數學思維到底是什麼？如何訓練？_風聞
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不妨看看英國皇家學會會員、英國沃裏克大學數學系榮退教授伊恩•斯圖爾特的看法。
撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）、戴維·托爾（David Tall）
譯者 | 姜喆
數學並非由計算機憑空計算而來，而是一項人類活動，需要人腦基於千百年來的經驗，自然也就伴隨着人腦的一切優勢和不足。你可以説這種思維過程是靈感和奇蹟的源泉，也可以把它當作一種亟待糾正的錯誤，但我們別無選擇。
人類當然可以進行邏輯思考，但這取決於如何理解問題。一種是理解形式數學證明每一步背後的邏輯。即便我們可以檢查每一步的正確性，卻可能還是無法明白各步如何聯繫到一起，看不懂證明的思路，想不通別人如何得出了這個證明。
而另一種理解是從全局角度而言的——只消一眼便能理解整個論證過程。這就需要我們把想法融入數學的整體規律，再把它們和其他領域的類似想法聯繫起來。這種全面的掌握可以讓我們更好地理解數學這一整體，並不斷進步——我們在當前階段的正確理解很可能會為未來的學習打下良好基礎。
反之，如果我們只知道“解”數學題，而不瞭解數學知識之間的關係，便無法靈活運用它們。
這種全局思維並非只是為了理解數學之美或者啓發學生。人類經常會犯錯：我們可能會搞錯事實，可能做錯判斷，也可能出現理解偏差。在分步證明中，我們可能無法發現上一步推不出下一步。但從全局來看，如果一個錯誤推出了和大方向相悖的結論，這一悖論就能提醒我們存在錯誤。
比如，假設 100 個十位數的和是 137 568 304 452。我們有可能犯計算錯誤，得到 137 568 804 452 這個結果，也可能在寫下結果時錯抄成 1 337 568 804 452。
這兩個錯誤可能都不會被發現。要想發現第一個錯誤，很可能需要一步步地重新計算，而第二個錯誤卻能通過算術的規律輕鬆地找到。因為 9 999 999 999×100=999 999 999 900，所以 100 個十位數的和最多也只能有 12 位，而我們寫下的卻是個十三位數。
無論是計算還是其他的人類思維過程，把全局理解和分步理解結合起來是最可能幫助我們發現錯誤的。學生需要同時掌握這兩種思維方式，才能完全理解一門學科並有效地實踐所學的知識。要分步理解非常簡單，我們只需要把每一步單獨拿出來，多做練習，直到充分理解。全局理解就難得多，它需要我們從大量獨立信息中找到邏輯規律。
即便你找到了一個適合當前情境的規律，也可能出現和它相悖的新信息。有些時候新信息會出錯，但過去的經驗也經常不再適用於新的情境。越是前所未有的新信息，就越可能超脱於既存的全面理解之外，導致我們需要更新舊的理解。
1
概念的形成
在思考具體領域的數學之前，可以先了解一下人類如何學習新的思想。因為基礎性問題需要我們重新思考自認為了解的思想，所以明白這個學習過程就尤為重要。每當我們發現自己並沒有完全瞭解這些思想，或者找到尚未探明的基本問題時，我們就會感到不安。不過大可不必驚慌，絕大部分人都有過相同的經歷。
所有數學家在剛出生時都很稚嫩。這雖然聽起來是句空話，卻暗示了很重要的一點——即便是最老練的數學家也曾一步步地學習數學概念。遇到問題或者新概念時，數學家需要在腦海中仔細思考，回憶過去是否碰到過類似的問題。這種數學探索、創造的過程可沒有一點邏輯。
只有當思緒的齒輪彼此齧合之後，數學家才能“感覺”到問題或者概念的條理。隨後便可以形成定義，進行推導，最終把必要的論據打磨成一個簡潔精妙的證明。
