懷念理查德·哈密頓教授：他的思想照亮幾何世界丨逝者_風聞
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哈密頓教授在世界數學史留下了深深的烙印，他的遠見卓識以及對知識持之以恆的追求，不斷激勵着一代又一代的年輕學者。雖然哈密爾頓已經遠離我們而去，但是他的思想必將會在人間萬世長存！
撰文 | 顧險峯
自2024年暑期始，筆者受丘成桐先生的囑託，一直在網上講解“計算共形幾何課程”。課程的重點是哈密爾頓（Richard Hamilton）發明的裏奇曲率流（Ricci flow）在離散情形的推廣，以及由裏奇流理論證明的瑟斯頓三維流形幾何化綱領 （Thurston’s geometrization program）。昨天，助教劉熠博士突然轉告了噩耗，令筆者無比震驚，深深慨嘆人類又失去了一個偉大的靈魂。
在1990年代末，筆者追隨丘成桐先生在哈佛大學攻讀博士。每個週末都會有一位教授從紐約飛到波士頓，和丘先生通宵達旦地討論幾何問題。丘先生辦公室的燈光一直到午夜才熄滅，黑板上寫滿了深奧複雜的公式和幾何圖形。每天中午，丘先生邀請這位教授共進午餐，丘先生的學生們一起陪同。這位教授英俊倜儻，雙眸極其明亮，令人一見難忘，印象深刻。（筆者生平見過很多數學家，因為思想純粹而深刻，他們都是眼神清澈，目光明亮，例如鄭紹遠、張益唐教授等。）很多時候，我們都去毗鄰哈佛校園的燕京餐館。燕京的老闆與丘先生非常熟絡，用粵語和京片兒打着招呼。後來才得知，燕京的老闆是當年雲南王龍雲的後代，常年在波士頓經營餐飲業。我們經常光顧的哈佛附近的另外一家餐館，名為常熟，據説其老闆是清朝愛新覺羅氏。這位教授極其風趣幽默，餐桌上滔滔不絕，抒發他對數學的誠摯熱愛，和對生活的滿腔激情。依稀記得他有些時候帶女友來拜訪丘先生，但是每次女友都不同。和他徜徉在哈佛廣場，他目光炯炯，神采飛揚，經常有女性過來搭訕。這位教授就是哈密爾頓，當時已經做出了裏奇流，但尚未世人理解，後來名動天下，成為丘先生開創的幾何分析學派的得力干將，徹底改寫了幾何分析和低維拓撲的版圖。
在過去的半個多世紀，數學中最令人矚目的猜想就是龐加萊猜想（即單連通的有限封閉三維流形為球面），數學家們提出了各種綱領力圖加以解決。早期的方法側重代數，將三維流形的拓撲歸結為基於扭結理論的拓撲手術，雖然取得了巨大的進步，但是隻是將三流形拓撲的複雜性轉換為扭結的複雜性，對於問題本身，無法徹底攻克。丘先生當時並不看好這個方向，他認為這種途徑並不“自然”。丘先生的伯克利同學瑟斯頓教授提出了用幾何研究拓撲的方法，即將三流形進行拓撲分解，得到基本的組成單元，而每個組成單元上可以配備標準的幾何，然後通過流形的分解方式於最終每個單元上的幾何來研究初始流形。這個想法可能受到曲面單值化定理的啓發。在1910年代，Koebe和龐加萊證明了任意封閉帶黎曼度量的曲面上，依賴於其拓撲結構，都可以配上三種標準黎曼度量（常值曲率度量）中的一種，即得到球面幾何、歐氏幾何和雙曲幾何（並且標準度量與初始度量共形等價）。瑟斯頓的幾何化綱領就是將其推廣，三維流形的基本組合單元上可以配備八種標準幾何中的一種（標準度量和初始度量之間沒有共形等價關係）。幾何化綱領包含了龐加萊猜想，但是如何找到三流形的標準黎曼度量，成為核心困難。丘先生很早就提出應該用幾何分析方法，通過黎曼流形上的偏微分方程理論來攻克這個問題。例如丘先生用極小曲面理論來研究三流形內部的本質曲面，從而探測其拓撲信息。哈密爾頓天才地提出了裏奇曲率流的想法，使得丘先生的設想得以實現。
