表面是法官，私下是數論學家，斜槓公務員拋下綿延三百年數學難題_風聞
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皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat, 1601—1665）的任何傳記一定都很短。他的一生跨越了17 世紀的前三分之二，但説實話，他的一生相當乏味。
他從沒有在大學執教，也沒有在某家皇家科學院佔據一席位置。因為身兼律師和地方法官的職位，也就是法國的公務員，所以費馬在有生之年沒有發表過什麼東西，而是通過信件以及沒有發表的手稿來傳達他的想法。
拋下一句“我確實已經找到它的極好的證明，但是頁邊太窄了，寫不下”，這位“業餘數學家”給後人留下了一道跨越三個世紀的難題。
撰文 | [美] 威廉·鄧納姆
譯者 | 馮速
01
當上公務員的文科生，只愛數學
17 世紀初，皮埃爾·德·費馬出生於法國南部的博蒙–德–洛馬涅（Beaumont de Lomagne）。他的父親是一名富裕的商人和城鎮執政官，在這樣相當安適的環境下，年幼的皮埃爾度過了他的童年。他接受了良好的教育，開始主要是學習古典語言和古典文學，隨後進入大學專心學習法律。
經過這樣的教育，他在圖盧茲城的最高法院當上了一名文職官員，這一職位除了收入穩定之外，還使得費馬有權在他的姓前加一個“de”以顯示低等法國貴族的身份。
作為一名傑出人物，費馬婚後與他的妻子生下了五個孩子。他在天主教教會擔任很多重要的職位，他是一名虔誠的教徒。據我們所知，他的一生都是在他的出生地方圓一百英里（約 161 千米）以內度過的。這位法國人從來沒有去過巴黎。
總之，費馬的生活圈子相當有限，而且他的生活相當安定——事實上非常安定，因此他不必做很多事。這就暗示他的工作強度不是很大，因此為他寫拉丁詩或者古希臘文獻的學術評論提供了時間。
同時擁有充裕的時間和超凡的智慧，費馬的經歷使人想起了大約兩個半世紀之後的一位名叫愛因斯坦的年輕人，後者在瑞士專利局的乏味工作也給了他充足的時間去發明他的相對論。
費馬真正喜歡且更有熱情的不是古典詩和教堂的事務，也不是法律，而是數學，他對數學的貢獻影響深遠。在很多課題的發展中，他都起着重要的作用，遠不只本書中描述的那有限的幾個課題：數論、概率和微分。
正如前面所提到的那樣，他沒有發表他的數學發現，他下面的言論可能表明了其理由：“我非常不善於書寫我的證明，因此我滿足於發現真理，等將來我有機會去證明它們時，我能知道證明它們的方法就足夠了。”
還好，費馬能與歐洲的其他學者通過書信交流他的想法。就這樣，這位來自圖盧茲的法官成了一位不知疲倦的通信者，他的信件為我們提供了了解其數學研究工作的最佳信息。
這些信件的收信人包括笛卡兒、帕斯卡、克里斯蒂安·惠更斯、約翰·沃利斯和馬林·梅森等，讀起來就如同看到了跨越 17 世紀前 50 年的一本科學“名人錄”一樣。從這些人中，費馬瞭解了在巴黎、阿姆斯特丹和牛津發生的事情；他也向眾人傳達了自己了不起的數學發現。
在他面前，笛卡爾承認失敗了
他最引人注目的成果是如今被稱為解析幾何的公式及其對概率論基礎所做出的貢獻，解析幾何的公式出現在 1636 年的一篇名為《平面與立體的軌跡引論》的論文之中，而他對概率論的貢獻則都包含在1654 年以來的書信中。
由於這一貢獻，費馬的名字和他的合作者布萊斯·帕斯卡（1623-1662）的名字寫到了一起。在這種廣泛的書信來往中，他們總結想法，提出批評，促使那時還沒有引起人們注意的概率論成為數學的焦點。很多他們的共同研究成果直接或間接地進入我們在第 B 章中所説的雅各布·伯努利的《猜度術》中。
説到解析幾何，費馬的名字還與另一位數學家聯繫在一起，儘管這一次這位數學家不是合作者。這個人就是勒內·笛卡兒，他獨立設計了自己的解析幾何體系。他們二人都抓住了把當時流行的兩大數學思想——幾何和代數——結合起來這一極具想象力的想法。（第 XY 章將對此話題做進一步的討論。）
