分岔理論奠基人霍普夫和他對現代數學的深刻影響_風聞
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世界上“分岔與混沌”理論及其應用研究領域的科研人員，大概沒有誰不曾在論文中分析或提及過“霍普夫分岔”（Hopf bifurcation）。今天，我們將認識一位分岔理論的奠基人——艾伯哈德·霍普夫。
撰文 | 陳關榮
我目前主編的一份學術期刊名叫“分岔與混沌國際雜誌”（International Journal of Bifurcation and Chaos）。今天，大家或多或少都知道“混沌”（chaos），因為它有頗長的歷史和許多有趣的故事[1, 2]。特別是，大家都知道洛倫茨（Edward Norton Lorenz，1917-2008），從他那裏瞭解到著名的“蝴蝶效應”[3]。不過，大家也知道“分岔”（bifurcation）嗎？也知道分岔理論的奠基人嗎？
事實上，分岔理論比混沌理論的歷史更長。分岔理論的一個重要人物是艾伯哈德·霍普夫（Eberhard Friedrich Ferdinand Hopf，1902年4月4日-1983年7月24日）。今天，世界上“分岔與混沌”理論及其應用研究領域的科研人員，大概沒有誰不曾在論文中分析或提及過“霍普夫分岔”（Hopf bifurcation）。
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生平
霍普夫於1902年出生在奧地利薩爾茨堡，即音樂家莫札特（Wolfgang Amadeus Mozart，1756-1791）的故鄉。霍普夫的父親弗里德里希（Friedrich Hopf）是一位巧克力糖果製造商。1920年，霍普夫在德國柏林中學畢業後進入圖賓根（Tübingen）大學，在那裏讀了一個學期，然後轉到柏林大學，在那裏讀了七個學期。1925年-1926年間，他在德國數學家埃哈德·施密特（Erhard Schmidt，1876-1959）和俄裔德國數學家伊賽·舒爾（Issai Schur，1875-1941）聯合指導下完成了數學博士學位論文。1927年，他在柏林大學天文研究所任職科研助理。1929年，霍普夫在柏林大學完成了科學博士學位並獲得了數學和天文學的教學資格。同年，他和德國著名音樂家Johannes Wolf （1869-1947）的女兒伊爾斯·沃爾夫（Ilse Wolf）結婚。2006年，他們的女兒芭芭拉·霍普夫在寫給數學家Hans-Joachim Girlich（1938-2018）的信中回憶道：“我的父母，尤其是我的母親，非常熱情好客，很多音樂之夜都沉迷在演出中。我的父親是一位出色的鋼琴演奏家，母親是一位藝術歌曲歌手。”
1929年，德國的經濟形勢很差，霍普夫找不到合適的工作職位。不過，他幸運地獲得了美國洛克菲勒基金資助，前往哈佛國際天文台當研究員。1930年，霍普夫來到了波士頓，在愛因斯坦塔樓（Einstein Tower）上班。在那裏，他主要在數學家喬治·伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）指導下做研究工作。他研究拓撲學和遍歷理論，以及恆星大氣流體動力學。1931年，他在美國國家科學院院刊（PNAS）發表了一篇關於動力系統時間平均定理的論文。該論文被認為是現代遍歷理論的創始文獻之一。在波士頓，霍普夫認識了麻省理工學院的數學家諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894-1964）。兩人合作研究，對早期輻射傳輸理論中的米爾恩（Milne）方程給出了求解方法，並於1931年發表了一篇論文，發展了著名的維納-霍普夫方法。其基本思想是通過積分變換將原方程化為一個泛函方程，後人稱之為維納-霍普夫方程，然後再用函數因子分解方法求解。該方法的離散形式本質上就是後來的維納濾波（Wiener Filter）。
1932年，霍普夫在哈佛國際天文台研究員基金即將結束時與柏林大學天文研究所聯繫，希望回去復職。可是，柏林的回信卻明確表示，由於各種原因，不能為他提供任何工作。在此困難時刻，維納幫助他獲得了麻省理工學院數學系助理教授的職位。在那裏，霍普夫的數學研究主要在遍歷理論方面。
