粒子與集體行為_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！1小时前
撰文 | 牛謙 (中國科學技術大學物理學院)、王志 (中山大學物理學院）、肖聰 (澳門大學應用物理及材料工程研究院)、張力發 (南京師範大學物理科學與技術學院)
粒子和集體行為是凝聚態物理[1，2]的兩大主題。在基本層次上有電子和原子核，後者一般被視為點電荷，不涉及其內部結構。通常也把填滿了的內層電子和原子核一起當作一個惰性的離子，只考慮外層電子在這些離子背景下的行為。惰性原子裏，所有電子都處於滿殼層中，原子就被當作基本單元。在氣態玻色—愛因斯坦凝聚問題中，由於原子間的遠距離，未滿殼層的電子一般也不獨立考慮；基態附近的電子精細結構只是作為原子的少數幾個內部態，參與到氣體原子的外部狀態中。
固體的最簡單結構是晶體，其中原子在空間週期排列。惰性原子晶體的結合靠的是遠程的范德瓦耳斯吸引力和近程的電子雲之間的排斥。離子晶體的結合靠的是原子間電子轉移的能量差，以及帶電離子間的庫侖作用和電子雲之間的近程排斥。在其他類型的晶體中，外層電子的狀態發生強烈的重組；有時聚集在倆倆離子之間，形成所謂共價鍵；有時瀰漫在所有空隙處，形成所謂金屬鍵。
材料中的磁性主要來自電子，其中自旋和原子內層的軌道運動又貢獻了磁性的絕大部分。對於分離的原子或離子，由於泡利不相容原理和庫侖相互作用，未滿殼層中電子的多體狀態往往具有非零的總角動量和若干玻爾磁子量級的磁矩。成為固體後，參與原子結合的那部分軌道發生角動量淬滅，剩餘的磁矩傾向指於同一方向 (鐵磁耦合)，或在相鄰原子間指於相反方向 (反鐵磁耦合)。
晶體和磁性代表了兩種典型的對稱性破缺。相對於氣液狀態，晶體破壞了連續的空間平移和旋轉對稱，只留下分立的晶格平移和若干旋轉反射等對稱。相對於非磁狀態，磁性狀態破壞了時間反演對稱，以及由於自旋取向而破壞了的旋轉對稱。前面三篇文章 (詳見《物理》2024年第1、4、7期) 關注的是晶體結構和與之適配的自旋秩序中的布洛赫電子，本文開始考慮這些結構和自旋序參量的動力學問題，探討其中的拓撲幾何性質，以及與布洛赫電子的相互作用。在平衡狀態附近，微小的原子振動和自旋偏轉會形成集體運動模式，其量子化表現就是常説的聲子和磁振子，像光子一樣遵從玻色—愛因斯坦統計。
本文也關注超流和超導，由所謂規範對稱破缺引起的宏觀量子秩序。玻色氣體在低温下會發生動量空間的凝聚，有宏觀數目的粒子處於同一量子態中，用一個所謂凝聚體波函數來描述。電子等費米子不能直接發生這種凝聚，但吸引相互作用會使費米麪上的粒子配對併發生凝聚。超導準粒子是些電子和空穴的疊加，仍然遵從費米—狄拉克統計，也有布洛赫能帶的結構。準粒子波函數中藴藏着豐富的量子幾何內容，從中也可以推斷超導體的整體拓撲行為。
上述鐵磁材料中的磁序指向和超導材料中的配對勢代表了這些材料的序參量，而序參量的運動會緊密地耦合於電子系統。當序參量隨時間緩慢變化的時候，電子系統的響應可以利用量子絕熱理論方法來處理。電子系統的能量依賴於序參量，可以被視作序參量的勢能。電子多體基態也會依賴於序參量，給出序參量空間的一個貝里曲率。如果序參量隨空間的變化也是緩慢的，我們還可以進一步採用半經典方法[3，4]來描述電子系統的響應。
這個方法當然也適用於晶體的形變。傳統的玻恩—奧本海默方法就是採用電子系統的絕熱近似，把電子系統的能量視作原子位形空間的一個勢能。近年來，為了把時間反演破壞引入聲子系統，人們開始考慮分子貝里曲率，即電子多體基態貢獻的在原子位形空間上的貝里曲率。本文也關注隨時空緩慢變化的晶體形變，其中布洛赫粒子的運動和半經典效應，以及它們對形變動力學的反饋作用。我們需要引入晶體聯絡這個幾何概念，來有效地描述形變對於布洛赫粒子的種種影響，類似於廣義相對論中的引力作用。
01
晶格振動與聲子
固體物理的教科書[5，6]往往以原子的晶體結構開始，描繪其平移等空間對稱性，介紹其衍射實驗探測，勾畫其結合的各種物理機制。現代晶體結構理論基於第一性原理計算，可以預言各種簡單材料的晶體結構和得出精確的原子間距。由於離子質量遠遠重於電子，可以首先忽略它們的運動，專注在固定離子位形下電子的量子狀態。離子之間的庫侖能加上電子系統基態的總能量給出材料的結合能，其最小值對應的離子位形就是材料在低温下呈現的原子結構。這往往就是某種晶體，具有特定晶格常數和旋轉反演等對稱。
