遠離的月球，剎車的地球——潮汐鎖定_風聞

在遙遠的未來，當地球自轉最終也被潮汐鎖定之後，月球軌道也就穩定下來。

撰文 | 吳從軍 (西湖大學物理系 新基石科學實驗室)

來源 | 選自《物理》2024年第11期

在古往今來的中秋賞月詩詞中，最獨特的莫過於辛棄疾的這首《木蘭花慢·可憐今夕月》：

可憐今夕月，向何處，去悠悠？是別有人間，那邊才見，光影東頭？是天外空汗漫，但長風浩浩送中秋？飛鏡無根誰系？姮娥不嫁誰留？

謂經海底問無由，恍惚使人愁。怕萬里長鯨，縱橫觸破，玉殿瓊樓。蝦蟆故堪浴水，問云何玉兔解沉浮？若道都齊無恙，云何漸漸如鈎？

辛棄疾生活在公元12世紀，是南宋著名詞人和軍事將領，他的一生頗具傳奇色彩。特別是他在青年時代，起義於北方金國統治區，深入敵營、斬將搴旗、渡淮南歸的故事，千古流芳。他的這首中秋詞，模仿楚辭《天問》，抓住了遠古神話中的諸多矛盾之處，對月相和月球運行的機制追根問底。即使不談其文學性，單從物理學的角度看，這些問題的水平也是非常高的。

《費曼物理學講義》(第1卷) 的第7章寫到，在牛頓時代之前，人們曾普遍認為天體是由看不見的天使拍着翅膀沿着軌道的切向來驅動。令人驚奇的是，“飛鏡無根誰系”表明辛棄疾已經隱約地覺察到了徑向吸引力的存在，就像是有根看不見的繩子一樣。相對於他的時代，這無疑是很先進的了。由於時代的限制，辛棄疾不可能具備解決這些問題的知識積累和科學訓練。要等到17世紀的牛頓力學和引力理論建立了，人類才認識到月球繞地球轉和樹上掉個爛蘋果，這兩件事情之間沒有本質的區別，它們服從相同的自然規律。天體運行沒有任何超自然的神聖性可言，這是人類歷史上的一次認知革命。

月球的誕生是幾十億年前的事情了[1]。古詩中説“今人不見古時月，今月曾經照古人”，又有“秦時明月漢時關”。恐龍時代的月球軌道和現在的相比，有什麼不一樣呢？一個很自然的問題就是，月球離我們是越來越近了呢，還是越來越遠了呢？

天文觀測表明，地月距離以每年3.8 cm的速度在增加[2]。雖然這點變化相比於長達3.8×10^5 km的地月間距，實在是小得很。但是在漫長的地質年代裏，其積累起來的效果是非常可觀的。例如，按此速率外推，在過去的10億年裏，地月距離增長了3.8×10^7 m，也就是3.8×10^4 km，這已經達到了地月距離的十分之一量級。

如果在地質年代的時間尺度上研究地月系統的運行，地球和月球都不能再被當作質點來處理，因為它們的內部並非鐵板一塊，從而存在潮汐。潮汐鎖定效應使得月球遠離。簡單的説，潮汐導致地月系統的能量耗散，這使得地球的自轉變慢，就像是被剎了車一樣。這個過程中損失的角動量被轉移到了月球的軌道角動量，從而使得月球軌道遠離地球。

在仔細闡述之前，我們考慮如下問題：如果把地月系統近似地看成是孤立系統的話，它們的總角動量是守恆的，即地球自轉、月球自轉、月球公轉角動量之和為一定值。那麼在什麼樣的情況下，該系統的總能量最小?

圖1 地月系統示意圖。為簡單計，設地球自轉、月球自轉、月球公轉的軸是平行的

月球公轉和自轉的週期都是29.5天，這也是月球一直以固定的一面朝向地球的原因。在億萬年的磨合中，這兩個自由度已經達到了能量最小。地球的塊頭太大，地球的年齡還不足以把其自轉的能量充分地耗散，結果是地球自轉還沒有和月球運動形成鎖定。目前，它們的週期相差近三十倍。這會導致什麼情況呢?

