徐一鴻:基礎物理學只要三個數字丨展卷_風聞
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2020年,著名華裔物理學徐一鴻出版了Fly by Night Physics一書,融合他數十年來科研與教學經驗,向物理學習者介紹使用直覺和猜算解決物理問題。當手邊沒有文獻資料,甚至沒有筆和紙——就像在夜間行駛的飛機上,僅利用自己大腦內的知識和直覺思維,物理學家依然可以做出合理的猜測,沒有複雜嚴格的數學推導,卻更能直擊物理本質。《返樸》此前直播過徐一鴻就其著作做的講座《物理直覺是如何養成的?》,如今,這部傑作的中文版問世,《返樸》節選了關於簡單函數的內容,以期讀者可以領略夜航人巧妙的“夜行法”。
本文經授權節選自《物理夜航船:直覺與猜算》(世界圖書出版公司,2024年10月版)第一章《量綱分析:從並不神秘的武器到傳説中的秘密武器》。
撰文 | 徐一鴻(Anthony Zee)
翻譯 | 姬揚
極限行為:只有三個數字
夜航物理學家的存亡成敗決定於簡單函數的假設。物理學中大多數無量綱變量的函數都很簡單,有些平淡無奇,但有時會出現冪律或指數,其原因通常不言自明。或者,它們是由對稱性決定的,例如球諧函數。偶爾,可能會有一個共振峯,能夠用δ函數近似,物理學家就會歡呼慶祝。
更多的時候,如果你能弄清楚一個函數在其參數趨於零、無窮大或者一些特殊值(例如,角度為π/2)的時候的極限行為,那麼聰明的插值就可能成功。下一小節有一個基本的例子,另一個例子將在關於水波的第 8.1 節給出。
在我早期的學習中,一位著名的教授告訴我,在實驗物理學中,有無數個數字,但在基礎物理學中,只有三個數字:0、1和∞。當然,他的意思是,你要用適當的單位,使得感興趣的數字是無量綱的[1],還要進行量綱分析,這樣做了以後,結果就只能是:(a)比你的預期小得多,(b)跟你的預期差不多,或者(c)比你的預期大得多。事實上只有兩個數字——0 和 1,因為 ∞ 跟 0是反比的關係。
因此,在物理中有趣的極限下,函數要麼變成常數,要麼變成0(或等價地,∞)。默認的猜測是常數。如果你猜是0或∞,就必須給出解釋。
當然,你要根據手頭的具體情況來調整這些一般性的考慮。
炮彈的射程
下面這道題是大一物理的水平。炮彈以速度v發射,角度為θ。它的射程 R 是多少?見圖 1 和圖 2。
圖1 炮彈的射程 R 是角度 θ 的函數
圖2 我給美國內戰時期的大炮點火,按照工作人員的指示,將身體向左扭,拉動皮製的火繩。右下方勉強可以看到攝像師,以及電視片導演戴的帽子。
雖然這個問題很簡單,但是在歷史上,它讓無數的物理學家得到了國王和將軍們的青睞。許多傑出的物理學家曾擔任過炮兵指揮官。[2]
由於 [v] ≡ L/T 和 [g]= L/T^2(炮彈的質量又一次被抵消了),所以就可以立即得出
其中 f(θ) 是未知的函數。
好吧,如果你水平發射,炮彈就會直接撲倒在地。如果你愚蠢地垂直髮射,就要當心了!你無法傳宗接代了。因此,f(0) 和 f(π/2) 等於 0。一個簡單的猜測是,f(θ) 是兩個函數的乘積:一個函數在 θ = 0 時等於 0,另一個在 θ = π/2 時等於 0。如果你有點兒物理學常識,就會拒絕類似 θ(π/2-θ) 的東西。把矢量分解成垂直和水平分量時,就會出現三角函數。因此,你猜的是 sinθcosθ ,或者 sin2θ(與前者相差一個係數 2)。[3]
從兩端了解函數
在許多情況下,我們知道某個函數在其取值範圍兩端的數值。第 3.2 節中庫侖問題的量子波函數就是一個例子。當某個徑向變量 r 趨於無窮大時,波函數以指數形式趨於零,而當 r → 0 時,它以線性形式趨於零。不用解薛定諤方程,你能猜出這個波函數嗎?試一試吧。
焦慮怪開口了——我們都知道他會這樣,“知道一個函數的兩端,並不能唯一確定這個函數”,他説。是的是的,我們知道。那麼,我們就繼續吧。
生擒刻律涅亞的雌鹿:赫拉克勒斯的第三大任務[4]
赫拉克勒斯必須[5]生擒刻律涅亞的雌鹿,它是阿耳忒彌斯女神的聖物,是速度最快的鹿。[6]這頭雌鹿打算從阿耳忒彌斯山(這裏被視為河岸上的一個點,見圖 3)下來,(以速度vw)遊過拉東河(寬度w)到 P 點,然後沿着河岸(以速度vl)跑到阿卡迪亞森林的避難
(請注意,這裏提出的問題當然跟赫拉克勒斯沒有關係。)
圖3 刻律涅亞的雌鹿遊過拉東河到達 P 點,然後沿着河岸跑到阿卡迪亞森林
我選擇這個問題的一個原因是,按部就班的計算很容易解決這個問題, 即使用勾股定理和二分法找到最短的時間。[7]但我們仍將採用一個關於量綱分析的有啓發性的、基本的觀點。
所以,看我表演夜行術!
