在監獄中萌生的數學大一統之願景，離實現又近了一大步_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2分钟前
7月中旬，朗蘭茲綱領中長久以來缺失的拼圖——幾何朗蘭茲猜想終於獲證。完整證明有9位數學家參與其中，歷時30年之久，共計5篇800餘頁論文。
朗蘭茲綱領是20世紀最重要的數學“地圖”，被稱為“數學界的大一統理論”。其涵蓋的內容極其博大，不乏有趣的歷史細節和數學思想。比如説，無論是朗蘭茲綱領，還是用於證明幾何朗蘭茲猜想的核心工具，靈感全都萌生自同一時期的兩處監獄之中；同時，朗蘭茲綱領的提出還和數學史上最著名的兩封信直接相關。現在，這一為不同領域架起“橋樑”的迷人理論，離實現又近了一大步。
撰文 | 嘉偉
1996年，菲爾茲獎得主恩里科·邦別裏（Enrico Bombieri）在朗蘭茲會議——賀羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）60歲壽誕上發言：“數學家們已經沿着朗蘭茲的思路工作了25年，越來越多的證據説明事情正按他所説的那樣發展，他成為了數學前進的推動力。”
“他所説的那樣”即是指20世紀最重要的數學“地圖”——朗蘭茲綱領（Langlands program）。加州大學伯克利分校的數學教授、著名數學家愛德華·弗倫克爾（Edward Frenkel）直接稱其為“宏大的數學大一統理論”。就如同理論物理中“大一統理論之夢”意欲把已知的四種基本力統一到一個框架裏一樣，朗蘭茲綱領提出了一個深刻而強大的理論框架，應用代數方程精確解的高階推廣，涉及數學最基本的領域，並將解析函數嵌入幾何形式中。它使得許多相距甚遠的數學領域能夠統一到一個強大的解析方法形式中。
從一開始，投身其中的數學家就明白，對朗蘭茲綱領的證明不可能一蹴而就，只能一步一個腳印，一點一點地去突破，對於整個綱領的證明也許需要好幾代人的努力，但只要堅持不懈，他們堅信，希望就在眼前。到今天，努力的回報已然非常豐厚。2024年7月中旬，綱領中長久以來缺失的拼圖——幾何朗蘭茲猜想——終於獲證。完整證明有9位數學家參與其中，歷時30年之久，包括5篇大論文，共計800餘頁。
這是轟動數學界的重大新聞，或許是2024年度最為重要的數學突破。想必很多讀者早已看過相關報道。有幾家媒體也翻譯了Quanta Magazine上報道此事的精彩文章“Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture”。但是，因為朗蘭茲綱領涵蓋的內容極其博大，可以從很多不同的角度來闡述和理解，所以現有文章幾乎都錯過了不少有趣的歷史細節和數學思想。比如説，無論是朗蘭茲綱領，還是用於證明幾何朗蘭茲猜想的核心工具，靈感全都萌生自同一時期的兩處監獄之中；同時，朗蘭茲綱領的提出還和數學史上最著名的兩封信直接相關。
兄妹的獄中通信
其一就是法國最著名的一對知識分子兄妹的獄中通信。
曾有人向哲學家西蒙娜·韋伊提問：只有傻瓜才會墜入愛河，對不對？
西蒙娜回答道：沒有任何存在之物是絕對值得我們去愛的。因此，我們必須去愛那些不存在之物。
1940年，安德烈·韋伊（André Weil）在法國魯昂的一所監獄裏寫下了20世紀數學界最重要的信件之一。他因拒絕服役而獲刑，在獄中他與住在倫敦的妹妹通信，以掌握彼此的近況。
安德烈·韋伊出生於巴黎，西蒙娜·韋伊是他的妹妹，也是他唯一的兄弟姐妹。後來，哥哥成為20世紀最偉大的數學家之一，妹妹則成為著名且在當代愈發有影響力的哲學家和政治活動家。
