為什麼物理學能如此強悍地創造新數學？_風聞
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20世紀物理學的發展一度得益於數學工具的應用，而數學一直在獨自前行。直到20世紀後半葉，弦論直接推動了數學的發展，數學與物理學齊頭並進，就像回到了科學的早期時代。無人否定數學能作為物理學進步的基礎，但反過來，為什麼物理學也能創造新數學？秘籍可能在現實世界。
撰文 | Ananyo Bhattacharya
翻譯 | 1/137
長期以來，數學一直是物理學進步的基礎。1915年，當愛因斯坦發現，半個多世紀以來的純粹數學工作完美地描述了他的引力理論中的時空結構時，他讚許廣義相對論是數學的“真正勝利”。他後來驚歎，在沒有任何應用考慮的情況下構想出的數學，怎麼會“如此令人欽佩地適合現實對象”[1]呢？
現今，將數學服務於物理學通常被認為是理所當然的，這根植於它的起源。畢竟，數學是為了測量、量化和理解物理世界而發明的。在美索不達米亞，蘇美爾人發展了一種計數系統，留下了刻有乘法表的泥板。他們的目的是什麼？用於清點貨品和財產。在隨後的幾千年裏，最初作為潤滑政府和商業運轉的工具，最終有了自己的生命。儘管數學擴展到了如此晦澀的抽象領域，以至於只有經過多年的訓練才能掌握，但數學仍繼續構成物理學的偉大突破的基礎。
不過，最近形勢發生了轉變。現在，來自物理學的洞見和直覺出人意料地引領了數學的突破。在20世紀的大部分時間裏，數學家們都在走自己的路，現在他們越來越多地從自然界的規律和模式中尋求靈感。停滯了幾十年的領域正待後生。甚至哲學家們也開始深入研究，正如一位哲學家大膽指明的那樣，為什麼物理學在數學中被證明是“沒來由的奏效”。這個問題的關鍵在於，支配宇宙行為的規則與人類思維最抽象的沉思之間，存在很大程度上未被理解的、令人困惑的和深刻的聯繫。
為什麼物理學——根植於理解諸如蘋果和電子這類世界上的真實事物——能為解決數學中一些最棘手的問題提供如此有效的線索？這些問題涉及不可捉摸的東西，比如函數和方程。
“相比數學家，物理學家不大關心嚴格的證明，”法蘭西學院（Collège de France）的數學家、菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）説。他表示，有時這一點“讓物理學家比數學家更快地探索數學領域”。如果數學家傾向於深入地調查這片風景的一小塊土地，那麼物理學家更有可能快速地掠過這一很大程度上屬於未知的大片區域。從這個角度來看，物理學家能夠意外發現新的、強有力的數學概念和關聯，數學家則可以折回到這些概念和關聯，試着證明（或反駁）它們。
物理學給數學提供的養分
事實上，物理學激發數學的進程與科學本身一樣古老。古希臘數學家和發明家阿基米德描述了力學定律如何激發了他的一些最重要的數學發現。還有牛頓，他與他同時代的德國博學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在試圖理解下落物體的運動時，發展了一種全新的數學——微積分。
但在20世紀中葉，從物理學流淌來的新數學幾乎枯竭了。物理學家和數學家都對對方那邊發生的事情不太感興趣。在數學界，一羣有影響力的年輕法國數學家，稱為布爾巴基（Bourbaki）學派，試圖使數學儘可能精確。他們努力從頭開始重建整個領域，並將合作成果發表出來，以期促進未來的數學發現。與此同時，物理學家們興奮地發展着開創性的想法，例如標準模型（Standard Model）——時至今日仍然是物理學家關於原子和亞原子世界的最佳理論。對他們中的許多人來説，數學只是一個方便的工具，他們對布爾巴基學派所倡導的嚴肅的數學願景不感興趣。
然而，在已故的黎巴嫩裔英國幾何學家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）的帶領下，雙方正在進行一場和解。憑藉罕見的直覺，再加上一點運氣，同樣是菲爾茲獎得主的阿蒂亞，經常能注意到後來理論物理學家感興趣的領域。
“在1970年代中期，他開始相信理論物理學是迄今為止最有希望的新思想來源，”與阿蒂亞合作的牛津大學榮休教授、數學家尼格爾·希欽（Nigel Hitchin）在 2020年寫道。“從那時起，他就成為數學家和物理學家之間互動的促進者，應對物理學家提出的數學挑戰，利用物理學思想證明純粹數學結果，併為物理學家提供他認為重要但對他們來説不熟悉的現代數學內容。”