在熱力學理論中，熱擴散的現象用熱流方程來描述，物體上有個温度場，温度函數的梯度場給出了熱流場，每一點處熱流的散度（即温度梯度的散度，温度的拉普拉斯Laplacian）給出熱量的變化率，正比於温度的變化率。温度依隨時間演化，當時間趨向無窮時，温度趨於常值。據説哈密爾頓酷愛衝浪，有一次他在聖地亞哥海岸附近衝浪，看到浪濤拍擊礁石浪花飛濺，頓悟出裏奇流：我們讓黎曼度量類比於温度，温度的二階導為Hessian矩陣，其跡（trace）為拉普拉斯，度量張量的二階導為截面曲率張量，截面曲率張量的跡為裏奇曲率張量，我們令度量張量隨時間的變化率等於裏奇曲率張量，曲率的演化遵循非線性熱方程，最終趨於常值。哈密爾頓將裏奇流的想法告訴了丘先生，丘先生立刻認識到這一想法的巨大潛力，堅定不移地極力倡導用這種方法證明龐加萊猜想。丘先生命令筆者的師兄們傾盡全力投身到裏奇流的研究中去，並且把自己的學生Ben Chow送給哈密爾頓進行培養，並且要求自己當時的學生，筆者的師兄們曹懷東，Bando等都去聽哈密爾頓的課程。
2002年，丘先生到加州訪問，筆者跟隨丘先生來到洛杉磯。丘先生在加州大學洛杉磯分校、爾灣分校、加州理工大學給了系列講座，包括他指導筆者完成的離散霍奇分解理論和算法。離散霍奇分解理論本質上是將經典的有限元理論從函數空間推廣到流形的微分形式空間，將外微分理論離散化。丘先生與UCLA的陳繁昌院長，Paul Thompson合作，將這種方法應用於腦神經病理研究。筆者和丘先生的博士後王雅琳共同設計算法，編寫程序，進行實驗。師兄劉克峯當時為UCLA的數學教授，他在家中為丘先生祝壽，Ben Chow從聖地亞哥趕來祝壽。那時哈密爾頓和Ben證明了曲面裏奇流的收斂性，從而給出Koebe-Poincare單值化定理的新的證明方法。Ben Chow給筆者帶來一篇他新近完成論文，他與羅格斯大學的羅鋒教授合作，力圖將曲面裏奇流和經典的瑟斯頓圓盤填充理論融合，將裏奇流推廣到離散曲面情形。筆者從這時開始了離散裏奇流理論和算法的研究。
三維流形上的裏奇流會出現奇異點，即在有限時間之內，流形上的某些點處曲率趨於無窮大，從而裏奇流中斷，這被稱為是曲率爆破。一個自然的想法是在奇異點處將流形切開，每個分支再應用裏奇流。這需要證明整個過程中，奇異點的總個數是有限的。哈密爾頓和丘先生的合作中遇到了某種雪茄型的奇異點問題，一直久攻不破。2002年左右，曾經師從過哈密爾頓的俄羅斯數學家佩雷爾曼取得了突破。他根據從哈密爾頓那裏所學到的裏奇流的思想，創造性地應用類似李-丘估計，排除了雪茄型奇異點的存在性，從而成功地解決了曲率爆破問題。同時，他發現裏奇流是某種熵能量的梯度流，可以從變分法角度來理解，從而證明了龐加萊猜想。進一步，裏奇流理論的發展徹底解決了瑟斯頓幾何化猜想。
2004年筆者來到紐約教學，依然與丘先生保持頻繁的學術交流，同時與羅鋒教授密切合作，將離散曲面裏奇流理論進行深入研究。從理論角度而言，我們希望能夠將經典的光滑曲面單值化定理推廣到離散情形；從算法角度而言，我們希望能夠發明出一些實際的算法通過曲率來設計黎曼度量。微分幾何的核心概念是黎曼度量和曲率，同樣的，在工程和醫學圖像等領域，只要涉及到拓撲與幾何，核心問題往往歸結為如何求取滿足特定條件的黎曼度量。在裏奇流理論出現之前，最為有效的計算手段是有限元法（有限體積、邊界元法等），這些方法廣泛應用於多物理場模擬仿真，成為現代工業軟件的基礎。但是有限元方法都是在某個固定的幾何背景下求解數值偏微分方程，而我們希望求取的正是幾何背景（黎曼度量）本身。其對應的幾何偏微分方程高度非線性，傳統的方法無能為力。而新興的裏奇流成為計算黎曼度量的首選方案。當時很多國家的數學家和計算機科學家都在竭盡全力地競爭，力圖發展基於裏奇流理論的新型計算模型，通過曲率來得到度量。
我們發明了多種算法，應用於廣闊的工程和醫療領域。例如，腦神經科學中的共形腦圖方法將大腦皮層曲面共形地映射到單位球面上，從而可以將不同時間掃描得到的大腦皮層配準，定量估算萎縮速率，早期診斷奧茲海默症；在癌症診斷領域，虛擬腸鏡方法將患者直腸曲面共形地映射到平面上面，從而將直腸皺褶打開，將息肉標定，將不同時期掃描得到的直腸曲面配準，監控息肉的生長情況，預防直腸癌。在電影、遊戲產業，紋理貼圖技術被暴雪採用，幾何圖像技術被虛幻引擎5採用，發展出Nanite虛擬幾何技術，實現高速大場景渲染。這些技術的核心都是需要找到某種特定的黎曼度量，離散裏奇流算法是最為強有力的計算工具。