在之前的一封信中，西蒙娜曾要求哥哥向她介紹一下他最近的研究內容。戰火紛飛下，安德烈小心翼翼地寫下了回信，他“警告”妹妹：“你將對接下來的事情一無所知”。在接下來的14頁中，他勾勒了數學“羅塞塔石碑”的思想。著名的羅塞塔石碑用三種語言記錄了同一內容，這使得歷史學家和語言學家通過其上的古希臘文字，破譯了已經斷了傳承的古埃及文字。韋伊的“羅塞塔石碑”則將數學的三大領域聯繫起來：數論、幾何學，以及中間的有限域。
其他數學家也提出過類似的想法，但韋伊是第一個闡明確切願景的人。他的信啓發了後來的朗蘭茲綱領。
在寫給妹妹的信中，韋伊宣稱“與數域的類比是如此嚴格和明顯，以至於在算術中，沒有一個論點和結果不能幾乎逐字逐句地翻譯到函數[或有限]域上”。不過，多項式可以在有限域上表示和分解是一回事，但將複分析的全部機制導入有限域則是另一回事。然而他自信地斷言，“差異還不大，以至於耐心的研究可以教會我們從一個領域轉換到另一領域的藝術。
那是在1940年。在接下來的十年裏，韋伊開發了精確的方法，破譯了他的數學“羅塞塔石碑”的大片區域。他還對數論和幾何之間的關係提出了一系列猜想。其中最大膽的是黎曼猜想的有限域版本。韋伊本人證明了一維的情況。
第二封信
如果用武俠小説來類比數學界，那麼即便在頂尖高手裏，韋伊的武功之高強也屬駭人聽聞。無論是多麼抽象、複雜的“兵器”（理論），他都能信手拈來，毫不費力。亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）被譽為是代數幾何學的教皇，而他當時開發的代數幾何學的理論工具，主要就是為了給韋伊提供武器去攻克黎曼猜想！格羅滕迪克當時發掘了名為“層”（Sheaves）的數學結構的潛力，而應用特殊的層結構則是今年證明幾何朗蘭茲猜想的關鍵。
此外，人類似乎特別喜歡排名，即便是數學家也不能免俗。這裏再分享一則韋伊的趣事：
在1950年代，芝加哥大學數學系舉辦了一場聖誕派對。許多著名的數學家出席了，包括安德烈·韋伊。為了娛樂，眾人試圖列出十位最偉大的在世數學家，但不能包括在場的人。然而，韋伊堅持要求把自己列入候選範圍。
後來，韋伊搬到了普林斯頓的高等研究院（IAS）。在1970年代中期，一位普林斯頓大學的研究生問他誰是二十世紀最偉大的數學家，他毫不猶豫地回答：“卡爾·路德維希·西格爾（Carl Ludwig Siegel）。”當被問到誰是本世紀第二偉大的數學家時，他只是微笑着，在他的翻領上擦了擦指甲。（出自Michael Harris’s “Mathematics without apologies”）
這位二十世紀最偉大的數學家（之一）到達普林斯頓不久，就收到了一封17頁的手寫信件，寄信人正是30歲的普林斯頓大學教授羅伯特·朗蘭茲。
信中認為，按照韋伊的“數學羅塞塔”的思想，數論和有限域上的多項式，可以通過一種推廣的傅里葉分析，建立起非常強大和範圍驚人的聯繫！
在經典的傅里葉分析中，名為傅里葉變換的過程在兩種不同的認知方式之間建立起了對應關係。對應關係的一側是波，複雜的波不過是正弦波的組合。對應關係的另一端是正弦波的頻率頻譜——在聲學現象裏即它們的音高。
傅里葉變換允許兩邊來回轉換。在一個方向上，它允許我們將波分解為一組頻率；另一方面，它幫助我們由頻率重建波。沒有傅里葉變換，我們就不會有現代電信、信號處理、磁共振成像等許多現代生活必需品。
朗蘭茲提出，在數論和函數域裏，也能構造類似的傅里葉變換，但此時的“波”和“頻率”更加抽象和複雜。
構建對應
