談勝利：回憶我的導師肖剛教授_風聞
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今年，是中國的傳奇數學家、代數幾何界的先鋒人物肖剛教授（1951.9-2014.6）去世的十週年。肖剛是少數公認的天才型數學家，他的導師雷諾（Raynaud）曾在對他的唁電中稱讚肖剛於1980年代在巴黎南大所做的代數曲面工作達到眾所公認的國際水平，至他辭世無人能超越。除此之外，肖剛還培養出了許多位高水平的數學家。本文是肖剛的弟子之一談勝利教授的回憶文章。
撰文 | 談勝利 （華東師範大學數學科學學院終身教授）
在送家人去虹橋火車站的路上接到噩耗，我的導師，著名數學家肖剛教授在法國尼斯與世長辭。半年前已經得知他得了肺癌，手術很成功，手術後不久就去正常上班。現突聞其去世， 實在難以接受這個現實。回家後，把他二十多年前寫給我的信拿出來看了一遍又一遍。二十多年來，他對我的指導一幕幕地浮現在眼前。
一
有幸成為肖剛的學生
1986年春天，通過與王建磐老師聯繫，我報考了華東師範大學數學系代數方向的研究生，通過了入學考試的初試，到上海複試。 我隨身攜帶了武漢鋼鐵學院任德麟教授和武漢建材學院舒湘琴教授為我寫的推薦信。肖剛教授參加了我們的專業課面試，他穿着一件灰色的風衣，看上去非常年輕， 感覺比我們大不了幾歲，這是我第一次見到他。
面試前，主考老師讓我們閲讀一篇介紹代數中的根系的英文論文。還沒有完全讀懂文章就輪到我介紹了，心裏有些緊張，感覺問題回答得也不是很好。 很快肖剛和陳志傑老師就讓我介紹了大學時發表的一篇代數論文的結果，頓時輕鬆下來，信心倍增。然後他們問我看過哪些代數課外書， 並建議我在回去之後把“交換代數引論”繼續學完。
1986年6月23日，肖剛老師給我寫了一封信，這也是肖剛老師給我寫的第一封信。信中他建議我攻讀代數幾何，他和陳志傑老師將作為我的指導教師， 並説如果“交換代數引論”一書已經讀完了，就繼續讀Hartshorne的“代數幾何”，希望我儘量多做兩本書中的習題，如有做不出或認為有趣的，可以去信告訴他。我非常高興地答應了， 並彙報了我學習交換代數的情況。沒過多久，他就回信指導我如何學習代數幾何，並從“交換代數引論”的每一章中挑選出了幾道題，讓我做好後寄給他。7月29日， 陳志傑老師把肖剛老師批改過的作業寄回給我，並回答了我學習過程中提出的幾個問題。
入學後，肖剛老師就讓我從Hartshorne的“代數幾何”第二章開始自學。不久他即去美國普林斯頓高等研究院和位於伯克利的美國數學科學研究所訪問， 陳志傑老師負責代數幾何方向6名學生的課程學習。可能是由於我的幾何背景薄弱，自學的速度非常慢，一個月下來才學完第二章的前兩節，這同我以前自學代數課程時的感覺完全不同。
二
對我的碩士論文的指導
肖剛老師在普林斯頓訪問期間，給了我一個碩士論文題目，研究代數幾何中的三次覆蓋。簡單地説， 就是在一個給定的代數曲線、代數曲面或者高維代數體（代數幾何中稱為“代數簇”）的基礎上，通過一個三次方程，構造一個新的曲線、曲面或代數簇。在代數曲面的情形， 肖剛老師對二次覆蓋有很深入的研究，他利用二次覆蓋研究過很多問題。Miranda（楊勁根教授在麻省理工學院的同學）於1985年發表了一篇題為“代數幾何中的三次覆蓋”的文章， 系統地研究瞭如何從代數結構上描述一個三次覆蓋的問題。聽説在給我論文題目之前，肖剛老師在普林斯頓時和Miranda有過交流，認為這是一個值得進一步深入研究的問題， 他讓我仔細研讀Miranda的論文。
