喬治·帕裏西的科學畫像：複雜系統和其他_風聞

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2024-10-26

這篇發表於 Journal of Physics: Complexity 的觀點文章介紹了2021年諾貝爾物理學獎得主喬治·帕裏西（Giorgio Parisi）的科學生涯，他在物理學的多個不同方向都做出了貢獻，不僅包括無序系統，還有隨機量子化、KPZ方程、隨機共振、椋鳥羣體行為等。

撰文 | Leticia F Cugliandolo

翻譯 | 龔銘康

審校 | 梁金

文章題目：A scientific portrait of Giorgio Parisi: complex systems and much more

文章鏈接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/acb8a1

引言

喬治·帕裏西因“發現從原子到行星尺度的物理系統中無序和漲落的相互作用”而獲得2021年諾貝爾物理學獎。另一半獎項授予了 Syukuro Manabe 和 Klaus Hasselmann，以表彰他們“對地球氣候的物理建模、量化變異性以及可靠地預測全球變暖”。這是官方的諾貝爾獎頒獎詞。

2021年的三位諾貝爾獎得主涵蓋了複雜科學的不同方面，乍一看似乎沒有關聯。然而，仔細研究帕裏西的科學成果可以發現，他的一個開創性貢獻——發現隨機共振現象——實際上與氣候變化有關。在與 Roberto Benzi、Alfonso Sutera 和 Angelo Vulpiani 共同撰寫的原始論文中，帕裏西就已經強調了這一機制在氣候模型中的可能相關性。

隨機共振（stochastic resonance）的發現只是喬治·帕裏西眾多卓越貢獻中的一個。諾貝爾獎引文中的一個關鍵詞是無序。他對自旋玻璃這一典型的無序系統的研究，導致了複本對稱破缺假設的識別和解釋，不僅解決了標準平均場自旋玻璃模型的問題，還激發了對許多其他物理（及其他）系統的理解。

我將喬治·帕裏西描述為一位具有廣泛興趣的文藝復興式研究者。他極具創造力。特別是在70年代中期到80年代末期之間，他取得了許多卓越成果，這些成果有很高的影響力，甚至開闢了全新的研究領域。他在理論物理和數學領域作出了傑出貢獻，也涉足計算機設計、觀測方法和數據分析，以及如神經網絡、組合優化、活性物質和氣候科學等跨學科領域。後者在羅馬學生中被親切地稱為“超越”（the beyond），這是指 Mézard 等人的書《自旋玻璃理論及其超越》（Spin-glass theory and beyond）。

我以喬治·帕裏西學術簡歷的簡短描述結束這段介紹。喬治·帕裏西在羅馬大學學習物理並於1970年獲得學位。在接下來的10年裏，他在弗拉斯卡蒂國家實驗室（1971-1981）擔任研究員，在此期間曾作為訪問科學家在美國紐約的哥倫比亞大學（1973-1974）、法國佈雷蘇爾伊韋特高等科學研究院（1976-1977）和巴黎高等師範學校（1977-1978）工作。1981年，他成為羅馬托爾維加塔大學的正教授，並於1992年轉至羅馬大學擔任理論物理正教授。自1987年起，他是林賽國家學院的成員，並在2018-2021年期間擔任該學院院長。目前，他是該學院的副院長、羅馬大學名譽教授，以及法國、美國和歐洲科學院的成員。

羅馬，求學時光

羅馬在物理學方面，特別是理論物理方面，有着悠久的卓越傳統。現代物理學起始於由恩里科·費米（Enrico Fermi）領導的羅馬大學物理研究所的“潘尼斯佩納街的小夥子們”研究小組。在30年代初，該小組的研究興趣從原子物理轉向核物理，特別是發展了β衰變理論，並通過中子轟擊和慢中子發現了人造放射性。儘管費米因法西斯主義的到來不得不離開意大利，但由於 Edoardo Amaldi 的努力，他的學派在二戰後仍得以延續，Amaldi 是唯一留在羅馬的成員。

圖1. 來自維基百科的Panisperna男孩圖片和我拍攝的遺址牆照片。

在帕裏西的學生時期，羅馬大學物理系有許多有影響力的年輕教授，例如統計物理、凝聚態物理和數學物理領域的 Giovanni Jona-Lasinio、Carlo di Castro、Giovanni Gallavotti，以及粒子物理領域的 Nicola Cabibbo 和 Guido Altarelli。這些人以及其他人組成了一支了不起的教授團隊。

