教授。中國“雙法”研究會智能決策與博弈分會和中國運籌學會博弈論分會副理事長、中國系統工程學會和中國信息經濟學會副秘書長。主持國家自然科學基金優秀青年科學基金等項目。

本文經授權轉載自微信公眾號“Fundamental Research”，原題目為《Fundamental Research｜楊曉光等：羣論遇上博弈論》。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。