聲子的激發對應於離子的微小振動，其勢能來自結合能隨離子位移的偏差。勢能準確到偏差的二階，也就是簡諧近似，運動方程可以解出一系列本徵振動模式來。相應晶體平移對稱的晶格動量是好量子數，讓本徵頻率在布里淵區呈現出能帶結構。最低三支能帶叫做聲學支，其頻率隨動量變小線性趨於零，斜率給出聲波速度。往上若干支能帶稱為光學支，因為這些振動模式往往伴隨着正負離子電荷的相對位移，可以與電磁波耦合。在動量為零或布里淵區其他高對稱點處，振動模式保持晶格某種旋轉對稱，具有特定的準角動量，在散射過程中遵循相應的選擇定則[7]。
早年，愛因斯坦、德拜和玻恩等人指出這些振動模式也像電磁波那樣量子化，以頻率乘以普朗克常數為能量單位出現。這些量子稱為聲子，遵從玻色—愛因斯坦統計，在低温下的比熱也像黑體輻射那樣趨於零，成為新量子力學應用的一個成功典範。在常温下，聲子是固體熱容量和熱傳導的主要載體，也是傳導電子的主要散射源。近年來，人們觀察到熱霍爾效應，開始關注聲子的拓撲幾何性質。
像電子的布洛赫波一樣，聲子的波函數也可以有貝里曲率[8，9]。內稟熱霍爾效應要求時間反演破壞，否則貝里曲率在等能面上的積分為零。在早期的研究模型裏，除了引入磁場直接作用在離子上的洛倫茲力以外，常常還引入一個唯象的自旋聲子耦合，來造成時間反演破壞的效果。這些研究也進一步揭示了聲子拓撲邊緣態的可能[8]，為熱輸運和聲子操控提供了新的手段。
與貝里曲率有相同對稱性質的還有聲子的角動量，來自離子圍繞平衡位置的圓偏振動。早年愛因斯坦與德哈斯曾經合作過一個磁旋比的測量，來驗證鐵磁材料中分子環流的假設。他們計及了電子的軌道角動量，後續的此類實驗又計及了自旋，但都忽略了聲子對角動量的貢獻。計算表明，儘管在高於德拜温度的經典區域這種貢獻趨於零，但在低温下聲子的角動量可以與電子的軌道角動量比擬[10]。最近的實驗表明，聲子確實可以是材料中角動量的一個藏匿之處[11]。
空間反演破壞也可以造成非零的聲子貝里曲率和角動量，只是在時間反演對稱保持的情況下，它們是動量的奇函數。二維半導體和其他材料的聲子譜中確實有它們豐富的分佈，而且往往集中在時間反演破壞但具有旋轉對稱的動量點線上。在這種對稱點線上，聲子還具有量子化的準角動量，從而具有確定的手性[7]。這種手性聲子可由電子谷間散射產生或吸收，並在圓偏光電過程中顯現。在動量為零處，聲子也可具有手性，但由於時間反演對稱，左右必須成對簡併。在磁場中它們的能級發生劈裂，其隨磁場變化的斜率顯示，聲子可以具有玻爾磁子量級的磁矩[12]，遠非傳統的離子模型所能解釋。這種情況下，我們就必須引入強電聲耦合甚至拓撲效應來理解[13]。
上述自旋聲子耦合模型只適合於特殊情形。一般情況下，應該考慮電子系統在原子位形空間上的貝里曲率，稱作分子貝里曲率[14] (不同於上述聲子貝里曲率)，來體現晶格振動的時間反演破壞 (Box 1)。早在其《晶格動力學》的經典著作[15]中，黃昆與玻恩曾經形式上引出了這種規範作用。後來，為了解釋某些分子的轉動能譜，米德等人[16]引入了電子狀態在分子位形空間的幾何相位，但限於時間反演對稱的情形。近年來，考慮到電子狀態的時間反演破壞，非零的分子貝里曲率才真正開始被應用在晶格和分子的動力學問題中。
電子磁性及其運動
關於磁性，早年曾有海森伯的局域磁矩和布洛赫的巡遊磁矩兩種對立的觀點[17，18]。一般説來，稀土元素由未滿f殼層貢獻的磁矩在材料中保持局域和獨立特徵，它們的耦合可以由海森伯模型很好地描述。海森伯模型廣泛流行於文獻和教科書中，因為它更方便於描述自旋波激發和複雜的相變過程。過渡元素d殼層中的電子也貢獻較大的磁矩，但層中軌道狀態在晶體中發生雜化重組，因而巡遊磁矩觀點更為合適。現代磁性的定量計算基於自旋密度泛函理論，其中布洛赫電子感受到的科恩—沈自洽勢場還依賴於自旋狀態。
