波利亞的數學思想：解題是人類的最富有特徵的活動_風聞
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撰文 | 楊之
美國著名數學家、教育家喬治 ·波利亞（George Pólya），1887年12月13日出生於匈牙利的布達佩斯。早在中學時代，他就顯示出自己卓越的數學才能。他先後在布達佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數學、物理學和哲學，於1912年在布達佩斯獲厄特沃什·羅蘭大學（Eötvös Lorand University）博士學位。1914年，他來到蘇黎世，在瑞士聯邦理工學院任教，至1928年成為該校正式教授，1938年任該校數理學院院長。1940年移居美國，先在布朗大學任教，1942年後，一直在斯坦福大學任教，1953年起至今，任該校退休教授。他已年近期頤，是當今在世年事最高的數學家兼教育家。（編者注：波利亞於1985年去世。）
作為一名數學家，波利亞在眾多的數學分支（函數論、變分學、概率論、數論、組合數學）以及計算數學和應用數學領域中都頗有建樹。以他的姓氏命名的波利亞計數定理是近代組合數學的重要工具。為慶賀他75歲生日而專門出版的《數學分析及有關論題的研究——獻給喬治·波利亞的論文集》[1]熱情洋溢地稱頌了他五十年來在數學界所起的領導作用。這本論文集中列出的波利亞已經發表的二百多篇論文的題目，反映了他對數學所作出的巨大貢獻。
作為一名教育家，波利亞有着豐富的數學教育思想和精湛的教學藝術。他對數學思維一般規律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻。從青年時代起，波利亞就對數學中的發明創造問題感興趣。面對一個數學定理和它的巧妙證明，他問自己：數學家是怎樣發現這個定理的？是什麼促使數學家想到了這個證明？這些問題推動他閲讀了大量的數學歷史文獻，如歐幾里得、阿基米德、帕普斯、笛卡爾、牛頓、伯努利、高斯、龐加萊，尤其是歐拉的手稿，深入探索這些著名數學家發現數學真理的過程和經驗。同時，他利用在各級學校任教的機會，有目的地觀察和研究學生學習和解題的過程，蒐集第一手資料，並與心理學家合作，在斯坦福大學心理學實驗分所進行一系列實驗，致力於解題過程中心理特徵的觀察研究。通過這些觀察研究，波利亞形成了對數學，對數學研究和發現，對數學教學、學習和解題的獨到見解，總結出了數學研究的一般規律，提出了合情推理（plausible reasoning）的邏輯規則。這些成果都生動地總結在他的世界名著《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）[2]、《怎樣解題》（How to Solve It）[3]、《數學的發現》（Mathematical Discovery）[4, 5]之中。這三部著作相繼出版後，受到廣泛的歡迎和推崇，被譽為第二次世界大戰後出現的經典著作。
我國早在1948年，就由中華書局出版了周佐嚴譯的波利亞的著作《怎樣解題》，但影響很小。五十年代和六十年代，一些數學雜誌上曾發表過介紹波利亞解題思想的文章。1965年出版了他與哈代（G. H. Hardy）、李特伍德（J. E. Littlewood）合著的《不等式》(Inequalities) [6]的中譯本。可是由於某種原因，波利亞的前述三部經典著作的中譯本或解放後的重譯本直到1980年才開始陸續出版：1980年出版了《數學的發現》第一卷中譯本，1981年出版了第二卷中譯本，1982.年出版了《怎樣解題》重譯本，1984年出版了《數學與猜想》兩卷中譯本。此外，波利亞與塞格（G. Szegő）合著的另一本反映了他數學思想的世界名著《數學分析中的問題和定理》（Problems and Theorems in Analysis）[7]第一卷中譯本也於1981年出版，而第二卷將於今年同廣大讀者見面。無論怎麼説，這些著作中譯本的出版，説明我國數學界和教育界已經對波利亞的數學思想給予了充分的注意，而這些中譯本的出版，也必將對我國的數學研究和數學教學產生深遠的影響。
數學有兩個側面
數學是什麼？數學有什麼特點？雖然波利亞沒有從哲學角度來回答這些問題，但他對數學的看法有其獨到之處，聽來發人深省。