帕裏西加入了 Cabibbo 的研究小組，並在他的指導下完成了學位論文。他最初的工作集中在粒子物理學。他早期的六篇論文列在圖2中。但仔細看這個列表，可以發現一篇與他的前同學 Luca Peliti 和 Marco D’Eramo 共同撰寫的文章《臨界指數的計算》，在其中找到了玻色液體λ點的臨界指數的封閉方程。從某種意義上説，這些論文表現出了他對統計物理問題的初步興趣。當時的其他工作涉及共形羣、二維共形異常，以及現在重新興起的用於研究相變的共形引導方法（例如，請參見[7]），這是70年代初由蘇聯的 Alexander Polyakov 提出的，但也有 Raoul Gatto 及其同事獨立提出的[8, 9]。

圖2. 論文列表。

G. Parisi 的網頁https://chimera.roma1.infn.it/GIORGIO/papers.html 的註釋截圖。

在這個早期階段，帕裏西試圖找到方法並理解具有強相互作用的場論，他從兩個方面着手解決這個問題：高能物理和相變（關於他的個人回憶，請參見[11]中的[10]）。

巴黎，多次合作

帕裏西在法國度過了兩個非常富有成果的年頭，在那裏他繼續從事粒子物理學研究。他與 Guido Altarelli（當時在巴黎高等師範學校）合寫的文章《Parton語言中的漸進自由》發展瞭如今的 Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi 演化方程，這些方程描述了 parton 分佈函數隨能量尺度變化的變化[12]。這項工作是他被引用最多的論文，是2015年歐洲物理學會高能與粒子物理獎的核心，表彰其在質子結構研究方面的開創性研究，“因為他們發展了一種用於描述夸克和膠子動力學的概率場理論方案，使得對強子間高能碰撞的定量理解成為可能”。正如帕裏西在他對 Guido Altarelli 的歷史和個人回憶中提到的，“…… Guido 喜歡指出這是高能物理領域中被引用最多的法國論文。”

同時，帕裏西與薩克雷理論物理研究所的 Édouard Brézin、Claude Itzykson 和 Jean-Bernard Zuber 合作，使用矩陣模型在其無限尺寸極限中，這是 ’t Hooft 首創的用於計數平面圖（或在數學語言中的‘地圖’）的方法[14]。這篇論文不僅介紹了一種物理導向的技術，使人們能夠恢復許多之前由著名數學家 William Tutte 通過組合方法派生的關於平面圖的結果，而且引入了後來非常有成效的許多工具和思想：大N鞍點方法，特徵值密度的相關性以精確定位奇點的起源。

他的許多長期合作都涉及法國機構的研究人員。這一合作的種子就是在這一時期播下的。

自旋玻璃

70年代末，將離散參數連續化並取其極限至便利（但有時很奇怪）的值的計算技巧十分流行。1972年這種方法在統計物理和粒子物理的背景下被獨立使用。de Gennes 提出了 O(n) 模型的n→∞極限，以獲得稀溶液中聚合物的統計數據 [15]。Bollini 和 Giambiagi [16]，以及獨立的 ’t Hooft 和 Veltman [17]，都曾提議將空間的維度作為一個複雜參數，從而規範化在場論的費曼圖中出現的發散積分。

另一個例子是應用複本方法研究自旋玻璃，儘管當時未完全解決，但這個問題的解決是帕裏西的主要成就之一。

4.1 材料及其模型

自旋玻璃是無序系統的典型物理實現。它們是磁合金，其中磁雜質以給定濃度隨機固定位置放置，這兩者都是由製備過程決定的 [18]。磁矩對（以下稱自旋）通過 Ruderman–Kittel–Kasuya–Yosida 交換作用相互作用。淬火隨機位置誘導淬火隨機相互作用，因為交換作用取決於自旋之間的距離，方式是它們可以具有兩種符號，並且隨距離衰減表現為短程冪律。鐵磁性和反鐵磁性相互作用的存在導致阻挫（frustration），換句話説，每個自旋的鄰居具有兩種可能的狀態。自旋的維度取決於材料細節；它們可以有三個組分（Heisenberg）、兩個組分（XY）或只有一個（Ising），在所有情況下模量是固定的。