在醫療應用中，我們經常需要配準兩張人體器官曲面，即尋找一個微分同胚，使得幾何畸變最小。這在微分幾何中被稱為是泰西米勒映射（Teichmuller Map）。在哈密爾頓的博士論文中，他給出了一種基於變分法的理論，從而可以求得泰西米勒映射。在丘先生的指導下，筆者和丘先生的博士後雷樂銘教授一同將哈密爾頓的方法轉化成實用算法，廣泛應用於醫學圖像領域。
理論上，全世界的學者們發展出很多種離散裏奇流的方法，但是直到2014年，一直沒有方法能夠保證解的存在性，所有的算法都會在流的過程中崩潰。2013年暑期訪問清華丘先生數學中心期間，我們團隊實現了突破。恰如連續裏奇流需要在恰當時刻進行拓撲手術，離散裏奇流也必須在關鍵時刻進行拓撲手術。我們2014年完成了理論證明，提交了論文。但是，我們的競爭對手審閲我們的論文拖延了4年，直至2018年，論文才被微分幾何雜誌接受。我們建立的離散曲面裏奇流可以保證解的存在性，唯一性和收斂性。離散曲面裏奇流是離散熵能量的梯度流，而離散熵能量是全局嚴格凸的能量，可以用牛頓法高效優化。近些年來，離散曲面裏奇流理論和雙曲三維流形的亞歷山大剛性定理產生了密切聯繫，而離散熵能量等價於特定的希爾伯特-愛因斯坦泛函。
近幾年來，工業軟件領域的格局發生了天翻地覆的變化，Cadence收購了BetaCAE，Synopsis收購了Ansys，CAE工業正在經歷一場偉大的技術革命。在多物理場模擬仿真的流程中，真正的技術瓶頸在於幾何，特別是網格生成成為核心難點。傳統的非結構化曲面網格生成無法保證網格質量，而裏奇流方法將曲面保角映射到平面，而平面的網格生成有質量保證，從而拉回到曲面上得到高質量曲面網格。結構化網格生成一直依賴手工來調節奇異點的設置。通過代數幾何方法與裏奇流方法結合，我們可以得到自動生成的高質量結構化網格。這些工業技術和醫療技術的突破，本質上都是依賴哈密爾頓的天才發明：裏奇流！
時至今日，我們隨意翻開任何一本三維流形的教材，其核心都是瑟斯頓幾何化定理，而大多數書籍都會明確説明這一定理是佩雷爾曼應用裏奇流的方法率先得到，但是對於哈密爾頓的功勞卻語焉不詳。這對哈密爾頓並不公平。諾貝爾獎非常注重思想源頭，往往給新觀念新方法的提出者頒獎，而非只獎勵將新思想發揚光大者。佩雷爾曼因解決了龐加萊猜想而獲得千禧年大獎。然而，佩雷爾曼認為哈密爾頓的貢獻與自己相當，因此婉拒了這一殊榮。哈密爾頓對浮名虛利不以為意，一直秉持對數學真理的熱愛，堅持用自己的方法來理解和證明瑟斯頓幾何化綱領，直至昏迷入院。哈密爾頓也高度讚揚中國數學家對於證明龐加萊猜想的貢獻：“一個偉大的猜想，不可能由一個人來完成。中國數學家可以抬起頭來，不必謙虛。”
筆者最後一次見到哈密爾頓是在2023年北京雁棲湖，在丘先生舉辦的世界基礎科學大會上。哈密爾頓雖然步履蹣跚，但是依然雙目精光四射，充滿激情。在今年7月的基礎科學大會上，哈密爾頓獲得了基礎科學終身成就獎，為其學術生涯完美地畫上了句號。
這幾天，筆者進一步完善離散裏奇流的算法，經常通宵達旦地編寫調製程序，期望達到工業級別，儘快在工業領域普及。作為目前唯一能夠通過曲率計算黎曼度量的方法，裏奇流必然會為工業界帶來實質性的革命。希望這一天早日到來，以告慰哈密爾頓的在天之靈。
雖然哈密爾頓已經遠離我們而去，但是他的思想必將會在人間萬世長存！
本文經授權轉載自微信公眾號“老顧談幾何”，原題目為《懷念理查德·哈密爾頓教授》。
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