陶哲軒：不要過早痴迷於某一個“大問題”或“大理論”_風聞
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撰文 | 陶哲軒
翻譯 | 戴童
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享受你的工作
沒有樂趣，就無利可圖。
簡而言之，先生，鑽研你最愛的事。
——莎士比亞，《馴悍記》
想在數學領域有所建樹，需要付出艱辛的努力。如果你不喜歡自己所做的事，就不能從自己的工作中獲得滿足感，也就很難持續投入成功所需的巨大精力。
總的來説，選擇自己喜歡的數學領域，比僅僅因為某個領域很流行就一頭扎進去，要好得多。同理，一個人應當將工作的滿足感建立在現實成就之上，比如推動自己所在專業領域的知識進步、加深對某個領域的理解併成功地將自己的理解傳達給他人。
相反，像戲劇性地解決了一個重大的未解問題，或者獲得同行的廣泛認可，都屬於少見的運氣，很難帶來滿足感。名利雙收的“白日夢”能讓人沉醉一時，卻撐不起推動數學發展所必須的耐心和長期努力。抱有不切實際的高期望，往往只會帶來挫敗感。
熱情是可以“傳染”的。你應該參加講座和會議，一個原因就是幫助自己瞭解相關領域（或相近領域）正在發生哪些激動人心的大事，不斷仰望自己所在的領域，甚至整個數學領域的更高目標。一場精彩的講座能不斷激發你對數學的興趣和創造力。
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前瞻思考
比失明更糟的是，看得見卻沒有遠見。
——海倫·凱勒
人們很容易陷入工作的細節中，忘記了所做之事的初衷。因此，我們要不時地停下來，回想一下自己為何追求“那個”目標，這是很有好處的。
舉個例子，如果你出於某種原因正在嘗試證明一個引理，不妨花點兒時間問問自己：
如果引理得證，它將怎麼被應用？引理的哪些特性對你來説最重要？一個較弱的引理是否就足夠了？是否有更簡潔的引理表述方式？如果在實踐中很難得到引理的某個假設，那麼是否應該試着省略這個假設？
通常，一個引理在被真正證明之前，它的表述尚不清晰、明確，但即使細節尚未完善，僅從瞭解引理的形式出發，這些問題你多多少少也應該能答上來一點兒。在投入大量時間嘗試證明引理之前，這些問題能幫助你將引理優化到最佳形式，讓你更高效地進行研究。
同樣的原則也適用於規模比引理更小的問題，例如證明一個小論點或完成冗長的計算時；也適用於比引理規模更大的問題，例如證明一個定理、解決一個問題或追求一個更大的研究目標。
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不要過早痴迷於某一個“大問題”或“大理論”
數以百萬計的人渴望永生，卻不知道在雨天的週日下午如何打發時間。
——蘇珊·厄茨，《空中的憤怒》
在數學領域，有一個特別危險的職業陷阱：你可能因為過度專注某個領域的一個難題（或某種宏大的“統一理論”），而忽略了其他數學活動（甚至“數學”以外的人生）；但實際上，無論在數學知識儲備上還是職業生涯規劃上，你都還沒有真正準備好將如此多的研究時間投入這類項目中。
如果一個人尚未了解自己手中工具的侷限性，或者還沒有對自己的工作產生“適當”的懷疑態度，那這種情況就更危險了。結局可能相當難堪：一個人自豪地宣佈自己在一個眾所周知的大問題上取得了重大突破，但很快被其他人在論文中挑出了嚴重缺陷（大多因為一種方法被延申到自身已知的極限之外，或者撞到了專家們已知極限以外的障礙），最後不得不撤稿。
一個人開始忽視其他工作（如撰寫、發表自己“較小”的研究成果），把全部希望寄託在解決一個“大問題”或創建一種革命性的新理論這類“巨大回報”上，想借此彌補自己職業生涯停滯不前的窘況，這是一個危險信號。他/她應該重新找到平衡。雖然歷史上確實有幾個重大問題就是以這種方式被解決的，但這種痴迷的心態只有在數學家已具備以下條件時，才可能奏效：