1933年1月，納粹接管了德國政權。新政府隨即施行的一系列法律極大地改變了大學及各個部門的工作狀況，讓大多數具有猶太血統或不同政治立場的人失去了他們的工作甚至養老金。1932 年底，霍普夫從美國到德國作了一次短暫的訪問。返回美國後，他在給蘇聯移民同事Tamarkin的信中寫説：“我很驚訝有這麼多德國人投票支持希特勒。……大多數投票給希特勒的人都是對政府和自己的處境不滿。他們跟隨任何向他們提供各種不可能實現的承諾的人。”
1934年，霍普夫出版了專著《輻射平衡的數學問題》（Mathematical problems of radiative equilibrium）。20世紀40年代以後，這一理論在解析函數邊值問題、調和分析及算子理論的基礎上得到了系統的發展，成為研究各種數學物理問題的一種常用方法，其應用也從輻射問題擴展到許多其他領域。
1933年起，德國萊比錫大學持續地為已故數學講座教授萊昂·利希滕斯坦（Leon Lichtenstein，1878-1933）尋找繼任者，最後於1936年遴選出霍普夫。霍普夫接受了聘請，並於同年10月抵達萊比錫。事實上，此前波恩大學、哥廷根大學和柏林大學也曾邀請霍普夫去工作，但都沒有成功，因為有人向納粹政府告發他“學生時期有一個朋友是共產黨人”。
霍普夫在萊比錫大學任職至1944年。1937年，他綜合在麻省理工學院的研究成果，出版了數學專著《遍歷理論》（Ergodentheorie）。1942年，柏林政府的納粹官員指派霍普夫到位於巴伐利亞Ainring的德國科學研究院工作。在那裏，他主要做量子力學、流體動力學和湍流理論研究。因為這段工作經歷，後來有人説他的這些可被戰爭利用的研究是為納粹服務，甚至還有人偽造他的論文加以攻擊。2017年，霍普夫的物理化學家女兒芭芭拉·霍普夫·奧芬哈茨 (Barbara Hopf Offenhartz) 在一篇文章中回憶道：“我的父親非常反對納粹，所以親納粹分子的各種極端言行讓他深感不安。我父親為了自己的聲譽太過直言不諱。”
1944年，慕尼黑大學在長時間尋找退休數學講座教授康斯坦丁·卡拉西奧多里 （Constantin Caratheodory，1873-1950）的繼任者之後，決定把該職位提供給霍普夫。霍普夫接受了慕尼黑大學的聘任，合約到1948年終止。1945年6月23日，他寫了一封信給美國紐約大學數學家理查德·柯朗（Richard Courant，1888-1972），説他在納粹德國工作因缺乏政治支持而一直感受着痛苦。柯朗得知後，便邀請他1947年到美國紐約大學柯朗數學科學研究所當客座教授。霍普夫於是去了紐約，並在1949年成為美國公民。隨後，他接受了印第安納大學數學教授職位，工作至1972年退休。他在伯明頓市生活到1983年病世。1951年-1981年這三十年間，霍普夫一直擔任印第安納大學數學雜誌編輯。期間，他曾多次回訪德國，主要到埃爾蘭根（Erlangen）大學和奧伯沃爾法赫（Oberwolfach）數學研究所作學術交流。
1956年，霍普夫曾收到德國海德堡大學的一份工作邀請。但他對當年的納粹心有餘悸，“不想再犯同樣的錯誤”，婉言謝絕了。
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成就
霍普夫在1926年-1971年間出版了5部專著並發表了79篇論文，其中1本書和41篇文章為德文，4本書和38篇文章為英文。
霍普夫在遍歷理論、偏微分方程、積分方程、流體動力學和微分幾何方面都有重要貢獻。他在1927年發表的極大值原理是橢圓偏微分方程理論中最重要的技術之一。除了上面提到的維納-霍普夫方法之外，他對擬線性雙曲方程的處理提供了研究守恆定律的第一個現代方法。他證明了具有非齊次邊界條件的納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程弱解的存在性定理，是該領域一項突破性的進展。
在這裏我們關心的，是霍普夫1942年在一篇奠基性論文[4]中提出的動力系統分岔理論。他引進的概念和術語為後人採用。他詳細地討論了自己的結果與龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）工作的聯繫，並將該論文獻給在1907年解決了希爾伯特第22問題的德國數學家保羅·克伯（Paul Koebe，1882-1945）。
