再議量子理論的表述形式與詮釋_風聞

量子力學建立至今已達百年，關於量子力學仍存留許多困惑與爭議。我們注意到可能的原因是狀態矢量表示理念的不一致，以及混淆了不同的波函數概率詮釋。我們認識到，堅持把狀態矢量表示為無量綱的對象，認清波函數的薛定諤、玻恩和狄拉克各自詮釋的不同以及薛定諤、玻恩的概率詮釋可以經由狄拉克完備性關係聯繫起來，認識到概率行為出現在無量綱的態矢/波函數與決定性的狀態方程之外，則可以消除不少關於量子力學的誤解。

撰文 | 汪克林 (中國科學技術大學近代物理系)、曹則賢 (中國科學院物理研究所)

選自《物理》2024年第7期

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導 言

量子物理的誕生揭開了近代物理學發展的新篇章。自1924年玻恩在文章中造了量子力學 (quantenmechanik) 一詞[1]，到1930年狄拉克出版了《量子力學原理》[2，3]，馮·諾伊曼1932年出版了《量子力學數學基礎》[4]，量子力學的大致框架得以建立。根據量子力學理論，對物理體系的描述包括物理量算符以及量子態矢兩個要素，此可同數學中的線性算子結合矢量空間的理論框架相類比[3，4]。1939年，狄拉克又為量子狀態矢量引入了bra-ket的簡化標記，即符號< |和| >，極大地簡化了量子力學的計算[5]。狄拉克的量子力學非常重視表示理論，《量子力學原理》第四版的前三章都是在介紹表示理論。至此，量子力學發展成了一個系統的也是具有一定數學嚴謹性的理論體系。量子力學理論至今已經走過整整一個世紀，期間出版的量子理論著述汗牛充棟。這些論著除了包含作者們各自的觀點以外，其表述大體上都沒有脱離狄拉克的《量子力學原理》和馮·諾伊曼的《量子力學數學基礎》所設定的框架。

量子物理的進展給物理學各領域帶來了顯著且深刻的進步。與此同時，“量子理論是否是一個完善的理論體系”的爭論卻一直持續不斷。持負面觀點的代表人物是愛因斯坦，主要論點見於1935年以EPR悖論而聞名的三人合作論文[6]。此派觀點認為量子理論中包含不確定性不符合決定論的精神，其關於物理實在的描述是不完全的。有趣的是，玻爾同年發表了同名論文，認為量子力學滿足完備性的所有理性要求 (seem to fulfill all rational demands of completeness) [7]。這也是所謂的愛因斯坦—玻爾論爭的片段之一，這個所謂的世紀之爭包含諸多似是而非的內容[8—11]。

量子力學中的動力學方程是決定論的，滿足因果律，但這並不能消除愛因斯坦等人的質疑。他們質疑的是狀態表述與詮釋中所隱含的不確定性。既然按照決定論的思想微觀客體在給定時刻的狀態是確定的，那就不應含有概率特性，更不應該依賴於是否被觀測。一句話，量子力學的概率來自哪裏？另一方面，量子物理的實驗結果確實具有概率的性質，或者説，概率論的語彙較好地表達了量子物理的實驗結果。於是，就出現了另一種廣泛流行的觀點，認為根據已有的實驗事實可認定愛因斯坦們關於量子力學之完備性的質疑是不成立的，所謂的量子理論的世紀之爭應該算早已落下了帷幕。

筆者注意到，關於量子態矢的觀念以及波函數的（概率）詮釋等量子力學基本內容實際上還是存在一些含混之處。只有將這些內容澄清之後，一些爭議性的內容才能得到更清晰的理解。

02

波函數的薛定諤詮釋、玻恩詮釋與狄拉克詮釋

原子的發光機制被歸結為電子的輻射躍遷，自然會認為發光強度與電子躍遷的概率成正比，於是概率順理成章地就成了量子理論的本徵語言。在1926年薛定諤的波動力學出現之後，關於薛定諤的波函數實際上存在多種詮釋，後繼文獻引用時常常會混淆不同説法。這也是量子力學論述中存在一些為爭論而來的爭論的一個起因。