1.在該領域已發表過可靠的重要論文；
2.職業生涯相對穩定（如取得了終身教職）。
如果你還不具備上述兩點優勢，而且在如何解決一個重大問題的想法中仍包含大量的猜測，或者，你的“大理論”還沒有明確且引人注目的應用領域，那我強烈建議你採取一種更平衡、更耐心、更靈活的方法：你當然可以始終記掛着這些“大問題”和“大理論”，並偶爾找時間琢磨它們，但你還是要把大部分時間花在更可行的計劃上——先摘“矮枝上的果實”。你將為自己的經驗、能力和可信度上打下基礎，當你準備好迎接更雄心勃勃的項目時，這些東西都會派上用場。
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如何發表知名未解問題的證明
如果你確實認為自己解決了一個大問題，我建議先你對自己的成果保持“極度懷疑”，在向任何人展示這一結果之前，你要十分謹慎。過去，有太多數學家急着大肆宣揚自己證明了某個知名問題，結果不久後，人們就在他們的證明中發現了嚴重錯誤。這樣做會損害自己的名譽。我建議你就自己的論文問自己以下幾個問題：
1.這其中關鍵的新想法或見解是什麼？它與之前別人嘗試過的方法有何不同？這個想法是否在論文的引言中得到了強調？（正如我的一位同事喜歡問的：“實質性內容在哪兒？”）
2.這篇論文中的論點與其他人在該問題上已取得的部分成果或嘗試有何關聯？相關步驟與此前其他論文中的步驟是否有明確的相似之處？新成果是否就“此前的方法為什麼沒能成功”這一問題提供了啓示？論文中是否討論了這一點？
3.這個新想法最簡單、最簡短、最清晰的新應用是什麼？與之相關，論文中提出的第一個不平凡的、此前方法無法證明的新論述是什麼？這條“概念證明”在論文中給出了嗎？還是帶着自己附加的（且可能出錯的）複雜問題直接跳到了重大猜想上？假如證明中存在致命錯誤，那你能否至少挽救出其中一個深刻且不平凡的結果？
4.面對數學家們的“攻堅策略”，大問題都準備了反例、障礙或哲學式反擊（策略X不起作用，是因為它沒有區分大問題Y和已知存在反例的問題Z）。你的論點為什麼沒有遇到這些障礙？論文是否説明了這一點？論點存在任何侷限性嗎？論文是否對此加以陳述了？
5.你採用了什麼高級策略來攻克這個問題？你是否受到了某種啓發、哲學觀點或直覺的引導？如果是，那是什麼？論文是否陳述了這一點？如果你的“攻堅策略”是“盲目地反覆轉換問題，直到奇蹟發生”，那可不是一個好跡象。你能用（超越所有技術細節和計算）的高級術語來説明，你的論點為什麼有效嗎？
6.證明是否包含一個關鍵的里程碑？比如，證明中使用的一個關鍵命題本身具有獨立的意義，或者，它將未解決的問題大幅簡化為一個貌似更容易解決的問題。論文中是否明確指出了里程碑？
7.你的論點足夠堅固嗎？一個符號錯誤、非法使用一個引理或公式會否摧毀整個論點？論點足夠堅固的指標包括：關鍵步驟存在可替代的證明（啓發式方法或支持論點的實例也行），或者，論文、論點的關鍵部分與已發表的其他論文之間可以類比。
8.你對論文進行了多嚴格的檢查？你重新梳理了闡述過程嗎？你試着故意反駁自己的觀點，或故意在論文中找茬兒了嗎？當一篇重要論文發表時，人們期望它已經經受了一定程度的檢查；如果沒有，而論文在發表後很快就被查出了錯誤，那就非常尷尬了。在解決了一個多年未能解決的重大問題時，我們真沒有必要急於求成。多花幾天時間，最後再通讀一次論文，能為自己省去很多麻煩。
9.論文有多大比例用於闡述已出現在以往文獻中的常規和標準理論及計算？又有多大比例用於闡述以往文獻中沒有的令人興奮的新內容？新內容在論文中何時出現？上述兩部分在論文中是否都給予了適當的詳細闡述？
10.為了減少讀者對此類論文可能產生的負面看法（尤其是當人們在論文中發現重大錯誤時），你應在論文的標題、摘要和引言中儘量減少自吹自擂或自我推銷的成分。這些東西本身沒什麼數學信息量。例如，
糟糕的標題：“龐加萊猜想的證明”恰當的標題：“裏奇流的熵公式及其幾何應用”