龐加萊-安德羅諾夫-霍普夫分岔理論，通稱為“霍普夫分岔”理論，是首先由龐加萊在1892年對平面系統進行研究的[5]，然後由亞歷山大·安德羅諾夫（Aleksandr Andronov，1901-1952）及其合作者在1930年進行了完善和細化[6]，最後由霍普夫在1942年擴展到一般高維繫統。粗略地説，霍普夫分岔是非線性常微分方程自治系統的一種動力學現象，指隨着某個關鍵參數的連續變化，系統在其平衡點附近相應的雅可比矩陣的一對共軛複數特徵值從左半平面垂直橫跨虛軸而轉移到右半平面，在跨越的瞬間改變了平衡點的穩定性，導致系統產生出一個新的週期解。
今天，數學文獻中以霍普夫命名的術語包括：Hopf bifurcation、Hopf decomposition、Hopf factorization、Hopf lemma、Hopf maximum principle、Cole–Hopf transformation、Landau–Hopf theory of turbulence、Wiener–Hopf method等。
由於霍普夫對數學研究的諸多重要成果和開創性貢獻，1950年他被國際數學家大會邀請作大會報告。1971年，他在美國數學會作了榮譽很高的Josiah Willard Gibbs講座。1981年，他獲得美國數學會最高獎Leroy P. Steele Prize。2002年，美國數學學會出版了《艾伯哈德·霍普夫選集》（Selected Works of Eberhard Hopf），作為對霍普夫百歲誕辰的紀念。
印第安納大學數學雜誌在1983年最後一期刊登的悼念文章結語中説：“霍普夫在其四十五年的職業生涯中不僅為數學知識的增長做出了重大貢獻，而且在確立現代數學研究的形式和方向方面也發揮了重要作用。雖然他一些工作的影響是立竿見影的，但其大部分工作的深度和廣度只有在經過多年的進一步研究後才會完全顯現出來。他激勵了我們所有人；他作為數學領導者將被深深懷念。”
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註記
和艾伯哈德·霍普夫同時代有另一位德國數學家海因茨·霍普夫（Heinz Hopf，1894年11月19日–1971年6月3日），是20世紀最重要的拓撲學家之一，以其在代數拓撲學和微分幾何學中的傑出貢獻而聞名於世。他的研究工作主要在纖維化、同倫論、基本羣以及流形的幾何性質方面，其成果為現代拓撲學奠定了基礎，並深刻地影響了物理學量子場論和絃理論以及計算機科學拓撲數據分析的進展。雖然都姓“霍普夫”，沒有記錄表明他倆有直接的血緣關係。不過，科普文獻中不乏張冠李戴的作品，把他們兩人的數學貢獻混為一談，因此大家閲讀時需要小心鑑別。
參考文獻及延申閲讀
[1] 陳關榮：這門複雜性科學有個別緻的名稱——混沌
[2] 陳關榮：離散混沌傳奇
[3] 陳關榮：蝴蝶效應和混沌故事
[4] E. Hopf, Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung eines Differentialsystems, Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Band XCIV, Sitzung vom 19, Januar 1942, pp. 3-22.
[5] H. Poincaré, Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, Vol. 1 (Gauthier-Villars, Paris, 1892).
[6] A. A. Andronov, A. A. Vitt and S. E. Khaikin, Theory of Oscillators, translated from the Russian by F. Immirzi, edited and abridged by W. Fishwick (Pergamon Press, Oxford, 1966).
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