徐一鴻：基礎物理學只要三個數字丨展卷_風聞

2020年，著名華裔物理學徐一鴻出版了Fly by Night Physics一書，融合他數十年來科研與教學經驗，向物理學習者介紹使用直覺和猜算解決物理問題。當手邊沒有文獻資料，甚至沒有筆和紙——就像在夜間行駛的飛機上，僅利用自己大腦內的知識和直覺思維，物理學家依然可以做出合理的猜測，沒有複雜嚴格的數學推導，卻更能直擊物理本質。《返樸》此前直播過徐一鴻就其著作做的講座《物理直覺是如何養成的？》，如今，這部傑作的中文版問世，《返樸》節選了關於簡單函數的內容，以期讀者可以領略夜航人巧妙的“夜行法”。

本文經授權節選自《物理夜航船：直覺與猜算》（世界圖書出版公司，2024年10月版）第一章《量綱分析：從並不神秘的武器到傳説中的秘密武器》。

撰文 | 徐一鴻（Anthony Zee）

翻譯 | 姬揚

極限行為：只有三個數字

夜航物理學家的存亡成敗決定於簡單函數的假設。物理學中大多數無量綱變量的函數都很簡單，有些平淡無奇，但有時會出現冪律或指數，其原因通常不言自明。或者，它們是由對稱性決定的，例如球諧函數。偶爾，可能會有一個共振峯，能夠用δ函數近似，物理學家就會歡呼慶祝。

更多的時候，如果你能弄清楚一個函數在其參數趨於零、無窮大或者一些特殊值（例如，角度為π/2）的時候的極限行為，那麼聰明的插值就可能成功。下一小節有一個基本的例子，另一個例子將在關於水波的第 8.1 節給出。

在我早期的學習中，一位著名的教授告訴我，在實驗物理學中，有無數個數字，但在基礎物理學中，只有三個數字：0、1和∞。當然，他的意思是，你要用適當的單位，使得感興趣的數字是無量綱的[1]，還要進行量綱分析，這樣做了以後，結果就只能是：(a)比你的預期小得多，(b)跟你的預期差不多，或者(c)比你的預期大得多。事實上只有兩個數字——0 和 1，因為 ∞ 跟 0是反比的關係。

因此，在物理中有趣的極限下，函數要麼變成常數，要麼變成0（或等價地，∞）。默認的猜測是常數。如果你猜是0或∞，就必須給出解釋。

當然，你要根據手頭的具體情況來調整這些一般性的考慮。

炮彈的射程

下面這道題是大一物理的水平。炮彈以速度v發射，角度為θ。它的射程 R 是多少？見圖 1 和圖 2。

圖1 炮彈的射程 R 是角度 θ 的函數

圖2 我給美國內戰時期的大炮點火，按照工作人員的指示，將身體向左扭，拉動皮製的火繩。右下方勉強可以看到攝像師，以及電視片導演戴的帽子。

雖然這個問題很簡單，但是在歷史上，它讓無數的物理學家得到了國王和將軍們的青睞。許多傑出的物理學家曾擔任過炮兵指揮官。[2]

由於 [v] ≡ L/T 和 [g]= L/T^2（炮彈的質量又一次被抵消了），所以就可以立即得出

其中 f(θ) 是未知的函數。

好吧，如果你水平發射，炮彈就會直接撲倒在地。如果你愚蠢地垂直髮射，就要當心了！你無法傳宗接代了。因此，f(0) 和 f(π/2) 等於 0。一個簡單的猜測是，f(θ) 是兩個函數的乘積：一個函數在 θ = 0 時等於 0，另一個在 θ = π/2 時等於 0。如果你有點兒物理學常識，就會拒絕類似 θ(π/2-θ) 的東西。把矢量分解成垂直和水平分量時，就會出現三角函數。因此，你猜的是 sinθcosθ ，或者 sin2θ（與前者相差一個係數 2）。[3]

從兩端了解函數

在許多情況下，我們知道某個函數在其取值範圍兩端的數值。第 3.2 節中庫侖問題的量子波函數就是一個例子。當某個徑向變量 r 趨於無窮大時，波函數以指數形式趨於零，而當 r → 0 時，它以線性形式趨於零。不用解薛定諤方程，你能猜出這個波函數嗎？試一試吧。

焦慮怪開口了——我們都知道他會這樣，“知道一個函數的兩端，並不能唯一確定這個函數”，他説。是的是的，我們知道。那麼，我們就繼續吧。

生擒刻律涅亞的雌鹿：赫拉克勒斯的第三大任務[4]

赫拉克勒斯必須[5]生擒刻律涅亞的雌鹿，它是阿耳忒彌斯女神的聖物，是速度最快的鹿。[6]這頭雌鹿打算從阿耳忒彌斯山（這裏被視為河岸上的一個點，見圖 3）下來，（以速度vw）遊過拉東河（寬度w）到 P 點，然後沿着河岸（以速度vl）跑到阿卡迪亞森林的避難

（請注意，這裏提出的問題當然跟赫拉克勒斯沒有關係。）

圖3 刻律涅亞的雌鹿遊過拉東河到達 P 點，然後沿着河岸跑到阿卡迪亞森林

我選擇這個問題的一個原因是，按部就班的計算很容易解決這個問題， 即使用勾股定理和二分法找到最短的時間。[7]但我們仍將採用一個關於量綱分析的有啓發性的、基本的觀點。

所以，看我表演夜行術！

乍一看，量綱分析似乎無能為力，因為有兩個距離可供 x 參考。但稍加思考就會發現，到阿卡迪亞森林的距離是不相關的。一種方法是考慮將森林向右移動 10 km，如圖 3 右側所示。這只是增加了這頭鹿到達森林的時間， 但並不影響 P 的最佳位置。