Edwards-Anderson 模型（EA模型）

實驗顯示磁化率中出現了一個拐點，表明向一種未知類型的低温相的相變 [19]。Edwards 和 Anderson (EA) [20] 簡化了模型，並考慮i=1, …, N伊辛自旋si位於規則三維晶格的頂點，而固定耦合來自概率分佈，通常是均值為零的高斯分佈（如果沒有鐵磁性或反鐵磁性偏差）並且方差有限。EA 還提出了一個動態序參量作為時滯自相關的長時間極限。在靜態計算中，EA 序參量按如下方式給出：

在零磁場下，該參量在臨界温度以上為0，在臨界温度以下不為0，其中自旋應具有局部磁化mi，在空間變化並具有兩種符號。

自平均表明典型行為與平均為1的無序一致。這一事實在某種意義上是有利的，因為人們不需要單獨關注每一個樣本，但帶來了必須計算配分函數的對數的無序平均值以後從中導出可觀測量的困難。

4.2 複本方法

在 Brout 的開創性論文[20]之後，EA 指出可以使用複本技巧來表示配分函數的對數與泰勒展開，並轉換計算為

其中方括號表示帶有它們分佈的耦合Jij的平均值。實際上，對EA模型仍然無法進行此計算。

Sherrington-Kirkpatrick 模型（SK 模型）

EA 模型的平均場版本由 Sherrington 和 Kirkpatrick (SK) [21] 提出。它包括在一個完全連接的圖上放置自旋，沒有距離的概念，並且隨自旋數量縮放耦合Jij的方差，以確保有意義的熱力學極限。複本方法現在可以應用到後期階段，其中一

Ansatz）。計算大大簡化，q的鞍點方程正是眾所周知的 Curie–Weiss 方程在順磁-鐵磁相變中的磁化的輕微修改。不幸的是，最終解顯示了兩處不一致性：零温熵為負[21]，且鞍點不穩定[22]。

在 SK 之後，一些研究者試圖打破複本對稱性，從而有望解決上述兩個問題。有來自 Blandin（奧賽固體物理實驗室）[23]以及 Bray 和 Moore（曼徹斯特）[24]的著名提議但並非完全正確。（見 Marc Gabay 和 Mike Moore 對這一時期的回憶[11]。）

完全複本對稱破缺（RSB）

帕裏西瞭解到這個問題，認為它是一個有趣的數學挑戰（用他自己的話説），並找到了沒有非物理情況的複本對稱破缺假設 [25-27]。他的方案是層級的，矩陣Q由不同大小和元素q0 < q1 < … < qEA的對角框中的對角框組成，見圖3，所有這些都由鞍點方法確定（各種大小m不是磁化強度且不取整數值）。對於 SK 模型，這個過程無休止地重複，並被帶到連續極限。這就是完全複本對稱破缺（replica symmetry breaking，RSB）方案。

在所謂的p > 2自旋模型中（其中自旋以p個為一組的形式相互作用，p = 2是熟悉的兩體相互作用），該過程在第一步結束，一步 RSB 就足夠了。

相當繁瑣但設置良好的[fJ]計算的結果基本上歸結為確定重疊分佈函數，這是這些問題的序參量，

在高温相，這只是零處的 δ 函數。在低温相中，P(q)被發現在q = ±qEA處有兩個 δ 峯，但也有較小絕對值的權重。P(q)的確切形式取決於模型。基本上可以找到三類：

對SK模型的全面理解的下一步是確定其平衡狀態的超度量組織[30]。這種特殊的結構意味着，隨機選擇的任何三個狀態中，有兩個重疊相等且小於第三個。

這種結構的圖形表示形成了所謂的帕裏西樹（Parisi’s tree）。在球形p>2模型中，狀態是正交的，即它們的重疊消失，這導致 P(q) 中 q=0 處的 δ 峯。

4.3 數值驗證

在數值模擬中，人們無法獲得分析計算的複本，但可以獲得具有相同耦合強度但自主演化自旋的系統副本的真實複本（例如，使用蒙特卡洛規則）。然後將重疊計算為不同副本的自旋構型之間的關聯，同時小心地達到熱平衡。

這種 SK 模型的模擬展示了PJ(q)的多峯結構，表明存在具有不同屬性的多個平衡狀態 [31]。這些重疊沒有飽和，因為 q 小於qEA，這被解釋為同一平衡狀態下兩個構型的重疊。