通常認為，數學是精密科學，它那從公理出發的論證嚴格的演繹體系令人歎為觀止，它那準確的結論簡直無可辯駁，但這只是數學的一個側面。波利亞認為[3]，“數學有兩個側面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，但它也是別的什麼東西。用歐幾里得方法提出來的數學看來像是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。這兩個側面都像數學本身一樣古老。但從某一點説來，第二個側面則是新的，因為以前從來就沒有‘照本宣科’地把處於發現過程中的數學照原樣提供給學生、或教師自己、或公眾。”他説[2]：“以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路。你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比。你得一次又一次地進行嘗試，數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。”
這樣，波利亞就肯定了觀察、實驗、歸納、類比、假設、猜測等這些在其他自然科學研究中常用的方法，在數學研究中也起着同樣重要的作用。事實上，作出過重大貢獻的數學家，如歐拉、高斯等，都非常強調觀察、歸納、類比在數學研究中的重要作用。波利亞在著作[2]中，引用這些數學大師的話作為各章的題頭語來強調這個觀點：
因為流行的觀點認為，觀察只侷限於能產生感性印象的具體對象，所以如果在通常稱為純粹數學的這門數學科學中，也認為觀察是一件極為重要的事的話，這看起來似乎頗為荒謬，如果必須把數僅僅看作是純理性的概念，我們就很難理解觀察和假想實驗怎麼能用於研究數的本質。事實上，正如我以非常充分的理由在此將要指出的那樣，今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察所發現的，並且早在用嚴格論證確認其真實性之前就被發現了。
——歐拉
我珍視類比勝於任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的。
——開普勒
甚至在數學裏，發現真理的主要工具也是歸納和類比。
——拉普拉斯
在數論中由於意外的幸運頗為經常，所以用歸納法可萌發出極漂亮的新的真理。
——高斯
這是歷史的寶貴經驗，這是在數學上獲得過偉大成就的大師們的心聲。由他們來公開地向人們展示這些通向數學發現的途徑，是特別令人信服的。事實上，任何實際做着數學研究工作的人都在自覺或不自覺地運用着這一套方法。
在著作[2]中，波利亞援引數學史上的實例，生動地向人們展現了這些數學大師們用觀察、歸納、類比等方法發現數學真理的過程，他對歐拉成功地用類比方法求得所有自然數平方的倒數之和這一史實評述道：“歐拉成功的決定性因素是大膽。從嚴格邏輯角度來回顧，他的做法是荒謬的。他把對某種情況來説尚未發明的法則應用到這種情況上了，即把關於一個代數方程的法則應用到一個非代數方程的情況中去。在嚴格的邏輯意義下歐拉的步驟是不允許採取的，但是他用了一門新興科學中最好的成就來做類比，而類比告訴他可以這樣做。”在嚴格邏輯意義下是荒謬的步驟導致了數學真理的發現，這體現了數學的兩重性。
承認數學的兩重性，即承認數學既是演繹體系又是歸納體系，既有完美的形式又有發展過程中的稚氣，既是證明的科學又是實驗的科學，這無論對於我們進行數學研究，還是對於數學教學和數學應用，都是非常重要的。波利亞本人就把他這種認識貫串於自己的數學教學實踐，貫串於對解題過程和數學方法論的研究，甚至貫串於他的一切著作中。
波利亞強調數學來源於實際觀察，不僅概念、定理、公式是由觀察資料中歸納出來的，就連證明的方法也是如此。他把在研究工作中對圖形、數、式子的觀察、變換、計算看作是一種實驗，並與動物學家對鳥類的觀察、地質學家對化石的研究、力學家所做的實驗相提並論。他還非常強調數學研究應當從天文學、力學、光學、化學以及生物學中吸取營養。他甚至在著作[2]中，闢“物理數學”專章來解釋這個問題。他説[3]：“數學問題經常受到自然界的啓發，更確切地説，是受到我們對自然界的解釋的啓發。也可以説，數學問題的解可以受到自然界的啓發，不過，物理學給我們提供的線索，往往不被我們自己所理會，如不討論物理研究的啓發和藉助物理解釋，那我們對數學問題的觀點就太狹隘了。”
02
人類的最富有特徵的一種活動
為什麼要學習數學？波利亞的回答是明確的[5]：“我們的任何一門學問都由知識和技能組成。如果你對初等或高等數學的研究工作的確有真正的經驗的話，那麼你對下述這一點將毫不懷疑：在數學中，技能比僅僅掌握一些知識要重要得多。……什麼是數學技能呢？數學技能就是解題能力——不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力、獨創性和想象力的問題。”