我們假設材料已經具備某種穩定的磁序，只是其整體方向可以有相對自由的轉動。以單疇鐵磁為例，磁化方向的運動傳統上由朗道—栗夫席茲—吉爾伯特(LLG)方程描述[19，20]。其思路是，磁化角動量的變化率由體系受到的力矩給出，其中一部分來源於磁各向異性能以及外磁場的作用。各向異性的內稟部分源於自旋軌道耦合，依賴於晶體對稱性；還有個外稟部分，源於磁雜散場能量，依賴於材料的整體形狀。此外，還有一個阻尼力矩由吉爾伯特唯象地引入。
微觀層次上，該怎樣處理磁序參量運動與電子系統的耦合呢？我們假設磁序方向的轉動足夠緩慢，電子系統始終處於與之對應的瞬時多體基態。利用薛定諤方程的變分原理，可以得到一個序參量的運動方程[21，22]。這個方程描繪了磁化矢量空間裏一個廣義磁化力與廣義洛倫茲力的平衡，前者由基態能量對序參量的導數給出，物理上代表了一個等效磁場，後者等於基態在序參量空間上的貝里曲率叉乘序參量的時間導數(Box 2)。
為了方便研究電磁耦合，人們往往把深層能量的電子隱去，認為它們只是提供了基本的磁性及其各向異性能和磁旋比，而單獨列出費米麪附近的電子自由度。所謂sd耦合模型就是一個常見的例子[24]，我們也曾考慮過拓撲表面態電子與緊貼着的磁體的耦合模型[25]。根據廣義力平衡理論，耦合的電子系統不僅可以改變等效磁場，把阻尼與電子的非平衡激發聯繫起來，也可以造成磁旋比的各向異性。
用電學手段驅動磁化是個重要的信息技術前沿，研究過程中人們在LLG方程裏引入過許多種類的外來力矩，包括自旋轉移力矩、自旋軌道力矩，等等。這些都能在微觀上，通過能量和貝里曲率等渠道，在廣義力平衡方程中反映出來[26]。此外，還可以有一個類似法拉第電動勢的、非保守非耗散的廣義力作用在序參量上。作為具體例子，考慮一個由磁序參量打開能隙的電子能帶。在特殊條件下，序參量的轉動會造成能帶中一個絕熱泵浦電流。在電場驅動下，這個泵浦電流不但不消耗能量，反而會輸入能量來彌補磁序運動中的吉爾伯特損耗[25]。
上述絕熱耦合理論也可以推廣到序參量非均勻的情形。比如，考慮自旋波的激發，就需要把均勻磁序改為某個傅里葉分量。基於我們的運動方程，第一性原理計算給出的鐵磁自旋波能譜與實驗結果非常吻合[27]。對於反鐵磁序，我們也可以類似地通過絕熱微擾，利用能量和貝里曲率來計及電子系統和其低能運動的相互影響[28—31]。
03
玻色凝聚體的演化
早年愛因斯坦曾預言，粒子數守恆的玻色氣體在低温下會凝聚在一個動量處[32]。後來，這被用來解釋液氦超流現象，因為普通4He原子由6個費米子構成，包括兩個質子、兩個中子和兩個電子，整體上表現為一個玻色子。多年後，人們製備了近乎無相互作用的超冷原子氣體，明確無誤地觀察到了玻色凝聚[33，34]。通過調節原子間的相互作用，觀察凝聚體運動的穩定性，清晰地建立與超流現象的聯繫；也可以利用原子的內部態以及外加勢場，進一步豐富玻色凝聚體的物理內涵。
在外勢中，凝聚體由粒子所在單態的波函數來描述，其絕對值平方代表粒子數密度，其相位的空間梯度，乘以普朗克常數再除以原子質量，就代表了凝聚體中粒子的速度。這樣，由於有大量粒子的佔據，原本代表幾率幅度的波函數就直接反映了這個量子流體的經典圖像。在短程作用的情況下，描述凝聚體運動的是一個非線性薛定諤方程。除了通常的動能和勢能項之外，方程中還有個依賴於波函數的非線性勢能，正比於粒子數密度，表達一個粒子受到其他粒子的平均作用[35，36]。
為了建立與超流的聯繫，博戈留波夫考慮了排斥相互作用，微擾計算了凝聚體的準粒子激發[37]。他發現其高能部分對應於自由原子，但低能部分獲得了線性的能動量關係，跟流體中的粒子密度漲落類似，也稱作聲子。在一個均勻流動的凝聚體中，這些激發的能譜發生多普勒移動，加了一項動量與流速的乘積。只要流動速度小於聲速，不讓激發能變負，凝聚體就仍然保持穩定，正符合超流的特性。液氦超流中，低動量激發確實也是些聲子，但由於原子間短程有序，能譜在高動量處有個軟化 (旋子)，讓臨界速度比聲速有所降低[38]。
除了準粒子，凝聚體還可以承載量子渦旋等拓撲激發。環繞渦旋中心，凝聚體速度的線積分 (環量) 是量子化的，以普朗克常數和原子質量的比值為單位，因為波函數的相位只能有個2π整數倍的變化。經典流體中，渦旋會受到一個橫向力，正比於流體相對渦旋的流密度，稱為馬格努斯力。通過計算量子渦旋的移動在多體系統中造成的貝里相位，可以獲得量子流體中的馬格努斯力，結果也正比於超流密度[39]。
