這項數學史的偉大成就，歸功於阿拉伯人_風聞

本文簡要介紹代數學的早期發展，包括“代數”一詞的由來、《九章算術》中的代數學內容，9世紀阿拉伯數學家花拉子密其人及其《代數學》的主要內容和影響。通過豐富的歷史資料，我們能對代數學的早期歷史有更全面的認識。撰文 | 郭園園（中國科學院自然科學史研究所）代數學是數學中最重要的基礎分支之一，代數學按照發展的先後順序可分為初等代數學和抽象代數學。初等代數學是指19世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質。19世紀末，代數學從方程理論轉向代數運算的研究，揭開了抽象代數的序幕。代數是如何起源的呢？代數之前已有算術。代數與算術主要區別在於代數要引入未知數，根據問題的條件列方程，然後解方程求未知數值。儘管古埃及、巴比倫、古希臘和古代中國等早期文明中都可以找到一些零星的代數學內容，但代數與算術在很長一段時間內是伴生在一起的。代數學發展成為一門獨立的數學分支應歸功於中世紀的阿拉伯人。最早的代數學著作是9世紀初阿拉伯數學家花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī，約780－約850）的《還原與對消之書》（簡稱《代數學》，約820），它標誌着初等代數學的誕生。01“代數”一詞的由來事實上，今天漢語中的“代數”一詞並非源自中國古典數學，而是源自花拉子密《還原與對消之書》（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）的書名，其中的 “al-jabr”為“還原”。花拉子密將其定義為這樣一種運算——將方程一側的一個減去的量轉移到方程的另一側變為加上的量，例如5x+1=2-3x，變為8x+1=2，這就是一個“還原”過程。書名中“al-muqābala”的意思是將方程兩側的同類正項消去，例如8x+1=2化為8x=1，這就是一個“對消”過程。後世的阿拉伯數學家逐漸用“還原”一詞來代替“還原與對消”，慢慢演化為今天方程化簡中的移項與合併同類項。後來阿拉伯代數學傳入歐洲，“還原（al-jabr）”一詞演變為英文中“代數（algebra）”一詞。16世紀末，歐洲耶穌會傳教士來華，揭開了明末清初西學東漸的序幕。清康熙五十一年（1712）前後，耶穌會士傅聖澤（Jean-Françoise Foucquet，1665-1741）首次將符號代數傳入中國，為康熙皇帝撰寫了《阿爾熱巴拉新法》，其中“阿爾熱巴拉”就是algebra（代數）的音譯。此外，該詞還有“阿爾朱巴爾”“阿爾熱巴達”“阿爾熱巴喇”等譯法。關於上述中文譯名，晚清《中西聞見錄》記載：亞喇伯國算學書，有名曰阿喇熱巴爾愛阿喇莫加巴喇者，考其立名之意，即補足法，亦相消法，[阿喇者，其也，熱巴爾能也，分數變為整數之算法也，莫加巴喇相對也，相比也，相等也，即互相調換意也。]歷年既多，取其補足相消意，僅呼為阿爾熱巴喇。康熙之後，阿爾熱巴拉被曲解為“東來法”，廣為流傳，為“西學東源”説張本。與此同時，康熙接受泰州進士陳厚耀（1648-1722）“請定步算諸書以惠天下”的提議，於康熙五十一年（1712）下詔開蒙養齋（蒙養齋被西方稱為中國皇家科學院），並賜梅文鼎（1633-1721）之孫梅瑴成（1681-1763）舉人頭銜，充蒙養齋彙編官，會同允祉、允祿等開始編撰《數理精藴》，至康熙六十一年（1722）告成。該書彙集了明末傳入中國的西方數學知識，並吸收了當時中算家們的一些研究成果。《數理精藴》下編卷31-36有“借根方比例”，介紹多項式的加減乘除法則，引入加號、減號、等號、移項等概念，以用代數方法求高次方程的解。