數學物理學家愛德華·威滕（Edward Witten）是阿蒂亞的長期合作者之一，他們於1977年首次見面。比阿蒂亞小20多歲的威滕後來成為弦論的先驅，弦論認為微小的一維振動的弦是宇宙的基本組成部分，而不是標準模型中的那些粒子。
弦論最初被譽為一種可能的“萬物理論”，將會統一量子理論與愛因斯坦的引力理論，但迄今為止，可以説，弦論對數學中一些最抽象的領域——諸如代數幾何和微分拓撲——的影響比在物理學中的更大。在這些領域，威滕和其他弦論家已經能夠提出數學家後來才證明的精確猜想。
例如，在1991年，物理學家坎德拉斯（Philip Candelas）、奧薩（Xenia de la Ossa）和他們的同事將弦論應用於枚舉幾何（Enumerative geometry）中一個已有數十年曆史的難題。枚舉幾何是一個古老的數學分支，致力於計算幾何問題的解的數量。最簡單的問題比如，“有多少條線可以穿過一個平面上的兩點？”（1條）；或者阿波羅尼烏斯（Apollonius）的著名問題，“可以畫出多少個與三個給定的圓相切的圓？”（8個）
坎德拉斯與合作者能夠使用弦理論中的工具來解決枚舉幾何中一個特別棘手的問題：計算卡拉比—丘（Calabi-Yau）流形中特定類型曲線的數目，這些奇怪的六維形狀是弦論的核心。他們的結果將兩種幾何學聯繫起來，即“辛幾何”和“復幾何”，數學家們幾十年來一直孤立地研究這兩種幾何，認為它們無關。這種進步——將兩個被認為無關的領域聯繫起來——在數學中被認為是一個“深刻”結果：你突然可以使用一個領域的工具來解決另一個領域的問題，從而推動並加速了數學的進步。
僅僅幾年後，即1995年，威滕提出了五個不同版本的弦論，每個版本都需要10維，都是他稱之為“M理論”的單個11維概念化的不同方面。儘管M理論仍未得到證實，但繪製不同理論之間的對應關係已經導致了驚人的數學發現。“感覺就像每個月弦論都在以前所未有的方式為數學家提供新的結構，”倫敦數學科學研究所的數學物理學家何楊輝（Yang-Hui He）説。
弦論是兩個數學世界之間那種意想不到的關係或“對偶性”（duality）的豐富來源，至今仍讓數學家興奮不已。何楊輝和他的合作者、同樣來自倫敦研究所的弦論家弗裏德里克·卡塔（Federico Carta）在研究最簡單的卡拉比—丘流形類型（K3曲面）時，偶然發現了表面的“同倫羣”（homotopy group，在拓撲學中用於對形狀進行分類），與一種稱為“Mathieu 24”的對稱羣之間的關係。兩人的發現揭示了純數學中兩個不同領域之間意想不到的聯繫——拓撲學、形狀研究以及現代代數中一個稱為羣論的領域，該領域涉及物體所具有的對稱類型。
何楊輝談到，為什麼物理學會產生如此有趣的數學，這是一個“深奧的問題”。存在無數種模式和結構可供數學家加以研究，“但那些來自現實的（模式和結構）是我們在某種程度上有直覺的。”
希欽表示同意。“數學研究不是憑空產生的，”他説。“你不能為發明一個新理論而發明。你需要相信那裏有一些東西需要調查。新的想法必須圍繞着一些現實的觀念，或者也許是某人的觀念。”
這就帶來一個問題，即物理學是否僅僅通過提供更強烈的探索動機和數學家精力的焦點來滋養數學。在關於世界應該如何運作的直覺和看似合理的終點的指引下，數學家有時可以在某個問題上取得比其他情況更快的進展。
它還可以解釋一個奇怪的事實：“糟糕的”物理學有時可以帶來好的數學。
例如，渦旋（vortex）理論是英國數學物理學家威廉·湯姆森（William Thomson），即開爾文勳爵的早期嘗試，旨在解釋為什麼原子的種類相對較少。他將原子想象成旋轉的環，可以打成錯綜複雜的結，每個結對應不同的化學元素。在發現電子後，該理論被拋棄了——但其數學導致了紐結（knot）理論的發展。此後，紐結理論成為純數學家探索的沃土，並在流體動力學和理解像DNA這種纏結分子方面發現了令人驚訝的應用。
宇宙是數學構成的？