有限温度下，按照傳統的二流體理論的説法[40]，正常流與超流並存。它們各自是如何作用於量子渦旋呢？索里斯等人證明，這個馬格努斯力可以表達為體系在遠處圍繞渦旋中心的動量環量[41]。利用非線性薛定諤方程，考慮具有一個量子渦旋的凝聚體和其中的準粒子激發，可以直接計算這個環量。由於凝聚體在遠處的變化十分緩慢，適合把準粒子作半經典處理；通過其能量和貝里曲率在相空間中的分佈，得到準粒子對這個動量環量的貢獻[42]。結果換算成二流體圖像表明，這個馬格努斯力在有限温度下仍然正比於超流密度，與正常流無關。
光晶格週期勢場中，玻色凝聚體也有布洛赫能帶結構。相互作用讓凝聚體的絕熱演化，比如在微弱外力下的布洛赫振盪[43]，成為一個非線性問題。非線性薛定諤方程有個經典力學的類比，前者的能量本徵態對應於後者的一個不動點[44]。因此，當參數 (布洛赫動量) 緩慢變化時，本徵態的絕熱演化是成立的，除非不動點失穩。不動點周圍的經典軌道對應於一些非本徵態，前者在演化中保持作用量不變，對應於後者一種幾何相位的守恆。利用這個方法，在二能帶近似下，可以對凝聚體的齊納隧穿及其非線性反常做出細緻分析[45，46]。
博戈留波夫準粒子代表的實際上就是凝聚體的微小振動，滿足一套正則的但非厄密的運動方程，可以發生兩種意義下的失穩。一種是動力學失穩，像吸引相互作用下發生的那樣，振動頻率會變虛，微小的密度漲落隨時間指數發散。另外一種我們稱為朗道失穩，像上述凝聚體流速超臨界時有些準粒子能量變負，在外界擾動下可以被持續激發。在冷原子凝聚體的實驗中，外界擾動可以被嚴格控制，我們更關心的是動力學失穩。原子間排斥作用會讓凝聚體布洛赫態在能帶上半部發生動力學失穩，出現週期倍增等現象[47]。
04
超導序參量與準粒子
超導不單是理想導體[48]，而且還完全抗磁[49]。金茲堡與朗道借用超流凝聚體的概念作為序參量，建立了一個比較成功的唯象理論[50]。通過與電磁場的規範耦合，這個理論自然詮釋了倫敦兄弟的穿透深度[51]，而且還給出一個相干長度的概念，並根據兩者的相對大小，預言了兩類超導體。一類只有一個臨界磁場，磁場低了不能進入超導體，高了會進入但讓超導狀態喪失。二類超導體中，臨界磁場變為兩個，之間磁場可以進入體內且保持超導，但必須以量子磁通的形式。實驗中也確實看到了量子磁通，其單位等於普朗克常數除以兩倍電子電荷。
為什麼是兩倍呢？答案還得從超導的微觀機制去找。當時，人們已知超導與電聲作用有關，理論上也可以推斷聲子作為媒介會引起電子之間的某種吸引。庫珀考慮了費米麪上動量相反的電子對，發現吸引作用會讓它們束縛在一起[52]。這種庫珀對的凝聚體由所謂BCS多體波函數描述[53]，它除了為唯象理論提供了微觀基礎，還預言了激發譜能隙，並得到實驗的進一步確認。
博戈留波夫發現，激發譜裏的準粒子跟超流中的聲子構成十分相似，是些電子和空穴的疊加[54]。庫珀對提供了一個序參量平均勢場，把費米麪上下的電子和空穴態耦合了起來，造成費米麪處的能隙。BCS最初考慮的是一個自旋和軌道角動量都為零的庫珀對，後來發現的銅基高温超導對應於自旋仍然為零但軌道角動量為2的庫珀對。後者給出的能隙在費米麪上的一些對稱線上變為零，那些地方的準粒子更容易被激發。前述普通液氦原子有個同位素3He，少了箇中子，整體上表現為一個費米子。在更低的温度下，3He液體也可以發生庫珀配對並表現出超流行為。庫珀對的自旋和軌道角動量都是1，表現出更為複雜的對稱相甚至拓撲行為[55]。
博戈留波夫準粒子能譜的正能部分代表元激發，而負能部分的完全填充卻代表了超導體的BCS基態。在二維手性超導模型中，基態波函數可以具有非平庸的陳數[56]。而對於一維無自旋超導模型，基態波函數可以具有量子化的貝里相位[57]。更一般地，利用博戈留波夫哈密頓量的粒子—空穴對稱性，超導系統也可以歸入單粒子的拓撲分類中去[58]。在拓撲奇異的情況下，體邊對應導致超導能隙內的邊界態模式。其中，零能態模式具有特殊含義，因為它的電子和空穴成分相等，對應一種馬約拉納粒子，其反粒子等於自身[56，57]。
由於馬約拉納零能模在量子計算中具有應用潛力，人們在努力尋找和製備拓撲超導材料。受拓撲絕緣體研究的啓發，人們考慮通過自旋軌道耦合以及超導近鄰效應來實現各種拓撲奇異的超導態[59，60]，也發掘了鐵基超導體等內稟拓撲超導體系[61]。目前，超導異質結系統和鐵基超導系統在實驗方面都有顯著進展，發現了諸多馬約拉納零能模存在的實驗跡象。
