龐加萊的疑問_風聞
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《數學史》是一本由大師創作，資深研究人員主持翻譯的傑作，在國際上自第一版出版以來已成為數學史領域的標準參考書，而目前引進的第三版，對第二版做了很大改進，其修訂覆蓋整部作品，並補充了數學史領域的新發現。本書內容廣博、形式活潑，可讀性很強，將帶領讀者仰望數學天空的燦爛羣星，感受數學深邃的迷人景象，激發讀者對於數學乃至自然科學的熱愛之情。
撰文 | 尤塔·C·默茨巴赫 卡爾·B·博耶
翻譯 | 程釗
從1895年到1904年的十年間，亨利·龐加萊發表了一系列重要論文，奠定了位置分析，也稱為組合拓撲學或代數拓撲學的大部分基礎。最開始的導論部分發表在1895年的《綜合理工學校雜誌》上，有120多頁，隨後的一系列補充和更正則散佈在巴勒莫數學會、倫敦數學會和法國數學會的出版物，以及巴黎科學院《通報》的副刊上。正如第二十三章所述，龐加萊在這些論文中建立了貝蒂數、基本羣和同調論的其他基本概念之間的關係。
在對1895年論文的第二篇增補 (1900年) 中，龐加萊曾宣稱每個貝蒂數等於1的無撓多面體是單聯通的。到1904年第五篇增補發表時，他提出了一個反例，後來被稱作“龐加萊同調球”，它由兩個適當聯通的雙圓環面組成。儘管可以用許多不同的方式將它構造出來，龐加萊的同調球仍是唯一已知的與三維球具有相同同調而又不與它同胚的三維流形。龐加萊的反例導致他以下面的疑問結束了這篇論文：
有可能使 (流形) V 的基本羣簡化成恆等代換，並且V 還不是單聯通的 (不與三維球同胚) 嗎？
讓人感興趣的是，我們注意到龐加萊的疑問不像牛頓在《光學》附錄中的疑問那樣，是以否定形式表述的，並暗示一種肯定的回答，而是作為一箇中性問題。然而，這就是最終以“龐加萊猜想”著稱的那個表述。直到20世紀30年代，也就是龐加萊去世後20多年，這個問題才在拓撲學家中引起極大興趣。懷特黑德 (J. H. C. Whitehead, 1904—1960) 是這個正在成長的領域中的首批著名實踐者之一，他宣稱證明了龐加萊猜想。但深入研究後表明他的證明有誤。
在這個過程中，他發現了不與 R3 同胚的單連通非緊三維流形的一些有趣例子，其原型現在稱為懷特黑德流形。
懷特黑德之後，有許多拓撲學家尋求對龐加萊疑問的解答，但都無功而返。作為例子，我們提三個人: 賓 (R. H. Bing, 1914-1986)、莫伊茲 (E. E. Moise) 和史蒂夫· 阿門特勞特 (Steve Armentrout)，他們都在穆爾 (R. L. Moore, 1882-1974) 指導下於德克薩斯大學獲得博士學位。賓通過證明該猜想的一種弱化形式獲得了些許成功。1958年，他確認如果一個緊三維流形的每條簡單閉曲線包含在一個三維球中，那麼該流形同胚於這個三維球。
儘管對於三維情形解決龐加萊猜想的種種嘗試似乎沒什麼進展，然而卻產生了對於高維情形能夠談論些什麼的問題。這裏存在着不與n維球同胚的單連通流形。看來似乎並不存在與一個n維球同胚的同倫n維球。然而在1961年，史蒂芬·斯梅爾 (Stephen Smale) 對於高於四維的情形證明了所謂廣義龐加萊猜想。1982年，邁克爾·弗裏德曼 (Michael Freedman) 對於四維的情形證明了該猜想。
20世紀70年代，威廉·瑟斯頓 (William Thurston) 提出了一個關於三維流形分類的猜想。他認為任何一個三維流形都能被唯一分割，使得每部分具有八種特定的幾何之一。人們很快想到二維的單值化定理，其中一個類似的分割涉及三種幾何。瑟斯頓的所謂幾何化猜想通過其在1980年的一系列演講為人所知，並於1982年發表。正如約翰·摩根 (John Morgan) 注意到的，儘管它與龐加萊猜想之間沒有明顯的關係，但是瑟斯頓的工作有助於增進龐加萊猜想以及瑟斯頓本人的猜想都成立這樣一種共識。到2006年，瑟斯頓猜想的八種幾何中的六種已得到證實。剩下的兩種困難情形是球面幾何和雙曲幾何。瑟斯頓本人致力於研究雙曲情形，它具有負常曲率度量，與之相對的球面幾何具有正常曲率度量，後者則適用於龐加萊猜想。
1982年，理查德·漢密爾頓 (Richard Hamilton) 引入了流形上的裏奇流。裏奇流方程被認為是熱方程的一種非線性推廣。漢密爾頓指出，它可以用來證明龐加萊猜想的特例，但是他在某些奇點處遇到了困難，這使他沒能完全證明這一猜想。要再等上20年，期待已久的證明才會出現這次是在互聯網上。