我們以“顏色”的概念為例，做一個科學類比。顏色的科學定義大概是“單色光線照射眼睛時產生的感覺”。我們可不能這樣去教孩子。（“安傑拉，告訴我你的眼睛在接收到這個棒棒糖發出的單色光後產生了什麼感覺……”）首先，你可以先教他們“藍色”的概念。你可以一邊給他們展示藍色的球、門、椅子等物體，一邊告訴他們“藍色”這個詞。然後你再用相同的方法教他們“紅色”“黃色”和其他顏色。
一段時間之後，孩子們就會慢慢理解顏色的意義。這時如果你給他們一個沒見過的物品，他們可能就會告訴你它是“藍色”的。接着再教授“深藍”和“淺藍”的概念就簡單多了。
重複這種過程許多次後，為了建立不同顏色的概念，你還需要再重新來一遍。“那扇門是藍色的，這個盒子是紅色的，那朵毛茛是什麼顏色的呢？”如果孩子們能回答“黃色”，那就説明他們的腦海中已經形成了“顏色”這一概念。
孩子們不斷成長，不斷學習新的科學知識，可能有一天他們就會見到光線透過稜鏡形成的光譜，然後學習光線的波長。在經過足夠的訓練，成為成熟的科學家之後，他們就能夠精準地説出波長對應的顏色。但對“顏色”概念的精確理解並不能幫助他們向孩子解釋“藍色”是什麼。在概念形成的階段，用波長去清楚明白地定義“藍色”是無用的。
數學概念也是如此。讀者的頭腦中已經建立了大量的數學概念：解二次方程、畫圖像、等比數列求和等。他們也能熟練地進行算術運算。我們的目標就是以這些數學理解為基礎，把這些概念完善到更復雜的層面。我們會用讀者生活中的例子來介紹新概念。隨着這些概念不斷建立，讀者的經驗也就不斷豐富，我們就能以此為基礎更進一步。
雖然我們完全可以不借助任何外部信息，用公理化的方法從空集開始構建整個數學體系，但這對於尚未理解這一體系的人來説簡直就是無字天書。專業人士看到書裏的一個邏輯構造之後，可能會説：“我猜這是‘0’，那麼這就是‘1’，然後是‘2’……這一堆肯定是‘整數’……這是什麼？哦，我明白了，這肯定是‘加法’。”但對於外行來説，這完全就是鬼畫符。要想定義新概念，就要用足夠的例子來解釋它是什麼，能用來做什麼。當然，專業人士通常都是給出例子的那一方，可能不需要什麼理解上的幫助。
2
基模
數學概念就是一組系統的認知——它們源於已經建立的概念的經驗，以某種方式互相關聯。心理學家把這種系統的認知稱作“基模”。例如，孩子可以先學習數數（“一二三四五，上山打老虎”），然後過渡到理解“兩塊糖”“三條狗”的意思，最後意識到兩塊糖、兩隻羊、兩頭牛這些事物存在一個共通點——也就是“2”。那麼在他的腦海中，就建立起了“2”這一概念的基模。
這一基模來源於孩子自身的經驗：他的兩隻手、兩隻腳，上週在田地裏看到的兩隻羊，學過的順口溜……你會驚訝地發現，大腦需要把許多信息歸併到一起才能形成概念或者基模。
孩子們接着就會學習簡單的算術（“假設你有五個蘋果，給了別人兩個，現在還剩幾個”），最終建立起基模，來回答“5 減 2 是多少”這種問題。算術有着非常精確的性質。如果 3 加 2 等於 5，那麼 5 減 2 也就等於 3。孩子們在理解算術的過程中就會發現這些性質，之後他們就可以用已知的事實去推導新的事實。
假設他們知道 8 加 2 等於 10，那麼 8 加 5 就可以理解為 8 加 2 加 3，那麼這個和就是 10 加 3，結果是 13。孩子們就這樣慢慢地建立了整數算術這一內容豐富的基模。
如果你這時問他們“5 減 6 得多少”，他們可能會説“不能這麼減”，或者心想成年人怎麼會問這種傻問題，尷尬地咯咯笑。這是因為這個問題不符合孩子們腦海中減法的基模——如果我只有 5 個蘋果，那不可能給別人 6 個。而在學習過負數之後，他們就會回答“ -1”。為什麼會有這種變化呢？這是因為孩子們原有的“減法”基模為了處理新的概念產生了變化。