庫珀對序參量不僅僅決定超導體的拓撲性質，也深深地影響着準粒子的量子幾何 (Box 3)。序參量可以通過配對對稱性和自旋軌道耦合獲得豐富的動量依賴，也可以通過超流或者磁通以及外加條件獲得空間和時間上的依賴。如果構造準粒子波包，並且追蹤波包中心的半經典運動，那麼會發現序參量對於動量和位置的依賴會造成準粒子波包在動量位置和時間維度上方方面面的貝里曲率，影響它們在相空間的運動軌跡和態密度[62]。
05
晶體形變與人工引力
牛頓力學的背後假設了平直的空間和均勻流逝的時間。自由狀態就是勻速直線運動，其速度或動量的改變源自外力。完美晶體中，布洛赫粒子的(晶格)動量守恆，因而也做勻速直線運動；粒子動量的改變賴以破壞晶格平移對稱的各種因素，包括本文涉及的非均勻序參量。在廣義相對論中，愛因斯坦把引力歸結為時空的形變。我們想知道，晶體的形變是不是也可以讓布洛赫粒子感受到一種類似於引力的作用呢？
假設晶體的形變發生在比較大的空間和時間尺度上，可以對布洛赫粒子做局部和絕熱處理。引入三個晶格矢量場來標註各處元胞的形狀大小和朝向，再引入一個速度矢量場來表達元胞的移動。利用這些晶格矢量場的偏導數，再乘以倒格矢，我們可以得到一個晶格聯絡，描繪元胞隨時間或位置的旋轉和應變。這也對應於微分幾何裏聯絡的概念，那裏的所謂標架就是這裏的晶格矢量。在遠大於元胞的尺度上空間是連續的，但各處的布里淵區隨着元胞的伸縮扭轉而起舞波動。
相對於這樣一個非均勻變化着的相空間背景，晶格聯絡可以幫助我們有效地描寫布洛赫粒子的運動。比如，當考慮動量改變時，就要顧及到背景布里淵區的變化；利用聯絡將後者扣除，剩下的才算是動力學意義下的改變。同理，當考慮空間梯度時，也要顧及到背景的變化，作出相應的修改。這種協變梯度作用到粒子能量上就等於應變梯度乘以形變勢，一個形變電子學中常常用到的基本概念。對貝里曲率做同樣的協變處理，凡是涉及到其時間或位置分量的地方，都可以代之以應變分量再乘以相應的應變速率或梯度。
這樣，布洛赫粒子相對於相空間背景的運動方程就保持以前的形式[63]，只是在動量變化的方程裏多了個正比於元胞加速度的慣性力和正比於元胞角速度的科里奧利力 (Box 4)。這兩個力當然是非慣性系的結果，在牛頓力學裏我們就已經熟悉。有意思的是，晶體形變的效應完全用聯絡以協變的方式隱含了起來，類似於廣義相對論對於時空形變效應的描述。這大大方便了我們思考和計算形變引起的各種物理效應，比如晶體應變梯度引起的電極化，應變速率引起的軌道磁化和應力(霍爾粘滯)等等。這些效應都密切依賴於動量和應變參數空間裏的貝里曲率等量子幾何量。
為了把時間和位置放在同等地位，並充分藉助關於布洛赫粒子的那套邏輯和方法，我們把波動看成時空上的一個場，讓它像薛定諤方程那樣隨某個參數發展[65，66]。其定態本徵值作為能動量的函數，在四維布里淵區形成一系列譜帶；本徵值為零即迴歸到原來波動方程的解，也同時定出一系列能動量關係。聚焦在一個譜帶裏，在某點附近疊加出一個波包，同時具有相對確定的能動量和時空位置，就代表一個粒子事件。波包中心隨參數發展的動力學方程，即構成8維相空間中粒子世界線的一個幾何描述[65]。
在完美的時空晶體中，粒子的能動量守恆，世界線依然是一條直線。如果時空晶體本身發生形變，比如那些晶格矢量獲得了某種緩慢的時空位置依賴，情況又如何呢？仿照上面的做法，可以定義出一套四維的晶格聯絡來表達元胞的時空應變梯度。我們會得到像上述布洛赫粒子那樣一套廣義協變的運動方程，而且其形式更為對稱簡潔；因為相空間增加了時間和能量兩個維度，慣性力和科里奧利力也被隱藏了起來。由於形變勢(上述本徵值對於元胞時空應變的微商)和貝里曲率的存在，僅僅用聯絡描繪自由漂移的測地線方程不再成立[66]。
06
總結與展望
本文介紹了凝聚態中幾種典型的對稱破缺狀態，包括晶體、磁序、超流、超導系統。其中，電子起到不可或缺的作用，可以説是深度參與。在超流問題中，電子被鎖定在原子內部的量子基態，但通過其量子漲落和量子統計效應提供原子間的遠程吸引力和近程排斥力。在晶體中，原子外層電子會發生劇烈的狀態重組，以布洛赫波的形式參與到晶體的結合。磁性材料中，磁矩主要來源於稀土或過渡元素中未填滿的內殼層電子，它們在晶體中發生鐵磁或反鐵磁耦合。在超導材料中，金屬費米麪上的電子由於某種相互吸引而配對，在費米動量處產生能隙。