4.4 數學證明

長期以來，帕裏西對 SK 模型解決方案中的各種理論物理段落並未被部分社區完全接受。引人注目的是，來自 Sapienza 大學的 Guerra 展示了帕裏西的 SK 模型公式fJ是精確解的下界[32]，而稍後索邦大學的 Talagrand 證明它是上界 [33]。因此，帕裏西的表達式就是精確的解。這些證明使用了完全不同的方法，並沒有使用複本方法。當應用於平均場模型時，他們的fJ與從複本方法得出的結果之間的一致性消除了後者的所有疑慮。此外，Panchenko 還找到了一種用數學上合理的技術證明超度量屬性的方法[34]。

4.5 複雜景觀和動力學

無序系統通常與複雜的景觀相關聯。後者是 Ginzburg–Landau 序參量依賴的自由能函數（範函）的擴展，適用於有大量序參量需要考慮的情況。具有平衡（和亞穩態）狀態作為全局最小值（或局部鞍點）的自由能函數（範函）由Thouless–Anderson–Palmer (TAP) fTAP({mi}引入，它決定了景觀。從複本計算推導出的三種分類通過 De Dominicis 和 Young [29] 解釋的這些景觀的分析

Edwards 和 Anderson 定義的實際序參量）與使用複本方法得出的靜態值不同。這一特徵是非平衡弛豫發生在相空間（閾值）與平衡態非常不同的區域的跡象之一。這也是為什麼具有p>2的系統被認為是玻璃的平均場模型的原因之一。在SK模型中觀察到的靜態複本重疊和序參量之間的形式關係，與動態關聯和漲落耗散違反，被聲稱可以擴展到有限維度的SK模型中[40]，使用隨機穩定性參數進行論證。

4.6 超越

複本技巧和 RSB 假設的強大之處很快被跨學科領域的研究者所認識，尤其是屬於生物物理和計算機科學領域的問題。例如，評估 Hopfield 神經網絡的最大容量，即網絡可以存儲和檢索的模式的最大數量，以及它如何依賴於神經元的數量，幾乎立即就使用了這種技術[41]。同樣，使用複本方法識別隨機優化問題中的相變也很快進行[42–44]。在這種情況下，計算問題中相變的存在是通過無序系統的統計物理方法顯示出來的[45]。在《自旋玻璃理論及其超越》書中可以找到許多其他應用[2]。

特別重要的是對典型的組合優化問題，K-適應性（K-satisfiability）問題最近進行的分析，其思想源自自旋玻璃理論。這類問題涉及必須滿足M個約束的N個變量。在K-適應性問題的情況下，這些約束中的每一個都是對涉及的K個布爾變量所取值的（至少一個）要求的驗證。例如，計算機科學任務是要找到滿足所有約束的N個變量的分配，計算驗證這些約束的方法的數量，並從中得出複雜性，以及設計最有效的算法——即使用最少的操作——找到這些分配。

在它們最困難的實現中，K-適應性問題（K > 2）被認為是NP完全的。在其隨機版本中，問題集合被統計地研究。Mézard 等人提出了一個具體的算法，作為空腔方法（信念傳播）的擴展，現在考慮到了許多狀態的存在（調查傳播），用於攻擊隨機生成的K-適應性問題實例，對於一些參數它們難以解決[46]。這些作者因其成就而在2016年獲得了美國物理學會的昂薩格獎。

更近一步，利用資源-競爭模型與其凸區域中連續約束滿足問題的相似性，可以使用複本方法研究前者。結果表現出從一個“屏蔽”相，即出現集體和自我維持的行為，到一個‘脆弱’相，即一個小的擾動可以破壞系統並導致種羣滅絕的轉變[47]。其他生態系統模型，如隨機 Lotka–Volterra 模型，目前正在使用這種技術進行研究。

4.7 結構玻璃的應用

複本理論方法近年來已被帕裏西及其合作者擴展並應用於粒子系統。與 Silvio Franz 一起設計的有效勢技術（effective potential technique）已被證明是一個非常有用的工具，可以通過適用於處理這個問題的純靜態方法找到動態臨界温度 [48]。最近，複本方法非常成功地應用於無限維中相互作用的粒子系統的研究[49]。因此，可以定量處理諸如模式耦合近似的有效性限制等重要問題。

