從近視宅男買早餐到彭羅斯逆矩陣：矩陣的秩｜N文粗通線性代數_風聞
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不少同學在初學線性代數時感到迷茫、痛苦，體會不到課程的實際意義。這很大程度上是因為，教材為了由淺入深、循序漸進，須從基礎的抽象概念講起，而真正直觀的部分，往往要等到後面的細分領域或具體應用。於是初學者往往知其然，不知其所以然；只見樹木，不見森林。希望本文能讓你換個視角，以輕鬆有趣的日常眼光，看到一個不一樣的線性代數。
本文是系列文章《N文粗通線性代數》的第三篇。我們在上篇文章中通過矩陣初等變換來引入矩陣的逆及其性質，討論了線性方程組的求解過程。線性方程組解的結果只有三種可能：無解，有唯一解，有無窮多個解。那麼，這其中又有什麼規律呢？
往期文章：
第一篇：矩陣乘法
第二篇：逆矩陣
撰文 | 吳進遠
上回書説到，某近視宅男，某日下樓到早點鋪買早餐。眼鏡忘在家裏，看不清黑板上寫的價目。於是，宅男就一邊排隊，一邊聽着前邊顧客買早點的品種數量，和服務員小妹報的總價，據此計算各種早點品種的單價。
一通採集數據，分析計算之後，近視宅男求出了線性方程組係數矩陣的逆矩陣，算出了食品單價，買了早餐。一邊吃，一邊陷入了沉思。
（1）幾筆買賣定乾坤？
我們知道，只有正方形的矩陣才可以求出逆矩陣。具體在我們這個買早餐的問題中，三個未知數，需要正好三筆交易，或者説三個線性方程，才可以求出未知的食品單價。但在現實世界中，我們完全可能遇到不是正好三筆買賣的情況，這些情況下，我們的計算會遇到什麼問題呢？
從直覺上我們知道，方程個數少於未知數的個數，肯定無法求出唯一解。可是，假如二者相等，就一定能求出唯一解嗎？更進一步，要是方程的個數比未知數的個數還多，情況又會怎麼樣？我們下面一步步地分析一下：
為了直觀地討論這些問題，我們把三種食品的單價畫在一個三維的座標系中。下面的這些圖中：
水平方向是油餅單價x1，
豎直方向為茶葉蛋單價x2，
而豆腐腦的單價x3則指向紙面之外。
上面這個圖中畫出了一個平面（紅色），它是線性方程組中的第一個方程的圖像，也就是第一個顧客那筆買賣。
這位顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，總價14元。
僅僅根據第一筆買賣，我們顯然無法算出三種食品的單價，但我們多少還是獲得了一些信息。具體説，我們知道這三種食品的單價一定在這個平面的某一個點上。
比如這個平面和橫軸相交在x1=14這個點上，這個點對應於油餅14元，茶葉蛋和豆腐腦免費。
儘管在現實中很少有老闆這麼定價，但這個點所對應的這一組單價與這一個方程是沒有矛盾的。事實上，整個平面上所有的點都與這個方程沒有矛盾，而真實的單價也處於這個平面上，就是我們圖中標出的藍色圓點。
的確，僅僅知道一筆交易，或者一個方程，我們沒有足夠的信息確定真實的單價。現在我們引入第二筆買賣，這個方程在圖3中對應另一個平面（綠色）。
這個平面與第一個平面在一條直線上相交。這就是説，同時滿足兩個方程的單價組合，只能處於這條直線上。儘管真實單價組合確實位於這條直線上，但我們仍然無法確認其準確位置。同時符合這兩個方程的，仍然有無窮多個解。
顯然，我們需要引入第三筆買賣。第三筆買賣對應的線性方程，在下面圖中對應紫色的平面。
這個新的平面與前面兩個平面相交在一個共同的空間點上，這就是這個問題中真實的單價組合。因此，如果有N個未知數，至少要有N個方程才能求出唯一解。
那麼，是不是方程數等於未知數個數就一定能求出唯一解呢？不一定。假設在買早餐這個例子中，宅男沒有聽清楚顧客3的交易數據，只用顧客1、2、4的交易數據來求解，就無法得到唯一解。
為了讀者理解方便，我們把幾位顧客的購買數據重新列在下表：
