哈爾莫斯：如何做數學研究？_風聞
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編者按：如何做數學研究？匈牙利裔數學家哈爾莫斯非常實在地講述了自己的實際工作情景，用現在的話來説，他也是一個“拖延症”晚期患者。他工作中大量的時間並非集中“搞研究”，不喜歡競爭，卻也找到了自己的成功之道。在這篇饒有趣味的自述中，你可能會找到做數學研究的竅門。
本文流傳於網絡，可能刊於《數學譯林》（1994年第2期；王庚、陳文寧譯，何育贊校），原文出自哈爾莫斯1985年出版的自傳I want to be mathematician，How to do research一節，《返樸》根據原文對譯文進行了修訂。另，本書有中譯本《我要作數學家》（江西教育出版社，1999年）。
撰文 | 保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）
有誰能告訴別人怎樣去做研究，怎樣去創造，怎樣去發現新東西？幾乎肯定這是不可能的。在很長一段時間裏，我始終努力學習數學，理解數學，尋求真理，證明一個定理，解決一個問題——現在我要努力説清楚我是怎樣去做這些工作的，整個工作過程中重要部分是腦力勞動，那可是難以講清楚的——但我至少可以試着講一講體力勞動的那一部分。
數學並非是一門演繹科學——那已是老生常談了。當你試圖去證明一個定理時，你不僅只是羅列假設，然後開始推理，你所要做的工作應是反覆試驗，不斷摸索猜測。你要想弄清楚事實真相，在這點上你做得就像實驗室裏的技師，只是在其精確性和信息量上有些區別罷了。如果哲學家有膽量，他們也可能像看技師一樣地看我們。
我喜歡做研究，我想做研究，我也得做研究，我卻不願坐下來開始做研究——我是能拖則拖，遲遲不肯動手。
擁有一個重大的、外在的、不受我一直支配的，而且我能為之貢獻一生的事業，對我是重要的。高斯、戈雅（Goya）、莎士比亞和佩蓋尼尼（Pagannini）是非凡的，他們的卓越給予我快樂，我欽佩他們又羨慕他們。他們也是富有奉獻精神的人。非凡的天才只有少數幾個人才有，而奉獻精神則是人人都可以擁有的——也應當擁有的——沒有這樣的精神，生命便失去價值了。
儘管我對工作無限眷戀，我仍是不願意着手去做它；每做一項工作都像是一場戰鬥、一次苦難。難道就沒有什麼事我能（或必須？）先行幹好嗎？難道我就不能先將鉛筆削好嗎？事實上我從來不用鉛筆，但“削鉛筆”已成為代名詞——一切有助於延緩因集中創造精力而帶來痛苦的手法。它可以代表在圖書館查閲資料，可以是整理舊筆記，甚至可以是為明天要講的課做準備，幹這些事的理由是：一旦這些事了結了，我就真正能做到一心一意而不受干擾了。
當卡米查埃（Carmichael）抱怨説，他當研究生院主任每週可用於研究工作的時間不超過20小時的時候，我感到很奇怪，並且我現在仍覺得很奇怪。在我大出成果的那些年代裏，我也許每週平均用20小時做全神貫注的數學思考，但大大超過20小時的情況是極少的。這極少的例外，在我的一生中只有兩三次，他們都是在我長長的思想階梯接近頂點時來到的。儘管我從來未當過研究生院主任，我似乎每天只有幹三四個小時工作的精力，這是真正的“工作”；剩下的時間我用於寫作、教書、做評論、與人交換意見、做鑑定，做講座、幹編輯活兒、旅行。一般地説，我總是想出各種辦法來“削鉛筆”。每個做研究工作的人都陷入過休閒期。在我的休閒期中，其他的職業活動，甚至包括教三角學課，都是我生活的一種藉口。是的，是的，我也許今天沒有證明出任何新定理，但至少我今天將正弦定理解釋得十分透徹，我沒白吃一天飯。