1988年夏天，肖剛老師從美國回到上海，第二天，他就與陳志傑老師一起到研究生宿舍看望我們，瞭解我們的學習、生活和論文進展情況。我告訴他我做了很多計算， 發現一般的三次覆蓋很困難，但循環三次覆蓋和二次覆蓋有類似性質，奇點也可以通過所謂的典範解消把它消去，覆蓋曲面的不變量也有類似的計算公式。 他回答説他當然知道一般情形很困難，循環三次覆蓋的典範解消要仔細檢查，真有這樣好的解消的話，別人應該早就發現了。為了慎重起見，他讓我第二天上午把計算細節講給他聽。 講了不到十分鐘，他就説沒有問題，結果是正確的。下一步是要尋找三次循環覆蓋的應用，同時研究一下高次循環覆蓋。
接下來，我一方面對高次循環覆蓋作了大量的計算，另一方面，我也在閲讀肖剛老師給的幾篇有意思的文章，它們都是利用二次覆蓋研究代數曲面的。Beauville的一篇文章吸引了我，他利用二次覆蓋和兩元編碼理論證明空間五次曲面上最多有31個奇點，而且構造了一個具有31個奇點的例子，因而，解決了經典代數幾何中的一個難題。Beauville還提出了由最簡單奇點組成的“偶集”的概念。
這一年的寒假，在回老家過年的途中，我在武漢的姐姐家停留了幾天，仔細研讀了Beauville的論文，我完全模仿他的方法， 利用三次循環覆蓋和三元編碼研究了一些曲面上尖點的最大個數問題。將“偶集”的概念推廣為尖點的“3可除集”（這是後來德國數學家Barth所採用的名字。） 得到了幾個類似的結論。一個結論是空間三次曲面上最多有三個尖點，正好有3個時，這些尖點集合必是3可除的，這樣的三次曲面可以完全分類出來，曲面的方程很簡單。 第二個結論，K3曲面（包含四次曲面）上最多有9個尖點，正好9個時，尖點集合是3可除的，此時K3曲面是一個阿貝爾曲面的商曲面。第三個結論，5次曲面上最多有20個尖點， 正好20時，其中的15個尖點必是3可除的。
寒假回校後，我馬上把這些結果告訴了肖剛老師和陳志傑老師。第二天上課之前，肖剛老師告訴我他構造出一個具有9個尖點的K3曲面，並在黑板上描述了他的具體構造。 這説明對K3曲面和尖點來説，9是最好的上界。另一方面，楊勁根老師證明4次曲面上不可能有9個尖點。到目前為止，還沒有人找到具有20個尖點的五次曲面。
過了一段時間，肖剛老師又告訴我，我得到的尖點個數的幾個最大值也可以從帶奇點的“宮岡-丘成桐不等式”推導出來，並説Hirzebruch專門為此寫了一篇介紹文章， 這篇文章對我的後續研究工作也有很大的影響，但也因為這篇文章，我的這些結果就沒有整理出來發表，也沒有寫進碩士論文。在免試直升博士生的面試上， 肖剛老師説介紹一下這些工作就可以了。
1998年，德國數學家Barth發表了一篇文章，他也獨立地發現了第二個結論，即K3曲面上的9個尖點一定組成一個3可除集。看到他的論文後， 我將我們的這些結果又重新整理出來寄給了Barth教授，他來信説他們對用三元編碼研究尖點個數的方法很感興趣，他和他的學生在之後的研究中就是採用了這個方法。
三
對我的博士論文的指導
1989年秋季，我進入了博士生的學習階段。同時免試直升為博士生的還有王嘉平，他的博士導師是鄭偉安教授。開學後不久，肖剛老師又給了我一個新的博士論文題目， 研究在基變換下，纖維化代數曲面的三個不變量的變化關係，即第一、第二陳省身數和曲面的解析歐拉示性數。具體來説就是證明新舊曲面的不變量之間的三個不等式。 當時肖剛老師自己對第一陳省身數和解析歐拉示性數證明了不等式關係，並猜測對第二陳省身數也應該滿足相同的不等式關係。他給我的博士論文題目就是證明他的這個猜測。 肖剛老師幾年前就關心此問題，1988年在日本召開的一個國際會議上，他就把從不變量的角度研究基變換作為一個未解決問題提出來。