其卷31雲，“借根方者，假借根數、方數以求實數之法也”。“根數”就是未知數，“方數”就是根數的正指數冪。梅瑴成認為“借根方”的西名“阿爾熱巴達”為“東來法”，它是宋元時期的“立天元一”法傳播到西域之後又再次傳回的產物，這樣明清之際傳入的西方代數學“借根方”刺激了乾嘉學者對宋元數學典籍的發掘，進而為偉烈亞力（Alexander Wylie，1815-1887年）等西方學者對中西數學文化作比較、交流和互鑑提供了可能。自18世紀20年代起，傳教士被禁止在內地傳教，直至鴉片戰爭後被迫開埠之時，西方數學的傳入基本中斷，並一直延續到1850年前後。1847年，英國人偉烈亞力來到上海學習中文，1853年他用中文編寫了《數學啓蒙》介紹西方數學。偉烈亞力在《數學啓蒙》序中説：“有代數、微分諸書在……”，這是第一次使用中文“代數”一詞作為數學分支的名稱。1859年，李善蘭（1811-1882）與偉烈亞力合作翻譯的《代微積拾級》和《代數學》刊行。其中《代微積拾級》的底本為美國數學家羅密士（E .Loomis，1881-1889）1851年所著的《解析幾何與微積分》。《代數學》的底本為英國人棣麼甘（Augustus De Mogan，1806-1871；該譯名取自古籍，現一般譯為德摩根）1835年所著的“Elements of Algebra”，譯為中文時定名為《代數學》，這是我國第一本以“代數學”命名的書。書中指出“代數”二字取意“以字代數”，即以甲乙丙丁諸元代已知數，以天地人物諸元代未知數。譯本中的代數術語源於中國的傳統代數學天元術，但是否認“借根方”是“東來法”。《代數學》刊行後的十幾年，符號代數在中國的傳播並不順利。直到1872年，華蘅芳（1833-1902）與傅蘭雅（John Fryer，1839-1928）合作翻譯的《代數術》刊行，西方符號代數才流行和傳播開來。02花拉子密之前的代數學與數字之間的算術運算相比，初等代數學的精妙之處在於處理含有未知數問題的過程通常是機械化的：首先將所求未知數設為“某物”或“某量”（今天一般設為x），並建立方程；隨後在將方程化簡為標準形式的過程中，這個“某物”或“某量”可以像已知數一樣參與運算，例如“移項”“合併”或“對消”等，它可以取代人腦原本需要進行的複雜條件分析過程。這就好像是用算盤進行算術運算，人們利用算盤的形制、口訣和機械的撥珠可以替代大量的腦力勞動，從而可以長時間準確地計算。有的讀者朋友可能會感到好奇，早在2300年前，古希臘數學家歐幾里得（Euclid，約公元前330-前275）就能在其所著的《幾何原本》中解決複雜的圖形問題並奠定了今天幾何學的基礎，為什麼上述看似“簡單”的代數思想卻只能追溯到公元9世紀初呢？事實上，更早的古希臘、古印度和古代中國的數學文明中或多或少也都可以找到上述初等代數的內容，下面以中國古典數學中《九章算術》方程章為例。漢代成書的《九章算術》第八章所給方程術相當於現今的線性方程組解法，是《九章算術》最傑出的數學成就之一。該章第一問提出方程術，是全章的綱，本章18道問題都要用方程術解決。第二問提出損益術，是列方程的方法。第三問提出正負術，是解決消元過程中或方程本身出現負數時的處理方法，是方程術的必要補充。若以x, y, z分別表示《九章算術》第一問中上、中、下禾各一束的實的斗數，得到線性方程組：隨後用直除法消元求解。所謂直除法就是整行與整行對減。此處方程的建立及消元變換採用位值制，每個數字不必標出它是什麼物品的係數，而是用所在的位置表示，與現代數學中分離係數法一致。《九章算術》方程的表示，相當於列出其增廣矩陣，消元過程相當於矩陣變換。例如第1問中的消元求解過程相當於今增廣矩陣變換：損益術是《九章算術》建立方程時要用到的重要方法，方程章第二問提出：損之曰益，益之曰損。