我們也簡單描繪了這些對稱破缺狀態中的集體行為，其中電子也是深度參與。一般來説，結構和序參量的運動比較緩慢，可以把電子狀態做絕熱處理。一方面，電子能量貢獻了原子位形和序參量空間的一個勢能。另一方面，電子基態的貝里相位貢獻了這個空間裏類似於矢量勢的一個規範場，近年來開始受到密切關注。磁序參量空間中的貝里曲率是磁旋比係數的微觀表達，代表磁動力學中的一個廣義洛倫茲力。原子位形空間的分子貝里曲率把電子系統的時間反演破缺傳遞到了晶格動力學中，是聲磁耦合的一個主要渠道。原子位形和磁序參量之間的貝里曲率在聲磁聯合動力學問題中，比如聲子和磁振子的耦合方程裏，也至關重要[67]。
電子在這些集體運動中也有非絕熱、非被動角色。比如，磁性金屬費米麪附近的電子會在磁運動中被激發，造成吉爾伯特阻尼。我們還可以操控這些傳導電子，來積極影響集體運動，比如通過自旋流對磁體施加力矩。我們還發現，存在一種非保守、非耗散的手段，源自序參量和時間之間的貝里曲率，在集體運動中做功。相對於自由能對序參量的梯度給出的廣義保守力，稱這種貝里曲率為廣義法拉第力，類似於電磁學裏的感生電動勢；對應於上述廣義洛倫茲力，它也是一種廣義規範力。
結構和序參量的微小振動對於對稱破缺狀態具有普遍意義，其量子化表現統稱為戈德斯通玻色子，包括晶體中的聲子、磁體中的磁振子、超流中的準粒子等等。聲子的激發是固體熱容量的主要來源，其量子統計在低温下表現突出。磁振子的熱激發研究讓人們認識到了戈德斯通玻色子對序參量的減弱甚至破壞作用。朗道利用超流準粒子的量子屬性，加上能動量守恆原理，解釋了為何相對超流低速運動的物體不會引起它們的激發。近年來，熱霍爾效應的研究揭示了固體中聲子和磁振子也具有電子那樣的拓撲幾何特性。
超導中的博戈留波夫準粒子不屬於這個範疇，它們代表的更像是一種序參量作用下電子狀態的重組，只是把空穴狀態也疊加了上去，仍然遵從費米—狄拉克統計。這些電子—空穴態當然也深度參與超導序參量的建立，以一種自洽的形式決定了超導能隙的大小和相對相位，及其在動量空間的分佈等等。由於和電磁規範場的耦合，超導序參量的微小振動更像是金屬中的等離子激發，也具有能隙。這也是著名的安德森—希格斯機制的最初模型，因為這種耦合也讓電磁規範場獲得質量，不能進入超導體內部。
我們也關心序參量在空間大範圍的結構和運動，比如鐵磁疇壁和斯格明子，以及超流中的量子渦旋和超導中的量子磁通等等。這些拓撲結構在移動中受到的馬格努斯力也具有量子幾何背景。如果序參量隨空間變化緩慢，其與電子體系的耦合可以進一步利用布洛赫粒子的半經典響應理論來描述；這個方法已經在磁性和超導研究中有很多應用。另外，非均勻序參量中的準粒子激發也是一個重要的課題，例如，超流量子渦旋與正常流的相互作用就需要這方面的知識。
對於晶體的大尺度形變與電子系統的耦合，我們也可以在絕熱和局部近似下考慮。需要引入一個晶格聯絡來描述週期性隨時間和位置的變化；用其修改過的動量微分和時空梯度也更本質，可以簡潔地表達布洛赫電子的物理量和運動方程。我們發現，對於形變和電子系統的耦合響應，在動量和應變參數空間上的貝里曲率起到至關重要的作用。晶格聯絡也可以擴展應用到彎曲的時空晶體問題上，以廣義協變的形式描繪粒子在時空和能動量空間裏的軌跡。
參考文獻
[1] 馮端，金國均. 凝聚態物理學. 北京：高等教育出版社，2013
[2] Anderson P W. Basic Notions of Condensed Matter Physics. CRC Press，2019
[3] Sundaram G，Niu Q. Phys. Rev. B，1999，59：14915
[4] Xiao D，Chang M C，Niu Q. Rev. Mod. Phys.，2010，82：1959
[5] 黃昆. 固體物理學. 北京：高等教育出版社，1966
[6] Kittel C. Introduction to Solid State Physics. Wiley，2018