肖剛老師正在為上海科技出版社撰寫《代數曲面纖維化》一書，他把書稿中有關基變換的兩個不等式的證明的部分讓我研讀。 我們知道Deligne和Mumford研究基變換的主要目的是把任意曲面纖維化轉化為所謂的“半穩定纖維化”，後者在研究代數曲線模空間和Arakelov幾何時非常有用。 因為基變換是一個很複雜的過程，通常人們都是定性的研究基變換。從定量的角度系統地研究基變換，肖剛應該是第一人。 我特別驚訝的是肖剛老師能夠從異常複雜的計算中發現一些新規律，這激勵我在研究中主動進行了一些複雜的計算，我也經常以此鼓勵學生研究一些需要複雜計算的問題。
拿到這個問題後，我立即投於到基變換的研究，主要的方法就是需要對循環覆蓋作大量的計算。這時我才明白肖剛老師為什麼讓我在碩士階段時對循環覆蓋也作深入地研究。 我幾乎每天都可以和他見面，討論問題的進展和碰到的困難。因此，很快從肖剛老師那裏學到了很多研究技巧。
在研究基變換的同時，我也在研究碩士階段時肖剛老師給的問題，繼續尋找三次循環覆蓋的新應用。在碩士階段時，我已經知道， 很多有意思的應用都歸結為尋找帶有較多尖點的代數曲面，並且這些尖點組成的集合是3可除的。為此，我分析了帶有3個尖點的三次曲面，研究了為什麼這3個尖點自動是3可除的。 這樣的三次曲面是平面的三次循環覆蓋，分歧曲線是平面上圍成一個三角形的三條直線。3可除的原因是分歧曲線被分裂成三條次數相同的曲線。受此啓發，我把三條直線換成三組直線， 每一組由三條共點的直線組成，它們兩兩相交得到27個二重交點，3個三重交點。然後類似地作三次循環覆蓋，得到了一個新的曲面，它有27個尖點，並且也是3可除的。 這個曲面是某光滑代數曲面在一個3階自同構作用下的商。在肖剛老師的幫助下，經過計算，發現這個商映射正好是光滑曲面的典範映射，並保持了曲面的幾何虧格。 這樣的曲面是當時代數幾何學家正試圖尋找的代數曲面，因為很久以前有人猜測這樣的曲面不存在。
立即告訴了肖剛老師和陳志傑老師這一發現。當天晚上，肖剛老師就寫信把這個曲面告訴給幾個國外的同行，在信中，他把9條直線作適當的移動，使得可以產生更多的三重交點， 這樣的覆蓋曲面也有相同的性質。第二天，他告訴我，我可以用這個結果做博士論文，提前一年畢業。聽到這個消息，我非常高興。
在寫博士論文的過程中，肖剛老師告訴我，在介紹別人的工作時，要用正面的語言，只講別人做過什麼，不要説別人沒做什麼。這些細節方面的指導讓我終生受益。
肖剛老師親自教我使用他漢化的TeX軟件“天元”編寫數學論文，教我利用他的軟件“Texdraw”在論文中畫圖。有一次，我利用WPS輸入我的博士論文，幾天後， 我把輸入好的TeX文件進行編譯時，發現文件中有很多TeX不認識的字符。肖剛老師正好也在計算機房，他把我的文件拿去看了一下，告訴我，在輸入時應該選擇WPS的非文本輸入， 我選擇錯了。他立即編了一個小程序，把我的文件中隱藏的字符全部去掉了，我不需要重新輸入了。機房的管理員在旁邊説，肖剛是一個名副其實的計算機專家。
1991年，肖剛老師在德國波恩的Max-Planck數學研究所訪問，3月8日，他來信讓我把有關論文寄給他，他説他有機會在馬普所介紹我的工作。 這對我兩年後申請到馬普所訪問肯定有很大的幫助。肖剛老師沒能參加我在六月份的博士論文答辯。當年7月，我留校任教。
博士課題研究的繼續
畢業留校後，我對肖剛老師給我的博士論文題目仍然有非常大的興趣，花了一年的時間終於證明了他猜測的不等式。在陳志傑老師的討論班上講過證明，大家初步認為沒有問題後， 於1992年暑假，我寫信給在巴黎訪問的肖剛老師，告訴他我的證明的大致思路和步驟。
9月23日，他回信鼓勵我説，使用Milnor數是個很漂亮的想法，但需要證實，請楊勁根老師看看證明是否正確，他是曲面有限覆蓋研究的專家。並説，這是這個問題研究的第一步， 以後需要做下去，並求出三個不等式兩邊的差之間的最佳關係不等式，以此研究高虧格情形的奇異纖維分類問題。十多年後，我才徹底明白這個問題的真正意義和價值。 直到2013年，我和陸俊才最終把它應用於任意虧格的奇異纖維的分類問題的研究上。