“損之曰益”是説關係式一端損某量，相當於另一端益同一量；同樣，“益之曰損”是説關係式一端益某量，相當於另一端損同一量。損益術相當於現今方程某項從等號一端向另一端移項，移項後改變符號。例如第二問原題有：今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實十一斗。若設上、下禾一秉之實分別為x, y，相當於給出關係：(7x-1)+2y=10。通過損益術，該方程可化為：7x+2y=11。《九章算術》方程章還引入了負數，提出正負數的加減法則，與今天的方法無異，負數的引入是數系的又一重要擴展，是中國古代的重要成就。《九章算術》方程章中的“損益術”在驚歎於中國古代數學家們取得成就的同時，我們也應認識到古代數學知識跨文明傳播、演化通常並不是從一個“里程碑”到另一個“里程碑”的“輝格史”過程，而是一個非常複雜且充滿多元化的過程。到目前為止，沒有證據表明上述中國古代代數學思想影響了花拉子密。與之類似，花拉子密《代數學》中同樣沒有歐幾里得《幾何原本》、丟番圖（Diophantus，約246-330）《算術》等古希臘數學著作中的任何代數學痕跡。雖然，花拉子密《代數學》在個別問題中體現了印度數學的特點，但在語言表述、章節安排、思想呈現等方面更大程度體現出其原創性。古代數學知識在跨文明傳播、演化過程中這種非線性特點的例子還有很多。例如，15世紀初波斯數學家阿爾·卡西（al-Kāsh，約1380-1429）利用三次方程數值解求出sin1°任意精度值從而提高正弦表精度，但這種算法並未傳入歐洲。16世紀中葉，奧地利數學家雷蒂庫斯（Rheticus，1514-1574）開始致力於求解高精度正弦表，直至半個世紀後德國數學家畢的斯克斯（Pitiscus，1561-1613）才在1595年出版的《三角法》一書中達到了近200年前卡西的成就。1631年，德國傳教士鄧玉函（Jean Terrenz，1576-1630）以《三角法》為底本編寫《大測》傳入中國時，並未將上述算法寫入《大測》；直至1722年《數理精藴》中，中國數學家才經過獨立探究並掌握上述算法，但此時距卡西解決此問題已過去300年。03花拉子密的生平與《代數學》的主要內容花拉子密的生平信息很少，這種情況在古代著名數學家中並不是個例，比如古希臘數學家歐幾里得、中國古代數學家劉徽（公元3世紀）、賈憲（11世紀）等人的生平信息也很少。花拉子密全名——穆罕默德·本·穆薩·花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī），根據阿拉伯人名字的特點，他的名字應叫穆罕默德。其中“本”是兒子的意思，所以“本·穆薩”表明他的父親叫穆薩。最後一個單詞表明他來自中亞花剌子模地區，但是他的父輩們或是更早的祖先何時來到巴格達，我們一無所知，只知道他生活在巴格達且沒有去過其他地方。花拉子密共有12部著作，這些作品題材廣泛，包括數學、天文學、年代學、地形學和歷史。他的數學著作除了《代數學》以外，還有一本名為《印度算術書》的著作，該書在阿拉伯世界首次系統地介紹了印度十進位制記數法以及相關計算方法。之所以能夠在9世紀初的阿拉伯地區產生像花拉子密這樣偉大的科學家絕對不是偶然的，這是政治、經濟、文化等多方面因素共同作用的結果。據推斷花拉子密出生在公元8世紀的最後一個十年，並在當時學風盛行的巴格達接受教育。阿拔斯王朝第七任哈里發馬蒙（al-Ma’mūn，813-833）在巴格達修建了“智慧宮”並開啓了“百年翻譯運動”。花拉子密在這一時期被邀請到“智慧宮”工作，完成了《代數學》並在該書序言中表達了對馬蒙的尊敬與感激。