對阿蒂亞來説，物理學和數學之間的神秘關係都歸結為人腦。“人類是長期進化的產物，其中強大的大腦是一個優勢。這樣的大腦是在物理世界中進化而來的，因此進化的成功是通過生理的成功來衡量的，”他在 2018 年的一次採訪中解釋説。“因此，人類大腦進化來解決物理問題，這需要大腦發展正確的數學。”要做到這一點，大腦還必須適應識別和欣賞自然界中的數學模式。阿蒂亞甚至在 2014年進行了一項大腦成像的合作研究，該研究得出結論，對於數學之美的體驗與優美的音樂、藝術或詩歌一樣，它們激發大腦的相同部分。這也許可以解釋為什麼物理學可以成為數學家的指路明燈：從研究現實中產生的那種數學往往是我們的大腦喜歡的那種。
2010年，在與希欽和當時在普林斯頓大學工作的荷蘭理論物理學家羅伯特·迪格拉夫（Robbert Dijkgraaf）合著的一篇論文[2]中，阿蒂亞進一步強調了物理學在數學中的成功應用。然而，從那時起，試圖理解這種現象的工作就很少了。
最近重新審視這個問題是一位哲學家，博洛尼亞大學的丹尼爾·莫利尼尼（Daniele Molinini）。2023年他發表在《英國科學哲學雜誌》（The British Journal for the Philosophy of Science）上的論文[3]，回應了諾貝爾物理學獎得主尤金·維格納（Eugene Wigner）於1960年撰寫的一篇經常被引用的文章，即《數學在自然科學中不合理的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。然而莫利尼尼出言無忌地回應則是探討“物理學在數學中的不合理的有效性”（The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics）。他給出一個令人驚訝的回答，一些物理定律可能像數學定理一樣無可爭議。他説：“我們必須將關於現實世界的一些原則視為基本原理。”
哲學家們普遍同意數學真理成為一種“必然”，因為它們必須在所有可能的世界中都是正確的。而對於自然的真理，經驗事實，則是不同的——它們依情況而定。光以恆定的速度傳播，但可以説在一個不同的宇宙中，它可能並非如此。也就是説，無論如何，數學真理在過去和將來都是正確的。
是否存在某些物理定律也以同樣的方式成為“必然”？在他的論文中，莫利尼尼認為守恆定律可能就是這樣的一條定律。在物理學中，系統的某些屬性，例如能量或動量，不發生改變。例如，一個騎自行車的人從山上自由滑行而下，將她的重力勢能轉化為動能，但她和她的自行車所擁有的總能量保持不變。
莫利尼尼認為，如果這種守恆是“必然產物”，那也許可以解釋阿基米德為何能通過力學的思考成功推斷出幾何證明的真理性，否則難以解釋這一壯舉。在這種情況下，物理學和數學是同一枚硬幣的兩面：兩者都是正確的，因為它們都遵循相同的基本原理。
另一種著名的觀點則是伽利略在17世紀初表述的，並經常受到數學家的擁護，即宇宙是用數學語言寫成的。這個想法有着古老的起源，至少可以追溯到畢達哥拉斯和他的追隨者，但一個更晚近和極端的版本是馬克斯·泰格馬克（Max Tegmark）的數學宇宙假説（mathematical universe hypothesis）——宇宙本身不僅由數學描述，而且是由數學構成的。
在泰格馬克的論述中，我們的宇宙只是無數個平行宇宙中的一個，數學的所有無限可能性——每一個定理、每一個證明——都在這個多重宇宙的某個地方實現了。這也難怪物理學激發了數學的新發現——物理學所描述的現實，無論如何，歸根結底都是數學的。“實證科學和數學之間存在着密切的聯繫，”悉尼大學研究數學和物理學之間關係的哲學家馬克·科利文（Mark Colyvan）説。“我們可以得出的一個結論是，不知何故，世界本身即數學。”
然而，在這兩種表述中，從物理學產生的數學應該非比尋常的豐富。可是已知物理學產生的數學只是所有數學的一小部分（幾乎所有數學可能都沒那麼有趣）。宇宙完全由數學構成並不能解釋這個問題。
莫利尼尼正在對一種流行的數學適用性的哲學闡釋發起挑戰，即“映射”[4]（mapping），他認為這種闡釋無法解釋為什麼好的數學可以從物理學中產生。映射理論認為，通過將物理概念[如質量或間隔（separation）]轉化為數學對象，例如牛頓萬有引力定律的方程，可以使用它來計算某些東西，然後將其映射回物理屬性——兩個物體間的吸引力。但莫利尼尼質疑説，當人們試圖顛倒它來解釋數學是如何從物理學中出現的時，映射過程就失效了。