因此，顧客4的數據沒有提供任何新的信息，這一方程對應着圖5中紫色的平面。而這個平面，與前面兩個平面相交於同一條直線，這條直線上的所有點都同時滿足三個方程。
不難想象，即使我們再增加若干方程，但如果新增加方程是原有方程的線性組合，則新增方程仍然不能提供新的信息，或者新的約束，所以仍然無法得到唯一解。這些方程畫在上面的圖中，是一組平面，而這些平面都相交於一條公共的直線。
（2）秩的那些事
線性方程組 Ax=y 解的性質，和矩陣A的秩（rank）關係密切。所謂秩，是指矩陣中線性獨立的行或列的最大個數。前面買早餐的例子中，顧客1、2、3的三筆交易互相線性獨立，因此這一個矩陣的秩rank(A)=3。而如果不包含顧客3，只考慮顧客1、2、4這三筆交易，則我們只能找到兩個線性獨立的行，第三行只是前兩行的線性組合。因此，這樣一個矩陣的秩 rank(A)=2。
一個矩陣的列數m對應於方程組的未知數個數，而它的秩rank(A)則是線性獨立的方程數的最大個數，也可以看成是能夠提供獨立信息的約束的個數。當rank(A) = m，我們管這種情況叫做列滿秩，這時方程組如果有解，則其解是唯一的。
如果rank(A)<m，我們管這種情況叫做欠秩，方程組如果有解，則其解不是唯一的，而是有無數個。
如果一個矩陣是“矮胖”的，或者説它的行數小於列數，顯然它不可能是列滿秩的。“矮胖”矩陣對應的方程組沒有唯一解，如果有解也是無窮多個解。
當行數大於列數，矩陣變成“瘦高”的，對應的方程組才可能有唯一解（如果有解的話）。但在有解的前提下，具體什麼情況還要看它是不是列滿秩。
這兩種情況通過前面的例子很容易理解。
（3）什麼叫無解？
讀者可能會問，為什麼要強調方程組“如果有解”呢？難道還有方程組無解的情況嗎？的確如此。
一個方程組裏，每添加一個方程，就可能增加一個約束。這樣，在理想的情況下，有效的約束夠了，就可以幫助我們找到方程組的解。
繼續增加方程，則可以幫助我們驗算，檢查前面算得對不對。
可是，在我們往方程組裏添加方程時候，完全可能添亂，加進去自相矛盾的方程。這種情況下，這個方程組是沒有解的。
比如買早餐的例子中，第一個顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，服務員小妹報價14元。假設另一個顧客買了兩個油餅、兩個茶葉蛋、兩碗豆腐腦，這時報價應該是28元。假定顧客是位廣東人，服務員小妹貼心地按照廣東話來發音，於是我們的宅男就完全可能把“二十八”誤聽為“一三八”。這樣一來，我們就遇到了一個自相矛盾的方程組。
在現實世界，數據採集傳輸中出現錯誤的情況非常普遍，因此方程組自相矛盾的情況也會非常普遍，而且自相矛盾的花樣可能會非常複雜。為了搞清楚方程組有沒有解，就需要用到另一個矩陣的秩：就是增廣矩陣(A|y)的秩rank(A|y)。這裏説的增廣矩陣，就是把方程組Ax=y當中的y與A拼在一起。這裏，y是縱向的一列數字，它可以看成是一個向量。而A當中各個列，也分別是同樣維數的向量。
不難看出，如果方程組Ax=y有解，則y就一定是A當中各個列向量的線性組合。我們把y添加到A當中，新增加的這一列，與其他各個列是線性相關的。這樣一來，增廣矩陣(A|y)的秩rank(A|y)就不會比原矩陣A的秩rank(A)大。因此，方程組有解就等價於rank(A|y)=rank(A)。
反之，如果添了一列之後，秩增加了，即rank(A|y)=rank(A)+1，則方程組必然是自相矛盾的，沒有解。
我們把前面談到的這些情況列個表出來，就一目瞭然了。
比如我們買早餐的例子中，m=3。當只有第一個顧客數據時，rank(A)=1，這時解空間是一個平面，解空間的維數等於（m-rank(A)）= 3-1 = 2。
在第二個顧客，乃至第四個顧客的數據加進來後，rank(A)=2，這時解空間的維數等於 3-2 = 1，解空間是一條直線。