直至第九任哈拉法瓦希克（al-Wāthiq，842-847在位）去世的公元847年，花拉子密仍在世。1983年發行的花拉子密紀念郵票花拉子密《代數學》正文分四部分：一元二次方程理論、商貿問題（三率法）、幾何度量問題、遺產問題。該書開始部分便介紹了由根（即一次項）、平方（即二次項）及數（即常數項）組合成的六種類型的標準方程：1、平方等於根（ax^2=bx）；2、平方等於數（ax^2=c）；3、根等於數（bx=c）；4、平方與根之和等於數（ax^2+bx=c）；5、平方與數之和等於根（ax^2+c=bx）；6、根與數之和等於平方（ax^2=bx+c，以上a, b, c＞0）。花拉子密在構造方程時，僅考慮有正根的方程，化簡得到的標準形式方程必然為一些正項之和等於另外一些正項之和。在保證方程存在正根的前提下，上面六種方程與今一元二次方程的標準形式ax^2+bx+c=0(a, b, c∈R)是等價的。前三種類型方程解法較簡單，對於後三種類型方程，花拉子密首先將二次項係數化為1，然後用文字語言詳盡闡明其求根公式，例如第五種方程相當於：花拉子密《代數學》（1342年版）前面所列是6個標準形式方程，但是根據題意列出的方程通常形態各異，所以花拉子密接下來給出了方程化簡的方法，即簡單的整式運算法則。全書第二、三部分——商貿問題和幾何度量問題的篇幅非常簡短，最後用了全書一半的篇幅來闡述58道與伊斯蘭遺產法有關遺產繼承問題，它們本質上是複雜的一元一次方程。下面以第一題為例，這也是最簡單的一道：一個人去世後留下兩個兒子，並將其總遺產的三分之一遺贈給一個陌生人。他留下十迪拉姆的遺產，且有一個兒子欠了父親的債務，他將不會享有這十迪拉姆（中的任何部分）。一個兒子欠了父親的債務，設這個兒子的債務為x，將其加父親留下的財產後進行分配，則總遺產為10+x。這個兒子所得的遺產與其原有的債務相抵消，則有：陌生人得到5迪拉姆，其中一個兒子得到5迪拉姆，另一個有債務的兒子所得遺產與原有債務抵消。對伊斯蘭遺產法中規定的複雜遺產分配問題進行代數求解的行為，體現了當時數學與宗教良好的伴生關係，事實上這種伴生關係貫穿了整個中世紀伊斯蘭數學發展的黃金期。與之類似的，信徒尋找面向麥加城精確方向進行禱告而產生的“奇伯拉”問題，促進了阿拉伯三角學的快速發展。宗教中的重要問題為數學提供了發展的動力，同時賦予了數學更高的威信與地位，這些都體現了數學在發展過程中多元化的文化特點。04花拉子密《代數學》的深遠影響對於第一次閲讀花拉子密《代數學》的讀者而言，它似乎並沒有給人眼前一亮的感覺。這並不是一本鴻篇鉅製，而是略顯單薄的小冊子；書中也沒有複雜的難題，今天的初中生閲讀起來也毫無障礙；書中沒有代數符號，全部用文字語言表述，給人一種“原始”的感覺。但是由於其中明確的方程思想闡釋、實用價值和官方背景，該書很快便獲得了巨大的關注。與花拉子密同時期以及稍晚的許多數學家均參與到《代數學》的深入討論中，例如同時期的伊本·吐克（ibn Turk，9世紀人）補充了花拉子密證明一元二次方程求根公式正確性的幾何證明；稍晚些的塔比·伊本·庫拉（Thabit ibn Qurra，826-901）首次將歐幾里得《幾何原本》與花拉子密《代數學》進行深入比較研究；阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約850-約930）全面繼承並且發展了花拉子密的代數學思想。一方面伊本·吐克、塔比·伊本·庫拉、卡米爾等人的工作進一步明確了花拉子密的代數學思想，併為後世阿拉伯數學家在方程的化簡和求解領域提供了更寬廣的研究視角和更豐富的研究內容；另一方面，正是由於參與了花拉子密《代數學》的研究而使得上述數學家的名字都刻在了數學史的“功績簿”上。