楊老師看過我的證明後提了不少建議，也鼓勵我説“不用代數計算，直接從幾何上能看出循環覆蓋的正規化是個很有用的方法。”由於計算太複雜，以至於雜誌的審稿人説， 除了審稿人自己，不會有其他人會這麼仔細地驗證其中的計算。
快放寒假時，肖剛老師短期回到學校。他帶回了國外代數幾何網上的大量論文。特別是，他給了我一份代數曲面未解決問題的清單，都是他自己研究過的問題或感興趣的問題， 並在每個問題後加上了評註：非常難，難，可以研究。我是在這個清單上看到Beauville關於奇異纖維個數的猜想。
在肖剛、陳志傑和Beauville的推薦下，我於1993年10月15日到波恩的Max-Planck數學研究所訪問，Hirzebruch是當時的所長，由於我的博士論文是投給他的， 他對我的研究工作有所瞭解，到研究所報到的當天，他就讓我去他的辦公室，告訴我他也很喜歡代數曲面，知道我是肖剛的學生，問我最近在研究什麼問題。 我詳細地告訴他在研究肖剛關於基變換的不變量和Beauville的猜測。他接着告訴我，Serge Lang對纖維化代數曲面也很感興趣，他每年會到研究所訪問三個月，讓我多和他交流。
在研究所除了聽報告，就是在辦公室做自己的研究，很快我就在肖剛的問題和Beauville猜想上取得進展。第二年春天，研究所舉辦了“算術代數幾何”的國際會議，Lang、 張壽武和翁林等很多算術代數幾何學家都來到波恩。我向Lang介紹了我最近的研究工作後，他馬上建議我考慮他曾經提出的一個問題， 尋找函數域上的代數曲線的線性且有效的高度不等式。由於我有了基變換的研究基礎，再加上碩士階段肖剛讓我對Hirzebruch的一篇論文的深入研讀， 一個月之內我就找到了Lang所想要的高度不等式。通常，人們會要求曲線是半穩定的，但我得到的高度不等式對任何曲線都成立，這要歸功於肖剛指導我對基變換的研究。Lang對這個不等式很滿意，建議我進一步研究數域上的曲線的一些算術問題，並讓他的幾個朋友寄給我相關的研究論文，還介紹我認識了在研究所參加會議的幾位專家。實際上， 我當時對算術幾何也非常感興趣，對Beauville猜想的研究就是受到算術幾何中的Arakelov不等式的啓發。
1994年7月初，肖剛邀請我到尼斯大學訪問了一個星期，吃住在他家裏。他每天開車帶我去學校的辦公室和他討論問題，參加他們的討論班。我在討論班上作了兩次演講， 一次是關於高度不等式的，另一次是關於Beauville猜測的。演講之後，他告訴我，演講時，儘量採用大家熟知的符號，例如，不要用纖維化相對不變量的符號， 直接用陳省身數來描述，這樣演講的效果會更好。
在辦公室裏，他讓我介紹了關於基變換的結果，他了解了一些細節後，沒有像以前一樣建議我下一步該做什麼，他轉而問我是否仔細讀過他關於代數曲面自同構羣上界的文章。 從交談中我能感受得到他非常滿意這篇文章中的結果。文章分兩部分，合在一起就是一本書。他的研究方法和所有其他人的都不同，他是直接考慮曲面在自同構羣作用下的商曲面。 事實上，這是最自然的想法，但是，這需要研究任意次數的伽羅華覆蓋，沒有現成的理論可用，人人都知道這個方法需要非常複雜的理論計算，因此都不會選擇這個方法。 這篇文章再次顯示了肖剛老師非凡的計算功底。我告訴他，我初略地讀了一下這兩篇文章，因為他已經得到了最好結果，我就沒有仔細讀。他説，對這兩篇文章沒仔細讀就等於沒讀。
他還告訴我説，文章投出去不久，就有一位代數幾何學家告訴他在讀這篇文章的第二部分，並且一直用電子郵件問他文章中的問題。他懷疑這個人是審稿人，所以， 每次都很認真地回答了每一個問題，這樣持續了半年多的時間，等回答完最後一個問題後不久，文章就被接受了。這使他更加確信這個人就是審稿人。