他説，哲學家們對這個問題的興趣越來越大，他們一直關注為什麼數學可以應用於實證科學的反問題，即為什麼實證科學可以得到數學。
“現代物理學為數學家提供了一大堆新工具和意想不到的線索，”何楊輝説。“未來，物理學和數學將需要更緊密地合作，以解決純數學中的一些最大問題。”
他表示，羅伯特·朗蘭茲 （Robert Langlands） 在 1960 年代構思的朗蘭茲綱領（Langlands program）就是這樣一個領域，它通常被稱為“數學的大統一理論”。據稱，該綱領的一個分支，即幾何朗蘭茲綱領（geometric Langlands），最近由一支數學家團隊解決，他們提出的證明橫跨五篇論文，長達800 頁（編者注：可參閲《在監獄中萌生的數學大一統之願景，離實現又近了一大步》）。該證明的核心基於最初從共形場論（conformal field theory）中得出的洞見，共形場論是物理學的一個分支，是弦論及其他領域的基石。何楊輝認為，數學家需要借鑑更多的物理學來探索該證明的含義，並在朗蘭茲綱領的其他方面取得進展。
同樣，數學家們已經利用物理學來嘗試在黎曼假設（Riemann hypothesis）和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）問題上取得進展，它們是數學中兩個最具挑戰性的開放問題。何楊輝感覺，這兩個領域間的結合將是最終解開這些宏偉命題的關鍵。
何楊輝説：“物理學和數學開始再次合二為一，就像它們在牛頓和高斯的時代一樣。”他接受過理論物理學家的訓練，但越來越傾向於將物理思想應用於純數學問題。
這是個迷人的想法。宇宙的故事可以用數學的語言寫成。但是，儘管這個故事看起來很美好，但有跡象表明，要想比物理學家已經理解得更多，將需要越來越奇特和複雜的數學工具，而且有些工具有待被髮明。打破這兩個領域之間的壁壘可以為理解雙方打開新世界。
譯者注
[1] “so admirably appropriate to the objects of reality?”這句話來自愛因斯坦1921年1月27日在柏林的普魯士科學院發表的演講，題為《幾何學和經驗》（Geometry and Experience），原文用德語。
[2] 參見：Atiyah, Michael, Robbert Dijkgraaf, and Nigel Hitchin. “Geometry and physics.” Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 368.1914 (2010): 913-926.http://doi.org/10.1098/rsta.2009.0227
[3] 參見：Molinini, Daniele. “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics.” The British Journal for the Philosophy of Science 74.4 (2023): 853-874.https://doi.org/10.1086/715104
[4] 參見：Bueno, Otávio, and Mark Colyvan. “An inferential conception of the application of mathematics.” Noûs 45.2 (2011): 345-374.https://doi.org/10.1111/j.1468-0068.2010.00772.x
本文經作者授權翻譯刊於《返樸》，譯自Ananyo Bhattacharya, Why Physics Is Unreasonably Good at Creating New Math, 原文地址：https://nautil.us/why-physics-is-unreasonably-good-at-creating-new-math-797056/；
本文的一個更長的版本可見：https://ananyo.substack.com/p/why-is-physics-so-good-at-math。
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