乍一看,量綱分析似乎無能為力,因為有兩個距離可供 x 參考。但稍加思考就會發現,到阿卡迪亞森林的距離是不相關的。一種方法是考慮將森林向右移動 10 km,如圖 3 右側所示。這只是增加了這頭鹿到達森林的時間, 但並不影響 P 的最佳位置。
另一種方法是讓這頭鹿從 P 點向後跑到 C 點,然後再從 C 點跑到森林 裏。從 P 回到 C 所消耗的時間應該算作對這頭鹿的時間預算的負貢獻。這頭鹿從 C 到森林的時間是固定的,完全不依賴於 x。到森林的距離是不相關的。教訓是,我們不應該盲目地計算問題中的量綱變量的數量。因此,量綱分析意味着 x=f(γ)w。換句話説,河流的寬度 w 設定了 x 的大小。
正如我説的,按部就班的計算很容易確定 f(γ) [8],但是本着夜行法的精神,我們還是猜一猜吧
如果 γ→1,這頭鹿遊得跟跑得一樣快。對它來説,趟水猶如平地。這頭鹿可以沿直線到達森林,所以 x 等於到遙遠森林的未知距離,與 w 相比是無限遠的。我們期望,當γ→1時,f(γ) 變為無窮大。
事實上,γ = 1 對這個問題施加了限制。如果這頭鹿遊得比它在陸地上跑得快,這個問題就沒有意義了。在初級物理學(和數學)中,計算出錯的最簡單方法是讓結果變成虛數。也許是某種平方根。因此,根據前面的所有考慮, 一個“合理的”猜測可能是
在數學上,這肯定是不嚴謹的。事實上,夜航人也許早就忘記數學系的大門朝哪兒開了。
請你試試內插法
給你一個更難的挑戰。猜一猜什麼函數具有這樣的屬性:當 x→0 時,g(x)→x,當 x→∞ 時,g(x)→ex。
總是會有些大學生告訴我,有無數個函數的行為是這樣的。好吧,我知道這一點。但是本着夜航物理學的精神,我想看到的是具有這些特性的最簡單的函數。不,我不想討論“簡單”是什麼意思,隨便給一個你可以用最少的算術符號寫出來的函數。
這個“正確”的猜測,將在第 3.5 節中揭示。在物理學史上,它非常非常重要。事實上,它帶來了一場名副其實的革命。大學生通常的印象是,物理學的發展是有邏輯的,每個結果都是一步步推導出來的。親愛的讀者,你當然知道這往往與事實相去甚遠。物理學中真正深刻的進步來自信仰的飛躍,來自瘋狂但有根據的猜測。[9]
註釋
[1] 而不是某個古怪的數字,帶着奇特的量綱,比如説,爾格英尋每小時什麼的。
[2] 例如,薛定諤(Erwin Schrödinger),還有圖恩(Rudolf Thun),我在大學裏學物理的同學。據我所知,拉普拉斯之所以能在法國大革命期間保住命,部分原因是他在法國炮兵部隊服役。D. I. Duveen and R. Hahn, Laplace’s Succession to Bézout’s Post of Examinateur des Elèves de l’Artillerie, Isis 48, no. 4 (Dec. 1957), pp. 416–427,https://doi.org/10.1086/348608.
[3] 一個物理學家朋友告訴我,在炮兵訓練中,當他試圖向軍士長解釋正弦和餘弦時,那個人吼道:“讓你的整錢和餘錢見鬼去吧!”(Shove your sinus and conus up you know where!)。這就是掉書袋的下場。(你可以推斷出,這段逸事不是發生在美國軍隊中。)
[4] 改編自 M. Huber, Mythematics: Solving the Twelve Labors of Hercules, Princeton University Press, 2009,第 22 頁。
[5] 為什麼?我們並不在乎,但如果你一定要知道,這十大任務是對他把自己的孩子和他兄弟的孩子扔進火裏的懲罰。
[6] 關於刻律涅亞雌鹿的故事,見維基百科鏈接https://en.wikipedia.org/wiki/Ceryneian_Hind。
[7] 事實上,這個希臘故事讓我想起了一個類似的,但更現代的故事,主人公是 20 世紀物理學的一位大英雄。見 GNut,第 3 頁。
[9] 向第 1.3 節的年輕玻爾致敬。
作者簡介
徐一鴻(Anthony Zee),世界著名的美籍華裔物理學家,美國人文與科學院院士。1945年出生於上海,曾移民巴西,後在美國普林斯頓大學取得學士學位,博士畢業於哈佛大學。目前任職於卡弗裏理論物理研究所和加州大學聖巴巴拉分校。他是一位研究領域十分寬廣的物理學家,在宇宙學、高能物理、凝聚態物理、數學物理乃至生物物理等領域做出過重要貢獻。現已出版250多篇學術論文,並致力於物理教材與科普圖書的寫作,其著作被翻譯為多國語言,代表作有《果殼中的量子場論》(Quantum Field Theory in a Nutshell)、《愛因斯坦引力導論》(Einstein Gravity in a Nutshell)、《物理學家的羣論》(Group Theory in a Nutshell for Physicists)、《可畏的對稱》(Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics)、《愛因斯坦的玩具》(An Old Man’s Toy: Gravity at Work and Play in Einstein’s Universe)等。
譯者簡介
姬揚,浙江大學物理學院教授,博士生導師,曾獲國家傑出青年基金。1971年出生,在中國科學技術大學獲得學士和碩士學位,在中國科學院半導體研究所獲得博士學位,後在以色列魏茲曼研究所進行博士後研究工作,回國後長期在中國科學院半導體研究所工作。著有譯作《激光光譜學》《半導體物理學》《半導體的故事》《引力的影子:尋找引力波》等。
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