波函數的概率詮釋有多種，包括薛定諤本人的、玻恩的、馮諾伊曼的以及Born—Wiener的。此處先澄清薛定諤本人的説法與玻恩詮釋之間的不同。最重要的是，我們要指出這兩者是經由狄拉克的完備性關係相聯繫的。這樣，它支持了我們的量子力學態矢量必須是無量綱的觀點[12]，而這恰是澄清一些量子力學爭論的關鍵。

在薛定諤1926年構造波動力學的文章中[13]{接下來這一段中符號依照原文，略有些亂，請特別關注波函數複共軛的寫法}，

照薛定諤的觀點，狀態的波函數本身就是概率性的存在；而在玻恩那裏，概率性是當把狀態分解成本徵函數時，在馮·諾伊曼的測量理論那裏這就是測量過程，概率才表現出來的。狄拉克在1927年也討論過量子動力學的詮釋問題[14]。狄拉克的結論是，可以假設一個系統的初始狀態確切地決定系統接下來的狀態。概率的觀念並不進入力學過程的最終描述；只當一些帶概率的信息塞到你手裏時，才會得到帶概率的結果 (The notion of probabilities does not enter into the ultimate description of mechanical processes；only when one is given some information that involves a probability can one deduce results that involve probabilities)。EPR文章沒有參考文獻[6]，不知道他們當年是否注意到了狄拉克的這一觀點。

廣為流傳的愛因斯坦的“上帝不擲骰子”的説法，是一個掐頭去尾的引用。在1926年12月給玻恩的一封信中，愛因斯坦寫道：“無論如何我堅信，他 (上帝) 不擲骰子。3n-維空間裏的波，速度通過勢能 (比如橡膠帶) 操控…[Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der nicht würfelt. Wellen im 3n-dimensionalen Raum, deren Geschwindigkeit durch potentielle Energie (z. B. Gummibänder) reguliert wird…]”。這後半句恐怕才是愛因斯坦具體質疑的地方，即薛定諤的“n-粒子的行為由一個3n-維構型空間裏的波函數描述”的觀點。波函數以薛定諤方程規定的方式演化 (受勢能操控)，波函數決定體系的概率性表現。愛因斯坦是一個典型的概率思考者 (statistical thinker)，也許他質疑的是波函數的薛定諤詮釋而非物理世界的概率表現。認識到這一點，有助於理解EPR一文中愛因斯坦的論點。

試圖消除這樣的概念不一致，令人費解。狀態表示忽而是無量綱的，忽而有量綱，難免會帶來一些歧義。我們傾向於認同狀態矢量都應該是無量綱的數學對象。在具體的表示裏，波函數可以是有量綱的，但似也應改造為無量綱的。狀態矢量與波函數是對應的關係，即

把狀態表示為具體的波函數，是一個從抽象符號表達到用表示者表達的過渡。

依據狄拉克的觀點，量子力學語境中，微觀系統的狀態不再是由一組物理量的數值表徵的，而是由量子態矢表徵的。態矢的演化遵守決定性的動力學方程 (薛定諤方程)，它符合決定論。我們想強調，概率性是表現層面的問題，出現在決定物理量 (的組合) 以獲得系統實在性認識的層面上。概率的出現自有其具體的機制。這樣，薛定諤、玻恩、狄拉克、馮·諾伊曼等人關於量子力學的系列思想便表現出了一致性。愛因斯坦的疑慮與1935年的非完備性論證也便容易理解了。

03

量綱混亂的消除

在量子力學中，表示動力學系統狀態的是希爾伯特空間裏的矢量。希爾伯特空間是特殊的線性空間，狀態矢量只要滿足線性空間的一般性質，比如完備性關係，即可。就有限維空

們認識到相空間甚至存在規範自由度的問題，詳細討論見我們此前的文章[12，18]。如何參照外爾當初引入規範場論的思路將這個思考引向深入，值得進一步研究。

我們認為狀態矢量以及對應的波函數應該是。且只能是無量綱的，這樣可以使得量子力學的表示理論自身以及與其它理論內容一同參校時是相洽的、協調的，可以實現概念上的一致性。堅持使用無量綱狀態矢量表示是可行的、有用的。歷史上，無量綱的狀態矢量曾溜進了量子力學，只是未深入討論其意義。認識到這裏有量綱問題，可以獲得對問題更深刻的認識。