隨機過程

5.1 隨機量子化

隨機量子化技術（stochastic quantisation technique） [50] 提出讓所關注的場依賴於一個額外的虛構即時時間，並使用 Langevin 方程進行演化，以便在漸近極限t→∞時，場的概率分佈與所研究的平衡量子場理論（具有歐幾里得作用）一致。從某種意義上説，隨機量子化是量子蒙特卡洛技術的連續時間對應物。在帕裏西和吳引入該方法後不久，許多量子場論都通過這種方法進行了研究，並且 [51] 收集了這些應用的綜述文章。

5.2 Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) 方程

KPZ 方程用於動力學表面生長 [52] （定向的，沒有懸垂），將 Edwards-Wilkinson (EW) 線性方程進行了推廣。在後者中，相對於具有位置

的d維基板，界面高度h的局部速度僅由局部彈性力和白熱噪聲決定。KPZ 增加了一個與表面局部梯度平方成比例的非線性力：

添加的項極大地改變了h的行為，使其不再是高斯場，並表現出非常複雜的動力學粗化。例如，生長的普適性類由表面粗糙度的標度特性決定的指數確定，並且與EW類不同。這個新的普適性類描述了廣泛的非平衡漲落，超越了生長界面。發現屬於KPZ普適性類的動態漲落的某些情況包括定向聚合物和粒子傳輸、瓊脂上的細菌羣落界面、紙張的慢燃燒以及固體薄膜的生長。新的例子仍在不斷出現。

在一維情況下，相對容易導出KPZ界面的精確結果。有趣的是，對其某些性質的分析與隨機矩陣理論、非對稱排斥過程以及統計物理和數學中的其他著名問題有聯繫。一旦基板的維度超過一維，指數就不再容易導出，並且還沒有完全成功的重整化羣策略。

總的來説，KPZ方程提出了新的分析和實驗挑戰，促使許多非常有趣結果的導出。在數學方面，Martin Hairer 因其對該方程的形式研究在2014年獲得了菲爾茲獎 [53]。Takeuchi 因其在液晶湍流中生長界面的實驗研究，在2013年獲得了IUPAP青年科學家獎。得益於該系統中收集到的足夠統計數據，Takeuchi 成功研究了高度分佈和關聯函數，並藉此證明了KPZ普適性類 [54]。

5.3 隨機共振

隨機共振現象（Stochastic Resonance phenomenon） [1] 由一個相對簡單的非線性Langevin方程來示例：

其中 a > 0。在沒有周期性擾動的情況下，T(t) 弛豫到雙穩勢的一個最小值上，由右側的確定性力引起，並通過熱激活隨機跳過屏障到另一個最小值，然後往復。加入週期性擾動後，在噪聲強度的選擇不太嚴格的情況下，非線性弛豫和外部強迫之間出現協同效應。其結果是在頻率Ω的功率譜中產生強烈響應，即共

5.4 超對稱和降維

在另外幾篇基礎論文中，Parisi 和 Sourlas [55, 56] 引入了一個隨機方程的超對稱表示，這不僅證明了其優雅性，而且非常有用。

一方面，這種映射很好地證明了隨機場伊辛模型 (RFIM) 的（微擾）降維 [55]。後者表明，d 維RFIM中最大紅外發散的圖形等於無磁場模型在d-2維中的相同圖形。Parisi–Sourlas 的證明如下。樹（最發散）

級別的場Φ關聯函數以隨機場h在經典隨機方程

的解上的平均值來表示。然後關聯被重新寫成場 Φ上的泛函積分，其中經典方程由一個乘以行列式的 δ 函數施加。後者表示為輔助費米子場的積分，值得注意的是，由此產生的場論具有超對稱性。通過引入具有兩個附加反交換座標的超空間，可以得到更緊湊的表達形式，完成此操作後，降維背後的想法是，超對稱理論所處的超空間等同於d-2維實空間。

在他們的第二篇論文中 [56]，Parisi 和 Sourlas 將該連接擴展到其他超對稱場論和經典隨機方程。他們還研究了超對稱的自發破缺，並表明它與隨機方程的解數量有關。