很遺憾，如往常一樣，費馬從來不發表他的論文，而笛卡兒已於1637 年在其具有影響的《幾何》一書中告知全世界他的發現。由於最先發表成果，所以笛卡兒接受了公眾的讚美，並且他的名字從此以後永遠嵌入術語笛卡兒平面之中。如果我們這位法國地方法官能夠早一點發表研究成果，也許今天數學家們談論的就是費馬平面了。
笛卡兒贏得了這場戰役，但是肯定沒有打贏整場戰爭。事實上，笛卡兒對數學的熱情不及費馬，費馬對他協同創造的解析幾何還做出了很多其他很有意義的貢獻，但常常不被人們注意。貢獻之一就是費馬找到了特定曲線的極大值和極小值，這也是他戰勝笛卡兒的一個例子。
這個問題聽起來很熟悉。這是我們在第 D 章中所討論的微分學的重要目標之一。我們把確定極值所必要的公式化過程歸功於萊布尼茨和牛頓，但是我們忘了提到，早在幾十年前費馬就已經設計了非常類似的方法。這些方法出現在他的《求極大值和極小值的方法》之中，這是另一個非常傑出但同樣沒有出版的成果。
17 世紀 30 年代末，費馬對極大值、極小值和切線的處理方式使他與笛卡兒發生了衝突。笛卡兒發明了自己的處理切線問題的技術，並斷言：“這不僅是我所知道的幾何中最有用、最一般的問題，而且是我一直以來想要知道的。”然而事實證明，甚至對初級的例子，笛卡兒的方法也很笨拙。費馬幾乎毫不費力就能做到的一切，笛卡兒卻需要一頁一頁地進行令人崩潰的代數計算。
這件事曾一度引發了一場競爭，因為笛卡兒聲稱他的方法更好。然而不久，就連笛卡兒本人也明白了費馬採用了更好的途徑。笛卡兒承認了自己的失敗，這對他來説是極其少見的事情。這場競爭在那個時代兩位最偉大的數學家之間留下了抹不去的傷疤。
因為費馬非常簡單地解決了極大值和極小值問題，所以皮埃爾–西蒙·德·拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace, 1749-1827）稱他是“微分學的真正發明人”。一位法國數學家對另一位法國數學家的評價如此誇張，顯然拉普拉斯是被一股失控的民族情節衝昏了頭腦。儘管費馬有如此的遠見，但是我們能引證幾條理由説明為什麼他不應該享有如此大的榮譽。
其一，費馬的技術只適用於某些特定的曲線族：它們的形式是f(x) = xn 和 g(x) = 1/xn，有時候，前者稱為“費馬拋物線”，後者稱為“費馬雙曲線”。微積分的真正締造者應能處理更復雜的函數，正如萊布尼茨説的那樣，“不受分數或者無理量的限制”。
更重要的是，費馬沒有發掘到所謂的微積分基本定理，這是我們將在第 L 章中探討的這一學科偉大的大一統思想。這一定理如此重要，甚至讓沒有發現它的人都自動失去了聲稱自己“發明”了微積分的資格。應該提及的是，牛頓和萊布尼茨顯然非常清楚地看到了這個基本定理。
因此，現代數學史學家通常不把微積分締造者的稱號授予皮埃爾·德·費馬，但是幾乎所有人都承認他離成功不遠了。
所以我們承認費馬在分析幾何、微分學和概率論中有很多重要的發現，並承認這些傑出的貢獻屬於這位“業餘數學家”。但是這一切只是一個序幕，費馬的聲望賴於他對數論的研究，其成就遠遠超越上面所述的任何成就。
正如我們在第 A 章中提到的那樣，歐幾里得和其他一流的數學家已經對這門學科做過研究，但是可以毫不誇張地説，現代數論源於費馬。對這位研究過希臘古典著作的法國學生來説，古代文獻點燃了他對數論的興趣。公元前 250 年丟番圖的《算術》就是最佳例證，這本著作的 1621 年譯本引起了費馬的注意。他認認真真地通讀了這本著作，並在他經常翻閲的書頁的空白處寫下了自己的評述。
03
表面是法官，私下是數論學家
對費馬來説，數學這門學科有着無限的魅力。他沉迷於整數，或者説他與整數的關係無比親密，而且，費馬有着不可思議的能力，能夠認出它們的特性，就如一個人認出老朋友一樣。表面上他是圖盧茲的一位受人尊敬的法官，但是私下，他是一位卓越的數論學家。