在看到了温度計刻度或是瞭解了銀行業務之後，對於“減法”概念的理解就需要改變。在這個過程中，可能仍會心存困惑（ -1 個蘋果是什麼樣的？），但這些困惑最終都會得到令人滿意的解釋（蘋果數量和温度計讀數存在本質區別）。
學習過程有很大一部分時間就是讓現有的基模變得更復雜，從而能夠應對新概念。就像我們剛剛説的，這個過程確實會伴隨着疑惑。要是能毫無困惑地學習數學該有多好。
可是很不幸，人不可能這樣學習。據説 2000 多年前，歐幾里得對托勒密一世説：“幾何學習沒有捷徑。”除了意識到自己的困惑，瞭解困惑的成因也很重要。在閲讀本書的過程中，讀者將會多次感到困惑。這種困惑有時源於作者的疏忽，但一般可能是因為讀者需要修正個人的認知才能理解更一般的情形。
這是一種建設性的困惑，它標誌着讀者取得了進步，讀者也應當欣然接受——要是困擾太久那就另當別論了。同樣，在困惑得到解決後，一種理解透徹的感覺就會伴隨着莫大的喜悦油然而生，就好像完成了一幅拼圖。數學確實是一種挑戰，但這種達成絕對和諧的感覺讓挑戰成為了滿足我們審美需求的途徑。
3
一個例子
發展新觀念的過程可以用數學概念的發展史來説明。這段歷史本身也是一種學習過程，只不過它牽扯了很多人。負數的引入招致了大量反對聲音：“你不可能比一無所有更窮了。”但在如今的金融世界，借記和信貸的概念早就讓負數融入了日常生活。
另一個例子是複數的發展。所有數學家都知道，無論是正數還是負數，其平方都一定是正數。戈特弗裏德·萊布尼茨當然也不例外。如果 i 是 -1 的平方根，那麼i2=-1，因此 i 既不是正數，也不是負數。萊布尼茨認為它具有一種非常神秘的性質：它是一個非零數，不大於零，也不小於零。人們因此對於複數產生了巨大的困惑和不信任感。這種感覺至今仍然存在於部分人心中。
複數無法輕易地融入大多數人關於“數”的基模，學生們第一次見到它往往也會感到抗拒。現代數學家需要藉助一個擴展的基模來讓複數的存在變得合理。
假設我們用平常的方式把實數標在一根軸上：
然而我們並非毫無辦法。我們可以用平面上的點來表示複數。（1758 年，弗朗索瓦·戴維認為把虛數畫在和實軸垂直的方向上是毫無意義的。幸好其他數學家和他意見相左。）實數位於實軸上，i 位於原點上方一個單位長度的地方。而從原點出發，沿實軸前進 x 個單位，再向上移動 y 個單位（如果 x 和 y 為負數，就朝相反方向移動），就得到了 x + iy 這個數。因為 i 在實軸上方一個單位的地方，而不在實軸上，所以就不能用“i 不存在於實軸上的任何位置”來反對 i 的存在了（見圖 1-2）。這樣擴展後的基模就能毫無困難地接納令人不安的複數。
這種現象非常普遍，並不限於學生身上，古往今來的數學家都曾有所體驗。如果你研究的領域業已成熟，概念都得到了解釋，並且開發出的方法也足以解決常見問題，那麼教學工作就不會很困難。學生只需要理解原理，提高熟練度即可。
但如果像是把負數引入用自然數來計數的世界，或是在解方程時遇到複數那樣，需要讓數學系統發生根本性的變化時，大家都會感到困惑：“這些新玩意兒是怎麼回事？和我想的根本不一樣啊！”
這種情況會帶來巨大的迷茫。有些人能堅定地、帶着創新思維接納並掌握新知識；有些人就只能深陷焦慮，甚至對新知識產生反感、抗拒的情緒。一個最著名的例子就發生在 19 世紀末期，而它最終也改變了 20 世紀和 21世紀的數學。
4
自然數學與形成數學
數學起源於計數和測量等活動，用於解決現實世界的問題。古希臘人意識到繪圖和計數有着更為深奧的性質，於是他們建立了歐氏幾何和質數理論。即便這種柏拉圖式的數學追求完美的圖形和數，這些概念仍然是和現實相關聯的。這種狀態延續了千年。