數學家們為什麼要研究？這問題有好幾個回答。我最喜愛的回答是：我們有好奇心——我們需要知道。這幾乎等於説“因為我願意這樣做”，我就接受這一回答——那也是一個好回答。然而還有其他的回答，它們要實在些。
我們給未來的工程師、物理學家、生物學家、心理學家、經濟學家，還有數學家教數學。如果我們只教會他們解課本中的習題，那不等他們畢業，他們受到的教育便過時了。即使從粗糙而世俗的工商業觀點來看，我們的學生也得準備回答未來的問題，甚至在我們課堂上從未問過的問題。只教他們已為人們所知的一切東西是不夠的——他們也必須知道如何去發現尚未被發現的東西。換句話説，他們必須接受獨立解決問題的訓練——去做研究工作。一個教師，如果他不能總是在考慮解題——解答他尚不知道答案的題目——從心理上來説，他就沒準備好教他的學生們解題的本領。
做研究工作，有一點我不擅長因而也從不喜歡的，是競爭。我不太善於搶在別人前面以獲得榮譽。對此我的替代辦法是離開研究主流方向，去獨自尋找屬於我自己一潭小而深的回水。我討厭為證明一個著名猜想而耗費大量時間卻得不到結果，所以我所幹的事無非是分揀出被別人漏掉的概念，形成有結果的問題。這樣的事在你一生當中不可能常做，如果那個概念和問題真是“正確”的，它們便會被廣泛接受，而你則很有可能在你自己的課題發展中，被更有能力和更有眼光的人甩在後面。這很公平，我能受得了，這是合理的分工。當然我希望次正規不變子空間定理是我證明的，但至少我在引入概念和指出方法方面做過一點貢獻。
不介入競爭的另一個方面就是我對強調搶時間爭速度不以為然。我問我自己，落後於最近的精美的成果一兩年又有什麼關係呢？一點關係都沒有，我這樣對自己説，但即使對我自己來説，這樣的回答有時也不管用，對那些心理構成和我相異的人們來説，這樣的回答總是錯的。當羅蒙諾索夫（Lomonosov）（關於交換緊算子的聯立不變子空間）和斯科特·布朗（Scott Brown）的（關於次正規算子）消息傳開時，我激動得就像我是下一個算子理論家似的，急切地想知道詳情。然而這種破例的情形是少有的，所以我仍然可以在我一生大部分時間中心安理得地生活於時代之後。
好得很——不介入競爭，不趕風潮，落後於時代——那我實際上幹些什麼呢？
回答是我寫作。我在我的書桌前坐下，提起一杆黑色的圓珠筆，開始在一張 8.5 x 11 見方的標準用紙上寫作。我在右上角上寫上個“1”，然後開始：“這些筆記的目的是研究秩為1的攝動在……的格上的影響。”在這一自然段寫完後，我在稿紙邊上標上個黑體“A”字，然後開始寫B段，頁數字和段落字構成了參考文獻系統，通常有好幾百頁：87C 意味着87頁上C段。我將這些頁手稿放入活頁夾中，在夾脊上貼上標籤：逼近論、格、積分算子，等等。如果一個研究項目獲得成功，這本筆記便成為一篇論文，但不管成功與否，這本筆記是很難被扔掉的。我常在我的書桌旁的書架上放上幾十本，我仍然希望那些未完成的筆記將繼續得到新的補充，希望那些已成為文章發表的筆記以後會被發現隱含着某種被忽視了的新思路的寶貴萌芽，而這種新思路恰恰是為解決某一懸而未決的大問題所需要的。