在數論裏推廣傅里葉變換，波與頻率分屬截然不同的領域，而建立起它們的對應關係，通常會帶來豐厚的回報。在1990年代，當意識到橢圓曲線和模形式之間存在對應關係之後，安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）證明了費馬大定理。而朗蘭茲綱領所描繪的景緻更加恢弘廣漠，我們難以想象當它完成之時，到底能收穫多少回報。
從另一個角度來説，儘管數論版的朗蘭茲綱領高深莫測，但仍舊根源於古典數論的基本問題，即三千年前的數學先驅就已開始思考的、代數方程的有理解和整數解。更確切點説，它可以看作是二次互反律的推廣。素數相當於傅里葉變換裏的頻譜。
但是，要如何把幾何納入到這一框架裏呢？對於緊緻的黎曼曲面，最核心的幾何/拓撲特徵是它上面的洞。
在數學科普里，有一反覆使用的常識性示例：咖啡杯和甜甜圈在拓撲學裏其實是相同（同胚）的東西。因為它們都只有一個洞。如果你無法想象的話，下面就有咖啡杯平滑變形為甜甜圈的過程。
所以任何用於刻畫黎曼曲面的頻譜，都需要包含這些本質結構的信息。合理猜測，信息應該以名為基本羣的代數拓撲學概念的形式被提煉出來。
但是，在很長一段時間裏，數學家都無法想象如何構造基本羣的特徵函數（相當於經典傅里葉變換裏的正弦函數）。就連朗蘭茲最初描述他的綱領時，幾何部分都未包含在內。
直到20世紀80年代，數學家弗拉基米爾·德林費爾德（Vladimir Drinfeld）才意識到，通過將特徵函數替換為特徵層（eigensheaf），有可能構建一個幾何版本的朗蘭茲對應關係。而幾何朗蘭茲猜想的精確表述直到本世紀才出現——2012年，丹尼斯·蓋茨戈裏（Dennis Gaitsgory）與迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）合作，通過一篇長達150多頁的論文給出了這一表述。
在經典信號處理領域，聲波可以由正弦波構成，其頻率對應於聲音的音高。僅僅知道聲音包含哪些音高是不夠的，還需要了解每個音高的響度。這些信息允許工程師將聲音表示為正弦波的組合：從振幅為1的正弦波開始，再乘以適當的響度因子，然後將這些正弦波相加。所有這些振幅為1的不同正弦波之和就是所謂的“白噪聲”。
在幾何朗蘭茲猜想中，特徵層的作用類似於正弦波，但直接用它充當黎曼曲面的特徵函數，則非常之難。幸好幾位合作者又識別出一種名為龐加萊層（Poincaré sheaf）的東西，已知其可轉換為特徵函數。如果它能充當幾何學裏的“白噪聲”，則大功告成。然而，這些研究者不確定是否可以將每個特徵層都表示為龐加萊層——就像把弦波分解成白噪聲之和，更不確定後者是否具有相同的“振幅”。這就是最後需要證明的東西。
牢籠裏的光
特徵層和龐加萊層，都是之前提及的層概念的特例。而且，層的提出恰好和韋伊在獄中構思“數學羅塞塔”是同一時間。
安德烈·韋伊在他的自傳中提到，他在監獄中的經歷對他的數學研究產生了深遠的影響……
監獄中的孤立環境使他的思維變得特別清晰。在獄中沒有外界的干擾，能夠專注於數學問題的思考和解決。這種環境促使他在數學研究上取得了重大突破。他後來半開玩笑地説，監獄是數學家最好的研究環境。
1940年，法國應用數學家和炮兵軍官讓·勒雷（Jean Leray）的經歷，似乎佐證了韋伊對監獄的理解。
他被德國人俘虜後告訴審訊者，自己是一名拓撲學家，因為擔心如果德國人發現了他真正的專業領域——流體動力學，會強迫他為德國的戰爭機器服務。在他被監禁的近5年時間裏，勒雷通過進行拓撲學研究來鞏固自己的人設。拓撲學是研究可變形形狀的數學分支。他最終創造了現代數學中最具革命性的想法之一：層（sheaves）的概念。