艾薩克·牛頓在研究重力和天體運動時，人們把科學稱為“自然哲學”。牛頓的微積分建立在古希臘幾何和代數之上，而後者正是現實中算術運算的推廣。
這種基於“現實中發生的事件”的數學持續到了 19 世紀末。當時數學研究的焦點從對象和運算的性質變成了基於集合論和邏輯證明的形式數學。這種從自然數學到形式數學的歷史性過渡包含了視角的徹底改變，也帶來了對於數學思維的深刻洞見。它對於從中小學的幾何和代數學習向高等教育階段的形式數學學習的轉變有着至關重要的作用。
5
基於人類經驗建立形式化概念
隨着數學變得越來越複雜，新概念中有一些是舊知識的推廣，有一些則是全新的思想。在從中學數學過渡到形式數學的過程中，你可能會覺得從零開始學習形式化的定義以及如何從基本原理進行形式化的推導才符合邏輯。但是過去 50 年的經驗告訴我們，這種做法並不明智。
20 世紀 60 年代曾經有人嘗試在中小學用全新的方法講解數學，也就是基於集合論和抽象定義來教授。這種“新式數學”以失敗告終。這是因為，雖然專家們能理解抽象的奧妙，但是學生們需要一個連貫的知識基模才能理解定義和證明。
現如今我們對於人類發展數學思維的過程有了更深刻的認識，因此得以從實際研究中汲取教訓，來理解為什麼學生們對於概念的理解和課本想闡明的意思有細微偏差。我們提到這一點，也是為了鼓勵讀者仔細思考文字的準確含義，在概念之間建立緊密的數學關聯。
你可以仔細閲讀證明，養成給自己解釋的習慣。你要向自己解釋清楚為什麼某個概念如此定義，為什麼證明中的前一行可以推出下一行。（參見附錄中關於自我解釋的部分。）最近的研究顯示，嘗試思考、解釋定理的學生從長遠來看會有所收穫。曾經有人使用眼部追蹤設備來研究學生閲讀本書第 1 版的方式。研究發現花更多時間思考證明的關鍵步驟和在後續考試中取得更高分數是強相關的。我們強烈推薦讀者也這樣做，努力把知識聯繫起來能讓你建立更連貫的知識基模，讓自己長期受益。
要明智地對待學習過程。在實踐中，我們不總是能夠為遇到的每個概念給出精確的定義。比如，我們可能會説集合是“明確定義的一組事物”，但這其實是在迴避問題，因為“組”和“集合”在此處有相同的意思。
在學習數學基礎時，我們要準備好一步一步地學習新概念，而不是一上來就去消化一個嚴密的定義。在學習過程中，我們對於概念的理解將愈發複雜。有時，我們會用嚴謹的語言重新闡述之前不明確的定義（比如“黃色是波長為 5500Å的光的顏色”）。新定義看起來會比作為基礎的舊定義好得多，也更具吸引力。
那一開始就學習這個更好、更有邏輯的定義不就好了嗎？其實未必如此。
本書的第一部分將從中小學學習過的概念開始。我們會思考如何通過標出不同的數一步步建立數軸。這一過程從自然數（1、2、3……）開始，然後是自然數之間的分數，接着我們延伸到原點兩側的正負自然數（整數）和正負分數（有理數），最後擴展到包含有理數和無理數的全體實數。我們還會關注如何自然地進行整數、分數、小數的加減乘除運算，特別是那些將成為不同數系的形式化公理基礎的性質。
第二部分將介紹適合數學家所使用的證明概念的集合論和邏輯。我們的講解將兼顧邏輯的精確性和數學上的洞見。我們要提醒讀者，不僅要關注定義的內容，還要小心不要因為過去的經驗，就臆斷某些性質的存在。比如，學生可能學習過y=x2或者f(x)=sin3x這樣能用公式表達的函數。然而函數的一般定義並不需要公式，只要對於（特定集合內的）每一個 x 值，都存在唯一對應的 y 值即可。
這個更一般的定義不僅適用於數，還適用於集合。一個被定義的概念所具有的性質必須基於它的定義，用數學證明的方式推導出來。