波利亞還認為，解題不僅是學生學習數學的中心環節，而且是培養他們以後參加科學或生產活動所必不可少的智能和思維習慣的重要手段。因為“解題意味着發現一條擺脱疑難、繞過障礙的途徑，以達到一個不能一蹴而就的目的。解題是智力的特殊成就，而智力又是人類的天賦。因此可以把解題看作是人類的最富有特徵的一種活動。”[5]這裏，波利亞充分肯定了解題的一般教育價值。因此，他數十年如一日地進行對解題方法的研究。做法是，一方面自己大量解題，積累經驗，一方面在教學中仔細觀察各種年齡、各種程度的學生的解題過程。波利亞常常看到，有的學生當還不知道題目説了什麼時，就動手去解題，有的學生面對題目，無從下手，望洋興嘆，而還有的學生做完題一交了事。
“回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。去做一件你不願乾的事是可悲的”，然而他看到這種愚蠢可悲的事情卻經常發生。教師的責任感使他不遺餘力去尋求一個醫治這種“解題病”的藥方。開始，他只是向學生提出一些要求和解題注意事項，經過多年的實踐和反覆修改，他終於制訂出了一張《“怎樣解題”表》[3]，這張表把解題過程中人的思維活動分為四個階段，每個階段則由一系列啓發式問題、提示或建議來調動人們的思維活動，大體內容如下：
第一，弄清問題，主要是“未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？”
第二，擬訂計劃，即尋求解題思路，通過一系列啓發式的問題，幫你回顧必要的知識、方法、模式，作為前進的動因。
第三，實現計劃，即把解題過程用數學術語和符號嚴格表述出來。
第四，回顧，即對解題過程進行檢驗、總結、推廣。
這樣，波利亞就從人們大量的解題實踐中找到了一般規律，得到了解題過程的一般程序。這張《“怎樣解題”表》後來就發展成為他的那部名著《怎樣解題》。
建立了這個一般的解題程序之後，波利亞還建立了適於各類題目的特殊解題模式。在《數學的發現》第一部分中，他詳細分析了“雙軌跡”、“笛卡爾”、“遞歸”與“疊加”這四個解題模式。接着在該書第二部分，又通過擴大這些模式的範圍和發掘其共同因素而“通向一般方法”。
怎樣熟練地執行這個一般的解題程序？波利亞回答説[5]：“解題是一種實踐性技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐來學到它。”
03
打開數學發現大門的金鑰匙
數學家是怎樣發現定理和它的證明的？這是一個富有吸引力的問題。在前人研究的基礎上，波利亞總結出了數學家探索數學真理的思維過程，找到了打開數學發現大門的金鑰匙。
波利亞首先指出[3]：“一個重大的發現可以解決一個重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發現。”他説[4]：“一個有意義的問題的解決，為解決這個問題所花的努力和由此而得到的見解，可以打開通向一門新科學，甚至一個科學新紀元的門户。”要想作出重大的數學發現，就必須重視平時的解題，因為平時解題和數學發現之間，只有難易程度上的差別，而沒有本質的差別和不可逾越的鴻溝。因此他主張，一個有責任心的教師與其窮於應付繁瑣的教學內容和過量的題目，還不如拿一個有意義但又不太複雜的題目，去幫助學生髮掘題目的各個方面，使得學生通過這道題目，就好像通過一道大門而進入一個完整的理論領域。比如，“證明√2是無理數”和“證明素數有無限多個”就是這樣的好題目，因為前者通向實數的精確概念，而後者是通向數論的門户。
打開數學發現大門的金鑰匙就在這類好題目之中。如果我們按照《“怎樣解題”表》所規定的步驟去探索一個又一個好題目，我們就把金鑰匙拿到了手中，並掌握了它的用法。
《“怎樣解題”表》的精華是它的第二部分，因為這部分抓住了人們總是“以舊的對付新的”這個一般的思維規律，這也是解決數學問題的一般思維規律：
你以前見過它嗎？你是否見過形式上與它稍有不同的問題？……試想出一個具有相同未知數或類似未知數的熟悉的問題。
如果你在上述提示的某一步閃現出一個思想的火花，得到了肯定的回答，那麼你就前進了一步。但對於較困難的題目，這種對“過去”的回顧必須進一步深化，必須對已有的知識方法（包括已積累的模式）進行調動、重組、變換、深入挖掘，甚至付諸像“退一步想”、類比、限定、推廣這些手段：
如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易着手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類似的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分，這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？