花拉子密所著《代數學》書中的“還原與對消”方法作為代數學的基本特徵被長期保留下來，同時該書基本確定了後世阿拉伯代數學中方程化簡與方程求解這兩條主要的發展脈絡。首先在方程化簡領域取得突破性進展的是卡拉吉（al-Karaji，953-約1029），他的工作使得代數學進一步“獨立”， 相當於系統地將加、減、乘、除、比例和開方這幾種基本算術方法應用於代數表達式。隨後的薩馬瓦爾（al-Samaw’al，約1130-約1180）進一步發展了凱拉吉的理論。最終，這種源於方程化簡過程中的基本運算步驟及簡單的算術方法在阿拉伯數學家們的努力下發展成一套相對完備的理論。花拉子密、塔比·伊本·庫拉、卡米爾等數學家們在一元二次方程的代數解、幾何解、數值解等方面已經得到相對完備的成果。而首先在一般高次方程求解領域取得突破性進展的是奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，1048-1131）。海亞姆最大的貢獻在於他對一元三次方程給出了基於希臘數學知識的幾何解法，本質上是利用圓錐曲線交點對方程的解進行定性描述。首先在一般三次方程數值求解領域取得突破性進展的是薩拉夫·丁·圖西（Sharaf al-Dīn al-Tūsī，約1135-1213），這為後世數學家進行高精度數值求解奠定了基礎。海亞姆求解x3+c=bx圖示（拋物線與雙曲線的交點表示方程的根）花拉子密的《代數學》於12世紀被翻譯為拉丁文並在歐洲開始傳播。花拉子密的拉丁文譯名後來逐漸演變為algorism和algorithm這兩個英文單詞，前一個單詞是“阿拉伯記數法”；後一個單詞成為數學中的專有名詞“算法”，即解決某種問題的特定的計算步驟。13世紀初，意大利數學家斐波那契（Fibonacci，約1175-約1250年）在代表作《計算之書》講述了卡米爾書中的代數學內容，其中第406頁邊注中提到Maumeht（即穆罕默德），以明確表示二次方程的解法出自花拉子密。從13世紀開始，歐洲科學奮鬥的原點就在於消化吸收並超越斐波那契等學者的著作。隨後，許多歐洲數學家也被阿拉伯代數學吸引，並一直致力於尋找一般三次方程的代數解公式。1545年，意大利數學家卡爾達諾（Cardano Girolamo，1501-1576）在德國紐倫堡出版了一部關於代數學的拉丁文著作《大術》，一般三次方程和四次方程的求根公式終於公之於眾，這也標誌着歐洲人真正接過阿拉伯人傳過來的數學接力棒。歐洲數學家們經過不懈的努力，於19世紀初最終證明了一般五次方程沒有代數解，開啓了近世代數的研究。19世紀初，中世紀的阿拉伯數學引起了歐洲數學史家們的關注，花拉子密《代數學》先後被翻譯為英語、法語、俄語等。2020年筆者出版的花拉子密《代數學》中譯本參考文獻[1] Al-Khwārizmī, Edited with translation and commentary by Roshdi Rashed, The Beginnings of Algebra[M], SAQI, Landon, 2009.[2]Martin Levey, the algebra of abu Kamil, kitab fi al-jabr wa’l-muqabala[M], in a commentary by Mordecai Finzi, Hebrew text, translation, and commentary with special reference to the Arabic text, the university of Wisconsin press: 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