2011年，德國一所大學的代數幾何學家們組織了半年的討論班專門研究這兩篇文章，討論班的組織者告訴我他們組織這樣的討論班的原因： 肖剛的這個結果是代數曲面最重要的成果之一，有必要仔細研讀。蕭蔭堂教授也建議我們組織討論班，研究這兩篇文章，儘量簡化證明，讓更多的人可以讀懂證明。
在尼斯大學訪問期間，我向肖剛老師説起我對算術幾何很有興趣，但當時Arakelov幾何的研究受到費爾馬問題最終解決的很大沖擊，我猶豫是否要把主要精力轉向算術幾何。 這時，他談了他的觀點，他認為要把複數域上的宮岡－丘成桐不等式推廣到代數數域上去，關鍵是要先在幾何上給出這個不等式的一個新證明，它不依賴於底曲線的全純微分的性質。 沒有幾何上的這個證明，估計很難在數域上找到好的高度不等式，原因是算術曲線上沒有微分的概念。因此，最關鍵的部分還是一個代數曲面的問題。受到他的觀點的影響， 我最後還是決定把主要精力放在代數曲面的研究上。的確，近二十年來，數論學家們一直在試圖尋找新的方法，要麼建立算術曲線上微分的概念， 要麼避免在證明宮岡－丘成桐不等式時，用到底曲線上的微分。
在尼斯大學討論班休息期間，肖剛老師的一個同事告訴我，肖剛的計算機水平絕對高於計算機學科的博士的水平。他還告訴我，參加肖剛的博士論文答辯的一位教授之後評價説， 如果你低着頭，根本聽不出是一位外國人在講台上用法語答辯。這讓我想起我讀碩士時問肖剛老師的一個問題，“聽説你是通過背法語字典學法語，背完一頁就撕掉一頁， 撕完整本字典，你的法語就學會了”。他回答説：“你不這樣學，還有什麼別的方法”。
五
關於有限覆蓋的研究
現在回想起來，肖剛老師在給我碩士和博士論文題目的同時，實際上是給了我兩個大的研究方向，在這兩個研究領域中，至今還有很多重要的問題未被解決。 對兩個問題的研究越深入，越能看出其重要性。
應該説“有限覆蓋問題”和“基變換的不變量問題”都不是當時的熱點問題，都是屬於要建立代數曲面研究的工具和方法的基礎性問題。兩個問題的研究都需要複雜的計算， 研究的結果也未必能引起很多人的興趣。但是，實際的情況是，研究的結果可以應用於很多其它問題的研究，能得出意想不到新結果。從這個角度來説，這樣的基礎性問題更值得研究。
有限覆蓋理論是代數幾何的現代語言，經典語言叫代數函數論。本質上來講，有限覆蓋的研究就是要在代數流形上解代數方程。用經典的語言，n次覆蓋就是研究一個n次代數函數域， 即函數域上的n次擴域。研究的第一步是計算擴張的整閉包，數論上的説法就是求擴域中所有的代數整數，函數論上的説法就是求擴域中所有的整函數， 代數幾何上的説法就是要計算正規化。第二步就是奇點的解消和不變量的計算。
肖剛對二次覆蓋有非常深入的研究，他以此為工具，對超橢圓代數曲面的分類作出了重要貢獻。他對高次覆蓋也進行過研究，例如， 他研究曲面自同構羣所用的獨特方法就是任意次數的伽羅華有限覆蓋理論。我們知道，兩次曲線的研究屬於初等數學，但次數大於二的曲線就無法用初等方法來研究， 比如三次光滑曲線就是橢圓曲線，對它的研究是現代數學中的重要組成部分。這種現象在覆蓋的研究上同樣出現，二次以上的覆蓋的研究涉及到現代數學中的很多部分， 就拿三次覆蓋來説，很多我們熟知的研究問題，本質上和三次覆蓋的研究等價，也就是説，可以用三次方程來研究。這為三次覆蓋的研究提出了一系列新問題。 在這裏我列舉幾個這樣的問題。
用三次覆蓋描述Bhargava關於二元三次型的複合律。美國科學院的年輕院士Bhargava幾年前發現了二元三次型的“複合律”， 推廣了高斯關於二元二次型的著名複合律（這是他今年獲得費爾茲獎的主要工作之一）。他提出了一個問題，如何將他發現的複合律推廣到代數簇上去。 由於代數簇上的二元三次型就是三次覆蓋，因此，Bhargava的問題就是要用三次覆蓋來描述他的複合律。