這生動地描述了人們探索解題途徑的思維過程。當歐拉麪對“哥尼斯堡七橋問題”時，他首先用不同的方法加以重述：以紙上的點代替河岸和島嶼，以連線代替橋，從而把問題轉換成對圖的頂點進行奇偶性分析這個“更普遍的”但也是“更容易着手的”問題，寫出了那篇開創了圖論和拓撲學的著名論文。瞭解哥德巴赫猜想研究歷史的人，都知道數學家們是怎樣“僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分”，提出不止一個“與此有關的”、“更容易着手的”問題，如“1+C”，然後再繼續前進的。這些都體現了數學研究的一般思維方法。
波利亞按照自己關於數學發現的思想，與哈代、李特伍德合著了《不等式》，與塞格合著了《數學分析中的問題和定理》和《數學物理中的等周不等式》(Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics) [8]等數學名著。從書名上看，這些著作與類似內容的著作並無不同之處，然而它們最重要的特色在於對材料的精心編排。這種編排充分顯示了歸納、類比、推廣這些思維方法在發現數學真理過程中的作用，並引導讀者自己獨立地進行探索，去掌握數學思維的一般規律。
04
關於數學教學的真知灼見
根據對數學發展和數學一般教育價值的看法，根據多年的數學教學經驗和所蒐集的第一手資料，根據對數學教學方法的歷史和現狀的分析研究，波利亞提出了他對於數學教學的目的和方法、教學藝術、教材編寫和教師培訓等一系列問題的精闢見解，提出了一系列關於數學教學的正確主張。
波利亞就現代社會對（高中）數學知識的使用情況進行了概算[4]，結論是：數學家等“生產數學”的人佔1%，使用數學的人佔29%，而不用數學的人佔70%。因此，他主張數學教學的目標應當是提高學生的“一般文化修養”，“首先的和主要的是必須教會青年人思考”。而這就意味着，教師不僅應當傳授知識，而且應當發展學生運用知識的能力和良好的思維習慣，也就是發展學生的解題能力。波利亞指出，數學解題能力，除依賴數學專業知識外，還要依賴常識和良好的習慣。他主張教三分之一的數學和三分之二的常識。他説，通過數學教學教常識，這就為70%不用數學的人做了好事，而使得那些用數學的人也不吃虧，因為高中那一點數學，同他們將來要用的數學知識比起來，是一比無窮大。這裏，波利亞是把“一般文化修養”、“會思考”、“解題能力”（及其依賴的“常識”）作為同義詞使用的。“解題能力”就是自如地運用《“怎樣解題”表》的能力。這不僅是指按公理、定理、定義進行嚴格證明的能力及用圖形或語言表述的能力，而且還包括諸如將觀察到的情況加以一般化，作歸納的論證，從類比中進行論述，在一個具體的問題中認出一個數學概念，或者從一個具體問題中抽象出一般的原理等進行“非形式”思維的能力。
為此，波利亞提出了三條教學原則：
1）促使學生主動學習的原則
波利亞堅信，“學習任何東西的最佳途徑是靠自己去發現”。他引用十八世紀德國物理學家利希滕伯格（G. Lichtenberg）的話説，那些曾使你不得不親自動手發現了的東西，會在你腦海裏留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運用它。他極力主張“思想應當從學生的腦子裏產生出來，而教師只應起一個產婆的作用”。
2）最佳動機的原則
波利亞認為，教師作為一個知識推銷員，他的責任就是使學生相信數學是有趣的，使他們感到討論的題目是有趣的，值得努力去做。為了有效地學習，學生應當對所學習的材料感興趣並在學習活動中找到樂趣，這是最佳的動機。此外，還有一些欠佳的動機，如不學習會帶來懲罰等等。教師應當在教學中盡力促使學生產生最佳動機，如引導學生在解題前猜測結果，説明內容的重大背景等。但當然，也要注意其他動機。
3）階段序進原則
這就是：通過行動和感受的探索階段，進入術語、定義、證明等的形式化階段，以及把所學材料消化吸收到自己的知識體系中和整個精神世界中的同化階段。波利亞認為，現行教材中配備的“常規習題”正好容易讓學生忽視“探索”和“同化”這兩個階段。而《“怎樣解題”表》的一、二部分屬於探索階段，第三部分屬於形式化階段，第四部分屬於同化階段。他建議：高級中學應當經常介紹一些帶有挑戰性的題目，一些具有豐富背景並值得深入研究的題目，一些能從中品味到科學家工作的題目。
要實現這些原則，就要有掌握了這些原則的教師。波利亞指出，教師要對自己講的課題充滿興趣和深入理解，要懂得學習的最佳途徑和善於瞭解學生，在傳授知識的同時，要培養學生具有合理思維的能力和有條不紊地工作的習慣，既教會合理猜測，又教會嚴謹證明，對具體題目要注意其一般價值，講授方法要有一定技巧，要多建議而不要強迫學生接受。要造就符合這些要求的教師，就要在業務培訓的同時，上好“方法”課，方法課要由既有數學研究經驗又有教學經驗的教師講授，最好的形式是“解題講習班”。