但是這名數學家處於不利的境地，因為他留下的東西幾乎沒有證明。邊頁註釋、誘人的提示，等等，這就是我們擁有的一切。後來的學者，特別是歐拉，試圖重建費馬的思維過程或者可能的推理路線。但是用 20 世紀數學家安德烈·韋伊（AndréWeil）的話説：“當費馬斷言他有了某個論斷的證明時，我們對這樣的聲明必須格外小心。”
比如出自費馬之筆的最著名的數論陳述——“費馬最後定理”，也很可能正是因為實在太難，它才贏得了這樣的聲譽。這個故事是從費馬研究古希臘文獻丟番圖的《算術》開始的，其中的課題還是兩個完全平方的和。在某些情況下，這樣的和本身可能就是一個平方。我們腦子裏能夠想到的例子可能是3^2+4^2=5^2或者 420^2+851^2=949^2 。
但是費馬沉思着，兩個完全立方的和也能夠是另一個完全立方嗎？此時，在《算術》的頁邊上，他寫道：“把一個立方分成另外兩個立方，或者一個四次冪，或者一般地任意高於二次的冪分成兩個相同次冪是不可能的。”
用符號表示的話，費馬説的是，不存在正整數 x, y, z,使得 x^3 + y^3 = z^3, x^4 + y^4 = z^4, x^5 + y^5 = z^5, 等等。他的一般結論是：如果 n ⩾3，方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解x,y, z。
就好像是在作弄後代的學者似的，費馬附加了可能是整個數學史中最著名的陳述：“我確實已經找到它的極好的證明，但是頁邊太窄了，寫不下。”
這就是他的完全叫錯了名字的“最後的定理”（last theorem）。首先“最後”不是指費馬生命中最後的猜測，而是表示在費馬的其他猜測都得到證明之後，這個猜測仍然沒有得到證明。另外，把這個猜測稱為費馬的“定理”也不妥當，因為他沒有給出證明。
很多年過去了，其他數學家也參與到這一證明之中。索菲·熱爾曼、勒讓德、勒瓊·狄利克雷、庫默爾等等都參與過這一證明，但進展緩慢。人們對這個問題的興趣一直持續到 20 世紀。到了 1909 年，人們的熱情又被點燃，原因是正確解將獲得100 000 德國馬克的獎金。對經濟利益的嚮往引發了最糟糕的結果，眾多貪婪的冒牌數學家跳了出來，錯誤的推理如洪流一般席捲了整個學術界。
有幸的是，數學家不會永遠被經濟利益驅使。一位帶着高尚動機的數學家就是格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）。1983年，法爾廷斯證明了，對於任意的 n ⩾ 3，費馬方程 x^n + y^n = z^n 至多有有限個不同解（排除一組解是另外一組解的倍數這類情況）。乍看起來，這個證明幾乎沒有什麼了不起的幫助。
法爾廷斯沒有排除這樣的可能性，即對某些指數來説，這個方程有 100 000 個解，這距離費馬的沒有解的斷言還太遙遠。儘管如此，法爾廷斯還是封死了一般情況下有無限解的可能性。因為這一證明，1986年在加利福尼亞州伯克利舉行的國際數學家大會上，法爾廷斯獲得了菲爾茲獎，這是數學界的諾貝爾獎。
在這本書首次付印的時候，數學家正在熱議一個非常有希望的新的費馬最後定理的證明，這是英國人安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）博士的證明。當時人們的熱情非常高漲，以至於這個故事已登載到《紐約時報》的頭版，而且被認為有充分的新聞價值。（數學界已經認可了懷爾斯博士的證明，費馬最後定理最終獲得證明。——譯者注）
到這裏，也許我們應該離開這位謙遜的法官——皮埃爾·德·費馬。在數學家中，他是一位令人敬畏的人物，他因研究古代大師的著作而開發出現代數學如此眾多的關鍵思想。在 1659 年給朋友的一封信中，老年的費馬還表達了這樣的願望：“也許子孫後代會感謝我向他們表明了，古人並非知道每一件事。”
本文經授權摘自《數學那些事：偉大的問題和非凡的人》。
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