用三次覆蓋來研究abc型的問題。在三次覆蓋的正規化計算中，我們發現等式a+b=c和三次方程之間有一個自然的一一對應。也就是説，等式a+b=c和三次覆蓋之間可以相互轉化。 當a，b，c是多變量多項式時，通過三次覆蓋的不變量的計算可以把代數幾何中的一些深刻的關係轉化到等式a+b=c上來。這也許可以幫助我們更深刻地理解數學中的等式a+b=c。 德國數學家Frey將此等式與一條橢圓曲線相聯繫，在我們這裏，三次覆蓋起到的作用和橢圓曲線的作用類似。
用三次覆蓋來描述Donaldson理論和Seilberg-Witten理論之間的關係。從理論上來説，代數曲面上的秩二向量叢都可以由代數曲面上的一個三次方程構造出來。 三次方程有公式解，通過一個開平方，再開一個立方，就可以求出方程的根。用幾何的語言，就是通過一個二次基變換，三次覆蓋就變成了一個三次循環覆蓋。 原來的秩二向量叢就和二次基變換後的曲面上的秩一向量叢（線叢）聯繫起來了，而後者顯然比前者容易研究。這一現象也出現在Donaldson理論和Seilberg-Witten理論之間， 前者是建立在秩二向量叢的模空間理論上的。如能用三次覆蓋來揭示這兩個理論之間的關係，那將是很有意義的事情。
用三次覆蓋來研究著名的Hartshorne猜想。由於射影空間上的秩二向量叢都可以由一個好的三次覆蓋（即三次方程）構造出，因此， 理論上可以用三次覆蓋來研究Hartshorne猜想：維數大於6的復射影空間上的秩二全純向量叢都是線叢的直和。這時，二元三次型的一些不變量理論就可以應用於此問題的研究。
三次覆蓋和這些問題的聯繫是一個值得深入研究的問題，它可能比三次覆蓋在代數曲面分類中的應用更有意義。所有和三次覆蓋有密切聯繫的問題的研究還遠未解決。
總之，從有限覆蓋問題的研究可以看出肖剛的研究特色和創新之處。
六
關於代數曲面纖維化的基變換的研究
大概從1988年起，肖剛開始關心代數曲面纖維化的基變換對代數曲面的陳省身數的影響問題，即曲面纖維化的不變量在基變換下的變化規律的問題。 基變換的作用就是把任意的纖維化轉化為好的纖維化，即半穩定纖維化。這個過程通常被稱為半穩定約化。Deligne和Mumford等代數幾何學家研究半穩定約化的目的是要研究代數曲線的模空間。從量的角度研究半穩定約化是肖剛的首創。
在伯克利期間，肖剛首先研究了半穩定約化所要的基變換的最小次數問題。之後，他發現了相對陳省身數在基變換下的不等式關係。在肖剛的建議下， 我在波恩訪問期間繼續這個問題的研究，最終完全搞清楚了不變量的變化規律，發現了用陳省身數計算曲線束的模不變量（即模陳省身數）的計算公式。
直到2008年，我們才意識到這些模陳省身數的計算公式的作用。在討論班上，博士生龔成發現，日本著名數學家小平邦彥在1960年代時， 對橢圓纖維化已經得到了和我們一樣的公式，並且模陳省身數就是橢圓曲線著名的J-函數的次數。自那時起，一些代數幾何學家就試圖把小平邦彥公式的推廣任意虧格的纖維化。 而我們得到的公式正好是這樣的一個推廣。頓時我們都覺得這些公式應該有更多的應用。比方説，給定兩個變量的多項式 f(x,y)，參數曲線 f(x, y)=t 的模陳省身數就是 f(x,y) 的新不變量。
用通俗的語言和新的觀點來介紹肖剛研究的這一問題，我們可以看出它不僅是代數幾何研究的重要問題，也是其他領域的數學家關心的重要問題。