計算機設計和觀測方法

6.1 格點QCD

在1980年代，帕裏西大力參與了“帶仿真器的陣列處理器”（APE）計算機的初步開發和進一步發展，該計算機用於格點QCD的蒙特卡洛模擬。這是基於羅馬“La Sapienza”INFN分部、羅馬“Tor Vergata”、比薩、博洛尼亞和帕多瓦的合作項目，由 Nicola Cabibbo 領導，他為項目提供了強有力的科學指導，並且幾位傑出的青年科學家也參與其中，他們目前分別是羅馬一大和羅馬二大物理系的成員，如Enzo Marinari和Gaetano Salina。APE是一台並行SIMD機器，具有針對複數運算優化的架構，並擁有自己的類Fortran語言。帕裏西是該機器架構的設計者，也是編譯器、隨機數生成器、高度優化的格點QCD代碼等的主要作者。三代APE計算機見證了他的影響力，即1 Gflop APE（1985–1987年）、100 Gflop APE100（1989–1994年）和1 Tflop APE mille（1995–2000年）。1991年，APE100是世界上最強大的超級計算機。DESY和Orsay獲得了該機器的版本，使歐洲在格點場論計算能力上與美國和日本的研究團隊處於同一水平。

帕裏西利用APE計算機進行了多項基本的非微擾QCD方面的研究。APE分析的問題包括膠球質量和絃張力[57]，強子質量譜，QCD退禁閉相變，介子和介子-核子散射長度。某些相當大膽的近似方法必須被採用，其中之一是費米子退火（這個名字由帕裏西提出，受他對無序系統的研究啓發）[58]，並開發了創新技術，以可靠地提取物理信息（例如“APE塗抹”）。這些早期成果為今天獲得的高精度格點 QCD 結果鋪平了道路，這些結果如今經常被使用標準模型及其擴展的實驗者和現象學家所使用。

6.2 有限維自旋玻璃

最近，他領導了羅馬–費拉拉–巴達霍斯–馬德里–薩拉戈薩合作項目，建造並廣泛使用了一系列計算機（SUE和各代Janus）來進行主要在有限維度上的伊辛自旋玻璃的蒙特卡洛模擬[59]。這些研究的目的是測試RSB（複本對稱破缺）圖像，並研究如同在不同實驗室使用的實驗協議中那樣，在淬火進入有序相後的弛豫過程。

6.3. 羅馬的椋鳥

從11月到大約2月，面對羅馬 Termini 火車站的 Cinquecento 廣場會上演一場壯觀的表演：椋鳥羣在黃昏時分的舞蹈，之後它們棲息在附近眾多的樹木上。帕裏西在 Andrea Cavagna 和 Irene Giardina 的協作下，在羅馬國家博物館的Massimo 宮殿屋頂上設置了一個觀測系統，使用立體測量和計算機視覺技術，使他們能夠重建單個鳥類的三維軌跡。收集到的前所未有的數據集涵蓋了約3000只鳥類，成為一系列分析的起點，允許澄清有關鳥羣組織的若干問題。例如，團隊得出的第一個結論是，鳥類使用拓撲（而非度量）距離跟隨鄰居，基本上平均與固定數量的鄰居協調一致[60]。從數據分析中提取的數字為六到七，顯著小於每隻鳥周圍視覺上未被遮擋的鄰居數量。在 Cavagna 和 Giardina 的監督下，動物集體運動的研究在羅馬一直持續到現在。（相關文章：通向複雜系統的奇境 | 喬治·帕裏西《隨椋鳥飛行》）

結論

帕裏西培養了大量的學生、博士後和年輕研究人員，建立了一個國際研究學校，在意大利和法國產生了重要的影響。他在當時使用了一種相當不尋常的研究方法，將所有可用的工具應用於他想要解決的問題，無論是分析、數值還是現象學研究，都與他的強大直覺相結合。所有曾與他共事過的人都接觸過這種研究風格，並試圖效仿它。

帕裏西發表了與約380位合作者合作的論文，這一數字還在增加。為了他的70歲生日，他的前同事 Maria Chiara Angelini、Gabriele Sicuro 和 Pierfrancesco Urbani 準備了合作者地圖的第一個版本，並持續更新。最終版本截至2022年5月，如圖4所示。

2018年，在羅馬慶祝了帕裏西第一篇關於RSB論文的40週年紀念，會上展示了許多在這些思想的使用和發展中起主要作用的人的工作。一本收集了RSB在不同領域應用的章節的書即將出版[61]。儘管從實際角度來看毫無用處，但為描述自旋玻璃而進行的理論工作的衍生成果在非常不同的領域中至關重要。

本文經授權轉載自微信公眾號“集智俱樂部”。

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