塞爾（Jean-Pierre.Serre）著名的論文Faisceaux Algébriques Cohérents展示瞭如何使用層來給代數簇提供一個通用定義（通過使用層將稱為仿射簇的簡單幾何對象拼接在一起），以及如何將代數幾何中的經典思想重新解釋為層的上同調。塞爾的工作激發了格羅滕迪克的層理論方法，使之成為代數幾何更基礎的方案。
從格羅滕迪克開始，數學家逐漸意識到，層的集合與函數的集合有許多共同點，但複雜程度更高。我們可以對層進行相加和相乘運算，甚至可以對它們進行特殊的微積分運算。
在監獄裏，勒雷打開了通往數學新世界的大門。
順便説一句，勒雷在戰俘營裏還發明瞭譜序列，這是一種非常複雜但強大到幾乎難以置信的工具。譜序列在許多數學領域中都至關重要，包括代數幾何、代數拓撲和同調代數。對於一個為了避免被德國人利用其才能而聲稱自己是純數學家的人來説，這成果並不算太差。
簡單點説，層是用於獲取“局部”信息並查看是否可以將這些局部信息粘合在一起以獲得“全局”信息的工具。阻礙我們粘合信息的“力量”會引導我們進入所謂的層的上同調，這是代數幾何和複分析的核心內容。
筆者從印度數學家Y.V. Srinivas那裏學來了用子圖着色來理解“層”的直觀方式。讀者可以結合下面的例子，來理解什麼是“獲取局部信息並查看是否可以將這些局部信息粘合在一起以獲得全局信息”。
考慮一個圖的所有着色。假設我們用一組子圖（可能重疊）覆蓋這個圖。整個圖的着色可以限制為每個子圖的着色。反過來，假設我們用着色方案C(S)為每個子圖S着色。如果兩個子圖重疊，我們要求它們在重疊部分的着色一致。也就是説，假設一個頂點V同時出現在子圖S和子圖T中，那麼方案C(S)和C(T)必須為V點選擇相同的顏色。在這種情況下，我們可以將所有子圖的着色粘合在一起，得到整個圖的着色。這就是把局部信息粘合成在一起的過程。
重建巴別塔
我躺在牀上思考了三個月。
——丹尼斯·蓋茨戈裏
2020年全球疫情暴發，或許隔離期間的狀態和坐牢有幾分類似。丹尼斯·蓋茨戈裏躺在牀上思考了三個月。他琢磨出來的理論，為最後的證明埋下了希望的種子。
去年，幾何朗蘭茲項目的另一位領導者山姆·拉斯金（Sam Raskin）在經歷了妻子臨近預產期的手忙腳亂之後，終於與幾位研究者聚在一起，彙集了幾人的智慧，攻克了最後一道難關。
如同前文所述，朗蘭茲綱領最迷人之處就是為不同領域建立起橋樑。如今幾位合作者正在嘗試將他們的幾何結果再翻譯到函數域上，據説已經取得了進展。如果成功，將證明函數域版本的朗蘭茲猜想比數學家之前知道甚至猜測的還要精密得多。
現在，數學界需要時間慢慢消化幾何朗蘭茲猜想的證明。同時，數學世界的開拓者們正一步一個腳印，緩慢但堅定地把朗蘭茲的哲學轉化為一個個數學定理。
參考資料
[1] Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture | Quanta Magazine
[2] “God does not algebra”: Simone Weil’s search for a supernatural reformulation of mathematics. DOI:10.25180/lj.v25i2.340
[3] A Rosetta Stone for Mathematics | Quanta Magazine
[4] 數學家和哲學家：兄妹的故事 – The Irish Times
[5] 《代數數論簡史》，馮克勤，湖南教育出版社
[6] A Very Elementary Introduction to Sheaves (arxiv.org)
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。