《華爾街日報》——麻將的模塊化玩法

插圖：托馬斯·瓦倫塔我與家人打麻將迎接新年。我們玩的版本開始時，由一人擲三顆骰子，然後根據骰子總數在四位玩家圍坐的桌面上按順序數數。從“一”開始數，即自己為“一”，我從小還學了一些口訣，比如“九自手”“十三自手”，這些是從祖父母那裏傳下來的。這樣，如果骰子數字較大時，就不必一直數下去。我現在知道，這實際上是數學中的模運算。

有時它被非正式地稱為鐘錶算術，因為它類似於我們如何報時：當我們數到12時，又從1開始，所以13“等同於”1，14“等同於”2，以此類推。這被稱為“模12”算術，但我們也可以用其他數字代替12。

麻將中使用的是模4運算，因為數完四位玩家後，你又回到了自己，所以5和1落在同一個人身上；同樣，9、13和17也是如此。如果我們使用24小時制，我們進行的是模24運算，而不是模12。星期幾的循環類似於模7運算，儘管我們不用數字命名它們；音樂音符用字母A到G命名也是如此。

模運算是關於餘數的算術，因為我們本質上是在做除法，然後只關心餘數是多少。帶餘數的除法通常是小孩在學習分數之前學習除法的方式，乍一看，分數似乎是一種更復雜的工具。畢竟，分數使我們能夠將任何數字除以任何其他數字（零除外），而不會有剩餘。

然而，模運算的力量令人驚歎，尤其在密碼學和其他計算機應用中。國際標準書號（ISBN）讓我們能通過編碼識別每一本出版書籍。現行使用的編碼包含13位數字，其中最後一位是“校驗碼”，通過模運算計算得出。具體來説，它是將第一位數字、第二位數字乘以三、第三位數字、第四位數字乘以三，依此類推直至第12位數字相加；然後校驗碼的作用是使總和模10等於零（即無餘數）。其原理在於，當你向計算機輸入ISBN時，它能快速通過該計算檢查是否存在輸入錯誤，並在總和有餘數時標記異常。雖然這不是萬無一失的糾錯機制，但能捕捉單數字錯誤和大多數相鄰數字順序顛倒的情況。

我自己有時也會用模10運算作為基礎錯誤檢查工具。如今我通常在手機計算器或電子表格中求和，但若想快速驗證結果，我會將所有數字的末位相加，然後核對結果的最後一位。由於我們使用十進制計數，數字的末位即其模10的結果，因此這本質上是通過模10運算驗證答案。和ISBN校驗碼一樣，這種方法並非絕對可靠，但總比完全不檢查要好。

密碼學需要更復雜的系統來實現信息加密與精確解密，而不僅限於基礎有效性驗證，但許多系統仍以模運算理論為基礎。我尤其欣賞純粹數學中對簡單概念的巧妙運用——比如模運算，其簡潔性甚至能讓孩童在家庭遊戲中輕鬆使用。