代數曲面纖維化就是研究“參數曲線”Ct，曲線束有參數方程 f(x,y,t)=0，t 是參數。曲線束中的曲線組成一個曲面，即方程定義的曲面。所謂基變換， 就是將參數 t 換為新的參數 T ，局部來看，舊參數是新參數的多項式，t=p(T), 曲線束可以用新的參數來參數化。肖剛研究的問題就是曲線束的不變量對參數的依賴關係。 從這項研究的結果可以發現，曲線束的相對陳省身數和參數有關，然而，模陳省身數與參數無關。這一事實在數學其它領域中可能有新的應用。
該項研究在微分方程中的應用。19世紀末，Darboux, Poincare, Painleve 和 Hilbert 等人就試圖利用曲線束的拓撲來研究微分方程 P(x,y)dy=Q(x,y)dx 的整體性質， 著名的Hilbert 16問題就是關於代數曲線束的拓撲問題和微分方程的定性問題。如果曲線束來自該微分方程的解，那麼，曲線束的模陳省身數就是微分方程的拓撲不變量， 因為它不依賴於參數。利用得到的模陳省身數的計算公式，我們可以對任意的微分方程定義其陳省身數，這正好就是19世紀的數學家們希望尋找的微分方程的拓撲不變量。 這些不變量有可能在該微分方程的整體性質的研究中發揮作用。
該研究在數論中可能的應用。曲線束可以看作函數域上的一條代數曲線，和數域上的代數曲線有很強的類比性。Arakelov理論就是試圖在數域上建立和函數域上的曲線類似的理論， 比如，建立代數點的高度不等式，用於研究丟番圖問題。函數域上已經有了好的高度不等式，然而，要把這個不等式推廣到數域上去碰到了一個暫時無法克服的困難， 就是在函數域上可以對參數進行微分，而在數域上沒有對應的概念。也就是説，函數域上的高度不等式與曲線束的參數有關。為了避免此困難，一個值得一試的途徑是， 在函數域上建立只與曲線束的模陳省身數有關的高度不等式，模陳省身數與參數無關，其證明可能有希望向數域上推廣。
該研究在動力系統中的應用。曲線束的參數在曲線模空間上的軌跡是一條曲線。另一方面，曲線束的相對不變量滿足幾個Arakelov型的不等式，左康和他在德國的兩位同事證明， 這些不等式的等號成立，當且僅當參數在曲線模空間的軌跡曲線分別是泰希米勒（Teichmüller）曲線和志村（Shimura）曲線。泰希米勒曲線的是動力系統的研究課題， 今年獲得菲爾茲獎的伊朗女數學家Maryam Mirzakhani的獲獎工作就是研究泰希米勒曲線。志村曲線是數論學家研究的對象，關於它有很多未解決的問題。
代數曲面纖維化理論和有限覆蓋理論是肖剛教授研究代數曲面最具特色的方法，他對這兩個理論的發展做出了開創性的貢獻。 他在代數曲面理論的研究上取得的幾項重大成果的背後，都可以看到這兩個工具所發揮的巨大作用。國內外很多學者的研究都受到肖剛開創的研究方法的影響。
今年4月份的時候，我的同事邱瑞峯教授在校車上告訴我説，中國有幾位數學家的學術生涯很順利，他們的共同點都是遇上了好的導師，導師指引了好的研究方向，讓他們沒走彎路。 並説，我就是其中之一。我非常贊同他的觀點。
肖剛，1951年9月出生於江蘇無錫。曾任華東師範大學教授，現任法國尼斯大學教授。2014年6月27日因病去世。
肖剛讀初中時被送往蘇北農村插隊落户。在農村插隊期間自學了高中和大學課程, 1977年10月考取中國科大研究生。1980年1月赴法國巴黎南大學留學, 1984年2月獲法國國家博士，1984年5月回國到華東師範大學任教。1986年9月至1988年6月又先後到美國普林斯頓的高等研究所和伯克萊的數學研究所作研究。1986年晉升為教授，後獲得博士生導師資格。曾任中華全國青年聯合會委員和上海市政協委員。1986年獲國家教委科技進步一等獎，1987年獲國家自然科學三等獎；1989年獲霍英東青年教師獎 (研究類一等)； 獲第三屆陳省身數學獎。1992年10月起法國尼斯大學數學系教授。
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