[7] Zhang L，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2015，115：115502
[8] Zhang L，Ren J，Wang J S et al. Phys. Rev. Lett.，2010，105：225901
[9] Qin T，Zhou J，Shi J. Phys. Rev. B，2012，86：104305
[10] Zhang L，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2014，112：085503
[11] Tauchert S R，Volkov M，Ehberger D et al. Nature，2022，602：73
[12] Cheng B，Schumann T，Wang Y et al. Nano Lett.，2020，20：5991
[13] Ren Y，Xiao C，Saparov D et al. Phys. Rev. Lett.，2021，127：186403
[14] Saparov D，Xiong B，Ren Y et al. Phys. Rev. B，2022，105：064303
[15] Born M，Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices. Oxford University Press，1996
[16] Mead C A，Truhlar D G. J. Chem. Phys.，1979，70：2284
[17] Heisenberg W. Z. Phys.，1928，49：619
[18] Bloch F. Z. Phys.，1929，57：545
[19] Landau L D，Lifshitz E. Phys. Z. Sowjet.，1935，8：153
[20] Gilbert T L. Phys. Rev.，1955，100：1243
[21] Niu Q，Kleinman L. Phys. Rev. Lett.，1998，80：2205
[22] Niu Q，Wang X，Kleinman L et al. Phys. Rev. Lett.，1999，83：207
[23] Xiong B，Chen H，Li X et al. Phys. Rev. B，2018，98：035123
[24] Cheng R，Niu Q. Phys. Rev. B，2013，88：24422
[25] Xiao C，Xiong B，Niu Q. Phys. Rev. B，2021，104：064433
[26] Tang J，Cheng R. Phys. Rev. Lett.，2024，132：136701
[27] Bylander D M et al. Phys. Rev. B，2000，61：R11875
[28] Yu Y，Niu Q. 2000，arXiv：cond-mat/0003293
[29] Cheng R，Niu Q. Phys. Rev. B，2014，89：81105
[30] Cheng R，Niu Q. Phys. Rev. B，2012，86：245118
[31] Lin Y，Feng J. 2024，arXiv：2402.05473
[32] Griffin A et al. Bose-Einstein Condensation. Cambridge：Cambridge University Press，1996
[33] Anderson M H et al. Science，1995，269：198
[34] Davis K B et al. Phys. Rev. Lett.，1995，75：3969
[35] Gross E P. Nuovo Cim，1961，20：454
[36] Pitaevskii P P. JETP，1961，13：451
[37] Bogoliubov N N. J. Phys. (USSR)，1947，11：23