另一種方法是讓這頭鹿從 P 點向後跑到 C 點，然後再從 C 點跑到森林 裏。從 P 回到 C 所消耗的時間應該算作對這頭鹿的時間預算的負貢獻。這頭鹿從 C 到森林的時間是固定的，完全不依賴於 x。到森林的距離是不相關的。教訓是，我們不應該盲目地計算問題中的量綱變量的數量。因此，量綱分析意味着 x=f(γ)w。換句話説，河流的寬度 w 設定了 x 的大小。

正如我説的，按部就班的計算很容易確定 f(γ) [8]，但是本着夜行法的精神，我們還是猜一猜吧

如果 γ→1，這頭鹿遊得跟跑得一樣快。對它來説，趟水猶如平地。這頭鹿可以沿直線到達森林，所以 x 等於到遙遠森林的未知距離，與 w 相比是無限遠的。我們期望，當γ→1時，f(γ) 變為無窮大。

事實上，γ = 1 對這個問題施加了限制。如果這頭鹿遊得比它在陸地上跑得快，這個問題就沒有意義了。在初級物理學（和數學）中，計算出錯的最簡單方法是讓結果變成虛數。也許是某種平方根。因此，根據前面的所有考慮， 一個“合理的”猜測可能是

在數學上，這肯定是不嚴謹的。事實上，夜航人也許早就忘記數學系的大門朝哪兒開了。

請你試試內插法

給你一個更難的挑戰。猜一猜什麼函數具有這樣的屬性：當 x→0 時，g(x)→x，當 x→∞ 時，g(x)→ex。

總是會有些大學生告訴我，有無數個函數的行為是這樣的。好吧，我知道這一點。但是本着夜航物理學的精神，我想看到的是具有這些特性的最簡單的函數。不，我不想討論“簡單”是什麼意思，隨便給一個你可以用最少的算術符號寫出來的函數。

這個“正確”的猜測，將在第 3.5 節中揭示。在物理學史上，它非常非常重要。事實上，它帶來了一場名副其實的革命。大學生通常的印象是，物理學的發展是有邏輯的，每個結果都是一步步推導出來的。親愛的讀者，你當然知道這往往與事實相去甚遠。物理學中真正深刻的進步來自信仰的飛躍，來自瘋狂但有根據的猜測。[9]

註釋

[1] 而不是某個古怪的數字，帶着奇特的量綱，比如説，爾格英尋每小時什麼的。

[2] 例如，薛定諤（Erwin Schrödinger），還有圖恩（Rudolf Thun），我在大學裏學物理的同學。據我所知，拉普拉斯之所以能在法國大革命期間保住命，部分原因是他在法國炮兵部隊服役。D. I. Duveen and R. Hahn, Laplace’s Succession to Bézout’s Post of Examinateur des Elèves de l’Artillerie, Isis 48, no. 4 (Dec. 1957), pp. 416–427,https://doi.org/10.1086/348608.

[3] 一個物理學家朋友告訴我，在炮兵訓練中，當他試圖向軍士長解釋正弦和餘弦時，那個人吼道：“讓你的整錢和餘錢見鬼去吧！”（Shove your sinus and conus up you know where!）。這就是掉書袋的下場。（你可以推斷出，這段逸事不是發生在美國軍隊中。）

[4] 改編自 M. Huber, Mythematics: Solving the Twelve Labors of Hercules, Princeton University Press, 2009，第 22 頁。

[5] 為什麼？我們並不在乎，但如果你一定要知道，這十大任務是對他把自己的孩子和他兄弟的孩子扔進火裏的懲罰。

[6] 關於刻律涅亞雌鹿的故事，見維基百科鏈接https://en.wikipedia.org/wiki/Ceryneian_Hind。

[7] 事實上，這個希臘故事讓我想起了一個類似的，但更現代的故事，主人公是 20 世紀物理學的一位大英雄。見 GNut，第 3 頁。

[9] 向第 1.3 節的年輕玻爾致敬。

作者簡介

徐一鴻（Anthony Zee），世界著名的美籍華裔物理學家，美國人文與科學院院士。1945年出生於上海，曾移民巴西，後在美國普林斯頓大學取得學士學位，博士畢業於哈佛大學。目前任職於卡弗裏理論物理研究所和加州大學聖巴巴拉分校。他是一位研究領域十分寬廣的物理學家，在宇宙學、高能物理、凝聚態物理、數學物理乃至生物物理等領域做出過重要貢獻。現已出版250多篇學術論文，並致力於物理教材與科普圖書的寫作，其著作被翻譯為多國語言，代表作有《果殼中的量子場論》（Quantum Field Theory in a Nutshell）、《愛因斯坦引力導論》（Einstein Gravity in a Nutshell）、《物理學家的羣論》（Group Theory in a Nutshell for Physicists）、《可畏的對稱》（Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics）、《愛因斯坦的玩具》（An Old Man’s Toy: Gravity at Work and Play in Einstein’s Universe）等。

譯者簡介

姬揚，浙江大學物理學院教授，博士生導師，曾獲國家傑出青年基金。1971年出生，在中國科學技術大學獲得學士和碩士學位，在中國科學院半導體研究所獲得博士學位，後在以色列魏茲曼研究所進行博士後研究工作，回國後長期在中國科學院半導體研究所工作。著有譯作《激光光譜學》《半導體物理學》《半導體的故事》《引力的影子：尋找引力波》等。

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