更廣泛地説，任何未解的大問題，其重要性和歷史意義對於任何稍微瞭解情況的讀者來説都是已知的。針對這些內容，你只需在論文中做表面處理即可，除非某些歷史問題與你的證明相關。強調“無數偉大數學家在你之前所做的嘗試都失敗了”，這種“吹牛皮”的做法非常不合時宜，應當徹底避免。
你還要注意一點，解決大問題的嘗試往往已經屢遭失敗，所以大多數專業數學家會拒絕閲讀任何做進一步嘗試的文獻，除非有實質性證據表明，此次正確性的概率“非零”（比如在該領域有公認的數學成就記錄）。
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瞭解工具的侷限性
學習不是記憶多少東西，甚至不是去知道多少東西。學習是為了明確劃分自己“知道什麼”以及“不知道什麼”。
——阿納托爾·弗朗斯
數學教育和研究會自然而然地把注意力放在有效的技術上。但是，瞭解你手中的工具“在什麼時候不起作用”，也很重要。這樣一來，你就不會把時間浪費在一個從一開始就註定要失敗的策略上，而會去尋找新工具來解決問題，或索性尋找一個新問題。
因此，瞭解各種反例或易於分析的模型非常重要。同時，你也要知曉自己的工具可以處理哪類障礙，而哪些障礙沒希望解決了。此外，你選擇的工具在什麼情況下可以被其他工具替代，以及每種工具的相對優缺點是什麼，這兩點也值得探究。
假如你把自己最喜歡的某種工具視為 “魔杖”，因為它能“唰地一下”解決問題，而且你再沒有其他方法獲取或理解答案了，那這就表明，你也許需要更好地瞭解一下你的寶貝工具及其侷限性。
如果你自認為利用自己最喜歡的工具取得了一項了不起的結果，比如證明了一個大問題，那你就更要好好想想這一點了。這時你應該查一查，在不用這種工具的情況下，你能否重塑自己的論點？如果你確實對自己的工具瞭如指掌，那就應該能做到這一點——儘管論證可能為此變得更長、更混亂。可是，如果一旦捨棄這種工具，你就再也找不到其他任何方法重塑論點了，那你就該保持警惕，這可能是沒有正確使用工具的一個信號。
在利用一種工具撰寫論文時，作者應當討論該工具的已知侷限性——雖然這種做法有點反常識。乍看之下，這似乎削弱了論文的價值，但這麼做有助於準確識別其他哪類相關問題也可能適用該工具；並且，通過展示你對工具侷限性的認識，無論在宣傳該工具的優勢上，還是在將它與競爭工具做比較時，你都能獲得更多的可信度和客觀性。這種做法還有助於判斷能從哪個方向上獲得新突破，以超越僅靠該工具所能完成的工作。
最後，如果作者向讀者隱瞞了自己所用工具的侷限性，而恰巧這項研究還很有意義，那麼後續的研究最終還會遇到同樣的侷限性，而後繼者終究要在各自的工作中討論它們。但此時人們就會認為，這些問題在最初的那篇論文中完全被忽視了。
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作者：陶哲軒
譯者：李馨
菲爾茲獎得主陶哲軒數學思維大解析，通過奧數競賽習題解答，帶你領悟數學之美。
本書是國際知名數學家陶哲軒15歲時的著作，從青少年的角度分析數學問題，主要是數學競賽等智力謎題，用學生的語言解釋思考過程，完整展現了少年陶哲軒的解題思路。
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作者：[澳]陶哲軒（Terence Tao）
譯者：李馨
本書源自華裔天才數學家、菲爾茲獎得主陶哲軒在加州大學洛杉磯分校教授實分析課程的講義。
全書從分析的源頭——數系的結構和集合論開始，然後引向分析基礎，再進入冪級數、多元微分學和傅里葉分析，最後介紹勒貝格積分，幾乎完全是以具體的實直線和歐幾里得空間為背景，完美結合了嚴格性和直觀性。
本文轉載自微信公眾號“圖靈新知”，原文來源：https://terrytao.wordpress.com/career-advice/。
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