第三部分將從自然數的公理和數學歸納法開始，逐步探討一系列數系的公理化結構。接着，我們將展示如何用集合論的方法，從基本原理構建出整數、有理數和實數等數系。最終，我們將得到一系列公理，它們定義了實數系統，包括兩種滿足特定算術和順序性質的運算（加法和乘法），以及“完備性公理”。
形式化系統和結構定理
這種從精心挑選的公理構建形式化系統的方法可以進一步推廣，從而覆蓋更多新的情況。和從日常生活中衍生出的系統相比，這種系統有着巨大優勢。
只要一個定理可以通過形式化證明從給定的公理推導出來，它在任何滿足這些公理的系統中就都成立。無論系統新舊都是如此。形式化的定理是不會過時的。
這些定理不僅適用於我們熟知的系統，還適用於滿足給定公理的任何新系統。
這樣就沒必要一遇到新系統就重新驗證自己的觀念了。這是數學思維的一個重要進步。
另一個不那麼明顯的進步在於，形式化系統推導出的某些定理可以證明，該系統的一些性質使它可以用某種方法圖形化，而該系統的另一些性質讓它的一些運算可以用符號化方法完成。這樣的定理被稱為結構定理。比如，任何完備有序域都擁有唯一的可以用數軸上的點或者小數來表示的結構。
這就為形式化證明帶來了全新的功能。我們不僅僅是花大量的篇幅來發展一套自洽的形式化證明方法，我們其實發展出了一套融合形式化、圖形化和符號化運算的思維方式，把人類的創造力和形式化方法的精確性結合了起來。
7
更靈活地使用形式數學
在第四部分，我們將介紹如何在不同情境下應用這些更靈活的方法。首先我們會討論羣論，然後會討論從有限到無限的兩種擴張。一種是把元素個數的概念從有限集推廣到無限集：如果兩個集合的元素一一對應，就稱它們具有相同的基數。基數和常規的元素個數有很多共通的性質，但它也有一些陌生的性質。
例如，我們可以從一個無限集（比如説自然數集）中拿走一個無限子集（比如説偶數集），剩下的無限子集（奇數集）和原集合有着相同的基數。因此，無限基數的減法和除法無法唯一定義。一個無限基數的倒數並不是基數。
這就得到了一個重要的結論：數學是不斷發展的，看起來不可能的概念可能在一個全新的形式框架下，在合適的公理下就能夠成立了。
一百多年前，這種形式化的數學方法慢慢地流行了起來。而菲利克斯·克萊因寫下了這樣一段話：
“我們今天對於數學基礎的立場，不同於幾十年以前；我們今天可能當作最終原則來敍述的東西，過了一段時間也必然會被超越。”
而在同一頁上他還提到：
“許多人認為教一切數學內容都可以或必須從頭到尾採用推導方法，從有限的公理出發，藉助邏輯推導一切。某些人想依靠歐幾里得的權威來竭力維護這個方法，但它當然不符合數學的歷史發展情況。實際上，數學的發展是像樹一樣的，它並不是有了細細的小根就一直往上長，倒是一方面根越扎越深，同時以相同的速度使枝葉向上生髮。撇開比喻不説，數學也正是這樣，它從對應於人類正常思維水平的某一點開始發展，根據科學本身的要求及當時普遍的興趣的要求，有時朝着新知識方向發展，有時又通過對基本原則的研究朝着另一方向進展。”
本書也將像這樣，從學生在中小學所學知識開始，在第二部分深入挖掘基本思想，在第三部分中用這些思想構建數系的形式結構，在第四部分把這些方法應用到更多形式結構上。而在第五部分，我們對於數學基礎的介紹將告一段落，轉而深入討論基本邏輯原理的發展，從而支撐讀者未來在數學方面的成長。
本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈編輯部”，原題目為《數學思維到底是什麼？如何訓練？頂尖數學大學教授的這篇文章終於説透了本質！》，摘自《基礎數學講義：走向真正的數學》第一章。
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