要實現這些原則，還要有能體現這些原則的教材。波利亞在這方面做出了範例，他寫的書不僅豐富多彩，生動有趣，而且體現出“數學有兩個側面”的特點，不是使讀者被動地接受現成知識和作者的觀點，而是和讀者討論，為讀者提供模仿的例子和練習的機會，促使他們自己去發現、去思考、去汲取，使他們不僅掌握了知識，而且更重要的是，掌握了知識的來源和創造的途徑。
波利亞的這些主張是針對美國數學教學的現狀而提出來的，但對我國的數學教學，也許不無參考價值。
05
科學發現的邏輯——合情推理
對數學思維規律的研究，使波利亞發現在一般的科學思維中，除“證明推理”（即演繹推理）以外，還有另一種推理，它的具體表現形式是歸納、類比、限定、推廣、猜測、檢驗等。波利亞看到，這是自然科學家由觀察大量資料上升到作出結論和考察結論時慣用的方法。在社會生活中，醫生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰爭，處處都在用着這種推理。但很可惜，這種推理在邏輯學中沒有着重加以研究。波利亞深切感到這種推理對科學研究和科學發現的重大意義，因而研究了這種推理的邏輯規則。他從各門學科和社會生活中搜集大量資料，經過歸納，終於發現，在這種推理中，像“證明邏輯”那樣的規則是存在的。
他給這種推理起的名稱“plausible reasoning”，直譯是“可信的推理”，就是“有一定程度可靠性的推理”，也有“合情”、“似然”、“似真”的意思，現在譯成“合情推理”。波利亞認為，貫串着任何科學發現的思維過程的，主要是合情推理，但作為闡述和研究合情推理的恰當例子的，是數學。因此他寫了一部專著《數學與猜想》來闡述自己的觀點。其第一卷《數學中的歸納與類比》以數學為例來研究歸納、類比、推廣、限定、猜測等推理方法的性質和作用，而第二卷《合情推理模式》則着重於建立推理模式和邏輯規則，並與傳統的形式邏輯“三段論法”加以對比。這部著作寫得既有數學的嚴謹性又有小説的魅力，讀來引人入勝。
波利亞指出，證明邏輯主要是把真假命題分清楚，而合情推理則是要把可靠程度不同的命題相區別。例如，由命題（假設）A可推出B，A真則B真，B假則A假，這是三段論推理。如果由A可推出B，而B真，我們對A能説些什麼呢？據“三段論法”我們只能説：“A可真可假”。但在科學思維中，一個命題的推論被證實，對命題為真的可能性肯定是有影響的，這就是“A為真的可能性增加了”，於是有如下的“歸納推理基本模式”：
由於在合情推理模式中引進了“命題的可靠性”這一概念，波利亞很自然地想到用概率論中的概念和方法來描述和研究合情推理規則，但是這種嘗試遇到了困難。儘管如此，我們可以看到，波利亞在這方面的工作還是富有啓發性的。
最後，我們想指出：在目前興起的思維科學研究中，對合情推理思維規律的研究是否可佔一席之地呢？因此，我們引用波利亞關於論證推理與合情推理的一段話來結束本文：“無疑，論證推理是可靠的、無可置辯的和終決的。合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的。論證推理在科學中的滲透程度恰好和數學在科學中的滲透程度一樣，但論證推理本身（如數學本身那樣）並不能產生關於我們周圍世界本質上的新知識。我們所學到的關於世界的任何新東西都包含着合情推理，它是我們日常事務中所關心的僅有的一種推理。”[2]
參考文獻
[1]Szegő G. et al. ed., Studies in Mathematical Analysis and Related Topics——Essays in Honor of George Poya, Stanford University Press (1962).
[2]Pólya G. (李心燦等譯), 《數學與猜想》第一卷，第 二卷，科學出版社(1984).
[3]Pólya G. (閻育蘇譯), 《怎樣解題》, 科學出版社 (1982).
[4]Pólya G. (劉景麟等譯), 《數學的發現》第一卷，第二卷，內蒙古人民出版社 (1980, 1981).
[5]Pólya G. (歐陽絳譯),《數學的發現>第一卷，科學 出版社(1982).
[6]Hardy G. H. el al. (越民義譯),《不等式》, 科學出版社(1965).
[7]Pólya G., Szegő G. (張奠宙等譯),《數學分析中的問題和定理》第一卷，上海科學技術出版社 (1981).
[8]Pólya G., Szegő G., Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, Princeton (1951).
本文原文載於《自然雜誌》1985年第3期，原標題為《波利亞的數學思想》。
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