我儘可能長時間地坐在我的書桌前——這可以理解為，我只要有精力，或者只要有時間，我就這樣坐在書桌前，我努力整理筆記到一個“弱拍”出現為止，如一個引理的確定；或者，在最壞的情況下，一個未經過仔細研究但明顯不是沒希望解答的問題被提出。那樣，我的潛意識便可以投入工作了，在最好的情況下，在我走向辦公室時，或者給一個班上課時，甚至在夜間睡眠中，我取得意外的進展。那捉摸不透的問題解答有時讓我無法入睡，但我似乎養成了一種愚弄我自己的方法了。在我翻來覆去一會後，時間並不長——通常僅為幾分鐘——我“解決”了那問題；那問題的證明或反例在閃念中出現了，我心滿意足，翻了個身便睡着了。那閃念幾乎總被證明是假的，證明有個巨大的漏洞，或者那個反例根本就不反對任何東西。可不管怎麼説，我對那個“解”相信的時間，長得足夠我睡個好覺。奇怪的事情是，在夜間，在牀上，在黑暗中，我從未記得我懷疑過那“思路”；我百分之百地相信它可是件大好事，對一些情形它甚至被證明是正確的。
我不在乎按固定時間工作，到了上課的時間或者到了出去吃飯的時間，我必須停止思考時，我總是高興地將我的筆記收起來。我也許會在下樓去教室的路上，或者在發動汽車，關閉車庫門時，仔細思考我的問題。但我並不因為這種打擾而生氣（不像我的一些朋友們説的那樣，他們討厭被打斷思緒）。這些都是生活的組成部分，一想到幾小時後我倆——我的工作和我——又要相聚時，我就感到很舒坦。
好的問題，好的研究問題，打哪兒來呢？它們也許來自一個隱蔽的洞穴，那個洞穴裏，作家發現了他們的小説情節，作曲家則發現了他們的曲調——誰也不知道它在何方，甚至在偶然之中闖進了一兩次後，也記不清它的位置。有一點是肯定的：好的問題不是來自於做推廣的模糊慾念。幾乎正相反的説法倒是真的：所有大數學問題的根源都是特例，是具體的例子。在數學中常見到的是，一個似乎具有很大普遍性的概念實質上與一個小而具體的特例是一樣的。通常，正是這個特例首次揭示了普遍性。清晰闡述“在實質上是一樣”的方法就是表現為一個表示定理。關於線性泛函的里斯（Riesz）定理就很典型。固定一個在內積中的向量就定義了一個有界線性泛函；一個有界線性泛函的抽象概念表面上看來具有很大的概括性；事實上，這個定理是説，每個抽象概念都是以具體特定的方式產生出來的。
這是我和狄多涅（Dieudonné）似乎各執己見的許多論題中的一個。在馬里蘭，我曾做過一次學術報告，那正好也是狄多涅多次訪問那裏中的一次。那次報告的主題是正逼近。我選定的問題是：已知一希爾伯特（Hilbert）空間上的任意算子 A，求一個正定（非負半定的）算子 P 極小化 ||A-P||。我很幸運：結果發現有一個小的具體的特例，它包含了一切概念，一切困難，一切為理解和克服它們所需要的步驟。我的報告緊緊圍繞那個特例，由矩
作為數學家，我最強的能力便是能看到兩個事物在什麼時候是“相同的”。例如，當我對大衞·伯格（David Berg）定理（正規等於對角加緊）苦苦思索時，我注意到它的困境很像那個證明：每個緊統（Compactum）是康託（Cantor）集的一個連續象。從那時起，使用經典的表述而不是其證明，這不需要太大的靈感，而結果是以一種新穎且明晰的方式得到了伯格的結果。
這樣的例子我還可以舉出很多。一些最突出的例子出現在對偶理論中。例如：緊阿貝爾羣的研究與傅里葉（Fourier）級數的研究是一樣的；布爾代數的研究與不連通的緊豪斯道夫（Hausdorff）空間的研究是一樣的。其他的例子，不是對偶那一類的有：逐次逼近的經典方法與巴拿赫（Banach）不動點定理是一樣的，概率論與測度論也是一樣的。
這樣聯繫起來看問題，數學便清楚了；這樣看問題去掉了表象，揭示了實質。那麼，這樣推進了數學的發展了嗎？難道那些偉大的新思想僅僅是看清了兩個東西是一樣的而已嗎？我常常這樣想——但我並不是總有把握。
説到這裏為止，我是不是已經回答了怎樣做研究這個問題呢？
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