當第三個顧客的數據加進來後，rank(A)=3，這時解空間的維數等於 3-3 = 0，於是解空間成為一個點，解的個數從無窮多變成了1，方程存在唯一解。
（4）零元購與齊次線性方程組
我們有時候會遇到齊次線性方程組，也就是Ax=0。“齊次”的意思説的是方程中只有未知數x的一次方項，沒有常數項，或曰沒有未知數x的0次方項，因此各個項中的方次是“齊”的。
由於方程組右邊等於0，因而它的增廣矩陣的秩顯然不會增加。因此齊次線性方程組肯定是有解的，我們用肉眼就可以看出x=0顯然是方程的解。
可是問題來了，除了x=0這樣一個平凡解，齊次線性方程組Ax=0還會不會有不等於0的解呢？從前面討論我們知道：rank(A)<m的情況下，方程組有無窮多個解，因此，齊次線性方程組確實會有非0解。
為了便於理解，我們畫出下面這個圖，圖中的每個平面相當於一個線性方程，這三個平面對應的方程是線性無關的。每個方程的右端常數項都等於0，其幾何意義是每個平面都經過原點。
上面圖中，三個平面只存在唯一一個公共交點，也就是原點。因此，當rank(A)=m的時候，方程組有唯一解，也就是説，只有x=0這樣一個平凡解。
如果三個平面對應的方程存在線性相關（比如秩等於2），它們之間的空間關係就可能看起來像這樣：
由於每個方程右邊也都等於0，因此每個平面也都經過原點。不過由於三個方程是線性相關的，這三個平面有無窮多個公共點。
在秩等於2的情況下，這些公共點構成一條直線，這條直線也通過原點。這樣，除了x=0這一個平凡解，這條直線上其他地方也是方程組的解，或者説，這個齊次線性方程組存在非0解。
在實數中，只有0乘以一個數其乘積才會是0。因此對於非零解，我們有時不容易想象。實際上，一堆不完全是0的數和另一堆不完全是0的數相乘，它們的乘積相加，確實可能得出一個0。這種情況並不難發生，比如只要兩組數相乘之後，乘積有正有負，它們就完全可能相互抵消為0。再比如所有不等於0的數在矩陣相乘時都完美錯過，都與0相乘，則結果也是0。
在線性代數中，所有元素都為0的矩陣叫零矩陣。零矩陣與任何矩陣相乘自然會得到零矩陣，但反過來卻不一定。事實上，兩個非零矩陣相乘，也完全有可能得到零矩陣。一個存在非零解的齊次線性方程組，實際上就是兩個非零矩陣相乘得到零矩陣的例子。
齊次線性方程組在我們買早餐的例子中會是什麼情形呢？首先，我們的宅男聽到前面的所有交易的結果都是0，可以想象這種“零元購”是個非常歡樂的情況。過去學校或者單位的食堂，有的時候因為管理員經營有方，經常能到菜市場採購到便宜的食材，一年下來會結餘很多，於是到年底就會有一天“吃結餘”。顯然，如果所有食品的單價都為0，就會出現吃結餘或者零元購的結果。
但是反過來卻不一定。比如，僅僅根據下面兩個顧客的購買數據，我們並不能確認所有食品單價都是0：
第一個顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，0元；
第二個顧客買了兩個油餅、四個茶葉蛋、四碗豆腐腦，0元。
因為除了所有食品都不要錢的情況，我們完全可能找到使這兩個方程成立的非零解。比如設想：
油餅、茶葉蛋、豆腐腦的單價0元、X元、-X元，上面兩個方程就可以成立。
這一組單價表示油餅不要錢，茶葉蛋一顆X元，而買一碗豆腐腦不但不收錢，還會倒送X元的禮品券。這種情況在做買賣上聽着不很合理，但在理論中，卻是齊次線性方程組理論上存在的非零解。
現在，如果把第三位顧客的數據加進去：
假定他買了一個油餅、三個茶葉蛋、三碗豆腐腦，0元；
我們仍然不能確認所有食品單價都是0。因為他的購買數量向量是前兩位的線性組合（第二位購買數量向量 - 第一位購買數量向量）。
只有再來顧客，他的購買數量向量與前幾位的線性無關，整個矩陣變成了列滿秩的，我們才能得到新方程組的唯一解，即所有單價都為0。（未完待續）
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