堅持狀態矢量是抽象數學概念，狀態矢量以及波函數都是無量綱的，對於分立狀態情形這

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量子理論世紀之爭的深度剖析

在對量子態矢/波函數的特性以及關於波函數的不同概率詮釋做了一些澄清之後，必然會帶來一些新的見解和認識。現在，可明確以下幾點：(1)量子力學用以描述物理系統狀態的是希爾伯特空間裏的狀態矢量，系統隨時間的演化由狀態矢量應滿足的量子力學運動方程給出；(2)量子力學的狀態矢量/波函數是無量綱的存在；(3)關於波函數的概率詮釋，薛定諤的與玻恩的有概念上的不同，薛定諤的詮釋同玻恩的詮釋經由狄拉克的態矢完備性相聯繫。基於上述幾點展開分析，有助於釐清量子力學中的一些困惑以及爭論。結合具體案例的分析可以更直觀地觸及問題的實質。

4.1 事例一：兩自旋1/2粒子的糾纏態

在討論糾纏態時，一般文獻都會以自旋1/2粒子的二粒子系統為例。總自旋S=0的狀態矢量可表示為

4.2 事例二：一維外部自由度問題

事例一是關於微觀客體內部自由度的問題，下面再舉一個外部自由度的例子。為簡單起見

可見漲落不為零。除了位置期待值和漲落 (二階矩) 外，還可繼續計算所有的位置關於平均值的高階矩。這些不為零的位置高階矩意味着對系統作位置觀測時會觀測到一個在空間中分佈的波包。這也是量子理論發展初期由薛定諤提出的由位置波函數所表徵的波包概念。波包，也叫波列、波羣，是一個經典物理概念。薛定諤在其1926年的本徵值問題論文的第二部分首次在量子語境下將波包同粒子聯繫起來。緊接着他又試圖構造可等同於點粒子的波包[Erwin Schrödinger, Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik (從微觀力學到宏觀力學的絲滑過渡)，Die Naturwissen‐schaften14，664—666(1926)]。薛定諤用的是波羣 (Wellengruppe) 一詞，若説波羣的羣速度就好理解多了。

現在計算動量的期待值以及動量漲落，有

動量漲落不為零。更高階的動量關於動量平均值的矩也不為零。如前，這意味着當我們去對該狀態作動量觀測時，它表現為一個動量空間中的波包。

基於上述兩個事例的具體計算與分析可以認清如下幾點。

從(22)式看到，這是一個參量確定為(α, β)的無量綱的態矢，是一個屬於量子態矢空間的確定的矢量。這也是量子力學關於物理系統狀態所能給出的描述，如果非要説還有補充，那就是還有相應的物理量的算符表示。但是，當我們試圖去認知系統的物理性質，這裏是位置和與之共軛的動量，總是要通過觀測具體的某一 (組) 物理量來獲得信息。此在量子力學的理論中，表現為用力學量的算符作用到狀態矢量上[16]。如果是去作位置的觀測，假設電子與光子之類的微觀系統能泄露自身的位置故沒有節外生枝，則觀察結果表現為座標空間的一個波包。如果是去作動量的觀測，則觀察結果表現出一個動量波包。

由此我們看到，微觀客體客觀存在的狀態原則上應是(22)式那樣的量子態矢空間中的一個確定的狀態，是一個抽象的存在，它既不是位置波包也不是動量波包。或者説，一個物理狀態的態矢，取決於後繼的操作才表現出具體的 (有量綱的) 物理量，構成我們關於物理狀態之實在性的認識，比如是一個空間波包或者動量波包。狀態由無量綱的函數表示，而由它提取到的物理量是有量綱的。

基於事例二的討論我們可以給出這樣的觀點，量子體系的狀態事關客體的存在性，它與觀測無關。至於什麼是客體的實在性，則指的是去檢驗物理系統的存在時通過各種物理操作所獲得的信息總和，包括前面已討論的位置波包，動量波包，以及其它可能存在的信息。

現在回頭來討論第一個事例並回答在那裏留下的問題。相較於第二個事例，我們在第一事例的討論中實際上只涉及到描述該系統狀態的態矢，即只論及了該系統的存在性，而沒有涉及構造系統實在性的信息獲取過程。如果要談觀測，必須確定要觀測的是什麼物理量，以及採用什麼樣的實驗裝置與手段，比如施加外場。