[38] Feynman R P. Phys. Rev.，1954，94：262
[39] Ao P，Thouless D J. Phys. Rev. Lett.，1993，70：2158
[40] Tisza L. Nature，1938，141：913
[41] Thouless D J，Ao P，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，1996，76：3758
[42] Zhang C et al. Phys. Rev. Lett.，2006，97：040401
[43] Choi D I，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，1999，82：2022
[44] Liu J，Wu B，Niu Q. Phys. Rev. Lett.，2003，90：170404
[45] Wu B，Niu Q. Phys. Rev. A，2000，61：023402
[46] Wu B，Niu Q. New J. Phys.，2003，5：104
[47] Wu B，Niu Q. Phys. Rev. A，2001，64：061603
[48] Onnes H K. Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden，1911，No. 120b；No. 122b；No. 124c
[49] Meissner W，Ochsenfeld R. Naturwissenschaften，1933，21：787
[50] Landau L D，Ginzburg V L. Zh. Eksp. Teor. Fiz.，1950，20：1064
[51] London F，London H. Proc. R. Soc. Lond. A，1935，149：71
[52] Cooper L N. Phys. Rev.，1956，104：1189
[53] Bardeen J et al. Phys. Rev.，1957，108：1175
[54] Bogoliubov N N. Sov. Phys. JETP，1958，7：41
[55] Volovik G E. The Universe in a Helium Droplet. Oxford University Press，2009
[56] Read N，Green D. Phys. Rev. B，2000，61：10267
[57] Kitaev A Y. Phys.-Usp.，2001，44：131
[58] Schnyder A P et al. Phys. Rev. B，2008，78：195125
[59] Fu L，Kane C L. Phys. Rev. Lett.，2008，100：096407
[60] Flensberg K et al. Nat. Rev. Mater.，2021，6：944
[61] Kong L Y，Ding H. Acta Phys. Sin.，2020，69：110301
[62] Wang Z et al. Phys. Rev. Lett.，2021，126：187001
[63] Dong L，Niu Q. Phys. Rev. B，2018，98：115162
[64] Gao Q，Niu Q. Phys. Rev. B，2022，106：224311
[65] Dong L. Geometrodynamics in crystals with space-time periodicity and deformation. PhD Thesis，The University of Texas at Austin，2021
[66] Li A，Dong L，Niu Q. 2023，arXiv：2310.16918
[67] Bonini J et al. Phys. Rev. Lett.，2023，130：086701
本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。