圖2 潮汐是因為月球對地球的引力的梯度所引起的，從而洋麪表現出四極矩變形。粗略地説，高潮位出現在地月連線和洋麪的交點，而低潮位出現在洋麪與垂直於地月連線方向的交點

地球表面有海水，在月亮的引力作用下，會發生潮汐現象。牛頓解釋了潮汐的週期為什麼是12個小時，而不是一晝夜24小時。這是因為潮汐是月球引力梯度的效應所致。設地月位置如圖2所示，地球自轉軸垂直紙面。地球上各點都被月球吸引，但是離月心距離不同，被吸引的強度是不同的。地月連線通過洋麪的兩個地方，一個是近月點，一個是遠月點。相對於地球的中心而言，月球對近月點洋麪的吸引要比對地心的吸引更強，而對遠月點洋麪的吸引要比對地心的吸引更弱。這導致這兩處的洋麪都遠離地心，形成了高潮位。相應地，洋麪上與地月連線垂直的兩個方向對應於低潮位。

月球在一天內由於公轉產生的位置變化不大，可以忽略。洋麪的高潮位置相對於月球幾乎是靜止的，但是地殼隨着地球自轉而動。所以，洋麪上的一點每天要經過兩個高潮位和兩個低潮位。

如果只考慮月球引力，高低潮水位每天都是一樣的，相差半米左右。太陽引力的潮汐效應也會帶來影響。在農曆初一、十五附近的時間，日月和地球連成一條直線，太陽和月球引力的潮汐疊加在一起，造成天文大潮。此外，潮汐還要受到地形等複雜因素的影響。對於像錢塘江大潮那樣的潮水，杭州灣喇叭口的地形特點帶來的匯聚效應，也是至關重要的因素。

潮汐效應引起的洋麪高潮低潮位形，隨着月球的公轉所導致的月球位置變化而動，變動緩慢，而地球自轉是很快的。因此，月球通過海水對地殼產生了摩擦，從而對地球的自旋進行了剎車。地球會越轉越慢，直到潮汐的洋麪位形和地球自旋的角速度相同，彼此才不會再進行牽扯，這就是潮汐鎖定的機制。

在潮汐鎖定的過程中，機械能變成熱能。例如，在木星的衞星木衞二 (Euopa)上，有個冰封的大洋。冰蓋下面是上百公里深的液態水，其熱量就來源於木星引力的巨大潮汐效應。回到地月系統，在潮汐鎖定的過程中，地球自轉角動量是在減小的。如果忽略太陽的影響，地月系統的角動量是守恆的，損失的角動量要轉移到月球的運動中。我們來估算一下月球自轉的角動量Js 和公轉角動量JL 的比值：

這個過程具體是怎樣發生的呢？洋麪的潮汐變形被地殼摩擦所拖曳，洋麪的高潮位其實並不在地月連線上，而是沿着地球自轉的方向稍稍偏一點。這樣的洋麪形狀，使得地球的質量分佈不再具有球對稱性了。而地球對月球的引力，就不再沿着地月連線，而是稍稍指向高潮位所在處，如圖3所示。這樣，地月引力就有了一個切向的分量來加速月球的軌道運動。這個對月球的加速，保持了總角動量守恆，同時也使得月球軌道遠離地球。

圖3 洋麪的潮汐變形對地殼的摩擦減慢了地球自轉。同時，地殼也拖曳洋麪的潮汐位形，使得高潮位稍稍偏離地月連線。這使得地球對月球的吸引力偏離了地月質心連線，使得月球沿着軌道切線加速。這樣就把地球損失的角動量傳遞到了月球的軌道運動，並且使月球遠離地球

容易算出，在一年的時間內，每天(8.6×105 s)由於潮汐鎖定導致的延長有2.4×10-5 s。這個變化雖然非常小，但卻是可以測量的。

珊瑚化石生長線記載了在3億7千萬年前，每年約有400天。這也就是説，那時候的1天大約有365/400×24=22小時，也就是説目前的每天時間比3億7千萬年前的每天長了2個小時。上面的估算所給出的1天時間的延長約為3.7×10^8×2.4×10^（-5） s≈2.5小時，這和化石的記錄是相符的。當然估算只能夠達到數量級的準確度，並不追求數值上的精度。

可以進一步推論：在幾十億年前的冥古宙、太古宙，地球的自轉角速度要比現在快得多，可能快上一個數量級。地轉偏向導致的科里奧利力也比現在要強很多。如果研究那個年代的古氣候，這個效應也許是需要考慮的因素。即使在幾億年前的恐龍時代，要研究那個時候的古生態和古氣候，比如颱風等，也需要考慮當時的地球自轉角速度。

在遙遠的未來，當地球自轉最終也被潮汐鎖定之後，月球軌道也就穩定下來。有興趣的同學不妨估算一下，那時候的月球軌道有多高、地球的一天有多長。可以想象，地球的自轉會變得非常慢了，這當然對地球的影響也是非常大的。

致 謝 感謝新基石基金會的資助。

參考文獻

[1] Origin of the Moon.

https://en.wikipedia.org/wiki/Origin_of_the_Moon

[2] Tidal acceleration.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_acceleration

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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