則在外磁場取z-方向的實驗安排下觀測的結果對應兩隻貓都同樣處於又死又活的狀態。可見這種附加的詮釋是不合適的。

關於原子物理實驗，基本上都是光和電子在其中扮演信使的角色。所謂對物理現實的測量，很大程度上也基於我們對光和電子的認識，包括對光與電子的測量，這實際是一個迭代的過程。概率性表現出現在獲取實在性的過程中。是在外部強加的提取過程中表現出了的概率，這大概就是狄拉克所謂的“概率給到你手上”。實際上，因為現實的空間分辨極限遠大於電子之類粒子的尺度，關於電子的位置波包之類的概念僅停留在理論或者表述層面，它不是實驗意義上的事實，也不可能在實驗層面上被證實。

所謂的測量，其中一個關鍵因素是對體系的擾動。狄拉克的量子力學擾動理論處理了修改運動狀態的和原有能級不變但引起躍遷的兩類擾動，後者顯含時間t。但是，對於解析自旋這種內稟自由度的測量來説，僅僅認為擾動修改了運動狀態 (解除自旋能級簡併) 似乎還不夠。一個明顯的事實是，關於自旋問題的處理迅速引入了泡利方程，而那裏的波函數是兩分量的[21]。這時的波函數概率詮釋，還牽扯到在兩個自旋本徵狀態上的分配。此處典型的是，我們基於已有理論與實驗觀察在更高的層面上構造了一個新的理論。

05

小 結

量子系統存在的狀態由希爾伯特空間中的態矢唯一地確定，態矢的演化方程是決定性的。我們認為應當堅持態矢/波函數採取無量綱的形式。確定了待測的物理量 (算符)，必要時還要確定獲取該物理量的實驗方案，即當存在的狀態矢量、物理量算符以及實驗方案都確定下來時，才能談論關於體系的測量結果，構建所關切對象的實在性。存在性與實在性具有不同的含義。歷史上的一些關於量子力學詮釋的爭論，混淆了這兩個基本概念是重要原因之一。愛因斯坦看重的量子描述的確定性，應該在存在性的意義上加以理解。愛因斯坦的“上帝不擲骰子”所質疑的也是“波函數為構型空間中演化的函數”此一理念，而非是質疑量子力學的概率特質。關於量子力學的概率特質，可以歸於實在性的範疇，如狄拉克所言，只當一些帶概率的信息塞到你手裏，才會得到帶概率的結果。關於波函數存在多種詮釋，在談論量子力學問題時不宜混淆。馮·諾伊曼測量理論中的概率是同玻恩的概率詮釋相一致

參考文獻

[1] Born M. Zeitschrift für Physik，1924，26：379

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics，1st edition.Oxford University Press，1930

[3] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics，4th edition. Oxford University Press，1958

[4] von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (量子力學數學基礎). Springer，1932

[5] Dirac P A M. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1939，35 (3)：416

[6] Einstein A，Podolsky B，Rosen N. Physical Review，1935，47(10)：777

[7] Bohr N. Physical Review，1935，48 (8)：696

[8] Beller M. Quantum Dialogue. University of Chicago Press，1999

[9] Kumar M. Quantum—Einstein，Bohr and The Great Debate About the Nature of Reality. Icon Books，2009

[10] Howard D. Revisiting the Einstein-Bohr Dialogue (來自互聯網)

[11] Albert D Z. Quantum Mechanics and Experience. Harvard University Press，2000

[12] 汪克林，高先龍，曹則賢. 物理，2023，52(9)：625

[13] Schrdinger E. Annalen der Physik，(I)，1926，79：361；(II)，1926，79：489；(III)，1926，80：437；(IV)，1926，81：109

[14] Dirac P A M. Proc. R. Soc. Lond. A，1927，113：621

[15] Born M. Zeitschrift für Physik，1926，37：863

[16] von Neumann J. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen，1927：1

[17] Dirac P A M. Proc. Roy. Soc. London Ser. A，1927，114 (767)：243

[18] 汪克林，高先龍，曹則賢. 物理，2021，50(3)：177

[19] Schrödinger E. Naturwissenschaften，1935，23 (48)：807

[20] Albert D Z. Quantum Mechanics and Experience. Harvard University Press，2000

[21] Pauli W. Zeitschrift für Physik，1927，43 (9-10)：601

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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