這一不同尋常的證明的作者是一個叫格雷戈裏· 佩雷爾曼 (Grigori Perelman)的聖彼得堡人，他的同事都管他叫格里沙 (Grisha)。他的父親是一位電氣工程師，母親是一位數學教師。16歲時，他在布達佩斯舉辦的數學奧林匹克競賽中獲得金牌，因而開始走進公眾視野。他就讀於聖彼得堡大學並獲得了博士學位，而後得到了斯捷克洛夫研究所的一個職位，起初是在幾何與拓撲系，後來轉到了偏微分方程系。1992年到1995年期間，他在美國度過，最初在柯朗數學科學研究所和紐約州立大學石溪分校，後來在加利福尼亞大學伯克利分校獲得了兩年的研究資助。這段時期結束後，他拒絕了美國幾所大學提供的職位，回到故鄉，從1995年到2002年，他一直過着隱居生活。
還在伯克利時，佩雷爾曼就因其才華卓著和行為古怪而出名。研究方面他做的很多，但發表的很少。有很長一段時間，他似乎對龐加萊猜想沒什麼興趣。然而，當他聽到漢密爾頓曾再三表示，如果有人能夠解決與裏奇流關聯的奇點問題，相信就會找到龐加萊問題的解時，這一切發生了改變。這吸引了佩雷爾曼：某件事情可以作為微分方程中的問題由具有良好拓撲學方面背景的人來處理，這非常適合他自己。為了不讓他的同事對他八年來所做的事情產生疑惑，他在2002年11月結束了自我放逐的生活，將他關於裏奇流的三篇論文中的第一篇貼到了預印本文庫網站 (arXiv) 上。這些文章沒有一篇提到龐加萊或該猜想的名字，他也在證明瑟斯頓的幾何化猜想這件事，只是在第一篇文章中不經意地提到過。他沒有試圖發表這些論文。但是這一領域的專家顯然清楚這項工作是怎麼一回事，很快就有幾位專家開始了填補佩雷爾曼粗略證明的細節的工作，所有人都表示這些都是在他自己的技術框架內進行的。
在佩雷爾曼的第三篇論文貼到預印本文庫網站三年後，此事變得非常公開了。較早時，有數學文獻通報稱佩雷爾曼似乎給出了證明，但它還沒有被驗證，儘管2003年到2005年之間，舉辦了幾次研討會來研究這三篇論文。終於，2006年，驗證工作開啓了。
8月份，國際數學家大會在馬德里召開。它向佩雷爾曼頒發了菲爾茲獎，然而佩雷爾曼卻拒絕領獎。早在10年前他就曾拒絕過歐洲數學會一個享有盛譽的獎項，對於那些還記得的人來説，這也許並不完全令人吃驚。後來他辭去了在斯捷克洛夫研究所的職位，繼續同他母親在家中安詳地生活。
譯後記
美國著名數學史家卡爾·B.博耶（Carl B. Boyer，1906-1976）所著《數學史》（A History of Mathematics）自1968年出版以來，在歐美地區流傳較廣，受到普遍歡迎，被認為是經典的數學通史著作之一。卡爾·B.博耶1976年不幸去世。1989 年，約翰·威立父子出版公司邀請作者的學生梅爾茨巴赫（Uta C.Merzbach，1933- ）對原作進行了一次修訂（1991年又作了微調），是為修訂版或第二版。除了對19世紀相關章節的少部分修改以及將原20世紀數學的一章分作兩章以外，第二版在內容上可以説改變不大。到2011年，梅爾茨巴赫又在第二版基礎上重新修訂出版了第三版。新版在儘量保持原書風格的同時，在結構上作了適當調整，內容也有較多的增補與刪節，特別是，對原關於希臘數學的部分作了較大的縮並，將原合章敍述的中國和印度數學分別獨立成章，關於20世紀數學的篇幅則擴充了一倍，等等。這些修改，符合自第一版出版40餘年、第二版出版20年以來數學迅猛發展的需要，也在一定程度上反映了數學史研究的新進展與作者的新認識。
根據以上所述，北京大學出版社決定出版《數學史》第三版中譯本，是一項很有意義的舉措。中文翻譯任務艱鉅，許多地方需要邊研究邊翻譯，因此本書中譯本是團隊合作的成果。六位譯者各自都有繁重的日常業務，每一位都以高度認真負責的態度投入工作，並表現出很強的協作互助精神。每一章末分別標有該章譯者名，封面排名不分先後，筆者向每一位參譯者表示衷心感謝。筆者審校了全部譯稿，因此書中可能出現的疏漏和錯誤概由筆者擔責。
最後，筆者高度讚賞北京大學出版社在傳播數學史和數學文化方面的熱情和眼光，特別要感謝本書責任編輯潘麗娜為本譯著的順利出版所做的大量細緻耐心的工作。
李文林
2024年3月29日於北京中關村
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